Momentum dan energi relativistik: energi diam dan kesetaraan massa dan energi, energi kinetik relativistik, batas kecepatan cahaya, defek massa, dan efek Doppler cahaya

Sebuah rumah sakit menerima unit radiografi baru, dan tim teknik ikut membaca dokumen serah terima yang mencantumkan tegangan tabung sinar-X maksimum 120 kV. Dalam pelatihan internal, seorang teknisi muda menghitung kecepatan elektron yang menumbuk sasaran dengan $K = \tfrac12 mv^2$ dan memperoleh 0,69 kali kecepatan cahaya. Rekannya memakai rumus yang sama untuk elektron 400 keV di mikroskop elektron transmisi laboratorium rujukan dan mendapat 1,25 kali kecepatan cahaya, hasil yang mustahil. Di rapat yang sama, manajer fasilitas bertanya apakah bank baterai UPS yang baru diisi penuh menjadi lebih berat, karena ia pernah membaca bahwa energi setara dengan massa.

Kedua pertanyaan dijawab oleh momentum dan energi relativistik. Elektron 120 keV bergerak 0,587c, bukan 0,685c, dan elektron 400 keV bergerak 0,828c (Contoh 3 dan 4). Bank baterai memang bertambah massanya, tetapi hanya sekitar 1,6 mikrogram untuk 40 kWh energi tersimpan (Contoh 5), terlalu kecil untuk ditimbang.

Batas pembahasan

Bab ini membahas momentum relativistik, energi kinetik relativistik dan batas kecepatan cahaya, energi total dan energi diam, kesetaraan massa dan energi pada energi tersimpan, hubungan energi dan momentum, dan efek Doppler cahaya. Kinematika relativitas, yaitu postulat, dilatasi waktu, kontraksi panjang, transformasi Lorentz, dan penjumlahan kecepatan, ada di Bab 36 tentang relativitas khusus. Energi ikat inti, cacat massa, fisi, dan fusi dibahas lengkap di Bab 33 tentang fisika nuklir; bab ini hanya memakai hubungan massa dan energi lalu merujuk ke sana. Pergeseran merah kosmologis dibahas di Bab 41 tentang kosmologi. Tabung sinar-X ada di Bab 32 tentang atom kuantum dan sinar-X, mikroskop elektron di Bab 30 tentang gelombang materi, momentum foton di Bab 29 tentang cahaya sebagai partikel, dan partikel serta anihilasi di Bab 40 tentang fisika partikel.

Momentum relativistik dan massa diam

Momentum kekal setiap kali gaya luar total nol, dan analisis tumbukan partikel relativistik di akselerator bertumpu padanya. Momentum klasik dibahas di Bab 6 tentang momentum dan tumbukan. Momentum klasik $m\,d\vec x/dt$ yang kekal di satu kerangka belum tentu kekal di kerangka lain setelah transformasi Lorentz. Rumus yang benar memakai selang waktu sejati partikel $d\tau$:

$\vec p = m\frac{d\vec x}{d\tau} = \gamma m\vec u = \frac{m\vec u}{\sqrt{1 - u^2/c^2}}$

dengan $\vec p$ momentum (kg·m/s), $m$ massa diam (kg), $\vec u$ kecepatan benda relatif terhadap pengamat (m/s), dan $c = 2{,}998 \times 10^8$ m/s. Huruf $u$ dipakai supaya tidak tertukar dengan kecepatan relatif dua kerangka $v$.

Momentum relativistik (relativistic momentum) adalah momentum klasik yang dikalikan faktor relativistik gamma. Dengan definisi ini momentum total kekal di semua kerangka inersia setiap kali gaya luar total nol, dan hal ini sudah diverifikasi dalam banyak eksperimen. Pada kecepatan rendah gamma hampir 1, sehingga momentum relativistik sama dengan momentum klasik; momentum relativistik memang harus mendekati nilai klasik ketika kecepatan menuju nol. Ketika $u$ mendekati $c$, momentum menuju tak hingga, tanda lain bahwa benda bermassa tidak dapat mencapai kecepatan cahaya.

Massa diam (rest mass) adalah massa benda yang diukur pengamat yang diam terhadap benda. Buku lama sering menafsirkan $p = \gamma mu$ sebagai massa yang bertambah dengan kecepatan, $m_\text{var} = \gamma m$. Tafsir ini ditolak: massa benda yang bergerak tidak dapat ditentukan lepas dari momentumnya, sehingga satu-satunya massa yang bermakna adalah massa diam. Kata "massa" di bab ini selalu berarti massa diam.

Energi kinetik relativistik dan batas kecepatan cahaya

Energi kinetik relativistik diturunkan dari teorema usaha-energi: usaha gaya $F = dp/dt$ yang mempercepat partikel dari diam sama dengan energi kinetik akhirnya. Integrasi parsial memberi:

$K_\text{rel} = (\gamma - 1)\,mc^2$

dengan $K_\text{rel}$ energi kinetik (J) dan $mc^2$ energi diam (J). Energi kinetik relativistik (relativistic kinetic energy) adalah energi kinetik benda yang bergerak dengan kecepatan relativistik, sama dengan usaha total untuk mempercepatnya dari keadaan diam. Dengan pendekatan binomial $\gamma \approx 1 + \tfrac12 u^2/c^2$, rumus ini menjadi $\tfrac12 mu^2$ ketika $u \ll c$, energi kinetik klasik di Bab 5 tentang gaya, usaha, dan energi.

Ketika $u$ mendekati $c$, $K_\text{rel}$ membesar tanpa batas, jauh lebih cepat daripada energi kinetik klasik, sehingga diperlukan usaha tak hingga untuk mempercepat benda bermassa sampai kecepatan cahaya. Kecepatan cahaya (speed of light) adalah batas kecepatan tertinggi bagi setiap partikel bermassa. Seberapa pun energi diberikan, kecepatan benda bermassa hanya mendekati $c$; rumus energi kinetik relativistik dan batas ini sudah dikonfirmasi rinci dalam banyak eksperimen. Kecepatan cahaya adalah kecepatan pamungkas, dan partikel tidak mungkin dipercepat dari diam sampai $c$ atau lebih.

Satu elektron berkas tabung televisi membawa $4{,}0 \times 10^{-15}$ J. Batas atas 400 keV untuk mikroskop elektron transmisi tercatat di Bab 30 tentang mikroskop elektron, dan pemercepat Van de Graaff 50 MV memberi elektron 50 MeV. Kecepatan di tabel dihitung dengan $mc^2 = 0{,}511$ MeV. Rumus klasik sudah meleset 4 persen pada 25 keV dan memberi hasil mustahil di atas sekitar 255 keV, ketika $\tfrac12 mv^2$ dengan $v = c$ sama dengan $K$.

Mempercepat partikel lebih dekat lagi ke $c$ tetap berguna, karena energi berkas dapat diubah menjadi bentuk lain, termasuk partikel baru; sebagian besar pengetahuan tentang struktur materi diperoleh dari tumbukan semacam itu. Akselerator dan partikelnya dibahas di Bab 40 tentang fisika partikel.

Energi total, energi diam, dan kesetaraan massa dan energi

Rumus energi kinetik dapat ditata ulang menjadi $E = \gamma mc^2 = K + mc^2$. Energi total (total energy) adalah jumlah semua energi sebuah partikel, termasuk energi diam dan energi kinetik. Energi diam (rest energy) adalah energi yang dimiliki benda bermassa ketika diam terhadap pengamat.

$E = \gamma mc^2, \qquad E_0 = mc^2$

dengan $E$ energi total (J), $E_0$ energi diam (J), dan $m$ massa diam (kg). Bentuk $E_0 = mc^2$ adalah bentuk yang benar dari persamaan Einstein yang paling terkenal, sedangkan ungkapan $E = mc^2$ sering muncul dalam uraian populer karya Einstein. Dalam artikel terpisah yang juga terbit pada 1905, Einstein menyatakan bahwa bila energi partikel berubah $\Delta E$, massanya berubah $\Delta m = \Delta E/c^2$. Energi tetap kekal secara relativistik asalkan energi diam ikut dihitung.

Kesetaraan massa dan energi (mass-energy equivalence) adalah prinsip bahwa massa merupakan salah satu bentuk energi, sehingga setiap perubahan energi sebuah sistem disertai perubahan massanya. Buktinya melimpah: pion netral yang diam meluruh menjadi dua foton tak bermassa yang energi totalnya sama dengan $mc^2$ pion, dan partikel yang meluruh menjadi produk bermassa lebih kecil memberi produknya energi kinetik yang sesuai dengan pengurangan massa. Kesetaraan ini adalah sumber energi Matahari, energi peluruhan nuklir, dan salah satu sumber panas di dalam Bumi. Dalam satuan partikel, energi diam elektron 0,511 MeV dan proton 938,3 MeV.

Energi tersimpan menambah massa: baterai, panci, dan bahan bakar

Energi yang dimasukkan ke benda diam, misalnya saat baterai diisi atau pegas ditekan, menjadi bagian dari energi totalnya dan menambah massa diamnya; semua energi tersimpan dan energi potensial menjadi massa sistem. Hukum kekekalan massa, salah satu hukum besar sains abad ke-19, tampak bertentangan dengan hal ini. Jawabannya ada pada besarnya: aki 600 A·h pada 12,0 V hanya bertambah $2{,}88 \times 10^{-10}$ kg, dan untuk melihatnya massa aki harus terukur sampai 1 bagian per $10^{11}$. Air di panci yang mendingin juga kehilangan massa dalam jumlah yang sangat kecil, dan batu bara serta oksigen di pembangkit biasa mengalami efek serupa yang tidak terdeteksi dalam praktik. Pada proses nuklir, persentase massa yang hilang cukup besar untuk diukur; massa bahan bakar reaktor terukur lebih kecil setelah energinya dipakai.

Energi minyak, uranium, dan hidrogen adalah angka tabel energi berbagai benda dan fenomena, dan energi air panci memakai kalor jenis air 4,18 kJ/(kg·K) dari Bab 11 tentang kalor jenis. Satu barel minyak mentah bermassa 150 kg, dan fraksinya dihitung terhadap massa minyak saja. Perubahan massa dihitung dengan $\Delta m = \Delta E/c^2$. Fraksi pada proses kimia, listrik, dan termal berada di sekitar $10^{-10}$ atau lebih kecil, sedangkan fraksi nuklir jutaan sampai miliaran kali lebih besar.

Defek massa: jembatan ke fisika inti

Defek massa (mass defect) adalah selisih antara jumlah massa proton dan neutron penyusun inti dan massa inti utuhnya. Bab 33 tentang fisika nuklir menyebutnya cacat massa dan memakai $E_b = \Delta m\,c^2$, dengan 1 u setara 931,5 MeV/$c^2$, untuk menghitung energi ikat, energi peluruhan, fisi, dan fusi; fisika inti itu tidak diulang di sini. Hubungan massa dan energi dari bab ini menjelaskan mengapa inti utuh lebih ringan daripada bagian-bagiannya: energi ikat yang dilepas saat inti terbentuk membawa pergi massa $\Delta m$. Sebagai pemeriksaan silang, satu fisi U-235 melepas rata-rata 200 MeV menurut Bab 33, dan dibagi energi diam inti sekitar $235 \times 931{,}5$ MeV hasilnya $9{,}1 \times 10^{-4}$, sejalan dengan baris fisi di tabel.

Hubungan energi dan momentum; partikel tak bermassa

Dari definisi energi dan momentum relativistik diperoleh:

$E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$

dengan $E$ energi total (J), $p$ momentum relativistik (kg·m/s), dan $mc^2$ energi diam (J). Untuk benda diam, $p = 0$ dan $E = mc^2$. Pada kecepatan sangat tinggi suku $(mc^2)^2$ dapat diabaikan, sehingga $E \approx pc$. Untuk partikel tak bermassa, $m = 0$, sehingga $E = pc$ atau $p = E/c$, dan partikel itu harus bergerak tepat dengan kecepatan $c$. Foton adalah partikel tak bermassa; momentum foton dan tekanan radiasi dibahas di Bab 29 tentang cahaya sebagai partikel. Untuk elektron dengan energi kinetik $K$, $pc = \sqrt{K^2 + 2K\,mc^2}$, rumus yang mendasari panjang gelombang elektron di Bab 30 tentang gelombang materi.

Efek Doppler cahaya

Efek Doppler terjadi pada gelombang apa pun. Untuk bunyi, rumusnya bergantung pada apakah sumber, pendengar, atau udara yang bergerak, seperti di Bab 14 tentang gelombang mekanik dan bunyi. Cahaya tidak memerlukan medium, sehingga pergeseran Doppler cahaya di ruang hampa hanya bergantung pada kecepatan relatif sumber dan pengamat. Dua efek bergabung: panjang gelombang yang diukur di kerangka sumber terkontraksi bila dilihat pengamat, dan gerak sumber yang menjauh meregangkan pola gelombang dengan faktor $1 + v/c$. Hasilnya:

$\lambda_\text{obs} = \lambda_s\sqrt{\frac{1 + v/c}{1 - v/c}}, \qquad f_\text{obs} = f_s\sqrt{\frac{1 - v/c}{1 + v/c}}$

dengan $\lambda_s$ (m) dan $f_s$ (Hz) di kerangka sumber, $\lambda_\text{obs}$ dan $f_\text{obs}$ yang diterima pengamat, dan $v$ kecepatan relatif, positif bila menjauh dan negatif bila mendekat. Efek Doppler relativistik (relativistic Doppler effect) adalah perubahan panjang gelombang dan frekuensi radiasi elektromagnetik yang teramati karena gerak relatif sumber dan pengamat, tanpa bergantung pada medium. Pergeseran merah (red shift) adalah bertambah panjangnya gelombang radiasi yang teramati ketika sumber menjauhi pengamat. Pergeseran biru (blue shift) adalah berkurangnya panjang gelombang radiasi yang teramati ketika sumber mendekati pengamat.

Untuk $v \ll c$, perubahan frekuensi relatif kira-kira $-v/c$. Penerapannya berkisar dari radar Doppler pemantau badai sampai informasi tentang gerak dan jarak bintang. Pada radar, gelombang dipantulkan benda bergerak sehingga terjadi dua pergeseran berturut-turut (Contoh 6). Sensor gerak gelombang mikro pada pintu otomatis memakai prinsip pantulan yang sama. Pergeseran merah galaksi jauh, yang sebanding dengan jaraknya, menjadi pintu ke kosmologi; tafsirnya sebagai pengembangan alam semesta dibahas di Bab 41 tentang kosmologi.

Contoh kerja

Angka dalam kasus pembuka, baris 120 keV pada tabel kecepatan elektron, baris air panci pada tabel perubahan massa, dan angka dalam contoh di bawah adalah angka latihan, kecuali disebut asalnya.

Contoh 1: momentum elektron 0,985c. Dengan $m = 9{,}11 \times 10^{-31}$ kg, $\gamma = 1/\sqrt{1 - 0{,}985^2} = 5{,}80$, sehingga $p = (5{,}80)(9{,}11 \times 10^{-31})(0{,}985)(3{,}00 \times 10^8) = 1{,}56 \times 10^{-21}$ kg·m/s. Rumus klasik memberi $2{,}69 \times 10^{-22}$ kg·m/s, 5,8 kali terlalu kecil.

Contoh 2: energi diam 1,00 g. $E_0 = (1{,}00 \times 10^{-3})(3{,}00 \times 10^8)^2 = 9{,}00 \times 10^{13}$ J. Dibagi $3{,}600 \times 10^6$ J per kWh, hasilnya $2{,}5 \times 10^7$ kWh, cukup untuk hotel yang memakai 10.000 kWh per hari selama 2.500 hari, atau sekitar 6,8 tahun, bila seluruhnya dapat diubah menjadi listrik.

Contoh 3: elektron di tabung sinar-X 120 kV. Elektron dipercepat dari diam melewati 120 kV, sehingga $K = 120$ keV. Maka $\gamma = 1 + 120/511 = 1{,}235$ dan $v/c = \sqrt{1 - 1/1{,}235^2} = 0{,}587$. Rumus klasik memberi $v/c = \sqrt{2(120)/511} = 0{,}685$, 17 persen terlalu besar. Momentumnya $pc = \sqrt{120^2 + 2(120)(511)} = 370$ keV, atau $p = 1{,}98 \times 10^{-22}$ kg·m/s, sedangkan rumus klasik memberi $1{,}87 \times 10^{-22}$ kg·m/s.

Contoh 4: elektron 400 keV di mikroskop elektron transmisi. Dengan $K = 400$ keV, batas atas mikroskop elektron transmisi di Bab 30 tentang gelombang materi, $\gamma = 1 + 400/511 = 1{,}783$ dan $v/c = 0{,}828$. Rumus klasik memberi 1,25c, hasil mustahil yang menandakan rumus itu sudah tidak berlaku. Momentumnya $pc = \sqrt{400^2 + 2(400)(511)} = 754$ keV, sehingga panjang gelombangnya $1240/(7{,}54 \times 10^5) = 1{,}64 \times 10^{-3}$ nm, sejalan dengan 1,65 pm di Bab 30.

Contoh 5: aki dan bank baterai UPS. Aki 600 A·h pada 12,0 V menyimpan $(600)(3.600)(12{,}0) = 2{,}59 \times 10^7$ J, atau 7,2 kWh, sehingga massanya bertambah $2{,}59 \times 10^7/(3{,}00 \times 10^8)^2 = 2{,}88 \times 10^{-10}$ kg, atau $1{,}44 \times 10^{-9}$ persen dari 20,0 kg. Bank baterai UPS 400 kg yang menyimpan 40 kWh bertambah $1{,}44 \times 10^8/(2{,}998 \times 10^8)^2 = 1{,}6 \times 10^{-9}$ kg, atau 1,6 µg, fraksi $4{,}0 \times 10^{-12}$.

Contoh 6: Doppler pada wahana dan radar. Wahana yang menjauh 0,350c mengirim 1,50 GHz; Bumi menerima $1{,}50\sqrt{0{,}650/1{,}350} = 1{,}04$ GHz. Galaksi yang menjauh 0,825c memancarkan 0,525 m; di Bumi terukur $0{,}525\sqrt{1{,}825/0{,}175} = 1{,}70$ m. Radar 100 GHz menerima gema 15,0 kHz lebih tinggi dari kendaraan yang mendekat. Untuk dua pergeseran, dengan $\beta = v/c$, $f_\text{gema}/f = (1 + \beta)/(1 - \beta) = 1 + 1{,}5 \times 10^{-7}$, sehingga $\beta = 7{,}5 \times 10^{-8}$ dan $v = 22{,}5$ m/s, atau 81 km/jam; pendekatan $\Delta f \approx 2fv/c$ memberi hasil yang sama.

Kondisi berhenti

Hentikan pekerjaan dan serahkan kepada pabrik, petugas proteksi radiasi, fisikawan medis, atau petugas berwenang bila:

1. Pekerjaan menyentuh bagian dalam tabung sinar-X, generator tegangan tinggi, atau kolom mikroskop elektron. Energi berkas puluhan sampai ratusan kiloelektronvolt berarti tegangan puluhan sampai ratusan kilovolt; pekerjaan itu milik teknisi pabrik dan pihak berizin, seperti di Bab 32 tentang sinar-X dan Bab 33 tentang radiasi pengion.
2. Lampu peringatan radiasi menyala, kunci pengaman pintu ruang sinar-X dijembatani, atau pelindungnya rusak. Hentikan pekerjaan di ruang itu dan laporkan ke petugas proteksi radiasi sesuai Bab 33 tentang radiasi pengion.
3. Angka energi berkas, tegangan tabung, atau dosis akan dipakai untuk perizinan, kalibrasi, atau keputusan klinis. Hitungan di bab ini hanya untuk pemahaman; keputusan itu milik fisikawan medis dan petugas berwenang.
4. Bank baterai UPS membengkak, panas berlebih, atau berbau, atau ada yang ingin menimbang atau membongkar sel untuk membuktikan perubahan massa. Perubahan massa tidak dapat ditimbang, sedangkan baterai berbahaya listrik dan kimia; ikuti manual pabrik dan keselamatan baterai di Bab 2 · Otomotif & Mobilitas Listrik tentang baterai dan keselamatan tegangan tinggi.
5. Pemasok menawarkan alat "pengubah massa menjadi energi" atau penghemat listrik berbasis relativitas tanpa data uji. Tunda pembelian dan nilai klaimnya dengan panduan di Bab 35 tentang tafsir kuantum dan klaim populer.

Salah tafsir yang sering terjadi

Hubungan dengan bab lain

Bab 36 tentang relativitas khusus memberi faktor Lorentz dan waktu sejati yang dipakai di sini. Bab 5 tentang gaya, usaha, dan energi memberi energi kinetik klasik dan Bab 6 tentang momentum memberi momentum klasik sebagai batas kecepatan rendah. Bab 11 tentang kalor jenis memberi kalor jenis air, dan Bab 14 tentang gelombang mekanik dan bunyi memberi efek Doppler bunyi. Bab 29 tentang cahaya sebagai partikel membahas momentum foton, Bab 30 tentang gelombang materi membahas panjang gelombang elektron dan mikroskop elektron, Bab 32 tentang atom kuantum membahas tabung sinar-X, dan Bab 33 tentang fisika nuklir membahas cacat massa, fisi, dan fusi. Bab 40 tentang fisika partikel melanjutkan ke partikel dan antipartikel, dan Bab 41 tentang kosmologi ke pergeseran merah kosmologis.

Latihan dan pembahasan

Referensi