Momentum, impuls, dan tumbukan: gaya sesaat, kekekalan momentum, dan gaya pancaran

Seorang teknisi bekerja di atas perancah memperbaiki saluran udara pengering laundry. Tas perkakasnya, 5 kg, diikat dengan tali pendek ke pagar perancah supaya tidak jatuh menimpa orang di bawah. Tas itu tergelincir, jatuh 1 m sampai tali menegang, lalu berhenti setelah tali mulur sekitar 5 cm. Tali yang dipilih bertanda kuat menahan 50 kg, sepuluh kali berat tas. Tali itu putus.

Tali tidak putus karena berat tas, tetapi karena tas harus dihentikan dari kecepatan sekitar 4,4 m/s dalam jarak 5 cm. Untuk itu diperlukan gaya rata-rata sekitar 1.000 N, kira-kira dua puluh kali berat tas. Penjelasannya ada pada momentum dan impuls. Konsep yang sama menjelaskan mengapa selang menyentak ketika keran dibuka, mengapa pipa berdentum ketika katup ditutup cepat, dan mengapa penahan pintu dari karet lebih awet daripada dari besi.

Batas pembahasan

Bab ini membahas momentum linear, impuls, hukum Newton kedua dalam bentuk momentum, grafik gaya-waktu, kekekalan momentum, tumbukan satu dimensi, koefisien restitusi, momentum dalam dua dimensi, dan gaya akibat perubahan momentum aliran fluida. Angka gaya di bab ini menjelaskan mekanismenya dan bukan data tali, penahan jatuh, penyemprot, atau bahan penyangga tertentu.

Hukum Newton dan diagram benda bebas dibahas di Bab 3 tentang hukum Newton. Energi kinetik dan usaha dibahas di Bab 5 tentang gaya, usaha, dan energi. Momentum sudut dibahas di Bab 12 tentang gerak rotasi. Lonjakan tekanan palu air di instalasi osmosis balik dibahas lengkap di Bab 10 · Air & Pengolahan Air tentang proteksi tekanan dan palu air; bab ini hanya memberi dasar momentumnya.

Momentum

Momentum adalah hasil kali massa dan kecepatan benda:

$\vec{p} = m\,\vec{v}$

dengan $\vec{p}$ momentum, $m$ massa dalam kg, dan $\vec{v}$ kecepatan dalam m/s. Satuannya kg·m/s. Momentum adalah vektor yang arahnya sama dengan kecepatan. Troli 120 kg yang bergerak 1,5 m/s punya momentum 180 kg·m/s; troli 60 kg yang bergerak 3 m/s punya momentum yang sama besar. Keduanya memerlukan dorongan yang sama untuk dihentikan, walaupun energi kinetik troli yang lebih ringan dua kali lebih besar.

Untuk aliran fluida, momentum dinyatakan per satuan waktu. Momentum partikel fluida juga hasil kali massa dan kecepatannya. Untuk aliran tunak, laju momentum yang dibawa aliran adalah laju massa dikali kecepatan, $\dot{m}\,v = \rho\,Q\,v$, dengan $\dot{m}$ laju massa dalam kg/s, $\rho$ massa jenis fluida dalam kg/m³, dan $Q$ laju volume dalam m³/s.

Impuls dan hukum Newton dalam bentuk momentum

Hukum Newton kedua dapat ditulis sebagai laju perubahan momentum:

$\sum \vec{F} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}$

Untuk massa tetap, bentuk ini sama dengan $\sum \vec{F} = m\vec{a}$ di Bab 3. Bentuk momentum lebih berguna ketika gaya hanya bekerja sangat singkat, atau ketika massa yang bergerak berubah, seperti pada aliran fluida.

Impuls (impulse) adalah hasil kali gaya dan selang waktu kerjanya:

$\vec{J} = \vec{F}_\text{rata-rata}\,\Delta t = \Delta \vec{p}$

dengan $\vec{J}$ impuls dalam N·s, yang sama dengan kg·m/s, dan $\Delta t$ selang waktu gaya bekerja dalam sekon. Secara umum impuls adalah integral gaya impulsif terhadap waktu. Pada grafik gaya terhadap waktu, impuls adalah luas di bawah kurva. Jarum pentol yang tertancap adalah contoh perubahan momentum yang menjadi gaya tancap.

Gaya henti: mengapa waktu henti menentukan

Dari $F_\text{rata-rata} = \Delta p/\Delta t$, perubahan momentum yang sama dapat dicapai dengan gaya besar dalam waktu singkat atau gaya kecil dalam waktu lama. Bila benda harus dihentikan, perubahan momentumnya tetap, sehingga satu-satunya cara menurunkan gaya adalah memperpanjang waktu henti, atau setara dengan itu, memperpanjang jarak henti.

Prinsip ini ada di banyak perlengkapan:

• Penyangga karet di dinding lorong dan pada troli memperpanjang waktu tumbukan dari beberapa milidetik menjadi puluhan milidetik.
• Tali penahan jatuh yang dirancang untuk itu punya peredam kejut yang mulur atau robek terkendali, sehingga jarak henti menjadi puluhan sentimeter dan gaya pada tubuh atau benda dibatasi.
• Sepatu keselamatan dan helm memakai bahan yang dapat tertekan untuk memperpanjang waktu tumbukan.
• Katup yang ditutup perlahan memperpanjang waktu henti kolom air di pipa, sehingga lonjakan tekanannya kecil.

Tali biasa yang pendek dan kaku melakukan kebalikannya. Bila benda jatuh bebas setinggi $h$ lalu dihentikan dalam jarak $d$ dengan perlambatan yang dianggap tetap, gaya rata-rata pada tali adalah

$F = m\,g\left(1 + \frac{h}{d}\right)$

dengan $g = 9{,}81$ m/s², $h$ dan $d$ dalam meter. Rumus ini diturunkan dari kecepatan jatuh $v = \sqrt{2gh}$ di Bab 1 tentang gerak lurus dan perlambatan $v^2/(2d)$; suku 1 adalah berat benda yang tetap harus ditahan selama perlambatan. Perbandingan $h/d$ yang besar, seperti 1 m jatuh dan 5 cm mulur, membuat gaya puluhan kali berat. Pemilihan tali dan alat penahan jatuh mengikuti ketentuan keselamatan bekerja di ketinggian.

Kekekalan momentum

Kekekalan momentum (conservation of momentum) menyatakan bahwa bila jumlah gaya luar pada suatu sistem nol, momentum total sistem itu tetap. Gaya antarbenda di dalam sistem, menurut hukum ketiga Newton di Bab 3, selalu berpasangan sama besar dan berlawanan arah, sehingga impulsnya saling meniadakan. Dua troli yang bertabrakan saling memberi impuls yang sama besar dan berlawanan arah; momentum yang hilang dari troli pertama berpindah ke troli kedua.

Kekekalan momentum berlaku selama tumbukan berlangsung singkat, sehingga gaya luar seperti gesekan lantai tidak sempat memberi impuls berarti. Setelah tumbukan selesai, gesekan kembali memperlambat benda-benda itu, dan perlambatan itu dibahas di Bab 4 tentang gesekan.

Prinsip yang sama berlaku untuk sentakan balik. Ketika selang menyemburkan air ke depan, air mendapat momentum ke depan, dan selang mendapat momentum yang sama besar ke belakang.

Tumbukan lenting, tidak lenting, dan koefisien restitusi

Momentum selalu kekal dalam tumbukan selama gaya luar dapat diabaikan, tetapi energi kinetik tidak selalu kekal. Tumbukan digolongkan menurut nasib energi kinetiknya:

• Lenting sempurna (perfectly elastic): energi kinetik total juga kekal. Mendekati keadaan ini adalah tumbukan bola baja keras.
• Tidak lenting (inelastic): sebagian energi kinetik berubah menjadi panas, bunyi, dan deformasi.
• Tidak lenting sama sekali (perfectly inelastic): benda-benda menempel dan bergerak bersama setelah tumbukan. Energi kinetik yang hilang paling besar yang dimungkinkan oleh kekekalan momentum.

Untuk tumbukan tidak lenting sama sekali dua benda pada satu garis, dengan $v_1$ dan $v_2$ kecepatan sebelum tumbukan dan $v'$ kecepatan bersama sesudahnya:

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)\,v'$

Untuk tumbukan lenting sempurna dengan benda kedua mula-mula diam:

$v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_1, \qquad v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}\,v_1$

Kedua rumus terakhir ini diturunkan dari kekekalan momentum dan kekekalan energi kinetik. Tanda kecepatan mengikuti arah positif yang dipilih, sehingga nilai negatif berarti benda berbalik arah. Bila massanya sama, benda pertama berhenti dan benda kedua bergerak dengan kecepatan benda pertama, seperti pada mainan bandul bola berderet.

Energi kinetik yang hilang dalam tumbukan nyata pergi ke deformasi bahan. Itulah sebabnya tumbukan berulang antara troli dan sudut dinding merusak keduanya, dan penyangga yang menyerap energi melindungi dinding lebih baik daripada penyangga yang memantulkan.

Antara tumbukan lenting sempurna dan tidak lenting sama sekali ada rentang yang luas. Koefisien restitusi (coefficient of restitution) adalah perbandingan kecepatan relatif kedua benda setelah dan sebelum tumbukan, yang mengukur rentang itu:

$e = \frac{|v_2' - v_1'|}{|v_1 - v_2|}$

Nilai $e = 1$ untuk tumbukan lenting sempurna dan $e = 0$ untuk benda yang menempel. Untuk benda yang dijatuhkan ke lantai yang diam, koefisien restitusi dapat diukur tanpa alat khusus: jatuhkan dari tinggi $h_1$, ukur tinggi pantulan $h_2$, lalu $e = \sqrt{h_2/h_1}$, karena kecepatan sebanding akar ketinggian menurut rumus jatuh bebas di Bab 1. Bagian energi kinetik yang tersisa setelah pantulan adalah $e^2$.

Koefisien restitusi berguna untuk membandingkan bahan penyangga, roda, dan alas. Penyangga dengan $e$ kecil menyerap energi tumbukan dan tidak memantulkan troli kembali ke jalur; penyangga dengan $e$ besar memantulkan troli dan sebagian energinya kembali sebagai gerak. Uji pantul sederhana ini hanya untuk membandingkan bahan; nilai untuk perancangan diambil dari data pabrik bahan.

Momentum dalam dua dimensi

Momentum adalah vektor, sehingga kekekalannya berlaku per komponen. Bila dua benda bertumbukan dengan arah miring, jumlah komponen momentum mendatar sebelum dan sesudah tumbukan sama, begitu pula jumlah komponen tegaknya. Cara menghitungnya sama dengan penjumlahan vektor di Bab 2 tentang gerak dua dimensi.

Penerapan sehari-hari: troli yang menabrak dinding secara miring kehilangan komponen kecepatan yang tegak lurus dinding, tetapi komponen yang sejajar dinding tetap, sehingga troli memantul dan meluncur menyusuri dinding. Gaya pada dinding hanya ditentukan oleh perubahan komponen tegak lurusnya. Itulah alasan pelindung dinding di lorong laundry dipasang setinggi bagian troli yang menonjol, dan alasan sudut lorong lebih sering rusak daripada dinding lurus: di sudut, troli sering menumbuk tegak lurus.

Gaya pancaran fluida

Fluida yang dibelokkan atau dihentikan mengalami perubahan momentum, sehingga ada gaya antara fluida dan benda yang membelokkannya. Persamaan momentum penting diterapkan pada sudu pompa, turbin, dan kompresor, dan yang dihitung adalah bagian fluida yang momentumnya berubah.

Untuk pancaran dengan laju volume $Q$ dan kecepatan $v$ yang menabrak pelat tegak lurus dan berhenti dalam arah semula, gaya pada pelat adalah

$F = \rho\,Q\,v$

dengan $F$ dalam newton bila $\rho$ dalam kg/m³, $Q$ dalam m³/s, dan $v$ dalam m/s; untuk air dipakai $\rho = 1000$ kg/m³. Bila pancaran dibelokkan berbalik arah oleh sudu berbentuk mangkuk, perubahan kecepatannya hampir dua kali lipat, dan gayanya mendekati $2\rho Q v$. Turbin Pelton adalah turbin impuls yang mangkuknya bekerja tanpa penurunan tekanan, hanya dari perubahan momentum pancaran.

Gaya yang sama besar bekerja pada nosel sebagai sentakan balik. Untuk selang taman gaya itu kecil, tetapi untuk penyemprot bertekanan tinggi gaya itu cukup besar untuk membuat tongkat semprot menyentak ketika pemicu ditekan. Lengan semprot mesin pencuci piring yang berputar karena pancaran miring dari noselnya memanfaatkan gaya reaksi yang sama, seperti dijelaskan Bab 3 dengan hukum ketiga Newton; sistem air mesin itu dibahas di Bab 3 · Dishwashing.

Momentum kolom air dan palu air

Air yang mengalir di pipa membawa momentum $m v$, dengan $m$ massa air di pipa. Bila katup ditutup, momentum itu harus dihilangkan oleh gaya dari katup dan dinding pipa. Penutupan perlahan memberi waktu henti panjang dan gaya kecil. Penutupan cepat, seperti katup solenoid pada mesin cuci atau keran tuas, memberi waktu henti sangat singkat, dan gaya besar itu muncul sebagai lonjakan tekanan yang terdengar sebagai dentuman. Palu air (water hammer) adalah sebutan untuk lonjakan tekanan itu.

Perhitungan momentum sederhana di Contoh 4 memberi gambaran untuk penutupan yang lambat. Untuk penutupan yang sangat cepat, tekanan merambat sebagai gelombang di pipa dan perhitungannya memakai cepat rambat gelombang; Bab 10 · Air & Pengolahan Air membahas perhitungan itu beserta peredamnya.

Contoh kerja

Angka dalam contoh di bawah adalah angka latihan, kecuali disebut asalnya. Percepatan gravitasi $g = 9{,}81$ m/s² dan massa jenis air 1000 kg/m³.

Contoh 1: Tas perkakas pada tali pendek. Tas 5 kg jatuh 1 m: kecepatannya $\sqrt{2 \times 9{,}81 \times 1} = 4{,}43$ m/s. Dihentikan dalam 0,05 m, perlambatan rata-ratanya $4{,}43^2/(2 \times 0{,}05) = 196$ m/s². Gaya tali $5 \times (196 + 9{,}81) = 1.030$ N, atau $mg(1 + h/d) = 49{,}05 \times 21 = 1.030$ N, sekitar 21 kali berat tas. Tali bertanda 50 kg (sekitar 490 N) putus.

Contoh 2: Tumbukan lenting dengan massa berbeda. Bola 1 kg pada 2 m/s menumbuk lenting bola 3 kg yang diam. Setelah tumbukan, $v_1' = (1-3)/4 \times 2 = -1$ m/s, berbalik arah, dan $v_2' = 2 \times 1/4 \times 2 = 1$ m/s. Pemeriksaan momentum: $1 \times (-1) + 3 \times 1 = 2$ kg·m/s, sama dengan sebelum tumbukan. Pemeriksaan energi: $\tfrac{1}{2}(1)(1) + \tfrac{1}{2}(3)(1) = 2$ J, sama dengan $\tfrac{1}{2}(1)(4) = 2$ J.

Contoh 3: Tongkat penyemprot bertekanan tinggi. Penyemprot 50 bar menghasilkan pancaran dengan kecepatan ideal $\sqrt{2 \times 5 \times 10^6/1000} = 100$ m/s pada 12 L/menit ($2 \times 10^{-4}$ m³/s). Gaya sentakannya $1000 \times 2 \times 10^{-4} \times 100 = 20$ N, cukup untuk membuat tongkat menyentak bila dipegang satu tangan. Kecepatan ideal mengabaikan rugi di nosel, sehingga angka ini batas atas.

Contoh 4: Momentum kolom air. Pipa 25 mm sepanjang 20 m berisi $1000 \times 4{,}91 \times 10^{-4} \times 20 = 9{,}8$ kg air yang mengalir 2 m/s. Momentumnya $19{,}6$ kg·m/s. Bila katup menghentikan aliran perlahan dalam 0,5 s, gaya rata-ratanya $19{,}6/0{,}5 = 39$ N, setara tekanan rata-rata $39/(4{,}91 \times 10^{-4}) = 80$ kPa atau 0,8 bar di atas tekanan kerja. Penutupan jauh lebih cepat menghasilkan lonjakan yang jauh lebih besar dan dihitung dengan cara di Bab 10 · Air & Pengolahan Air.

Contoh 5: Impuls dari grafik gaya-waktu. Sensor gaya mencatat tumbukan rak ke penghenti konveyor sebagai segitiga dengan puncak 2.000 N selama 0,01 s. Impulsnya adalah luas segitiga, $\tfrac{1}{2} \times 2000 \times 0{,}01 = 10$ N·s. Bila rak 10 kg, perubahan kecepatannya $10/10 = 1$ m/s.

Contoh 6: Uji pantul penyangga. Bola uji dijatuhkan dari 1,00 m ke dua bahan penyangga. Pada bahan pertama bola memantul 0,64 m, sehingga $e = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8$ dan energi yang tersisa $0{,}8^2 = 64$ persen. Pada bahan kedua bola memantul 0,09 m, sehingga $e = 0{,}3$ dan energi yang tersisa 9 persen. Bahan kedua menyerap jauh lebih banyak energi tumbukan dan lebih cocok sebagai penyangga troli.

Kondisi berhenti

Hentikan pekerjaan dan laporkan kepada pengawas pekerjaan bila salah satu keadaan berikut ditemukan:

1. Benda di ketinggian ditahan dengan tali atau pengikat yang tidak dirancang untuk menahan jatuh. Contoh 1 menunjukkan gaya sentakan dapat puluhan kali berat. Gunakan perlengkapan penahan jatuh yang sesuai dan ikuti ketentuan bekerja di ketinggian serta Bab 1 · Keselamatan tentang bahaya, risiko, energi tersimpan, dan kondisi berhenti.
2. Penyemprot bertekanan tinggi dipakai tanpa pegangan dua tangan, atau pancarannya dapat mengenai orang. Gaya sentakan dan pancaran itu sendiri dapat melukai.
3. Pipa berdentum setiap kali katup menutup. Lonjakan tekanan berulang merusak sambungan dan selang; periksa menurut Bab 10 · Air & Pengolahan Air sebelum memasang perangkat lain pada jalur itu.

Salah tafsir yang sering terjadi

Hubungan dengan bab lain

Bab 3 tentang hukum Newton menyediakan bentuk gaya dan hukum ketiga yang menjadi dasar kekekalan momentum, dan menjelaskan gaya reaksi pada lengan semprot dan selang. Bab 5 tentang gaya, usaha, dan energi membahas energi kinetik yang dipakai untuk menggolongkan tumbukan. Bab 1 tentang gerak lurus memberi kecepatan jatuh, Bab 2 tentang gerak dua dimensi memberi penjumlahan vektor, dan Bab 4 tentang gesekan menjelaskan perlambatan sesudah tumbukan. Bab 12 tentang gerak rotasi melanjutkan ke momentum sudut. Bab 10 · Air & Pengolahan Air tentang proteksi tekanan membahas palu air, Bab 3 · Dishwashing tentang sistem air mesin pencuci piring membahas lengan semprotnya, dan Bab 1 · Keselamatan tentang bahaya dan energi tersimpan membahas kondisi berhenti.

Latihan dan pembahasan

Untuk setiap soal, tuliskan arah positif, persamaan, satuan, dan anggapan yang dipakai.