Hukum Newton dan diagram benda bebas: massa, berat, gaya normal, dan tegangan tali

Dua teknisi sebuah hotel akan menggantung unit pengering tangan seberat 50 kg pada dua tali kawat dari balok di atasnya. Balok itu tinggi, dan supaya tali tidak terlalu panjang, kedua ujung tali diikat jauh ke kiri dan ke kanan sehingga tali hampir mendatar. Masing-masing tali bertanda batas beban 100 kg. Dua tali, masing-masing 100 kg, untuk beban 50 kg: kelihatannya aman dua kali lipat. Diagram benda bebas sederhana menunjukkan sebaliknya. Pada tali yang membentuk 80° dari tegak, tegangan setiap tali sekitar 1.400 N, setara hampir tiga kali berat unitnya, dan jauh di atas batas tali.

Kesalahan seperti ini tidak berasal dari kurang hati-hati, tetapi dari intuisi bahwa gaya pada tali sama dengan berat yang digantung. Intuisi itu hanya benar untuk tali tegak. Bab ini membangun cara berpikir yang lebih andal: tiga hukum Newton dan diagram benda bebas.

Batas pembahasan

Bab ini membahas hukum pertama, kedua, dan ketiga Newton, massa dan berat, gaya normal, tegangan tali, diagram benda bebas, berat semu pada alat angkat, bidang miring licin, benda yang terhubung, dan hukum kedua untuk gerak melingkar.

Kinematika yang dipakai di sini ada di Bab 1 tentang gerak lurus dan Bab 2 tentang gerak dua dimensi dan gerak melingkar. Gesekan dibahas di Bab 4 tentang gesekan dan hambatan gerak; di bab ini semua permukaan dianggap licin. Bab 5 tentang gaya, usaha, dan energi membahas usaha dan energi, dan Bab 7 tentang pesawat sederhana memakai kesetimbangan momen. Bab 1 · Bangunan & Fasilitas tentang beban, elemen struktur, dan jalur gaya membahas jalur gaya pada elemen struktur. Batas beban kerja alat angkat dan perlengkapannya adalah ketentuan keselamatan yang dirujuk di bagian kondisi berhenti, bukan diturunkan di sini.

Hukum pertama: kelembaman

Benda yang diam tetap diam, dan benda yang bergerak lurus dengan kecepatan tetap tetap bergerak seperti itu, selama jumlah gaya yang bekerja padanya nol. Kelembaman (inertia) adalah sifat benda untuk mempertahankan keadaan geraknya itu. Mungkinkah ada gerak tanpa gaya? Jawabannya ya. Gaya diperlukan untuk mengubah gerak, bukan untuk mempertahankannya.

Troli yang didorong di lantai berhenti bila dilepas, sehingga kesannya gerak membutuhkan gaya. Yang terjadi adalah gesekan dan hambatan roda bekerja melawan gerak, sehingga jumlah gayanya tidak nol. Di permukaan yang sangat licin, misalnya keping hoki di atas es, benda yang dilepas terus meluncur hampir tanpa melambat.

Kerangka acuan inersia (inertial frame of reference) adalah kerangka acuan tempat hukum pertama berlaku, yaitu kerangka yang tidak dipercepat. Lantai bengkel cukup dekat dengan kerangka inersia untuk pekerjaan teknik. Bagian dalam drum yang berputar atau kabin alat angkat yang sedang dipercepat bukan kerangka inersia, dan di sana muncul pengaruh yang terasa seperti gaya tambahan, misalnya gaya sentrifugal yang dibahas di Bab 2 tentang gerak dua dimensi dan gerak melingkar.

Hukum kedua: gaya total dan percepatan

Bila jumlah gaya pada benda tidak nol, benda dipercepat searah jumlah gaya itu:

$\sum \vec{F} = m\,\vec{a}$

dengan $\sum \vec{F}$ jumlah vektor semua gaya luar pada benda dalam newton, $m$ massa benda dalam kilogram, dan $\vec{a}$ percepatannya dalam m/s². Newton (N) adalah satuan gaya: 1 N adalah gaya yang mempercepat 1 kg sebesar 1 m/s². Ada dua hal yang sering terlewat. Pertama, yang menentukan percepatan adalah jumlah vektor semua gaya, bukan gaya terbesar. Kedua, persamaan ini berlaku per komponen: $\sum F_x = m a_x$ dan $\sum F_y = m a_y$. Kesetimbangan (equilibrium) adalah keadaan benda yang diam atau bergerak dengan kecepatan tetap, yaitu keadaan dengan $\sum \vec{F} = 0$.

Massa dan berat

Massa (mass) adalah ukuran kelembaman benda, dalam kilogram, dan tidak bergantung pada tempat. Berat (weight) adalah gaya gravitasi pada benda:

$W = m\,g$

dalam newton, dengan $g \approx 9{,}81$ m/s² di permukaan bumi. Di lapangan, kata "berat 50 kg" sebenarnya menyebut massa. Itu tidak masalah selama perhitungan gaya dilakukan dalam newton: beban bermassa 50 kg punya berat sekitar 490 N. Timbangan gantung dan timbangan lantai mengukur gaya, lalu membaginya dengan $g$ untuk menampilkan kilogram. Karena itu timbangan memberi angka yang salah bila dipakai di benda yang sedang dipercepat, seperti diperlihatkan di Contoh 1.

Hukum ketiga: pasangan aksi dan reaksi

Bila benda A memberi gaya pada benda B, maka B memberi gaya yang sama besar dan berlawanan arah pada A. Kedua gaya itu bekerja pada benda yang berbeda, sehingga tidak saling meniadakan dalam diagram benda bebas satu benda.

Salah tafsir yang paling sering adalah menganggap gaya normal meja sebagai reaksi dari berat balok. Reaksi terhadap berat balok adalah gaya tarik balok pada bumi. Gaya normal (normal force) adalah gaya dorong permukaan pada benda yang menyentuhnya, tegak lurus permukaan itu; pada balok di atas meja, gaya normal adalah gaya meja pada balok, dan reaksinya adalah gaya tekan balok pada meja. Gaya normal sama besar dengan berat hanya dalam keadaan khusus: balok diam di permukaan mendatar dan tidak ada gaya tegak lain. Di bidang miring, di alat angkat yang dipercepat, atau bila balok ditekan dari atas, gaya normal berbeda dari berat.

Hukum ketiga menjelaskan mengapa lengan semprot berputar, mengapa selang yang menyemburkan air menyentak ke belakang, dan mengapa baut angkur di dinding harus menahan gaya yang sama besar dengan gaya yang diterima braket. Setiap gaya pada peralatan punya pasangan pada sesuatu yang lain, dan pasangan itu juga harus ditahan.

Diagram benda bebas

Diagram benda bebas (free-body diagram) adalah gambar satu benda yang dipisahkan dari sekitarnya, dengan semua gaya luar yang bekerja padanya. Pada lampu yang digantung rantai, diagram itu memuat berat lampu ke bawah dan gaya rantai pada lampu ke atas. Reaksi terhadap tegangan rantai pada lampu adalah tarikan lampu pada rantai, bukan berat lampu. Notasi baku yang dipakai di sini adalah $N$ untuk gaya normal, $f$ untuk gaya gesek, dan $T$ untuk tegangan tali.

Langkah-langkahnya:

1. Pilih bendanya. Satu benda atau satu kelompok benda yang bergerak bersama. Tuliskan pilihan itu.
2. Gambar benda sebagai titik atau kotak sederhana, terpisah dari tali, lantai, dan dinding.
3. Gambar setiap gaya luar sebagai panah dari benda: berat ke bawah; gaya normal tegak lurus permukaan sentuh, menjauhi permukaan; tegangan tali sepanjang tali, menjauhi benda; gaya dorong atau tarik sesuai arahnya. Gaya yang diberikan benda pada sekitarnya tidak digambar.
4. Pilih sumbu. Untuk bidang miring, sumbu sejajar dan tegak lurus bidang biasanya paling mudah.
5. Tulis hukum kedua per komponen, lalu selesaikan.
6. Periksa hasil, karena kesalahan sering dapat dideteksi dengan cara itu. Pemeriksaan praktis: satuan; tanda; kasus batas, misalnya sudut nol atau percepatan nol; dan kewajaran angka.

Tegangan tali (tension) adalah gaya tarik yang disalurkan tali pada benda di ujungnya, sepanjang arah tali. Tali yang ringan dan tidak mulur menyalurkan tegangan yang sama di sepanjang tali. Tali hanya dapat menarik, tidak dapat mendorong. Katrol licin yang ringan mengubah arah tali tanpa mengubah tegangannya. Ketiga anggapan ini dipakai di bab ini dan juga di Bab 7 tentang pesawat sederhana.

Sudut tali dan sling

Untuk beban bermassa $m$ yang digantung simetris oleh dua tali yang masing-masing membentuk sudut $\theta$ terhadap garis tegak, komponen tegak kedua tali harus menahan berat:

$2\,T\cos\theta = m\,g \quad\Longrightarrow\quad T = \frac{m\,g}{2\cos\theta}$

dengan $T$ tegangan setiap tali dalam newton. Pada $\theta = 0$, setiap tali menahan separuh berat. Pada $\theta = 60°$, setiap tali menahan seluruh berat. Mendekati 90°, $\cos\theta$ mendekati nol dan tegangan membesar tanpa batas. Komponen mendatar kedua tali saling meniadakan, tetapi tetap menarik titik ikat ke dalam; titik ikat itu harus menahan gaya mendatar $T\sin\theta$.

Rumus ini menjelaskan mengapa pedoman pengangkatan memakai faktor sudut sling dan membatasi sudut antara kaki sling. Angka batas yang berlaku adalah angka pada perlengkapan angkat dan pedoman keselamatan setempat; bab ini hanya menunjukkan asal fisikanya.

Berat semu pada alat angkat

Berat semu (apparent weight) adalah gaya yang ditahan kabel atau ditunjukkan timbangan pada benda yang dipercepat; besarnya berbeda dari $mg$. Beban bermassa $m$ yang digantung pada kabel alat angkat yang dipercepat ke atas dengan percepatan $a$ memenuhi $T - mg = ma$, sehingga

$T = m\,(g + a)$

dengan $a$ besar percepatan dalam m/s². Kabel menahan lebih dari berat beban selama percepatan ke atas, dan juga selama beban yang sedang turun diperlambat. Sebaliknya, saat beban dipercepat ke bawah atau diperlambat ketika naik, $T = m(g - a)$, lebih kecil daripada berat. Timbangan gantung di antara kabel dan beban membaca $T/g$, bukan massa beban. Tarikan mendadak, misalnya kabel kendur yang tiba-tiba tegang, memberi percepatan sesaat yang sangat besar, sehingga tegangannya dapat jauh melampaui berat.

Bidang miring licin dan benda yang terhubung

Pada bidang miring licin bersudut $\theta$, berat diuraikan menjadi komponen sejajar bidang $mg\sin\theta$ dan tegak lurus bidang $mg\cos\theta$. Gaya normal mengimbangi komponen tegak lurus, $N = mg\cos\theta$, dan komponen sejajar mempercepat benda menuruni bidang dengan $a = g\sin\theta$. Bab 7 tentang pesawat sederhana membahas bidang miring sebagai pesawat sederhana; bab ini menambahkan percepatannya. Pengaruh gesekan pada bidang miring dibahas di Bab 4 tentang gesekan dan hambatan gerak.

Benda yang terhubung, misalnya dua troli yang dirangkai, dapat dianalisis dengan dua cara. Cara pertama memperlakukan rangkaian sebagai satu benda untuk mencari percepatannya. Cara kedua memisahkan setiap benda dan menggambar diagram benda bebasnya untuk mencari gaya di sambungan. Hasil keduanya harus cocok, dan pencocokan itu adalah pemeriksaan yang baik.

Hukum kedua untuk gerak melingkar

Bab 2 tentang gerak dua dimensi dan gerak melingkar menunjukkan bahwa benda yang bergerak melingkar dengan kelajuan tetap punya percepatan $\omega^2 r$ ke arah pusat. Menurut hukum kedua, percepatan itu memerlukan gaya total ke arah pusat sebesar

$\sum F_\text{ke pusat} = m\,\omega^2 r$

dengan $\omega$ kecepatan sudut dalam rad/s dan $r$ jari-jari lintasan dalam meter. Gaya ini bukan jenis gaya baru. Ia adalah jumlah gaya-gaya biasa yang kebetulan mengarah ke pusat: dorongan dinding drum, tegangan tali, gesekan, atau berat. Diagram benda bebas untuk benda yang berputar digambar seperti biasa, lalu jumlah komponen ke arah pusat disamakan dengan $m\omega^2 r$.

Linen di dalam drum mesin cuci adalah contoh yang jelas. Di titik tertinggi drum, berat dan dorongan dinding sama-sama mengarah ke pusat, sehingga $N + mg = m\omega^2 r$. Dinding hanya dapat mendorong, jadi $N$ tidak boleh negatif. Bila $m\omega^2 r$ lebih kecil daripada $mg$, persamaan itu meminta $N$ negatif, yang tidak mungkin; artinya linen lepas dari dinding sebelum mencapai puncak dan jatuh. Itulah aksi jatuh pada putaran cuci. Bila $\omega^2 r$ lebih besar daripada $g$, dinding terus mendorong linen dan linen ikut berputar menempel. Batas di antara keduanya, $\omega^2 r = g$, adalah kecepatan kritis yang dibahas di Bab 10 · Laundry tentang washer-extractor. Pada putaran peras, dinding drum mendorong linen ke pusat dengan gaya ratusan kali beratnya, sedangkan air di dalam linen tidak ditahan apa pun ketika berada di depan lubang drum, sehingga air bergerak lurus keluar.

Contoh kerja

Angka dalam contoh di bawah adalah angka latihan, kecuali disebut asalnya.

Contoh 1: alat angkat dan timbangan gantung. Beban linen bermassa 200 kg diangkat dengan percepatan 0,5 m/s² ke atas. Tegangan kabel $T = 200 \times (9{,}81 + 0{,}5) = 2.062$ N, lebih besar 5,1 persen daripada beratnya, 1.962 N. Timbangan gantung di antara kabel dan beban menunjukkan $2062/9{,}81 = 210$ kg. Saat beban yang naik diperlambat 0,5 m/s², tegangannya $200 \times 9{,}31 = 1.862$ N dan timbangan menunjukkan 190 kg. Penimbangan dilakukan setelah beban diam.

Contoh 2: sudut tali pada kasus pembuka. Unit 50 kg digantung dua tali simetris. Berat 490,5 N. Pada sudut 30° dari tegak, $T = 490{,}5/(2\cos 30°) = 283$ N per tali. Pada 60°, $T = 490{,}5$ N, sama dengan seluruh berat. Pada 80°, $T = 490{,}5/(2\cos 80°) = 1.412$ N, setara gaya berat 144 kg pada setiap tali, melampaui batas tali 100 kg. Memendekkan jarak titik ikat sehingga tali lebih tegak menyelesaikan masalah tanpa mengganti tali.

Contoh 3: kotak di bidang miring licin. Kotak bermassa 30 kg berada di bidang miring licin 20°. Komponen berat sejajar bidang $30 \times 9{,}81 \times \sin 20° = 100{,}7$ N, gaya normal $30 \times 9{,}81 \times \cos 20° = 276{,}6$ N, dan percepatan menuruni bidang $9{,}81 \sin 20° = 3{,}36$ m/s². Untuk menahan kotak diam, diperlukan gaya 100,7 N sejajar bidang ke atas, bukan gaya sebesar beratnya.

Contoh 4: dua troli dirangkai. Penarik menarik dua troli bermassa 60 kg dan 40 kg dengan gaya total 40 N. Sebagai satu benda, percepatannya $40/100 = 0{,}4$ m/s². Diagram benda bebas troli belakang yang 40 kg hanya punya satu gaya mendatar, yaitu tarikan sambungan, sehingga tegangan sambungan $40 \times 0{,}4 = 16$ N. Pemeriksaan pada troli depan: $40 - 16 = 24$ N mempercepat 60 kg sebesar 0,4 m/s². Cocok.

Contoh 5: reaksi pada dinding. Braket di dinding menahan pompa 20 kg pada jarak tertentu dari dinding. Dari hukum ketiga, braket menekan dan menarik dinding dengan gaya yang sama besar dengan gaya dinding pada braket. Baut angkur bagian atas menerima tarikan, bagian bawah menerima tekanan. Besarnya bergantung pada kesetimbangan momen yang dibahas di Bab 7 tentang pesawat sederhana dan di Bab 8 tentang kesetimbangan statik; yang perlu dicatat di sini adalah bahwa gaya-gaya itu ada dan harus ditahan dinding.

Contoh 6: selembar handuk di dalam drum. Handuk basah bermassa 2 kg berada di dinding drum berjari-jari 0,3 m. Pada 45 rpm, $\omega = 4{,}71$ rad/s, sehingga gaya ke pusat yang diperlukan $2 \times 4{,}71^2 \times 0{,}3 = 13{,}3$ N. Beratnya 19,6 N, lebih besar daripada 13,3 N, sehingga di puncak drum handuk lepas dari dinding dan jatuh. Pada 1.000 rpm, gaya ke pusat yang diperlukan $2 \times 104{,}7^2 \times 0{,}3 = 6.580$ N, sekitar 335 kali beratnya, dan gaya itu diberikan dinding drum.

Kondisi berhenti

Hentikan pekerjaan dan laporkan kepada pengawas pekerjaan bila:

1. Tegangan tali, sling, atau rantai yang dihitung melampaui batas beban kerja yang tertera pada perlengkapan, atau batas itu tidak terbaca. Contoh 2 menunjukkan bahwa sudut dapat melipatgandakan tegangan.
2. Beban akan diangkat dengan sentakan, kabel kendur, atau cara yang menimbulkan percepatan mendadak. Tegangan sesaat dapat jauh di atas berat beban.
3. Ada orang di bawah beban gantung atau di jalur jatuhnya. Prinsip kondisi berhenti dan isolasi energi mengikuti Bab 1 · Keselamatan tentang bahaya, risiko, dan energi tersimpan.
4. Titik ikat atau angkur tidak diketahui kekuatannya. Gaya mendatar dari tali miring juga menarik titik ikat.

Salah tafsir yang sering terjadi

Hubungan dengan bab lain

Bab 1 tentang gerak lurus dan Bab 2 tentang gerak dua dimensi dan gerak melingkar menyediakan percepatan dan geraknya. Bab 4 tentang gesekan dan hambatan gerak menambahkan gesekan dan hambatan. Bab 5 tentang gaya, usaha, dan energi menghubungkan gaya dengan usaha dan energi, Bab 7 tentang pesawat sederhana memakai kesetimbangan momen untuk pesawat sederhana, dan Bab 8 tentang kesetimbangan statik menghitung gaya pada baut braket. Bab 1 · Bangunan & Fasilitas tentang beban, elemen struktur, dan jalur gaya membahas jalur gaya pada struktur. Bab 10 · Laundry tentang washer-extractor menerapkan gaya pada drum yang berputar, dan Bab 1 · Keselamatan tentang bahaya, risiko, dan energi tersimpan menjadi dasar Kondisi berhenti 3.

Latihan dan pembahasan

Untuk setiap soal, gambar diagram benda bebas, tuliskan sumbu dan persamaan, lalu periksa hasilnya.