Gerak dua dimensi dan gerak melingkar: komponen vektor, proyektil, dan percepatan sentripetal

Di sebuah laundry, air buangan mesin cuci dialirkan lewat pipa terbuka ke saluran lantai. Setelah pompa buang diganti dengan yang lebih kuat, lantai di sekitar saluran selalu basah. Air tidak bocor; air melompati kisi saluran. Ujung pipa berada 0,5 m di atas lantai, dan air keluar mendatar dengan kecepatan sekitar 2 m/s. Selama jatuh setinggi 0,5 m, air juga terus bergerak mendatar, dan mendarat sekitar 0,64 m dari ujung pipa, melewati kisi yang hanya selebar 0,3 m.

Masalah seperti ini tidak dapat diselesaikan dengan gerak lurus saja, karena air bergerak mendatar dan tegak sekaligus. Hal yang sama berlaku untuk semprotan nosel, percikan dari mesin gerinda, sabuk yang berjalan di puli, dan linen yang berputar di drum.

Batas pembahasan

Bab ini memperluas kinematika ke bidang dua dimensi dan ke gerak melingkar: komponen dan penjumlahan vektor, kecepatan relatif, gerak proyektil tanpa hambatan udara, gerak melingkar beraturan beserta percepatan sentripetalnya, serta percepatan sudut dan tangensial. Angka batas putaran dan kecepatan keliling peralatan tidak ditetapkan di sini; yang berlaku adalah tanda pada cakram dan mesin.

Besaran gerak pada satu garis, persamaan berpercepatan tetap, dan jatuh bebas dibahas di Bab 1 tentang besaran vektor dan gerak lurus, dan dipakai di sini tanpa diulang. Gaya yang menyebabkan percepatan sentripetal dibahas di Bab 3 tentang hukum Newton dan Bab 4 tentang gesekan dan hambatan gerak. Faktor G, kecepatan kritis drum, dan ekstraksi pada mesin cuci-peras dibahas di Bab 10 · Laundry tentang washer-extractor; bab ini hanya memberi dasar kinematikanya. Torsi, daya, dan rasio transmisi puli ada di Bab 1 · Mekanikal & Mekatronika tentang gaya, torsi, putaran, dan transmisi daya.

Vektor dalam dua dimensi

Pada bidang, arah tidak cukup dinyatakan dengan tanda plus atau minus. Komponen vektor (vector component) adalah bagian vektor yang searah dengan satu sumbu; vektor pada bidang diuraikan menjadi dua komponen tegak lurus, biasanya mendatar ($x$) dan tegak ($y$). Vektor $\vec{A}$ dengan besar $A$ yang membentuk sudut $\theta$ terhadap sumbu $x$ punya komponen

$A_x = A\cos\theta, \qquad A_y = A\sin\theta$

dengan $A_x$ dan $A_y$ bersatuan sama dengan $A$, dan $\theta$ diukur dari sumbu $x$ positif. Sebaliknya, dari komponennya, besar dan arah vektor adalah

$A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}, \qquad \tan\theta = \frac{A_y}{A_x}$

Saat menghitung sudut dari tangen, periksa kuadran dari tanda kedua komponen. Komponen $(-3, -4)$ dan $(3, 4)$ memberi tangen yang sama, tetapi arahnya berlawanan.

Dua vektor dijumlahkan dengan menjumlahkan komponen yang sejenis. Perpindahan 3 m ke timur lalu 4 m ke utara menghasilkan perpindahan total $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ m pada arah 53,1° dari timur ke utara. Jarak tempuhnya 7 m. Bila 3 m ke timur itu jarak dari panel ke mesin dan 4 m ke utara jarak dari mesin ke saluran, kabel yang ditarik lurus dari panel ke saluran cukup 5 m, sedangkan kabel yang mengikuti dinding membutuhkan 7 m ditambah cadangan.

Kecepatan relatif

Kecepatan selalu diukur terhadap sesuatu. Kecepatan relatif (relative velocity) benda A terhadap benda B adalah kecepatan A seperti dilihat dari B:

$\vec{v}_{AB} = \vec{v}_A - \vec{v}_B$

dengan kedua kecepatan diukur terhadap acuan yang sama, misalnya lantai. Pada contoh dua mobil, pengamat yang diam mengukur kecepatan mobil yang lebih cepat 60 mi/jam, sedangkan pengemudi mobil yang lebih lambat melihat mobil itu bergerak jauh lebih pelan.

Di lapangan, kecepatan relatif muncul ketika sesuatu dilempar, dijatuhkan, atau disemprotkan dari benda yang sedang bergerak. Benda yang dilepas dari troli yang melaju membawa kecepatan troli. Semprotan dari lengan semprot yang berputar membawa kecepatan ujung lengan. Orang yang menyeberangi konveyor yang bergerak dilihat oleh konveyor sebagai bergerak miring.

Gerak proyektil: dua gerak lurus sekaligus

Proyektil (projectile) adalah benda yang setelah dilepas hanya dipengaruhi gravitasi: pancaran air, baut yang terlempar, percikan dari gerinda. Bila hambatan udara diabaikan, gerak mendatar dan gerak tegaknya tidak saling memengaruhi:

• Arah mendatar tidak punya percepatan, sehingga $x = x_0 + v_{0x}\,t$.
• Arah tegak punya percepatan $-g$, sehingga $y = y_0 + v_{0y}\,t - \tfrac{1}{2}g\,t^2$ dan $v_y = v_{0y} - g\,t$.

Di sini $v_{0x}$ dan $v_{0y}$ adalah komponen mendatar dan tegak kecepatan awal, dengan arah ke atas positif. Kedua gerak berbagi waktu yang sama. Itulah kunci setiap soal proyektil: cari waktu dari arah yang memberi informasi cukup, biasanya arah tegak, lalu pakai waktu itu di arah mendatar. Dari kedua persamaan ini lintasan proyektil berbentuk parabola, dan waktu sering dicari dengan menyelesaikan persamaan kuadrat.

Untuk benda yang dilepas mendatar dari ketinggian $h$, waktu jatuhnya sama dengan jatuh bebas, $t = \sqrt{2h/g}$, dan jarak mendatarnya $R = v_0\,t$, dengan $v_0$ kecepatan mendatar awal. Kecepatan mendatar tidak memperlambat atau mempercepat jatuhnya. Benda yang dilempar mendatar dan benda yang dijatuhkan dari ketinggian yang sama menyentuh lantai bersamaan.

Untuk proyektil yang ditembakkan dengan kecepatan $v_0$ pada sudut $\theta$ di atas mendatar dan mendarat pada ketinggian yang sama, jangkauan dan tinggi maksimumnya adalah

$R = \frac{v_0^2\sin 2\theta}{g}, \qquad H = \frac{(v_0\sin\theta)^2}{2g}$

dengan $R$ jarak mendatar dalam meter dan $H$ tinggi maksimum di atas titik lepas. Rumus jangkauan ini hanya berlaku bila titik lepas dan titik jatuh sama tinggi. Pancaran dari pipa yang berada di atas lantai harus dihitung dengan persamaan komponen secara langsung.

Hambatan udara diabaikan dalam semua rumus di atas. Untuk baut atau percikan logam, anggapan ini cukup baik pada jarak pendek. Pancaran air yang panjang pecah menjadi butiran yang diperlambat udara, sehingga jangkauan nyatanya lebih pendek daripada hitungan. Hitungan tanpa hambatan memberi batas atas yang berguna untuk menentukan jarak aman.

Gerak melingkar beraturan

Gerak melingkar beraturan (uniform circular motion) adalah gerak benda pada lingkaran dengan kelajuan tetap. Periode (period) $T$ adalah waktu satu putaran, dan frekuensi (frequency) $f = 1/T$ adalah banyaknya putaran per detik. Di lapangan, putaran biasanya dinyatakan dalam putaran per menit (rpm), $n$. Kecepatan sudut (angular velocity) adalah sudut yang ditempuh per detik; dalam radian per detik besarnya

$\omega = 2\pi f = \frac{2\pi n}{60}$

Titik pada jari-jari $r$ bergerak dengan kecepatan keliling (tangential speed) $v = \omega r$, dengan $r$ dalam meter dan $v$ dalam m/s. Arah kecepatan itu selalu menyinggung lingkaran, sehingga arahnya terus berubah walaupun besarnya tetap. Perubahan arah adalah perubahan kecepatan, jadi benda dalam gerak melingkar beraturan selalu dipercepat. Percepatan sentripetal (centripetal acceleration) adalah percepatan itu, yang mengarah ke pusat lingkaran:

$a_\text{c} = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$

dalam m/s². Percepatan radial ini selalu tegak lurus kecepatan. Karena tegak lurus, percepatan itu hanya mengubah arah, tidak mengubah besar kecepatan. Bila kelajuan juga berubah, misalnya saat drum dipercepat dari putaran cuci ke putaran peras, muncul komponen percepatan kedua yang menyinggung lintasan, disebut percepatan tangensial. Percepatan totalnya adalah jumlah vektor kedua komponen.

Dua sifat rumus $a_\text{c} = \omega^2 r$ terus dipakai di lapangan. Pertama, percepatan sebanding kuadrat putaran: putaran dua kali lipat memberi percepatan empat kali lipat. Kedua, pada putaran yang sama, percepatan sebanding jari-jari: titik di tepi drum mengalami percepatan lebih besar daripada titik dekat poros.

Percepatan sentripetal di peralatan

Faktor G (G-factor) adalah percepatan sentripetal di dinding drum mesin cuci-peras dibagi percepatan gravitasi, $G = \omega^2 r/g$, menurut definisi di Bab 10 · Laundry tentang washer-extractor. Rumus itu adalah rumus percepatan sentripetal yang dinyatakan dalam kelipatan $g$. Pada putaran cuci, $G$ dijaga di bawah 1 agar linen terangkat lalu jatuh; pada putaran peras, $G$ dibuat ratusan agar air terlempar keluar melalui lubang drum. Bab 10 · Laundry membahas batas kecepatan kritis dan kadar air sisa; di sini cukup dicatat bahwa keduanya berasal dari rumus yang sama.

Puli dan sabuk memakai kecepatan keliling. Sabuk yang tidak selip bergerak dengan kecepatan sama dengan kecepatan keliling puli, $v = \omega r$, sehingga dua puli yang dihubungkan sabuk punya kecepatan keliling yang sama dan putaran yang berbanding terbalik dengan jari-jarinya. Bab 1 · Mekanikal & Mekatronika tentang gaya, torsi, putaran, dan transmisi daya memakai hubungan ini untuk rasio transmisi.

Batu gerinda, cakram potong, dan kipas punya batas kecepatan keliling, bukan hanya batas putaran. Kecepatan keliling naik sebanding diameter, sehingga cakram yang lebih besar pada mesin yang sama melampaui batasnya lebih cepat. Angka batas yang berlaku adalah angka yang tercetak pada cakram dan mesin.

Percepatan sudut dan percepatan tangensial

Gerak melingkar di mesin jarang beraturan sepanjang waktu. Drum dipercepat dari putaran cuci ke putaran peras, puli konveyor dihidupkan dan dihentikan, kipas berhenti perlahan setelah daya diputus. Percepatan sudut (angular acceleration) adalah laju perubahan kecepatan sudut selama kecepatan itu berubah:

$\alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t}$

dalam rad/s². Percepatan tangensial (tangential acceleration) adalah komponen percepatan yang menyinggung lintasan. Titik pada jari-jari $r$ mengalami percepatan tangensial $a_\text{t} = \alpha r$ yang searah atau berlawanan arah dengan geraknya, di samping percepatan sentripetal $\omega^2 r$ yang mengarah ke pusat. Kedua komponen saling tegak lurus, sehingga besar percepatan totalnya $\sqrt{a_\text{t}^2 + a_\text{c}^2}$.

Persamaan gerak berpercepatan tetap dari Bab 1 tentang gerak lurus berlaku juga untuk gerak sudut, dengan sudut menggantikan posisi, $\omega$ menggantikan kecepatan, dan $\alpha$ menggantikan percepatan. Misalnya, sudut yang ditempuh drum selama dipercepat dari $\omega_0$ ke $\omega$ dengan percepatan sudut tetap adalah $\tfrac{1}{2}(\omega_0 + \omega)\,t$ radian, dan jumlah putarannya adalah sudut itu dibagi $2\pi$.

Pada drum mesin cuci, percepatan tangensial selama ramp jauh lebih kecil daripada percepatan sentripetal pada putaran penuh, seperti diperlihatkan Contoh 6. Yang membebani bantalan dan rangka selama ramp adalah ketidakseimbangan muatan yang ikut berputar makin cepat; topik itu dibahas di Bab 23 tentang dinamika rotor dan di Bab 10 · Laundry tentang washer-extractor.

Semprotan dari lengan yang berputar

Lengan semprot mesin pencuci piring berputar sambil menyemprotkan air ke atas. Air yang keluar dari nosel membawa dua kecepatan sekaligus: kecepatan pancaran terhadap nosel dan kecepatan keliling nosel itu sendiri. Terhadap rangka mesin, kecepatan air adalah jumlah vektor keduanya. Karena kecepatan keliling menyinggung lingkaran putar, pancaran yang keluar tegak lurus terhadap lengan miring sedikit ke arah putaran.

Kemiringan itu kecil tetapi nyata. Untuk nosel pada jari-jari 0,2 m yang berputar 60 rpm, kecepatan kelilingnya $2\pi \times 1 \times 0{,}2 = 1{,}26$ m/s. Bila air keluar tegak 6 m/s terhadap nosel, kecepatan air terhadap rangka $\sqrt{6^2 + 1{,}26^2} = 6{,}13$ m/s dengan kemiringan $\arctan(2\pi \times 1 \times 0{,}2/6) = 11{,}8°$ dari tegak. Akibatnya, permukaan piring yang menghadap arah putaran menerima pancaran yang lebih langsung daripada sisi sebaliknya. Cara lengan semprot berputar akibat gaya reaksi pancaran adalah persoalan gaya yang dibahas di Bab 3 tentang hukum Newton. Pompa cuci dan lengan semprot dibahas di Bab 3 · Dishwashing tentang sistem air mesin pencuci piring.

Contoh kerja

Angka dalam contoh di bawah adalah angka latihan, kecuali disebut asalnya.

Contoh 1: air buangan yang melompati saluran. Ujung pipa di pembuka bab 0,5 m di atas lantai, air keluar mendatar 2,0 m/s. Waktu jatuh $t = \sqrt{2 \times 0{,}5/9{,}81} = 0{,}319$ s, dan jarak mendatar $R = 2{,}0 \times 0{,}319 = 0{,}64$ m. Bila ujung pipa diturunkan menjadi 0,1 m di atas kisi, waktu jatuh menjadi 0,143 s dan jarak mendatar 0,29 m, masih di dalam kisi selebar 0,3 m. Memperpanjang pipa sampai ke dalam saluran atau memasang siku ke bawah adalah penyelesaian yang lebih pasti.

Contoh 2: kecepatan relatif pada troli. Troli bergerak 1,5 m/s. Benda dilempar dari troli ke depan dengan kecepatan 0,4 m/s terhadap troli; terhadap lantai, kecepatannya 1,9 m/s. Bila dilempar ke belakang, kecepatannya terhadap lantai 1,1 m/s, masih ke depan. Orang yang berdiri di lantai melihat benda yang "dilempar ke belakang" itu tetap bergerak menjauh ke arah depan.

Contoh 3: pancaran miring. Air disemprotkan pada 30° di atas mendatar dengan kecepatan 8 m/s dan mendarat pada ketinggian yang sama. Jangkauannya $R = 8^2 \sin 60°/9{,}81 = 5{,}65$ m, tinggi maksimumnya $H = (8 \times 0{,}5)^2/(2 \times 9{,}81) = 0{,}82$ m, dan waktu terbangnya $2 \times 8 \times 0{,}5/9{,}81 = 0{,}82$ s. Jangkauan nyata pancaran air lebih pendek karena hambatan udara, sehingga 5,65 m adalah batas atas untuk menentukan daerah percikan bahan kimia.

Contoh 4: drum pada putaran peras dan putaran cuci. Drum berdiameter 0,6 m berputar 1.000 rpm. Kecepatan sudut $\omega = 2\pi \times 1000/60 = 104{,}7$ rad/s, kecepatan keliling dinding $104{,}7 \times 0{,}3 = 31{,}4$ m/s, percepatan sentripetal $104{,}7^2 \times 0{,}3 = 3.290$ m/s², dan $G = 3290/9{,}81 = 335$. Pada 45 rpm, $\omega = 4{,}71$ rad/s, percepatan 6,66 m/s², dan $G = 0{,}68$: linen tidak menempel, sehingga terangkat lalu jatuh. Cara memakai faktor G ada di Bab 10 · Laundry tentang washer-extractor.

Contoh 5: cakram gerinda. Cakram 125 mm pada gerinda 11.000 rpm punya kecepatan keliling $\pi \times 0{,}125 \times 11000/60 = 72$ m/s. Bila cakram itu bertanda batas 80 m/s, batasnya terpenuhi. Pada mesin 13.300 rpm, kecepatan kelilingnya menjadi 87 m/s dan melampaui batas. Putaran paling tinggi yang boleh untuk cakram 125 mm bertanda 80 m/s adalah $80 \times 60/(\pi \times 0{,}125) = 12.200$ rpm. Yang berlaku adalah tanda pada cakram dan mesin yang dipakai.

Contoh 6: ramp drum dari putaran cuci ke putaran peras. Drum berjari-jari 0,3 m dipercepat dari 45 rpm ke 1.000 rpm dalam 60 s dengan percepatan sudut yang dianggap tetap. Kecepatan sudut naik dari 4,71 menjadi 104,7 rad/s, sehingga $\alpha = (104{,}7 - 4{,}71)/60 = 1{,}67$ rad/s². Percepatan tangensial di dinding drum $1{,}67 \times 0{,}3 = 0{,}50$ m/s², sedangkan percepatan sentripetal pada 1.000 rpm 3.290 m/s². Jumlah putaran selama ramp $\tfrac{1}{2}(4{,}71 + 104{,}7) \times 60/(2\pi) = 522$ putaran.

Kondisi berhenti

Hentikan pekerjaan dan laporkan kepada pengawas pekerjaan bila:

1. Drum, puli, atau poros yang berputar perlu disentuh atau diukur dari dekat. Tunggu sampai berhenti penuh dan kunci energi menurut Bab 1 · Keselamatan tentang bahaya, risiko, dan energi tersimpan; drum mesin cuci-peras punya interlock pintu dan waktu henti yang dibahas di Bab 10 · Laundry tentang washer-extractor.
2. Cakram gerinda atau potong bertanda batas putaran atau kecepatan keliling lebih rendah daripada mesin yang dipakai, atau tandanya tidak terbaca. Jangan dipakai.
3. Pancaran air panas atau larutan kimia dapat mencapai orang di luar daerah kerja. Hitung jangkauan paling jauh seperti Contoh 3, pasang penghalang, dan pakai pelindung wajah. K3 bahan kimia di laundry dibahas di Bab 21 · Laundry tentang K3 laundry.
4. Seseorang perlu menyeberang konveyor yang sedang bergerak. Menyeberang konveyor yang bergerak dilarang; gunakan jalur penyeberangan (Latihan 2).

Salah tafsir yang sering terjadi

Hubungan dengan bab lain

Bab 1 tentang besaran vektor dan gerak lurus memberi persamaan gerak lurus yang dipakai di setiap komponen. Bab 3 tentang hukum Newton dan Bab 4 tentang gesekan dan hambatan gerak menjelaskan gaya yang menyediakan percepatan sentripetal, misalnya gesekan antara benda dan permukaan yang berputar. Bab 10 · Laundry tentang washer-extractor memakai percepatan sentripetal untuk faktor G dan kecepatan kritis drum, dan Bab 23 tentang dinamika rotor membahas ketidakseimbangan muatan drum. Bab 1 · Mekanikal & Mekatronika tentang gaya, torsi, putaran, dan transmisi daya memakai kecepatan keliling untuk rasio transmisi. Bab 1 · Keselamatan tentang energi tersimpan dan Bab 21 · Laundry tentang K3 laundry menjadi dasar Kondisi berhenti 1 dan 3, dan Bab 3 · Dishwashing tentang sistem air mesin pencuci piring membahas lengan semprot.

Latihan dan pembahasan

Untuk setiap soal, tuliskan sistem sumbu, persamaan, satuan, dan anggapan yang dipakai.