Gerak dua dimensi dan gerak melingkar: komponen vektor, proyektil, dan percepatan sentripetal

Di sebuah laundry, air buangan mesin cuci dialirkan lewat pipa terbuka ke saluran lantai. Setelah pompa buang diganti dengan yang lebih kuat, lantai di sekitar saluran selalu basah. Air tidak bocor; air melompati kisi saluran. Ujung pipa berada 0,5 m di atas lantai, dan air keluar mendatar dengan kecepatan sekitar 2 m/s. Selama jatuh setinggi 0,5 m, air juga terus bergerak mendatar, dan mendarat sekitar 0,64 m dari ujung pipa, melewati kisi yang hanya selebar 0,3 m.

Masalah seperti ini tidak dapat diselesaikan dengan gerak lurus saja, karena air bergerak mendatar dan tegak sekaligus. Hal yang sama berlaku untuk semprotan nosel, percikan dari mesin gerinda, sabuk yang berjalan di puli, dan linen yang berputar di drum. Bab ini memperluas kinematika ke bidang dua dimensi dan ke gerak melingkar.

Batas pembahasan

Bab ini membahas komponen dan penjumlahan vektor, kecepatan relatif, gerak proyektil tanpa hambatan udara, dan gerak melingkar beraturan beserta percepatan sentripetalnya. Sumber pemilik adalah narasi disiplin Fisika Teknik yang memuat bab gerak dua dimensi dari buku teks fisika untuk sains dan teknik.

Besaran gerak pada satu garis, persamaan berpercepatan tetap, dan jatuh bebas dibahas di bab sebelumnya dan dipakai di sini tanpa diulang. Gaya yang menyebabkan percepatan sentripetal dibahas di bab hukum Newton dan bab gesekan. Faktor G, kecepatan kritis drum, dan ekstraksi pada mesin cuci-peras dibahas di Bab 10 · Laundry; bab ini hanya memberi dasar kinematikanya. Torsi, daya, dan rasio transmisi puli ada di Bab 1 · Mekanikal & Mekatronika.

Vektor dalam dua dimensi

Pada bidang, arah tidak cukup dinyatakan dengan tanda plus atau minus. Vektor diuraikan menjadi dua komponen tegak lurus, biasanya mendatar ($x$) dan tegak ($y$). Vektor $\vec{A}$ dengan besar $A$ yang membentuk sudut $\theta$ terhadap sumbu $x$ punya komponen

$A_x = A\cos\theta, \qquad A_y = A\sin\theta$

Sebaliknya, dari komponennya, besar dan arah vektor adalah

$A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}, \qquad \tan\theta = \frac{A_y}{A_x}$

Saat menghitung sudut dari tangen, periksa kuadran dari tanda kedua komponen. Komponen $(-3, -4)$ dan $(3, 4)$ memberi tangen yang sama, tetapi arahnya berlawanan.

Dua vektor dijumlahkan dengan menjumlahkan komponen yang sejenis. Perpindahan 3 m ke timur lalu 4 m ke utara menghasilkan perpindahan total $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ m pada arah 53,1° dari timur ke utara. Jarak tempuhnya 7 m. Buku sumber memakai contoh serupa dengan bola yang dilempar di lapangan untuk melatih perhitungan besar perpindahan resultan.

Kecepatan relatif

Kecepatan selalu diukur terhadap sesuatu. Kecepatan benda A terhadap benda B adalah

$\vec{v}_{AB} = \vec{v}_A - \vec{v}_B$

dengan kedua kecepatan diukur terhadap acuan yang sama, misalnya lantai. Buku sumber memberi contoh dua mobil: pengamat yang diam mengukur kecepatan mobil yang lebih cepat 60 mi/jam, sedangkan pengemudi mobil yang lebih lambat melihat mobil itu bergerak jauh lebih pelan.

Di lapangan, kecepatan relatif muncul ketika sesuatu dilempar, dijatuhkan, atau disemprotkan dari benda yang sedang bergerak. Benda yang dilepas dari troli yang melaju membawa kecepatan troli. Semprotan dari lengan semprot yang berputar membawa kecepatan ujung lengan. Orang yang menyeberangi konveyor yang bergerak dilihat oleh konveyor sebagai bergerak miring.

Gerak proyektil: dua gerak lurus sekaligus

Proyektil adalah benda yang setelah dilepas hanya dipengaruhi gravitasi: pancaran air, baut yang terlempar, percikan dari gerinda. Bila hambatan udara diabaikan, gerak mendatar dan gerak tegaknya tidak saling memengaruhi:

• Arah mendatar tidak punya percepatan, sehingga $x = x_0 + v_{0x}\,t$.
• Arah tegak punya percepatan $-g$, sehingga $y = y_0 + v_{0y}\,t - \tfrac{1}{2}g\,t^2$ dan $v_y = v_{0y} - g\,t$.

Kedua gerak berbagi waktu yang sama. Itulah kunci setiap soal proyektil: cari waktu dari arah yang memberi informasi cukup, biasanya arah tegak, lalu pakai waktu itu di arah mendatar. Buku sumber menunjukkan bahwa dari kedua persamaan ini lintasan proyektil adalah parabola, dan bahwa waktu sering dicari dengan menyelesaikan persamaan kuadrat.

Untuk benda yang dilepas mendatar dari ketinggian $h$, waktu jatuhnya sama dengan jatuh bebas, $t = \sqrt{2h/g}$, dan jarak mendatarnya $R = v_0\,t$. Kecepatan mendatar tidak memperlambat atau mempercepat jatuhnya. Benda yang dilempar mendatar dan benda yang dijatuhkan dari ketinggian yang sama menyentuh lantai bersamaan.

Untuk proyektil yang ditembakkan dengan kecepatan $v_0$ pada sudut $\theta$ di atas mendatar dan mendarat pada ketinggian yang sama, jangkauan dan tinggi maksimumnya adalah

$R = \frac{v_0^2\sin 2\theta}{g}, \qquad H = \frac{(v_0\sin\theta)^2}{2g}$

Buku sumber memakai contoh proyektil yang ditembakkan pada 30°. Rumus jangkauan ini hanya berlaku bila titik lepas dan titik jatuh sama tinggi. Pancaran dari pipa yang berada di atas lantai harus dihitung dengan persamaan komponen secara langsung.

Hambatan udara diabaikan dalam semua rumus di atas. Untuk baut atau percikan logam, anggapan ini cukup baik pada jarak pendek. Pancaran air yang panjang pecah menjadi butiran yang diperlambat udara, sehingga jangkauan nyatanya lebih pendek daripada hitungan. Hitungan tanpa hambatan memberi batas atas yang berguna untuk menentukan jarak aman.

Gerak melingkar beraturan

Benda yang bergerak pada lingkaran dengan kelajuan tetap melakukan gerak melingkar beraturan. Waktu satu putaran disebut periode $T$, dan banyaknya putaran per detik disebut frekuensi $f = 1/T$. Di lapangan, putaran biasanya dinyatakan dalam putaran per menit (rpm), $n$. Kecepatan sudut dalam radian per detik adalah

$\omega = 2\pi f = \frac{2\pi n}{60}$

Titik pada jari-jari $r$ bergerak dengan kecepatan keliling $v = \omega r$. Arah kecepatan itu selalu menyinggung lingkaran, sehingga arahnya terus berubah walaupun besarnya tetap. Perubahan arah adalah perubahan kecepatan, jadi benda dalam gerak melingkar beraturan selalu dipercepat. Percepatan itu mengarah ke pusat lingkaran dan disebut percepatan sentripetal:

$a_\text{c} = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$

Buku sumber menekankan bahwa percepatan radial ini selalu tegak lurus kecepatan. Karena tegak lurus, percepatan itu hanya mengubah arah, tidak mengubah besar kecepatan. Bila kelajuan juga berubah, misalnya saat drum dipercepat dari putaran cuci ke putaran peras, muncul komponen percepatan kedua yang menyinggung lintasan, disebut percepatan tangensial. Percepatan totalnya adalah jumlah vektor kedua komponen.

Dua sifat rumus $a_\text{c} = \omega^2 r$ sangat penting di lapangan. Pertama, percepatan sebanding kuadrat putaran: putaran dua kali lipat memberi percepatan empat kali lipat. Kedua, pada putaran yang sama, percepatan sebanding jari-jari: titik di tepi drum mengalami percepatan lebih besar daripada titik dekat poros.

Percepatan sentripetal di peralatan

Bab 10 · Laundry mendefinisikan faktor G drum mesin cuci-peras sebagai percepatan sentripetal di dinding drum dibagi percepatan gravitasi, $G = \omega^2 r/g$. Rumus itu adalah rumus percepatan sentripetal yang dinyatakan dalam kelipatan $g$. Pada putaran cuci, $G$ dijaga di bawah 1 agar linen terangkat lalu jatuh; pada putaran peras, $G$ dibuat ratusan agar air terlempar keluar melalui lubang drum. Bab 10 · Laundry membahas batas kecepatan kritis dan kadar air sisa; di sini cukup dicatat bahwa keduanya berasal dari rumus yang sama.

Puli dan sabuk memakai kecepatan keliling. Sabuk yang tidak selip bergerak dengan kecepatan sama dengan kecepatan keliling puli, $v = \omega r$, sehingga dua puli yang dihubungkan sabuk punya kecepatan keliling yang sama dan putaran yang berbanding terbalik dengan jari-jarinya. Bab 1 · Mekanikal & Mekatronika memakai hubungan ini untuk rasio transmisi.

Batu gerinda, cakram potong, dan kipas punya batas kecepatan keliling, bukan hanya batas putaran. Kecepatan keliling naik sebanding diameter, sehingga cakram yang lebih besar pada mesin yang sama melampaui batasnya lebih cepat. Pemahaman ini bersifat editorial; angka batas yang berlaku adalah angka yang tercetak pada cakram dan mesin.

Percepatan sudut dan percepatan tangensial

Gerak melingkar di mesin jarang beraturan sepanjang waktu. Drum dipercepat dari putaran cuci ke putaran peras, puli konveyor dihidupkan dan dihentikan, kipas berhenti perlahan setelah daya diputus. Selama kecepatan sudut berubah, ada percepatan sudut

$\alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t}$

dalam rad/s². Titik pada jari-jari $r$ lalu mengalami percepatan tangensial $a_\text{t} = \alpha r$ yang searah atau berlawanan arah dengan geraknya, di samping percepatan sentripetal $\omega^2 r$ yang mengarah ke pusat. Kedua komponen saling tegak lurus, sehingga besar percepatan totalnya $\sqrt{a_\text{t}^2 + a_\text{c}^2}$.

Persamaan gerak berpercepatan tetap dari bab sebelumnya berlaku juga untuk gerak sudut, dengan sudut menggantikan posisi, $\omega$ menggantikan kecepatan, dan $\alpha$ menggantikan percepatan. Misalnya, sudut yang ditempuh drum selama dipercepat dari $\omega_0$ ke $\omega$ dengan percepatan sudut tetap adalah $\tfrac{1}{2}(\omega_0 + \omega)\,t$ radian, dan jumlah putarannya adalah sudut itu dibagi $2\pi$.

Pada drum mesin cuci, percepatan tangensial selama ramp jauh lebih kecil daripada percepatan sentripetal pada putaran penuh, seperti diperlihatkan Contoh 8. Yang membebani bantalan dan rangka selama ramp adalah ketidakseimbangan muatan yang ikut berputar makin cepat; topik itu dibahas di tingkat lanjut rak ini dan di Bab 10 · Laundry.

Semprotan dari lengan yang berputar

Lengan semprot mesin pencuci piring berputar sambil menyemprotkan air ke atas. Air yang keluar dari nosel membawa dua kecepatan sekaligus: kecepatan pancaran terhadap nosel dan kecepatan keliling nosel itu sendiri. Terhadap rangka mesin, kecepatan air adalah jumlah vektor keduanya. Karena kecepatan keliling menyinggung lingkaran putar, pancaran yang keluar tegak lurus terhadap lengan miring sedikit ke arah putaran.

Kemiringan itu kecil tetapi nyata. Untuk nosel pada jari-jari 0,2 m yang berputar 60 rpm, kecepatan kelilingnya $2\pi \times 1 \times 0{,}2 = 1{,}26$ m/s. Bila air keluar tegak 6 m/s terhadap nosel, kecepatan air terhadap rangka $\sqrt{6^2 + 1{,}26^2} = 6{,}13$ m/s dengan kemiringan $\arctan(1{,}26/6) = 11{,}8°$ dari tegak. Akibatnya, permukaan piring yang menghadap arah putaran menerima pancaran yang lebih langsung daripada sisi sebaliknya. Penalaran ini adalah penerapan editorial kecepatan relatif; cara lengan semprot berputar akibat gaya reaksi pancaran adalah persoalan gaya yang dibahas di bab hukum Newton. Sistem air mesin pencuci piring dibahas di Bab 3 · Dishwashing.

Contoh kerja

Contoh 1. Air buangan yang melompati saluran. Ujung pipa 0,5 m di atas lantai, air keluar mendatar 2,0 m/s. Waktu jatuh $t = \sqrt{2 \times 0{,}5/9{,}81} = 0{,}319$ s, dan jarak mendatar $R = 2{,}0 \times 0{,}319 = 0{,}64$ m. Bila ujung pipa diturunkan menjadi 0,1 m di atas kisi, waktu jatuh menjadi 0,143 s dan jarak mendatar 0,29 m, masih di dalam kisi selebar 0,3 m. Memperpanjang pipa sampai ke dalam saluran atau memasang siku ke bawah adalah penyelesaian yang lebih pasti.

Contoh 2. Resultan perpindahan. Teknisi berjalan 3 m ke timur dari panel ke mesin, lalu 4 m ke utara ke saluran. Perpindahannya 5 m pada arah 53,1° dari timur ke utara. Kabel yang ditarik lurus dari panel ke saluran cukup 5 m, sedangkan kabel yang mengikuti dinding membutuhkan 7 m ditambah cadangan.

Contoh 3. Kecepatan relatif pada troli. Troli bergerak 1,5 m/s. Benda dilempar dari troli ke depan dengan kecepatan 0,4 m/s terhadap troli; terhadap lantai, kecepatannya 1,9 m/s. Bila dilempar ke belakang, kecepatannya terhadap lantai 1,1 m/s, masih ke depan. Orang yang berdiri di lantai melihat benda yang "dilempar ke belakang" itu tetap bergerak menjauh ke arah depan.

Contoh 4. Pancaran miring. Air disemprotkan pada 30° di atas mendatar dengan kecepatan 8 m/s dan mendarat pada ketinggian yang sama. Jangkauannya $R = 8^2 \sin 60°/9{,}81 = 5{,}65$ m, tinggi maksimumnya $H = (8 \times 0{,}5)^2/(2 \times 9{,}81) = 0{,}82$ m, dan waktu terbangnya $2 \times 8 \times 0{,}5/9{,}81 = 0{,}82$ s. Jangkauan nyata pancaran air lebih pendek karena hambatan udara, sehingga 5,65 m adalah batas atas untuk menentukan daerah percikan bahan kimia.

Contoh 5. Drum pada putaran peras dan putaran cuci. Drum berdiameter 0,6 m berputar 1.000 rpm. Kecepatan sudut $\omega = 2\pi \times 1000/60 = 104{,}7$ rad/s, kecepatan keliling dinding $104{,}7 \times 0{,}3 = 31{,}4$ m/s, percepatan sentripetal $104{,}7^2 \times 0{,}3 = 3.290$ m/s², dan $G = 3290/9{,}81 = 335$. Pada 45 rpm, $\omega = 4{,}71$ rad/s, percepatan 6,66 m/s², dan $G = 0{,}68$: linen tidak menempel, sehingga terangkat lalu jatuh. Ukuran drum adalah angka latihan; cara memakai faktor G ada di Bab 10 · Laundry.

Contoh 6. Puli konveyor. Puli berdiameter 0,3 m berputar 120 rpm. Kecepatan keliling $v = 2\pi \times 0{,}15 \times 120/60 = 1{,}88$ m/s, sehingga sabuk yang tidak selip bergerak 1,88 m/s. Percepatan sentripetal di permukaan puli $1{,}88^2/0{,}15 = 23{,}7$ m/s².

Contoh 7. Cakram gerinda. Cakram 125 mm pada gerinda 11.000 rpm punya kecepatan keliling $\pi \times 0{,}125 \times 11000/60 = 72$ m/s. Bila cakram itu bertanda batas 80 m/s, batasnya terpenuhi. Pada mesin 13.300 rpm, kecepatan kelilingnya menjadi 87 m/s dan melampaui batas. Putaran paling tinggi yang boleh untuk cakram 125 mm bertanda 80 m/s adalah $80 \times 60/(\pi \times 0{,}125) = 12.200$ rpm. Angka mesin dan cakram adalah angka latihan; yang berlaku adalah tanda pada cakram dan mesin yang dipakai.

Contoh 8. Ramp drum dari putaran cuci ke putaran peras. Drum berjari-jari 0,3 m dipercepat dari 45 rpm ke 1.000 rpm dalam 60 s dengan percepatan sudut yang dianggap tetap. Kecepatan sudut naik dari 4,71 menjadi 104,7 rad/s, sehingga $\alpha = (104{,}7 - 4{,}71)/60 = 1{,}67$ rad/s². Percepatan tangensial di dinding drum $1{,}67 \times 0{,}3 = 0{,}50$ m/s², sedangkan percepatan sentripetal pada 1.000 rpm 3.290 m/s². Jumlah putaran selama ramp $\tfrac{1}{2}(4{,}71 + 104{,}7) \times 60/(2\pi) = 522$ putaran. Waktu ramp dan putaran adalah angka latihan.

Kondisi berhenti

Hentikan pekerjaan bila:

1. Drum, puli, atau poros yang berputar perlu disentuh atau diukur dari dekat. Tunggu sampai berhenti penuh dan kunci energi menurut Bab 1 · Keselamatan; drum mesin cuci-peras punya interlock pintu dan waktu henti yang dibahas di Bab 10 · Laundry.
2. Cakram gerinda atau potong bertanda batas putaran atau kecepatan keliling lebih rendah daripada mesin yang dipakai, atau tandanya tidak terbaca. Jangan dipakai.
3. Pancaran air panas atau larutan kimia dapat mencapai orang di luar daerah kerja. Hitung jangkauan paling jauh seperti Contoh 4, pasang penghalang, dan pakai pelindung wajah. K3 bahan kimia di laundry dibahas di Bab 21 · Laundry.

Salah tafsir yang sering terjadi

"Benda yang berputar dengan kelajuan tetap tidak dipercepat." Arah kecepatannya terus berubah, sehingga ada percepatan sentripetal ke arah pusat.

"Gaya sentrifugal mendorong air keluar dari drum." Dilihat dari lantai, air keluar karena tidak ada lagi gaya yang memaksanya berbelok setelah melewati lubang drum; air lalu bergerak lurus menyinggung lintasannya. Dilihat dari dalam drum yang berputar, pengaruh itu terasa seperti gaya ke luar. Kedua cara bicara memberi hasil hitung yang sama selama dipakai konsisten, seperti istilah gaya sentrifugal di Bab 10 · Laundry.

"Putaran dua kali lipat menggandakan faktor G." Percepatan sentripetal sebanding kuadrat putaran, jadi faktor G menjadi empat kali lipat.

"Kecepatan mendatar proyektil berkurang selama terbang." Tanpa hambatan udara, komponen mendatar tetap. Yang berubah hanya komponen tegak.

"Sudut 45° selalu memberi jangkauan paling jauh." Itu hanya berlaku bila titik lepas dan titik jatuh sama tinggi dan hambatan udara diabaikan.

"Benda yang dilempar mendatar jatuh lebih lama." Waktu jatuh hanya ditentukan oleh gerak tegak, sama dengan benda yang dijatuhkan dari ketinggian yang sama.

Hubungan dengan bab lain

Bab sebelumnya memberi persamaan gerak lurus yang dipakai di setiap komponen. Bab hukum Newton dan bab gesekan menjelaskan gaya yang menyediakan percepatan sentripetal, misalnya gesekan antara benda dan permukaan yang berputar. Bab 10 · Laundry memakai percepatan sentripetal untuk faktor G dan kecepatan kritis drum. Bab 1 · Mekanikal & Mekatronika memakai kecepatan keliling untuk rasio transmisi.

Latihan dan pembahasan

Untuk setiap soal, tuliskan sistem sumbu, persamaan, satuan, dan anggapan yang dipakai. Angka dalam soal adalah angka latihan.

1. Uraikan perpindahan 6 m ke timur dan 8 m ke utara menjadi satu vektor: berapa besar dan arahnya?
2. Orang menyeberangi konveyor selebar 1,2 m dengan berjalan tegak lurus terhadap arah konveyor 0,5 m/s, sementara konveyor bergerak 1,2 m/s. Berapa kecepatan orang itu terhadap konveyor, dan mengapa ini berbahaya bila tangannya menyentuh konveyor?
3. Sebuah baut terlempar mendatar 1,5 m/s dari meja kerja setinggi 0,8 m. Berapa lama waktu jatuhnya dan berapa jauh ia mendarat dari tepi meja?
4. Drum berdiameter 0,7 m berputar 800 rpm. Hitung kecepatan sudut, kecepatan keliling dinding, dan faktor G. Berapa faktor G bila putarannya dua kali lipat?
5. Pancaran air 10 m/s ditembakkan dari dan mendarat pada ketinggian yang sama. Bandingkan jangkauan pada 45° dan 30°.
6. Motor 1.450 rpm memutar puli berdiameter 0,1 m yang dihubungkan sabuk ke puli berdiameter 0,4 m. Berapa kecepatan sabuk dan putaran puli besar, bila sabuk tidak selip?

Kunci jawaban beralasan

1. Besarnya $\sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ m dan arahnya $\arctan(8/6) = 53{,}1°$ dari timur ke utara. Jarak tempuhnya 14 m bila ditempuh dalam dua ruas.
2. Terhadap konveyor, orang itu bergerak 0,5 m/s menyeberang dan 1,2 m/s berlawanan arah konveyor, sehingga besarnya $\sqrt{0{,}5^2 + 1{,}2^2} = 1{,}3$ m/s. Tangan yang menyentuh konveyor ditarik dengan beda kecepatan 1,2 m/s ke titik jepit di ujung konveyor. Menyeberang konveyor yang bergerak dilarang; gunakan jalur penyeberangan.
3. $t = \sqrt{2 \times 0{,}8/9{,}81} = 0{,}40$ s. $R = 1{,}5 \times 0{,}40 = 0{,}61$ m dari tepi meja.
4. $\omega = 2\pi \times 800/60 = 83{,}8$ rad/s, $v = 83{,}8 \times 0{,}35 = 29{,}3$ m/s, $G = 83{,}8^2 \times 0{,}35/9{,}81 = 250$. Pada putaran dua kali lipat, $G = 4 \times 250 \approx 1.000$, karena faktor G sebanding kuadrat putaran.
5. Pada 45°, $R = 10^2 \times \sin 90°/9{,}81 = 10{,}2$ m. Pada 30°, $R = 10^2 \times \sin 60°/9{,}81 = 8{,}8$ m. Jangkauan pada 60° juga 8,8 m karena $\sin 120° = \sin 60°$.
6. Kecepatan sabuk $v = 2\pi \times 0{,}05 \times 1450/60 = 7{,}6$ m/s. Puli besar punya kecepatan keliling yang sama, sehingga putarannya $1450 \times 0{,}1/0{,}4 = 362{,}5$ rpm. Rasio transmisi dibahas di Bab 1 · Mekanikal & Mekatronika.

Referensi