Besaran vektor dan gerak lurus: posisi, perpindahan, kecepatan, percepatan, dan grafik gerak

Seorang teknisi mesin pencuci piring konveyor diminta memeriksa keluhan: gelas dari mesin itu kadang masih berbusa. Manual menyebut zona bilas panjangnya 0,6 m, dan pelanggan baru saja mengubah kecepatan konveyor ke setelan cepat. Teknisi tidak perlu membongkar apa pun untuk memulai. Ia mengukur kecepatan rak dengan meteran dan stopwatch: rak menempuh 1,6 m dalam satu menit. Dari dua angka itu ia tahu berapa lama setiap gelas berada di bawah semprotan bilas, dan apakah waktu itu masih masuk akal.

Pertanyaan "berapa lama benda berada di suatu tempat" dan "seberapa cepat benda berhenti" muncul di banyak pekerjaan lapangan: troli linen yang direm di lorong, beban yang diangkat katrol, rak yang bergerak di konveyor, alat yang jatuh dari tangga. Semua itu dijawab oleh kinematika, cabang fisika yang menggambarkan gerak tanpa lebih dulu menanyakan penyebabnya. Bab ini membangun kinematika untuk gerak pada satu garis lurus.

Batas pembahasan

Bab ini membahas besaran skalar dan vektor, posisi, perpindahan, jarak tempuh, kecepatan, kelajuan, percepatan, grafik gerak, persamaan gerak berpercepatan tetap, jatuh bebas, dan cara menurunkan kecepatan dari data posisi. Sumber pemilik untuk topik ini adalah narasi disiplin Fisika Teknik, yang memuat bab kinematika dari buku teks fisika untuk sains dan teknik serta buku Fisika Dasar.

Gerak dua dimensi, lintasan proyektil, dan gerak melingkar dibahas di bab berikutnya. Penyebab perubahan gerak, yaitu gaya, dibahas di bab hukum Newton. Bab 2 · Satuan & Matematika menjelaskan cara membaca fungsi dan grafik, dan Bab 3 · Satuan & Matematika menjelaskan satuan serta konversinya; bab ini memakai keduanya tanpa mengulang. Ketidakpastian pengukuran yang dipakai di bagian data sensor dibahas lengkap di Bab 1 · Data & Pengukuran.

Skalar dan vektor

Sebagian besaran cukup dinyatakan dengan satu angka dan satuannya: massa 20 kg, suhu 60 °C, waktu 22 s. Besaran seperti itu disebut skalar. Besaran lain baru lengkap bila arahnya juga disebut: troli bergerak 3 m ke arah pintu, dan angka 3 m saja belum cukup. Besaran yang punya besar dan arah disebut vektor. Salah satu buku sumber mengingatkan bahwa definisi pertama yang biasa dikenal tentang vektor memang besaran dengan besar dan arah.

Untuk gerak pada satu garis lurus, arah cukup dinyatakan dengan tanda. Kita memilih satu titik nol dan satu arah positif, misalnya ke arah keluar mesin. Posisi di sisi positif bertanda plus, posisi di sisi sebaliknya bertanda minus. Pilihan ini bebas, tetapi harus dinyatakan dan dipakai konsisten dalam satu soal. Banyak kesalahan hitung lapangan bukan berasal dari rumus, tetapi dari tanda yang berganti makna di tengah jalan.

Posisi, perpindahan, dan jarak tempuh

Posisi $x$ adalah letak benda terhadap titik nol yang dipilih. Perpindahan adalah perubahan posisi:

$\Delta x = x_\text{akhir} - x_\text{awal}$

Perpindahan adalah vektor, sehingga tandanya penting. Contoh dari buku sumber: benda yang bergerak dari $x = -3$ satuan ke $x = 5$ satuan mengalami perpindahan 8 satuan. Bila benda kembali ke posisi awalnya, perpindahannya nol walaupun ia sudah bergerak jauh.

Jarak tempuh adalah panjang lintasan yang benar-benar dilalui, selalu positif, dan merupakan skalar. Troli linen yang didorong 15 m ke ruang setrika lalu kembali 15 m ke ruang cuci menempuh jarak 30 m dengan perpindahan nol. Untuk menilai keausan roda, yang relevan adalah jarak tempuh. Untuk menilai di mana troli berada sekarang, yang relevan adalah posisi.

Kecepatan dan kelajuan

Kecepatan rata-rata adalah perpindahan dibagi selang waktu:

$\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$

Kelajuan rata-rata adalah jarak tempuh dibagi selang waktu. Untuk troli yang pergi dan kembali tadi dalam 60 s, kecepatan rata-ratanya nol, sedangkan kelajuan rata-ratanya 0,5 m/s. Keduanya benar; masing-masing menjawab pertanyaan yang berbeda.

Kecepatan sesaat adalah kecepatan pada satu saat tertentu, yaitu batas kecepatan rata-rata ketika selang waktunya dibuat sangat kecil. Pada grafik posisi terhadap waktu, kecepatan sesaat adalah kemiringan garis singgung kurva di titik itu. Kurva yang makin curam berarti gerak makin cepat; kurva mendatar berarti benda diam sesaat; kemiringan negatif berarti benda bergerak ke arah negatif. Buku sumber menyediakan ringkasan kalkulus untuk pembaca yang ingin melihat definisi ini sebagai turunan. Untuk pekerjaan lapangan, membaca kemiringan grafik sudah cukup.

Satuan SI kecepatan adalah m/s. Di lapangan sering dipakai m/menit untuk konveyor dan km/jam untuk kendaraan. Konversinya mengikuti Bab 3 · Satuan & Matematika: 1 m/menit = 1/60 m/s, dan 1 km/jam = 1/3,6 m/s.

Percepatan

Percepatan adalah laju perubahan kecepatan. Percepatan rata-rata:

$\bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$

dengan satuan m/s². Pada grafik kecepatan terhadap waktu, percepatan adalah kemiringan kurva. Luas di bawah kurva kecepatan-waktu adalah perpindahan, sehingga satu grafik kecepatan memuat dua informasi: kemiringannya memberi percepatan, luasnya memberi perpindahan.

Tanda percepatan sering disalahpahami. Percepatan negatif berarti kecepatan berubah ke arah negatif. Bila benda bergerak ke arah positif, percepatan negatif membuatnya melambat. Bila benda bergerak ke arah negatif, percepatan negatif justru membuatnya makin cepat. Kata yang tepat untuk "melambat" adalah percepatan yang arahnya berlawanan dengan kecepatan, dan tanda minus saja tidak menentukan hal itu.

Gerak dengan kecepatan tetap dan percepatan tetap

Bila kecepatan tetap, posisi berubah linear terhadap waktu: $x = x_0 + v\,t$. Grafik posisi-waktunya garis lurus. Rak di konveyor pada kecepatan tetap adalah contoh paling bersih.

Bila percepatan tetap, empat persamaan berikut berlaku. Semuanya diturunkan dari definisi kecepatan dan percepatan, dengan $x_0$ dan $v_0$ sebagai posisi dan kecepatan pada $t = 0$:

$v = v_0 + a\,t$

$x = x_0 + v_0\,t + \tfrac{1}{2}a\,t^2$

$v^2 = v_0^2 + 2a\,(x - x_0)$

$x - x_0 = \tfrac{1}{2}(v_0 + v)\,t$

Cara memilih persamaan: tuliskan besaran yang diketahui dan yang dicari, lalu pilih persamaan yang tidak memuat besaran yang tidak diketahui dan tidak dicari. Bila waktu tidak diketahui dan tidak dicari, persamaan ketiga biasanya paling langsung. Buku sumber memberi contoh yang memerlukan penyelesaian persamaan kuadrat untuk mencari waktu; persamaan kedua memang kuadratik dalam $t$, dan salah satu akarnya sering tidak bermakna fisik, misalnya waktu negatif.

Persamaan ini hanya berlaku bila percepatannya benar-benar tetap. Troli yang direm oleh orang, beban pada motor yang dikendalikan inverter, dan benda yang jatuh dengan hambatan udara besar tidak berpercepatan tetap. Untuk gerak seperti itu, gerak dibagi menjadi bagian-bagian yang kira-kira berpercepatan tetap, atau grafik kecepatan-waktu dibaca langsung.

Jatuh bebas

Di dekat permukaan bumi, benda yang dilepas dan hanya dipengaruhi gravitasi bergerak dengan percepatan tetap ke bawah sebesar $g \approx 9{,}81$ m/s². Buku sumber menekankan bahwa percepatan ini sama, apa pun gerak awal bendanya: dilempar ke atas, dilempar ke bawah, atau dilepas. Bila hambatan udara diabaikan, benda berat dan ringan jatuh dengan percepatan yang sama. Buku sumber memakai contoh bola dan roket yang ditembakkan tegak ke atas dengan kecepatan awal 80 m/s untuk melatih pemakaian persamaan yang sama.

Dengan arah ke atas sebagai positif, percepatannya $a = -g$. Benda yang dilempar ke atas melambat, berhenti sesaat di titik tertinggi, lalu bergerak turun makin cepat. Di titik tertinggi kecepatannya nol, tetapi percepatannya tetap $-g$. Ini contoh paling jelas bahwa kecepatan nol tidak berarti percepatan nol.

Untuk pekerjaan lapangan, jatuh bebas penting karena bahaya benda jatuh. Kecepatan benda yang jatuh dari ketinggian $h$ tanpa kecepatan awal adalah

$v = \sqrt{2\,g\,h}$

sehingga kecepatan tumbukan naik sebanding akar ketinggian, sedangkan energinya (Bab 5) naik sebanding ketinggian.

Grafik gerak dari data sensor

Banyak mesin modern mengukur posisi, bukan kecepatan. Encoder pada poros, sensor jarak di konveyor, dan penghitung pulsa memberi deret posisi pada waktu-waktu tertentu. Kecepatan lalu dihitung sebagai beda posisi dibagi beda waktu, dan percepatan sebagai beda kecepatan dibagi beda waktu.

Langkah ini memperbesar derau. Misalkan posisi dibaca setiap 0,1 s dengan ketidakpastian ±2 mm. Beda dua posisi dapat meleset sampai 4 mm, sehingga kecepatan hasil hitung dapat meleset sampai $0{,}004/0{,}1 = 0{,}04$ m/s. Untuk konveyor yang bergerak 0,027 m/s, kesalahan itu lebih besar daripada nilai yang diukur. Menghitung percepatan dari kecepatan semacam itu memperbesar derau sekali lagi.

Ada tiga cara praktis yang berasal dari sifat ini dan merupakan saran editorial. Pertama, perbesar selang waktu: beda posisi selama 10 s jauh lebih andal daripada selama 0,1 s untuk gerak yang lambat dan tetap. Kedua, haluskan data dengan rata-rata beberapa titik sebelum menghitung beda. Ketiga, bila yang dicari kecepatan rata-rata, cukup pakai posisi awal dan akhir, jangan menjumlahkan banyak kecepatan sesaat. Bab 1 · Data & Pengukuran menjelaskan cara menyatakan ketidakpastian hasil hitung seperti ini.

Dua benda pada satu garis: jarak antar dan waktu bertemu

Banyak soal lapangan melibatkan dua benda pada lintasan yang sama: rak berurutan di konveyor, dua troli di satu lorong, atau beban yang turun sementara orang berjalan di bawahnya. Caranya sama dengan satu benda. Tulis persamaan posisi untuk setiap benda memakai titik nol dan arah positif yang sama, lalu cari kapan kedua posisi sama atau berapa selisihnya pada waktu tertentu.

Untuk dua benda dengan kecepatan tetap $v_1$ dan $v_2$ yang mula-mula terpisah sejauh $d$ dan bergerak searah, selisih posisinya berubah dengan laju $v_1 - v_2$. Benda di belakang menyusul setelah

$t = \frac{d}{v_1 - v_2}$

asalkan $v_1 > v_2$. Bila keduanya bergerak berlawanan arah dan saling mendekat, jarak menyusut dengan laju $v_1 + v_2$. Besaran $v_1 - v_2$ adalah kecepatan benda pertama dilihat dari benda kedua, atau kecepatan relatif. Bab berikutnya memperluas gagasan ini ke dua dimensi.

Pada konveyor, semua rak bergerak dengan kecepatan yang sama, sehingga jarak antarrak tetap selama rak berada di konveyor. Jarak itu ditentukan saat rak dimasukkan: bila operator memasukkan satu rak setiap $\Delta t$ detik dan konveyor bergerak dengan kecepatan $v$, jarak antara depan rak yang satu dengan depan rak berikutnya adalah $v\,\Delta t$. Jarak itu tidak boleh lebih kecil daripada panjang rak, karena rak tidak dapat bertumpuk. Dari sini muncul batas kapasitas: jumlah rak paling banyak per satuan waktu adalah kecepatan konveyor dibagi panjang rak. Kapasitas konveyor dalam rak per jam yang tercantum di manual mesin adalah akibat dari kecepatan dan panjang rak, bukan angka yang berdiri sendiri. Penalaran ini editorial; angka kapasitas yang dipakai di lapangan tetap angka manual.

Gagasan yang sama berlaku untuk jarak aman. Dua troli yang melaju searah pada 1,2 m/s dan 1,5 m/s dengan jarak 6 m akan bertemu setelah $6/(1{,}5 - 1{,}2) = 20$ s. Bila troli di depan tiba-tiba berhenti, yang menentukan adalah jarak henti troli di belakang, seperti di Contoh 3. Jarak aman di lorong karena itu bergantung pada kuadrat kecepatan, bukan pada kecepatan saja.

Contoh kerja

Contoh 1. Waktu di zona bilas. Rak menempuh 1,6 m dalam 60 s, jadi kecepatannya $v = 1{,}6/60 = 0{,}0267$ m/s. Waktu di zona bilas sepanjang 0,6 m adalah $t = 0{,}6/0{,}0267 = 22{,}5$ s. Bila setelan cepat menaikkan kecepatan menjadi 2,4 m/menit, waktunya turun menjadi 15 s. Angka konveyor ini adalah angka latihan; batas waktu bilas yang sebenarnya mengikuti manual mesin. Bab 7 · Dishwashing membahas konveyor rak secara rinci.

Contoh 2. Troli yang mulai bergerak. Troli linen dari diam mencapai 1,2 m/s dalam 2,0 s dengan percepatan yang dianggap tetap. Percepatannya $a = 1{,}2/2{,}0 = 0{,}6$ m/s². Jarak yang ditempuh selama itu $x = \tfrac{1}{2} \times 0{,}6 \times 2{,}0^2 = 1{,}2$ m. Pemeriksaan dengan persamaan keempat: $\tfrac{1}{2}(0 + 1{,}2) \times 2{,}0 = 1{,}2$ m.

Contoh 3. Jarak henti troli. Troli bergerak 1,5 m/s lalu direm dengan perlambatan tetap 0,75 m/s². Dengan arah gerak positif, $a = -0{,}75$ m/s². Dari $v^2 = v_0^2 + 2a\Delta x$ dengan $v = 0$:

$\Delta x = \frac{0 - 1{,}5^2}{2 \times (-0{,}75)} = 1{,}5 \text{ m}$

Waktu hentinya $t = 1{,}5/0{,}75 = 2{,}0$ s. Bila kecepatan awal dua kali lipat, jarak henti menjadi empat kali lipat, karena jarak henti sebanding kuadrat kecepatan. Ini alasan batas kecepatan di lorong sempit.

Contoh 4. Kunci pas jatuh dari tangga. Kunci pas lepas dari tangan di ketinggian 3,0 m. Waktu jatuhnya $t = \sqrt{2h/g} = \sqrt{2 \times 3{,}0/9{,}81} = 0{,}78$ s, dan kecepatan tumbukannya $v = \sqrt{2 \times 9{,}81 \times 3{,}0} = 7{,}7$ m/s, sekitar 28 km/jam. Waktu 0,78 s terlalu singkat bagi orang di bawah untuk menghindar setelah mendengar peringatan.

Contoh 5. Kecepatan dari data encoder. Sensor posisi konveyor mencatat 0,000 m pada $t = 0$ dan 0,268 m pada $t = 10{,}0$ s, dengan ketidakpastian ±2 mm untuk setiap pembacaan. Kecepatan rata-ratanya $0{,}268/10{,}0 = 0{,}0268$ m/s dengan ketidakpastian paling besar $0{,}004/10{,}0 = 0{,}0004$ m/s, sekitar 1,5 persen. Dari dua pembacaan berselang 0,1 s, ketidakpastian yang sama menjadi 0,04 m/s, lebih besar daripada kecepatannya sendiri.

Contoh 6. Luas di bawah grafik kecepatan. Alat angkat linen dipercepat dari diam ke 0,5 m/s dalam 2 s, bergerak tetap 6 s, lalu diperlambat sampai berhenti dalam 2 s. Grafik kecepatannya berbentuk trapesium. Perpindahannya adalah luas trapesium itu: $\tfrac{1}{2} \times 2 \times 0{,}5 + 6 \times 0{,}5 + \tfrac{1}{2} \times 2 \times 0{,}5 = 0{,}5 + 3{,}0 + 0{,}5 = 4{,}0$ m. Percepatan pada bagian awal adalah kemiringan $0{,}5/2 = 0{,}25$ m/s².

Contoh 7. Kapasitas konveyor. Konveyor bergerak 1,6 m/menit dan setiap rak panjangnya 0,5 m. Bila rak dimasukkan tanpa celah, satu rak masuk setiap $0{,}5/1{,}6 = 0{,}3125$ menit, atau 18,75 s. Kapasitas paling besar $60/0{,}3125 = 192$ rak per jam. Pada setelan 2,4 m/menit, kapasitasnya naik menjadi 288 rak per jam, tetapi waktu di zona bilas turun dari 22,5 s menjadi 15 s seperti di Contoh 1. Kecepatan konveyor menukar kapasitas dengan waktu kontak, dan pertukaran itu tidak dapat dihindari dengan menyetel ulang kecepatan saja. Angka panjang rak dan kecepatan adalah angka latihan.

Kondisi berhenti

Kinematika sendiri tidak berbahaya, tetapi pengukurannya sering dilakukan di dekat benda yang bergerak. Hentikan pekerjaan bila:

1. Pengukuran kecepatan konveyor, rantai, atau poros memerlukan tangan atau alat ukur masuk ke daerah bagian yang bergerak. Ukur dari luar pelindung, dengan penanda pada rak atau dengan sensor tanpa sentuh, atau hentikan mesin mengikuti prosedur isolasi energi di Bab 1 · Keselamatan.
2. Ada orang di bawah area kerja di ketinggian tanpa pembatas. Contoh 4 menunjukkan bahwa peringatan lisan tidak cukup cepat.
3. Uji jarak henti troli atau alat angkat dilakukan dengan beban di jalur orang. Kosongkan jalur dan pakai beban uji yang tidak berbahaya bila jatuh.

Salah tafsir yang sering terjadi

"Kecepatan dan kelajuan itu sama." Kecepatan punya arah dan memakai perpindahan; kelajuan memakai jarak tempuh. Gerak pergi-pulang punya kecepatan rata-rata nol tetapi kelajuan rata-rata tidak nol.

"Percepatan negatif berarti melambat." Melambat berarti percepatan berlawanan arah dengan kecepatan. Benda yang bergerak ke arah negatif dan berpercepatan negatif justru makin cepat.

"Di titik tertinggi, percepatan benda nol." Kecepatannya nol, percepatannya tetap $g$ ke bawah. Kalau percepatannya nol, benda akan diam di udara.

"Benda berat jatuh lebih cepat." Tanpa hambatan udara yang berarti, percepatan jatuh sama untuk semua benda. Perbedaan yang terlihat sehari-hari berasal dari hambatan udara, dibahas di bab gesekan dan hambatan.

"Kecepatan rata-rata adalah rata-rata dari kecepatan awal dan akhir." Itu hanya benar untuk percepatan tetap. Untuk gerak umum, kecepatan rata-rata adalah perpindahan dibagi waktu.

"Makin sering sensor membaca, makin akurat kecepatannya." Selang waktu yang kecil memperbesar pengaruh derau posisi pada kecepatan hasil hitung, seperti di Contoh 5.

Hubungan dengan bab lain

Bab 2 · Satuan & Matematika dan Bab 3 · Satuan & Matematika memberi dasar grafik, fungsi, dan satuan. Bab berikutnya memperluas gerak ke dua dimensi dan gerak melingkar, dan bab hukum Newton menjelaskan penyebab percepatan. Bab 5 menghubungkan kecepatan dengan energi kinetik. Bab 1 · Data & Pengukuran membahas ketidakpastian yang dipakai di bagian data sensor. Bab 7 · Dishwashing memakai kecepatan konveyor untuk menghitung waktu di setiap zona mesin pencuci piring.

Latihan dan pembahasan

Untuk setiap soal, tuliskan arah positif, persamaan, satuan, dan anggapan yang dipakai. Angka dalam soal adalah angka latihan.

1. Ubah 36 km/jam dan 0,8 m/s ke satuan lain: berapa m/s untuk yang pertama dan berapa m/menit untuk yang kedua?
2. Seorang petugas mendorong troli 20 m ke timur lalu 8 m ke barat dalam 40 s. Hitung jarak tempuh, perpindahan, kelajuan rata-rata, dan kecepatan rata-rata.
3. Sebuah benda bergerak lurus dengan kecepatan awal 1,5 m/s dan percepatan tetap 0,5 m/s² searah gerak. Berapa kecepatannya setelah 3 s, dan berapa jarak yang ditempuhnya?
4. Troli bergerak 2,5 m/s dan direm dengan perlambatan tetap. Troli berhenti setelah 5 m. Berapa perlambatannya?
5. Sebuah baut jatuh dari rak setinggi 1,2 m. Berapa kecepatannya saat menyentuh lantai, dan berapa kali lebih besar kecepatan itu bila rak dua kali lebih tinggi?
6. Grafik kecepatan sebuah rak menunjukkan garis mendatar pada 0,03 m/s selama 40 s, lalu turun lurus ke nol dalam 4 s. Hitung perpindahan total dan perlambatan pada bagian akhir.

Kunci jawaban beralasan

1. $36/3{,}6 = 10$ m/s. $0{,}8 \times 60 = 48$ m/menit. Faktor 3,6 berasal dari 1000 m per km dibagi 3600 s per jam.
2. Jarak tempuh $20 + 8 = 28$ m. Dengan timur positif, perpindahan $20 - 8 = +12$ m, yaitu 12 m ke timur. Kelajuan rata-rata $28/40 = 0{,}7$ m/s; kecepatan rata-rata $12/40 = 0{,}3$ m/s ke timur.
3. $v = 1{,}5 + 0{,}5 \times 3 = 3{,}0$ m/s. Jarak $1{,}5 \times 3 + \tfrac{1}{2} \times 0{,}5 \times 3^2 = 4{,}5 + 2{,}25 = 6{,}75$ m. Pemeriksaan: $\tfrac{1}{2}(1{,}5 + 3{,}0) \times 3 = 6{,}75$ m.
4. Dari $0 = 2{,}5^2 + 2a \times 5$, $a = -6{,}25/10 = -0{,}625$ m/s². Tanda minus menunjukkan percepatan berlawanan arah gerak; perlambatannya 0,625 m/s².
5. $v = \sqrt{2 \times 9{,}81 \times 1{,}2} = 4{,}85$ m/s. Pada ketinggian dua kali lipat, kecepatannya $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ kali lebih besar, yaitu sekitar 6,9 m/s, karena kecepatan sebanding akar ketinggian.
6. Perpindahan adalah luas di bawah grafik: $0{,}03 \times 40 + \tfrac{1}{2} \times 4 \times 0{,}03 = 1{,}2 + 0{,}06 = 1{,}26$ m. Perlambatannya $0{,}03/4 = 0{,}0075$ m/s².

Referensi