Metode numerik lapangan: iterasi titik tetap, coba-coba terarah, bagi dua, Newton, lembar kerja, dan pemeriksaan konvergensi

Sebuah laundry memakai tangki silinder mendatar berdiameter 1,2 meter dan panjang 2,5 meter untuk menampung air lunak. Teknisi diminta memasang sakelar level supaya pompa pengisi menyala ketika isi tangki tinggal 1 meter kubik. Ia tahu volume penuh tangki sekitar 2,83 meter kubik, lalu menghitung dengan perbandingan lurus: 1 dibagi 2,83 dikali 1,2 meter, sekitar 42 sentimeter. Sakelar dipasang pada tinggi itu. Kenyataannya, pada tinggi 42 sentimeter isi tangki hanya sekitar 0,89 meter kubik, karena bagian bawah tangki bulat lebih sempit daripada bagian tengahnya. Tinggi yang benar sekitar 46 sentimeter.

Rumus volume cairan di tangki mendatar terhadap tingginya diketahui, tetapi tidak dapat dibalik dengan aturan aljabar biasa untuk mendapat tinggi dari volume. Hal yang sama terjadi pada pekerjaan lain minggu itu: faktor gesekan pipa dalam rumus yang dipakai muncul di kedua sisi tanda sama dengan, sehingga teknisi memakai angka tebakan dari ingatan. Persamaan seperti ini tidak sulit bila diselesaikan dengan metode numerik sederhana yang dapat dikerjakan dengan kalkulator atau lembar kerja. Bab ini menjelaskan metode itu.

Batas pembahasan

Bab ini membahas penyelesaian satu persamaan dengan satu besaran tak diketahui secara numerik: tebakan awal, iterasi titik tetap, coba-coba terarah dan bagi dua, metode Newton, kriteria berhenti, lembar kerja dan pencari tujuan, kegagalan iterasi, dan rumus pendekatan eksplisit. Aljabar dan rumus terbalik ada di Bab 6; sistem persamaan linear di Bab 7; grafik dan titik kerja di Bab 10; beda hingga untuk turunan di Bab 11. Sistem persamaan tak linear, persamaan diferensial, dan simulasi hanya disebut. Sumbernya adalah narasi Fluida, Termal, dan Utilitas Industri, narasi Kimia, narasi Teknik Air dan Lingkungan, dan narasi Matematika Teknik, ditambah pengetahuan metode numerik umum yang ditandai di peta sumber. Rumus di bab ini adalah rumus baku (nilai literatur umum); angka dalam contoh adalah angka latihan kecuali yang ditandai lain.

Persamaan yang tidak dapat dibalik

Banyak hubungan teknik dapat dihitung ke satu arah, tetapi tidak dapat dibalik dengan aljabar. Narasi Kimia mengutip buku elektrokimia modern bahwa pendekatan iteratif sering dipakai untuk menyelesaikan persamaan, dan narasi Teknik Air dan Lingkungan mengutip buku teknik kimia dengan aplikasi komputer bahwa memakai komputer untuk menyelesaikan persoalan dengan sendirinya terkait dengan teknik numerik. Contoh di lapangan:

1. Volume tangki silinder mendatar terhadap tinggi cairan memuat fungsi busur kosinus dan akar sekaligus.
2. Faktor gesekan pipa dalam persamaan yang umum dipakai untuk aliran turbulen muncul di dalam logaritma dan di luar logaritma.
3. Titik kerja pompa bila kurva pompa dan kurva sistem diberikan sebagai rumus tak linear, seperti di Bab 10.
4. Waktu pemanasan dengan rugi panas ke udara sekitar, ketika rugi bergantung pada suhu yang terus berubah.

Persamaan seperti itu ditulis dalam bentuk $f(x) = 0$, misalnya $V(h) - 1{,}0 = 0$, lalu dicari $x$ yang membuatnya nol. Nilai itu disebut akar persamaan.

Menulis $f(x)$ dengan benar adalah langkah pertama yang sering terlewat. Sisi kanan dipindahkan ke kiri sehingga persamaan menjadi selisih yang harus nol, dan satuan setiap suku diperiksa sama. Dengan bentuk ini, setiap tebakan langsung memberi informasi: $f$ positif berarti tebakan terlalu besar atau terlalu kecil, tergantung arah hubungan, dan besar $f$ menunjukkan seberapa jauh tebakan dari jawabannya. Kebiasaan mencatat tebakan dan nilai $f$ dalam tabel kecil, bahkan untuk coba-coba di kertas, membuat setiap langkah berikutnya lebih terarah.

Tebakan awal yang baik

Hampir semua metode numerik dimulai dari tebakan. Narasi Fluida, Termal, dan Utilitas Industri mengutip buku perancangan teknik kimia yang menganjurkan percobaan pertama dengan luas saluran turun sekitar 12% dari luas total; tebakan pertama yang masuk akal membuat iterasi cepat selesai dan mengurangi peluang gagal. Sumber tebakan awal:

1. Pendekatan sederhana, seperti perbandingan lurus pada kasus pembuka, yang memberi 0,42 m.
2. Pengalaman atau nilai khas, seperti faktor gesekan sekitar 0,02 untuk pipa air yang halus.
3. Grafik kasar fungsi $f(x)$ dari beberapa titik, untuk melihat di mana kurva memotong nol, seperti di Bab 10.
4. Batas fisis: tinggi cairan di antara 0 dan diameter tangki, debit di antara nol dan debit tertinggi pompa.

Iterasi titik tetap

Bila persamaan dapat ditulis dalam bentuk $x = g(x)$, iterasi titik tetap mengulang

sampai nilainya tidak berubah lagi. Narasi Fluida, Termal, dan Utilitas Industri mengutip buku perhitungan perpindahan panas bahwa prosedur dapat diulang sampai konvergen, dan bahwa parameter luas diiterasi dengan beberapa nilai sampai diperoleh kecocokan yang memuaskan. Buku yang sama dalam narasi mencatat bahwa efisiensi sirip yang dihasilkan sedikit lebih besar daripada pada iterasi sebelumnya, gambaran khas iterasi yang mendekati nilai tetapnya.

Persamaan faktor gesekan untuk aliran turbulen (nilai literatur umum) ditulis dengan $x = 1/\sqrt{f}$:

dengan $\varepsilon/D$ kekasaran relatif dan $Re$ bilangan Reynolds. Bentuk ini sudah berbentuk $x = g(x)$ dan biasanya konvergen dalam tiga sampai lima putaran. Syarat konvergen yang umum: perubahan $g$ terhadap $x$ di sekitar akar lebih kecil dari satu dalam besarnya (nilai literatur umum). Bila tidak, iterasi menjauh dan bentuk lain harus dipilih.

Iterasi yang berayun di sekitar akar dapat diredam dengan hanya memakai sebagian langkah: $x_{n+1} = x_n + w\,[g(x_n) - x_n]$ dengan $w$ antara 0 dan 1, misalnya 0,5 (nilai literatur umum). Peredaman membuat setiap langkah lebih pendek tetapi lebih stabil. Cara ini sering dipakai tanpa disadari ketika orang di lapangan "menaikkan setelan separuh dari selisihnya" saat menyetel katup atau pengatur suhu supaya tidak melewati sasaran.

Coba-coba terarah dan bagi dua

Cara paling aman adalah mengurung akar. Bila $f(a)$ dan $f(b)$ berlawanan tanda dan $f$ kontinu, ada akar di antara $a$ dan $b$. Metode bagi dua mengulang langkah berikut (nilai literatur umum):

1. Hitung titik tengah $m = (a + b)/2$ dan $f(m)$.
2. Bila $f(m)$ bertanda sama dengan $f(a)$, ganti $a$ dengan $m$; bila tidak, ganti $b$ dengan $m$.
3. Ulangi sampai lebar selang lebih kecil dari toleransi.

Setiap langkah membagi dua lebar selang, sehingga jumlah langkah yang diperlukan sekitar $\log_2(\text{lebar awal}/\text{toleransi})$. Metode ini lambat dibanding Newton, tetapi tidak pernah gagal selama akar sudah terkurung. Di lapangan, metode ini sama dengan coba-coba terarah: tebak, lihat apakah hasilnya terlalu besar atau terlalu kecil, lalu tebak di tengah-tengah.

Metode Newton

Metode Newton memakai kemiringan fungsi untuk menebak akar berikutnya:

Bila tebakan dekat dengan akar, jumlah angka benar kira-kira berlipat dua setiap langkah (nilai literatur umum), sehingga tiga atau empat langkah biasanya cukup. Turunan $f'$ dapat ditulis dari rumus, atau diperkirakan dengan beda hingga seperti di Bab 11.

Pada tangki silinder mendatar, turunan volume terhadap tinggi mempunyai arti fisis yang sederhana: luas permukaan cairan, yaitu panjang tangki dikali lebar permukaan $2\sqrt{2Rh - h^2}$. Arti seperti itu membantu memeriksa bahwa turunan yang dipakai benar.

Kelemahan Newton: memerlukan turunan, dapat melompat jauh bila tebakan buruk atau kemiringan hampir nol, dan dapat keluar dari daerah tempat rumus berlaku, seperti pada Contoh 8.

Kriteria berhenti dan toleransi

Narasi Fluida, Termal, dan Utilitas Industri mengutip buku perancangan teknik kimia bahwa harus berhati-hati menetapkan ukuran langkah dan toleransi konvergensi. Iterasi dihentikan bila salah satu syarat berikut terpenuhi (nilai literatur umum):

1. Perubahan kecil: $|x_{n+1} - x_n|$ lebih kecil dari toleransi, misalnya 1 mm untuk tinggi cairan atau 0,1% untuk faktor gesekan.
2. Sisa kecil: $|f(x_{n+1})|$ lebih kecil dari batas yang berarti secara fisis, misalnya 1 liter untuk volume.
3. Batas jumlah putaran: bila setelah, misalnya, 20 putaran belum memenuhi syarat, iterasi dihentikan dan diperiksa, tidak dibiarkan berjalan terus.

Toleransi dipilih menurut kebutuhan. Menghitung tinggi sakelar level sampai mikrometer tidak berguna bila sakelar hanya dapat dipasang dengan ketelitian sentimeter. Sebaliknya, toleransi yang terlalu longgar dapat menghentikan iterasi sebelum hasilnya cukup dekat.

Lembar kerja dan pencari tujuan

Narasi Fluida, Termal, dan Utilitas Industri mengutip buku perhitungan perpindahan panas bahwa penyelesaian iteratif dapat dilakukan dengan pemecah persamaan, dan bahwa lembar kerja dipakai untuk mengurangi galat pembulatan dalam hitungan. Lembar kerja umum mempunyai fungsi pencari tujuan atau pemecah: pengguna menyatakan sel yang ingin dibuat bernilai tertentu dan sel yang boleh diubah, lalu lembar kerja mencari nilainya.

Iterasi juga mudah dibuat langsung: satu baris untuk setiap putaran, dengan kolom $x_n$, $f(x_n)$, dan $x_{n+1}$. Cara ini memperlihatkan riwayat konvergensi, sehingga terlihat apakah nilai benar-benar mendekat. Narasi Fluida mengutip buku yang sama bahwa dari riwayat konvergensi tidak selalu jelas apakah hasilnya sudah benar, sehingga hasil akhir tetap diperiksa dengan memasukkannya ke persamaan asal.

Narasi Matematika Teknik mengutip buku listrik, magnet, dan cahaya bahwa algoritme yang dibuat untuk satu keadaan kadang tidak bekerja dengan benar bila dipakai untuk keadaan lain. Lembar kerja iterasi yang dibuat untuk satu tangki atau satu pipa diperiksa lagi sebelum dipakai untuk ukuran yang sangat berbeda.

Pencari tujuan di lembar kerja juga memakai tebakan awal, biasanya nilai yang sedang ada di sel yang boleh diubah. Bila sel itu kosong atau berisi nol, pencarian dapat gagal atau menemukan akar yang salah, seperti tinggi cairan negatif. Karena itu sel diisi tebakan yang wajar sebelum pencari tujuan dijalankan, dan batas nilai yang boleh dicoba ditetapkan bila fungsi pemecah menyediakannya.

Ketika iterasi gagal

Narasi Teknik Air dan Lingkungan mengutip buku perancangan teknik kimia bahwa konvergensi model kolom distilasi mungkin persoalan paling umum dalam simulasi proses bagi insinyur pemula. Kegagalan iterasi di lapangan biasanya salah satu dari ini:

1. Menjauh: nilai makin besar atau keluar dari daerah yang berarti.
2. Berayun: nilai melompat bolak-balik di sekitar akar tanpa mendekat.
3. Akar yang salah: persamaan mempunyai lebih dari satu akar, dan iterasi menemukan akar yang tidak berarti fisis, seperti debit negatif.
4. Tidak ada akar: syarat yang diminta mustahil, seperti volume yang lebih besar dari isi penuh tangki.

Langkah pemulihan: gambar $f(x)$ untuk melihat bentuknya, pakai tebakan yang lebih baik, kurung akar lalu pakai bagi dua, atau batasi besar langkah Newton. Hasil yang diperoleh setelah kegagalan diperiksa dua kali.

Rumus pendekatan eksplisit sebagai pemeriksa

Untuk beberapa persamaan yang sering dipakai tersedia rumus pendekatan eksplisit yang langsung memberi hasil tanpa iterasi, dengan galat beberapa persen atau kurang di rentang tertentu. Contohnya rumus pendekatan faktor gesekan yang umum dipakai (nilai literatur umum):

Rumus pendekatan cocok untuk perhitungan cepat dan sebagai pemeriksa hasil iterasi. Bila hasil iterasi dan hasil pendekatan berbeda jauh, salah satunya keliru. Narasi Fluida, Termal, dan Utilitas Industri juga mengutip buku perancangan teknik kimia bahwa sebuah cara dapat dipakai untuk hitung tangan, tetapi karena melibatkan prosedur iteratif, paling baik diprogram untuk komputer pribadi; di lapangan, lembar kerja di ponsel atau laptop sudah cukup.

Contoh kerja

Contoh 1: tinggi sakelar level dengan Newton. Tangki $R = 0{,}6$ m dan $L = 2{,}5$ m. Volume $V(h) = L[R^2 \arccos((R - h)/R) - (R - h)\sqrt{2Rh - h^2}]$ dan turunannya $V'(h) = 2L\sqrt{2Rh - h^2}$. Dicari $V(h) = 1{,}0$ m³. Tebakan $h_0 = 0{,}40$ m. Putaran pertama memberi $h_1 = 0{,}4619$ m dengan $V = 1{,}0030$ m³, putaran kedua $h_2 = 0{,}4608$ m dengan $V = 1{,}0000$ m³. Sakelar dipasang pada sekitar 46 cm dari dasar dalam tangki, bukan 42 cm.

Contoh 2: memeriksa perbandingan lurus. Pada $h = 0{,}424$ m, $V = 0{,}893$ m³, sekitar 11% kurang dari 1 m³. Perbandingan lurus hanya benar untuk tangki tegak atau berpenampang persegi; untuk tangki bulat mendatar, bagian bawah dan atas lebih sempit.

Contoh 3: faktor gesekan dengan iterasi titik tetap. Air 60 °C dengan viskositas kinematik sekitar $0{,}474 \times 10^{-6}$ m²/s (nilai literatur umum) mengalir 1,5 m/s di pipa berdiameter dalam 27 mm dengan kekasaran 0,0015 mm. $Re = 1{,}5 \times 0{,}027/(0{,}474 \times 10^{-6}) = 85.400$ dan $\varepsilon/D = 5{,}6 \times 10^{-5}$. Mulai dari $f = 0{,}02$, atau $x = 7{,}07$: putaran pertama $x = 7{,}304$, kedua 7,278, ketiga 7,281, keempat 7,2807. Faktor gesekan $f = 1/x^2 = 0{,}01886$. Perubahan dari putaran ketiga ke keempat hanya 0,0003 pada $x$, jauh di bawah toleransi 0,1%, sehingga iterasi dihentikan.

Contoh 4: pengaruh pada rugi tekanan. Untuk pipa 30 m, rugi tinggi $h_f = f (L/D) v^2/(2g)$. Dengan $f = 0{,}01886$, $h_f = 2{,}40$ m; dengan tebakan $f = 0{,}02$, $h_f = 2{,}55$ m, sekitar 6% lebih besar. Untuk pipa kasar atau aliran dengan bilangan Reynolds kecil, selisih tebakan dan hasil iterasi dapat jauh lebih besar.

Contoh 5: pemeriksa eksplisit. Rumus pendekatan memberi $f = 0{,}01877$, sekitar 0,5% di bawah hasil iterasi. Kedua cara sepakat, sehingga hasil iterasi dapat dipakai.

Contoh 6: titik kerja dengan bagi dua. Kurva pompa $H = 32 - 0{,}25 Q^2$ dan kurva sistem $H = 10 + 0{,}4 Q^2$ (angka latihan). $f(Q) = 22 - 0{,}65 Q^2$. $f(5) = 5{,}75$ dan $f(6) = -1{,}4$, jadi akar di antara 5 dan 6. Titik tengah: 5,5 ($f > 0$), 5,75 ($f > 0$), 5,875 ($f < 0$), 5,8125 ($f > 0$), dan seterusnya; setelah delapan langkah, selang selebar 0,004 m³/jam di sekitar 5,818. Hasil tepat $\sqrt{22/0{,}65} = 5{,}818$ m³/jam, sama.

Contoh 7: jumlah langkah bagi dua. Untuk mempersempit selang dari 1 m³/jam menjadi 0,01 m³/jam diperlukan sekitar $\log_2(1/0{,}01) = 6{,}6$, jadi tujuh langkah. Lebar awal yang sepuluh kali lebih besar hanya menambah sekitar 3,3 langkah.

Contoh 8: Newton yang gagal. Pada tangki Contoh 1, tebakan awal $h_0 = 0{,}02$ m sangat dekat dasar, tempat luas permukaan cairan kecil. Langkah Newton pertama melompat ke $h_1 = 1{,}31$ m, lebih tinggi dari diameter tangki, sehingga rumus volume tidak berlaku lagi dan kalkulator memberi galat. Tebakan diperbaiki dengan perbandingan lurus 0,42 m, atau akar dikurung di antara 0 dan 1,2 m lalu dipakai bagi dua.

Contoh 9: tabel tinggi dan volume. Untuk tangki yang sama, dibuat tabel volume untuk setiap 5 cm tinggi dengan lembar kerja, lalu dipasang di dekat tangki. Operator dapat membaca volume dari tinggi, dan sebaliknya mencari tinggi dari volume dengan interpolasi seperti di Bab 10. Untuk pemasangan sakelar, nilai yang dihitung dengan Newton tetap dipakai sebagai acuan.

Kondisi berhenti

Hentikan pemakaian hasil iterasi dan periksa ulang bila:

1. Iterasi tidak memenuhi kriteria berhenti setelah batas jumlah putaran.
2. Nilai keluar dari daerah fisis yang berarti, seperti tinggi negatif atau lebih besar dari tangki.
3. Hasil iterasi berbeda jauh dari pendekatan eksplisit atau dari perkiraan kasar.
4. Persamaan mungkin mempunyai lebih dari satu akar dan belum dipastikan akar mana yang berarti.
5. Hasil dipakai untuk setelan pengaman, seperti sakelar level rendah pelindung pompa, tanpa diperiksa dengan pengukuran setelah dipasang.

Salah tafsir yang sering terjadi

1. "Rumus yang tidak dapat dibalik tidak dapat dipakai." Rumus itu dapat diselesaikan dengan iterasi.
2. "Tebakan dari ingatan cukup." Tebakan adalah titik awal iterasi, tidak hasilnya.
3. "Newton selalu lebih baik." Newton cepat, tetapi dapat gagal; bagi dua lebih aman.
4. "Makin banyak angka desimal, makin benar." Toleransi dipilih menurut kebutuhan dan ketelitian data.
5. "Lembar kerja sudah konvergen, jadi benar." Hasil tetap dimasukkan ke persamaan asal dan dibandingkan dengan pemeriksa.
6. "Perbandingan lurus berlaku untuk semua tangki." Hanya untuk tangki berpenampang tetap terhadap tinggi.

Hubungan dengan bab lain

Bab 6 memberi cara membalik rumus yang dapat dibalik, Bab 7 sistem persamaan linear, Bab 10 titik kerja secara grafis, dan Bab 11 turunan numerik untuk metode Newton. Rumus faktor gesekan dan rugi tekanan dipakai di bab-bab ukuran pipa rak Bangunan, seperti Bab 8 · Bangunan & Fasilitas. Dengan bab ini, rak Satuan & Matematika menutup jalur dari aritmetika dan satuan sampai penyelesaian numerik.

Latihan dan pembahasan

1. Untuk persamaan $x^3 + x - 12 = 0$, tentukan selang bilangan bulat yang mengurung akar.
2. Lakukan tiga langkah bagi dua untuk persamaan latihan 1.
3. Lakukan dua langkah Newton untuk persamaan latihan 1 mulai dari $x_0 = 2$.
4. Berapa langkah bagi dua untuk mempersempit selang selebar 2 m menjadi 1 mm?
5. Mengapa iterasi titik tetap untuk faktor gesekan konvergen cepat, dan apa yang dilakukan bila suatu bentuk $x = g(x)$ menjauh?
6. Pada tangki mendatar, mengapa tebakan Newton yang sangat dekat dasar berbahaya?

Kunci jawaban beralasan

1. $f(x) = x^3 + x - 12$. $f(2) = -2$ dan $f(3) = 18$ berlawanan tanda, dan fungsinya kontinu, sehingga akar berada di antara 2 dan 3. Karena $f(2)$ jauh lebih dekat ke nol, akar diduga lebih dekat ke 2.
2. $m = 2{,}5$, $f = 6{,}125 > 0$, selang menjadi 2 sampai 2,5; $m = 2{,}25$, $f = 1{,}64 > 0$, selang 2 sampai 2,25; $m = 2{,}125$, $f = -0{,}28 < 0$, selang 2,125 sampai 2,25.
3. Dengan $f' = 3x^2 + 1$: dari $x_0 = 2$, $x_1 = 2 - (-2)/13 = 2{,}154$; $f(2{,}154) = 0{,}146$ dan $f' = 14{,}92$, sehingga $x_2 = 2{,}154 - 0{,}146/14{,}92 = 2{,}144$. Langkah ketiga memberi 2,14404, dan sisa $f$ sudah di bawah 0,00001; dua langkah sudah cukup untuk tiga angka penting.
4. $\log_2(2/0{,}001) = \log_2 2.000 = 11$, jadi sebelas langkah.
5. Dalam bentuk itu, perubahan $g$ terhadap $x$ di sekitar akar jauh lebih kecil dari satu, karena $x$ masuk ke dalam logaritma dengan pengaruh kecil. Bila suatu bentuk menjauh, susun ulang persamaan menjadi bentuk lain, pakai bagi dua dengan akar yang terkurung, atau pakai Newton dengan tebakan yang baik.
6. Dekat dasar, luas permukaan cairan, yaitu turunan volume, sangat kecil, sehingga langkah $f/f'$ sangat besar dan tebakan berikutnya dapat melompat keluar dari tangki. Tebakan awal yang wajar atau bagi dua di selang 0 sampai diameter tangki mencegah hal itu.

Referensi