Persamaan linear dan sistem persamaan: garis lurus, dua dan tiga persamaan, eliminasi dan substitusi, matriks dan determinan, neraca campuran, dan lembar kerja

Seorang operator laundry perlu mengisi bak bilas 300 liter dengan air bersuhu 40 °C. Keran air panas memberi 70 °C dan keran air dingin 15 °C. Ia membuka keran panas, lalu dingin, mengukur suhu, menambah air panas, menambah air dingin, dan setelah setengah jam bak sudah meluap tetapi suhunya masih 43 °C. Air dan gas untuk pemanas terbuang, dan waktu bilas terlambat.

Persoalan itu sebenarnya dua kalimat: jumlah air panas dan dingin harus 300 liter, dan panas yang dibawa keduanya harus sama dengan panas 300 liter air bersuhu 40 °C. Dua kalimat dengan dua besaran yang belum diketahui adalah sistem dua persamaan linear, dan jawabannya dapat dihitung sebelum keran dibuka: sekitar 136 liter air panas dan 164 liter air dingin. Bab ini menjelaskan cara menyusun dan menyelesaikan persamaan seperti itu, dari satu garis lurus sampai beberapa persamaan sekaligus.

Batas pembahasan

Bab ini membahas persamaan linear satu variabel, garis lurus, sistem dua dan tiga persamaan, substitusi, eliminasi, matriks, determinan, neraca campuran, neraca massa, rangkaian listrik sebagai sistem persamaan, sistem yang peka terhadap galat, dan penyelesaian dengan lembar kerja. Aljabar dan rumus terbalik ada di Bab 6; fungsi dan grafik di Bab 2; pecahan dan rasio di Bab 1; pemetaan sinyal 4 sampai 20 mA di Bab 2 · Kelistrikan & Kendali; regresi garis lurus dari data di Bab 7 · Data & Pengukuran; hukum rangkaian listrik di rak Kelistrikan. Aljabar linear lanjut seperti nilai eigen tidak dibahas. Sumbernya adalah narasi Matematika Teknik, narasi Teknik Elektro dan Elektronika, narasi Fluida, Termal, dan Utilitas Industri, dan narasi Kimia, ditambah pengetahuan matematika umum yang ditandai di peta sumber. Rumus di bab ini adalah rumus baku (nilai literatur umum); angka dalam contoh adalah angka latihan.

Persamaan linear dan garis lurus

Persamaan linear adalah persamaan yang besaran tak diketahuinya hanya berpangkat satu dan tidak saling dikalikan. Dalam dua besaran, bentuknya adalah garis lurus:

dengan $m$ kemiringan dan $c$ potongan sumbu $y$. Narasi Teknik Elektro dan Elektronika mengutip buku panduan elektronika bahwa pada fungsi linear yang berupa garis lurus, kemiringannya tetap. Kemiringan mempunyai satuan, yaitu satuan $y$ dibagi satuan $x$, dan artinya fisis: hambatan pada grafik tegangan terhadap arus, kecepatan pada grafik jarak terhadap waktu.

Contoh garis lurus yang paling sering dipakai teknisi adalah pemetaan sinyal instrumen, seperti di Bab 2 · Kelistrikan & Kendali. Untuk pemancar 4 sampai 20 mA dengan rentang ukur dari $x_{\min}$ sampai $x_{\max}$:

Persamaan ini dibalik dengan aturan Bab 6 untuk mencari arus yang seharusnya muncul pada nilai ukur tertentu.

Garis lurus juga dapat ditentukan dari dua titik yang diketahui, $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$: kemiringan $m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$, lalu $c = y_1 - m x_1$. Cara ini dipakai untuk kalibrasi dua titik, interpolasi, dan membaca grafik. Tidak semua hubungan teknik linear: rugi tekanan naik kira-kira sebanding kuadrat debit, dan daya pemanas sebanding kuadrat tegangan. Hubungan seperti itu hanya boleh dianggap garis lurus pada rentang sempit, dan anggapan itu ditulis bersama hitungannya.

Menyelesaikan satu persamaan linear

Satu persamaan linear dengan satu besaran tak diketahui diselesaikan dengan mengumpulkan semua suku yang mengandung besaran itu di satu sisi dan semua angka di sisi lain, lalu membagi dengan koefisiennya. Misalnya $70x + 15(300 - x) = 12.000$ menjadi $55x = 7.500$, sehingga $x = 136{,}4$.

Hasilnya selalu diperiksa dengan substitusi balik dan arti fisis. Volume, debit, dan massa tidak boleh negatif; bila hasilnya negatif, keadaan yang diminta memang mustahil dengan bahan yang ada, seperti meminta air 80 °C dari keran yang paling panas 70 °C.

Sistem dua persamaan: substitusi dan eliminasi

Bila ada dua besaran tak diketahui, diperlukan dua persamaan yang saling bebas. Narasi Matematika Teknik mengutip buku listrik, magnet, dan cahaya bahwa paling sedikit ada dua cara untuk menyelesaikan suatu persoalan. Untuk sistem dua persamaan, dua cara yang umum adalah:

1. Substitusi: selesaikan satu persamaan untuk satu besaran, lalu masukkan ke persamaan lain. Cocok bila satu persamaan sederhana, seperti $x + y = 300$.
2. Eliminasi: kalikan kedua persamaan dengan angka yang sesuai supaya koefisien satu besaran sama, lalu kurangkan atau jumlahkan supaya besaran itu hilang.

Untuk bentuk umum

hasilnya dapat ditulis langsung dengan aturan Cramer (nilai literatur umum):

Penyebut $a_1 b_2 - a_2 b_1$ disebut determinan. Bila determinan nol, sistem tidak mempunyai satu penyelesaian tunggal.

Arti grafis dan persamaan yang saling bebas

Setiap persamaan linear dua besaran adalah sebuah garis. Penyelesaian sistem adalah titik potong kedua garis. Ada tiga kemungkinan:

1. Garis berpotongan di satu titik: satu penyelesaian.
2. Garis sejajar: tidak ada penyelesaian, karena kedua syarat bertentangan.
3. Garis berimpit: penyelesaian tak hingga banyaknya, karena persamaan kedua hanya mengulang yang pertama.

Narasi Matematika Teknik mengutip buku dasar instrumentasi dan pengukuran tentang sebuah sistem yang dapat diselesaikan karena persamaannya saling bebas. Dua persamaan yang sebenarnya menyatakan hal yang sama, misalnya neraca volume ditulis dua kali dengan satuan berbeda, tidak menambah informasi. Jumlah persamaan bebas harus sama dengan jumlah besaran yang dicari.

Tiga persamaan atau lebih: eliminasi bertahap dan matriks

Untuk tiga besaran tak diketahui diperlukan tiga persamaan bebas. Cara tangan yang paling sistematis adalah eliminasi bertahap: pakai persamaan pertama untuk menghilangkan besaran pertama dari persamaan kedua dan ketiga, lalu pakai persamaan kedua yang baru untuk menghilangkan besaran kedua dari persamaan ketiga, lalu selesaikan dari bawah ke atas.

Narasi Matematika Teknik mengutip buku teknologi listrik bahwa untuk menyelesaikan jaringan dengan banyak simpal, aljabar matriks sangat menguntungkan, dan bahwa dalam analisis simpul, determinan penyebut sama untuk setiap ungkapan tegangan. Dalam bentuk matriks, sistem ditulis

dengan $\mathbf{A}$ matriks koefisien, $\mathbf{x}$ besaran yang dicari, dan $\mathbf{b}$ ruas kanan. Penyelesaiannya $\mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}$ bila determinan $\mathbf{A}$ tidak nol. Narasi Teknik Elektro dan Elektronika mengutip buku analisis dan perancangan rangkaian listrik yang memuat program komputer untuk menyelesaikan tiga persamaan serentak, dan yang mendefinisikan matriks nol sebagai matriks yang semua unsurnya nol. Di lapangan, matriks diselesaikan dengan lembar kerja, kalkulator ilmiah, atau program, bukan dengan tangan.

Neraca campuran dan neraca massa

Sebagian besar sistem persamaan di pekerjaan servis berasal dari neraca: apa yang masuk sama dengan apa yang keluar, untuk setiap besaran yang kekal. Untuk pencampuran, ada neraca jumlah dan neraca isi:

dengan $c$ kadar, suhu, atau besaran lain yang bercampur secara sebanding volume atau massa. Narasi Kimia mengutip buku teknologi reaksi kimia tentang pencampuran enam bahan dasar untuk menghasilkan bensin; prinsip yang sama berlaku untuk mencampur dua konsentrat bahan kimia, air dari beberapa sumber, atau air panas dan dingin.

Narasi Fluida, Termal, dan Utilitas Industri mengutip buku teknik kimia dengan aplikasi komputer yang meminta laju alir massa setiap aliran keluar yang belum diketahui dihitung. Unit reverse osmosis adalah contoh lapangan yang baik: satu aliran masuk, dua aliran keluar, dan dua neraca, yaitu neraca air dan neraca garam terlarut.

Neraca pencampuran berlaku dengan anggapan tertentu: tidak ada reaksi, tidak ada rugi panas, dan besaran bercampur secara sebanding. Suhu bercampur sebanding massa dikali kalor jenis; kadar bahan kimia bercampur sebanding volume bila kerapatan hampir sama.

Bila kerapatan bahan berbeda jauh, neraca ditulis dalam massa, bukan volume. Konsentrat bahan kimia dengan kerapatan 1,3 kg/L yang dicampur air tidak menghasilkan volume yang persis sama dengan jumlah kedua volume, dan kadar dalam persen berat berbeda dengan persen volume. Karena itu satuan kadar di label bahan kimia, persen berat, persen volume, atau gram per liter, diperiksa lebih dulu, dan neraca disusun dengan satuan yang sama dengan label itu.

Rangkaian listrik sebagai sistem persamaan

Hukum tegangan Kirchhoff untuk setiap simpal menghasilkan satu persamaan linear dengan arus simpal sebagai besaran yang dicari. Narasi Teknik Elektro dan Elektronika mengutip buku dasar teknik elektro yang menyelesaikan sebuah rangkaian dengan metode arus mata jala, yaitu metode arus simpal. Untuk dua simpal dengan hambatan bersama $R_3$:

Arus pada hambatan bersama adalah selisih kedua arus simpal. Cara ini dipakai untuk memeriksa rangkaian sensor jembatan, pembagi tegangan dengan beban, atau dua sumber yang bekerja sejajar, sebelum mengukur di lapangan.

Sistem yang peka terhadap galat ukur

Bila dua garis hampir sejajar, determinan hampir nol, dan perubahan kecil pada angka masukan menggeser titik potong jauh sekali. Sistem seperti ini disebut berkondisi buruk. Di lapangan, keadaan ini muncul bila dua persamaan dibangun dari dua pengukuran yang hampir sama informasinya, misalnya dua sumber air dengan kadar yang hampir sama, atau dua sensor yang dipasang berdekatan.

Tanda sistem berkondisi buruk: determinan kecil dibanding hasil kali koefisiennya, dan hasil yang berubah besar bila salah satu angka masukan diubah sedikit. Cara mengatasinya adalah memilih pengukuran yang lebih berbeda satu sama lain, menambah pengukuran, atau memakai regresi seperti di Bab 7 · Data & Pengukuran, dan selalu menyertakan ketidakpastian hasil.

Lembar kerja dan alat hitung

Narasi Matematika Teknik mengutip buku teknik kimia dengan aplikasi komputer yang memperagakan lembar kerja untuk perhitungan, dan buku listrik, magnet, dan cahaya bahwa bila satu masukan diubah, lembar kerja menghitung ulang semua hasil secara otomatis. Lembar kerja umum mempunyai fungsi untuk membalik matriks dan mengalikannya dengan vektor ruas kanan, sehingga sistem tiga sampai sepuluh persamaan dapat diselesaikan dengan cepat.

Cara kerja yang aman (nilai literatur umum):

1. Tulis koefisien dan ruas kanan di sel yang terpisah dan diberi label satuan.
2. Hitung determinan lebih dulu; bila hampir nol, hentikan dan periksa susunan persamaannya.
3. Hitung penyelesaian dengan fungsi matriks.
4. Periksa dengan mengalikan kembali matriks koefisien dengan hasilnya; hasilnya harus sama dengan ruas kanan.
5. Periksa arti fisis: tidak ada volume, debit, atau massa negatif.

Contoh kerja

Contoh 1: sinyal pemancar tekanan. Pemancar 4 sampai 20 mA dengan rentang 0 sampai 10 bar menunjukkan 13,6 mA. Tekanan $= 0 + (13{,}6 - 4)/16 \times 10 = 6{,}0$ bar. Sebaliknya, pada 7,5 bar arus seharusnya $4 + 16 \times 0{,}75 = 16{,}0$ mA. Bila terukur 15,6 mA pada tekanan acuan 7,5 bar, selisih 0,4 mA setara 0,25 bar menunjukkan perlunya pemeriksaan kalibrasi. Selisih itu dihitung dengan kemiringan garis, yaitu 16 mA untuk 10 bar atau 1,6 mA per bar, sehingga 0,4 mA dibagi 1,6 mA per bar sama dengan 0,25 bar.

Contoh 2: air bilas dari dua keran. Besaran: $x$ air panas, $y$ air dingin. $x + y = 300$ dan $70x + 15y = 40 \times 300 = 12.000$. Substitusi $y = 300 - x$: $55x = 7.500$, sehingga $x = 136{,}4$ L dan $y = 163{,}6$ L. Dengan aturan Cramer, determinan $1 \times 15 - 70 \times 1 = -55$, dan $x = (300 \times 15 - 12.000 \times 1)/(-55) = 136{,}4$ L, sama.

Contoh 3: dua konsentrat. Larutan 20 L berkadar 12% dibuat dari konsentrat A berkadar 30% dan konsentrat B berkadar 5%. $a + b = 20$ dan $0{,}30a + 0{,}05b = 2{,}4$. Eliminasi: kurangkan $0{,}05$ kali persamaan pertama dari persamaan kedua, $0{,}25a = 1{,}4$, jadi $a = 5{,}6$ L dan $b = 14{,}4$ L.

Contoh 4: tiga sumber air. Air 1.000 L dengan TDS 250 mg/L dan kesadahan 130 mg/L dibuat dari air jaringan (TDS 400, kesadahan 200), air reverse osmosis (TDS 20, kesadahan 2), dan air sumur (TDS 600, kesadahan 350). Tiga persamaan: $x + y + z = 1.000$; $400x + 20y + 600z = 250.000$; $200x + 2y + 350z = 130.000$. Penyelesaian dengan lembar kerja: $x = 333{,}3$ L, $y = 488{,}5$ L, $z = 178{,}2$ L, semuanya positif.

Contoh 5: sasaran yang mustahil. Dengan sumber yang sama, sasaran diubah menjadi kesadahan 120 mg/L dan TDS tetap 250 mg/L. Penyelesaiannya $x = 666{,}7$ L, $y = 373{,}6$ L, $z = -40{,}2$ L. Volume negatif berarti sasaran itu tidak dapat dicapai dengan ketiga sumber; salah satu syarat harus dilonggarkan, atau sumber lain diperlukan.

Contoh 6: neraca unit reverse osmosis. Air masuk 1.000 L/jam dengan TDS 500 mg/L. Air produk mempunyai TDS 10 mg/L dan air buangan 1.950 mg/L. $P + C = 1.000$ dan $10P + 1.950C = 500.000$. Substitusi: $C = (500.000 - 10.000)/1.940 = 252{,}6$ L/jam dan $P = 747{,}4$ L/jam, sehingga perolehan $747{,}4/1.000 = 74{,}7\%$. Bila perolehan yang dianjurkan pabrik lebih rendah, setelan katup buangan diperiksa.

Contoh 7: dua simpal. $E_1 = 12$ V, $E_2 = -6$ V (arah berlawanan dengan arus simpal), $R_1 = 2$ Ω, $R_2 = 4$ Ω, $R_3 = 6$ Ω. Persamaan: $8 I_1 - 6 I_2 = 12$ dan $-6 I_1 + 10 I_2 = -6$. Determinan $8 \times 10 - 36 = 44$. $I_1 = (12 \times 10 - (-6)(-6))/44 = 84/44 = 1{,}91$ A dan $I_2 = (8 \times (-6) - (-6) \times 12)/44 = 24/44 = 0{,}55$ A. Arus pada $R_3$ adalah $1{,}91 - 0{,}55 = 1{,}36$ A.

Contoh 8: sistem berkondisi buruk. $x + y = 2$ dan $x + 1{,}01y = 2{,}01$ memberi $x = 1$, $y = 1$. Bila angka 2,01 berubah sedikit menjadi 2,02, penyelesaiannya menjadi $x = 0$, $y = 2$. Perubahan setengah persen pada satu masukan memindahkan hasil seluruhnya. Pengukuran yang memberi persamaan seperti ini tidak dapat dipakai untuk memisahkan $x$ dan $y$.

Contoh 9: memeriksa hasil lembar kerja. Pada Contoh 4, hasil $x$, $y$, $z$ dikalikan kembali dengan matriks koefisien: $333{,}3 + 488{,}5 + 178{,}2 = 1.000$; $400 \times 333{,}3 + 20 \times 488{,}5 + 600 \times 178{,}2 = 250.000$; $200 \times 333{,}3 + 2 \times 488{,}5 + 350 \times 178{,}2 = 130.000$, dengan selisih pembulatan kecil. Ketiganya cocok, sehingga tidak ada salah ketik koefisien.

Kondisi berhenti

Hentikan perhitungan dan periksa susunan persamaan, atau minta pemeriksaan orang lain, bila:

1. Jumlah persamaan bebas tidak sama dengan jumlah besaran yang dicari.
2. Determinan nol atau hampir nol dibanding koefisiennya.
3. Hasil memuat volume, massa, debit, atau arus yang tidak masuk akal, seperti negatif untuk besaran yang selalu positif.
4. Hasil berubah besar ketika satu angka masukan diubah sedikit.
5. Hasil akan dipakai untuk dosis bahan kimia, mutu air minum, atau setelan pengaman tanpa diukur ulang setelah diterapkan.

Salah tafsir yang sering terjadi

1. "Dua persamaan selalu cukup untuk dua besaran." Hanya bila keduanya saling bebas.
2. "Hasil negatif hanya salah hitung." Sering itu tanda sasaran yang mustahil dengan bahan yang ada.
3. "Lembar kerja tidak mungkin salah." Salah ketik koefisien hanya tertangkap dengan substitusi balik.
4. "Lebih banyak persamaan selalu lebih baik." Persamaan yang hampir sama informasinya membuat sistem peka.
5. "Neraca campuran berlaku untuk apa saja." Hanya untuk besaran yang bercampur sebanding dan tanpa reaksi atau rugi.
6. "Coba-coba di lapangan lebih cepat." Hitungan dua menit biasanya menghemat setengah jam coba-coba dan bahan yang terbuang.
7. "Persamaan yang sudah benar tidak perlu diperiksa di lapangan." Anggapan neraca, seperti tanpa rugi panas atau kerapatan sama, jarang tepat sekali; hasil hitungan dipakai sebagai setelan awal, lalu besaran sebenarnya diukur dan disesuaikan.

Hubungan dengan bab lain

Bab 6 memberi aturan membalik rumus, Bab 2 fungsi dan grafik, Bab 1 rasio dan persen, Bab 2 · Kelistrikan & Kendali pemetaan sinyal instrumen, dan Bab 7 · Data & Pengukuran garis lurus dari data yang tersebar. Bab berikutnya di rak ini membahas trigonometri lapangan dan komponen vektor.

Latihan dan pembahasan

1. Pemancar suhu 4 sampai 20 mA dengan rentang 0 sampai 150 °C menunjukkan 12,0 mA. Berapa suhunya, dan berapa arus pada 120 °C?
2. Bak 500 L berisi air 45 °C dibuat dari air 80 °C dan 20 °C. Berapa masing-masing?
3. Larutan 10 L berkadar 8% dibuat dari konsentrat 25% dan 2%. Berapa masing-masing?
4. Unit reverse osmosis menerima 600 L/jam berkadar 800 mg/L; produk 20 mg/L dan buangan 2.600 mg/L. Hitung debit produk, debit buangan, dan perolehan.
5. Mengapa dua persamaan dari dua sumber air yang kadarnya hampir sama menghasilkan penyelesaian yang tidak dapat dipercaya?
6. Apa arti determinan nol pada sistem dua persamaan, secara aljabar dan secara grafis?

Kunci jawaban beralasan

1. $T = (12{,}0 - 4)/16 \times 150 = 75$ °C, tepat di tengah rentang seperti seharusnya untuk 12 mA. Pada 120 °C, $I = 4 + 16 \times 120/150 = 16{,}8$ mA.
2. $x + y = 500$ dan $80x + 20y = 22.500$. $60x = 12.500$, jadi $x = 208{,}3$ L air 80 °C dan $y = 291{,}7$ L air 20 °C.
3. $a + b = 10$ dan $0{,}25a + 0{,}02b = 0{,}8$. $0{,}23a = 0{,}6$, jadi $a = 2{,}61$ L konsentrat 25% dan $b = 7{,}39$ L konsentrat 2%.
4. $C = (600 \times 800 - 600 \times 20)/(2.600 - 20) = 181{,}4$ L/jam, $P = 418{,}6$ L/jam, perolehan $69{,}8\%$.
5. Kedua persamaan hampir sejajar, sehingga determinan hampir nol dan galat ukur kecil menggeser hasil jauh. Penyelesaian seperti itu tidak memisahkan kedua besaran dengan andal.
6. Secara aljabar, penyebut aturan Cramer nol, sehingga tidak ada penyelesaian tunggal. Secara grafis, kedua garis sejajar (tidak ada penyelesaian) atau berimpit (tak hingga penyelesaian); dalam kedua keadaan, persamaan perlu disusun ulang atau ditambah informasi.

Referensi