Korelasi dan regresi: diagram pencar, koefisien korelasi, garis kuadrat terkecil, residu, koefisien determinasi, kurva kalibrasi, dan batas ekstrapolasi

Seorang teknisi menyiapkan garis kalibrasi untuk dispenser bahan kimia. Ia mengukur debit pada lima setelan, 20%, 30%, 40%, 50%, dan 60%, menggambar titik-titiknya, dan mendapat garis yang hampir sempurna. Pelanggan lalu meminta setelan 80% untuk program cuci berat. Dari garis itu, debitnya diperkirakan sekitar 399 mililiter per menit. Uji di lapangan sebulan kemudian menunjukkan debit sebenarnya hanya sekitar 352 mililiter per menit, kira-kira 12% lebih rendah, karena pada kecepatan tinggi selang pompa tidak lagi terisi penuh.

Pada minggu yang sama, seorang penyelia menunjukkan grafik bulanan: makin banyak deterjen dipakai, makin sedikit keluhan noda per kilogram linen. Ia mengusulkan menaikkan dosis. Ketika data dipisah menurut bulan, ternyata kedua angka itu sama-sama mengikuti musim tamu: pada bulan ramai, linen lebih banyak, deterjen lebih banyak, dan linen lebih cepat berputar sehingga noda lama lebih jarang menumpuk. Garis yang bagus dan korelasi yang kuat sama-sama dapat menyesatkan bila dipakai di luar batasnya. Bab ini menjelaskan cara membaca dan memakai hubungan antara dua besaran dengan jujur.

Batas pembahasan

Bab ini membahas hubungan antara dua besaran: diagram pencar, koefisien korelasi, korelasi dan sebab, regresi linear sederhana dengan kuadrat terkecil, residu, koefisien determinasi, linearisasi, kurva kalibrasi dan prediksi terbalik, serta interpolasi dan ekstrapolasi. Regresi berganda dan regresi tak linear hanya disebut. Ringkasan data ada di Bab 2; tren waktu dan diagram kendali di Bab 3; bias dan linearitas alat ukur di Bab 4; ketidakpastian gabungan di Bab 5; uji pembeda untuk mencari sebab di Bab 3 · Sistem, Diagram & Diagnosis; kalibrasi dispenser di Bab 1 · Dispensing Kimia. Sumbernya adalah narasi Fluida, Termal, dan Utilitas Industri, narasi Teknik Elektro dan Elektronika, dan narasi Ilmu Material, ditambah pengetahuan statistik umum yang ditandai di peta sumber. Rumus di bab ini adalah rumus baku (nilai literatur umum); angka dalam contoh adalah angka latihan.

Diagram pencar

Langkah pertama selalu menggambar data. Diagram pencar menempatkan satu besaran pada sumbu mendatar, biasanya yang diatur atau dianggap penyebab, dan besaran lain pada sumbu tegak. Dari gambar itu terlihat:

1. Arah: naik, turun, atau tidak ada pola.
2. Bentuk: lurus, melengkung, jenuh, atau berundak.
3. Kekuatan: titik rapat di sekitar garis atau tersebar lebar.
4. Titik menyimpang: satu atau dua titik yang jauh dari pola, mungkin salah catat, mungkin keadaan yang berbeda.
5. Kelompok: dua gumpalan titik yang menunjukkan data dari dua sumber bercampur.

Narasi Teknik Elektro dan Elektronika mengutip buku panduan elektronika bahwa pada fungsi linear yang berupa garis lurus, kemiringannya tetap, seperti resistansi pada grafik tegangan terhadap arus; narasi Fluida, Termal, dan Utilitas Industri mengutip buku pengantar fisika bahwa kemiringan garis grafik jarak terhadap waktu sebanding dengan kecepatan benda. Kemiringan diagram pencar mempunyai arti fisis bila satuan kedua sumbu dicatat.

Koefisien korelasi

Koefisien korelasi Pearson mengukur seberapa dekat titik-titik pada sebuah garis lurus:

dan $S_{yy}$ dihitung dengan cara yang sama untuk $y$. Nilainya antara $-1$ dan $+1$. Nilai dekat $+1$ berarti titik hampir pada garis naik, dekat $-1$ pada garis turun, dan dekat 0 berarti tidak ada hubungan garis lurus.

Tiga batas koefisien korelasi (nilai literatur umum):

1. Ia hanya mengukur hubungan garis lurus. Hubungan lengkung yang kuat dapat memberi $r$ kecil.
2. Ia peka pada titik menyimpang. Satu titik salah catat dapat menaikkan atau menurunkan $r$ dengan banyak.
3. Ia tidak menunjukkan besarnya pengaruh. Dua besaran dapat berkorelasi sangat kuat walaupun perubahan satu hanya sedikit mengubah yang lain.

Korelasi dan sebab

Korelasi tidak sama dengan sebab. Ada beberapa alasan dua besaran tampak berhubungan tanpa yang satu menyebabkan yang lain:

1. Pengganggu: besaran ketiga menggerakkan keduanya, seperti jumlah tamu pada kasus pembuka.
2. Arah terbalik: yang tampak akibat sebenarnya sebab. Mesin yang sering rusak mendapat lebih banyak kunjungan servis, sehingga kunjungan servis tampak "menyebabkan" kerusakan.
3. Kebetulan: dengan sedikit titik, korelasi kuat dapat muncul secara acak.
4. Pemilihan: data hanya dari keadaan tertentu, misalnya hanya mesin yang dilaporkan rusak.

Kebetulan dapat dinilai kasar dengan batas korelasi kritis. Untuk peluang sekitar 5% bahwa korelasi sebesar itu muncul hanya karena acak, batasnya sekitar 0,88 untuk 5 titik, 0,63 untuk 10 titik, dan 0,44 untuk 20 titik (nilai literatur umum). Korelasi 0,7 dari lima bulan data belum cukup untuk menyimpulkan apa pun; korelasi yang sama dari dua puluh minggu lebih meyakinkan, walaupun tetap belum membuktikan sebab.

Untuk membuktikan sebab diperlukan uji yang mengubah satu besaran dengan sengaja sambil menahan yang lain, seperti uji pembeda di Bab 3 · Sistem, Diagram & Diagnosis, atau perbandingan terkendali seperti di bab berikutnya rak ini. Pemisahan data menurut kelompok, atau penormalan seperti keluhan per seribu lembar, sering memperlihatkan pengganggu.

Garis kuadrat terkecil

Narasi Ilmu Material mengutip buku latihan kimia sekolah menengah yang bertanya apakah garis terbaik yang sesuai sudah digambar melalui titik-titik yang diplot. Garis terbaik yang baku adalah garis kuadrat terkecil, yang membuat jumlah kuadrat jarak tegak titik ke garis sekecil mungkin:

Kemiringan $b$ adalah perubahan rata-rata $y$ untuk setiap satuan $x$, dan potongan $a$ adalah nilai $y$ saat $x = 0$. Potongan hanya bermakna bila $x = 0$ berada di dalam atau dekat rentang data.

Narasi Teknik Elektro dan Elektronika mengutip kurikulum teknik elektro yang meminta mahasiswa memahami peramalan beban dan menyelesaikan soal dengan analisis regresi; cara hitungnya sama untuk debit, suhu, atau arus.

Residu dan memeriksa model

Residu adalah selisih nilai teramati dengan nilai dari garis: $e_i = y_i - \hat{y}_i$. Residu yang baik tersebar acak di sekitar nol tanpa pola. Pola pada residu menunjukkan model tidak cocok:

1. Residu negatif di kedua ujung dan positif di tengah, atau sebaliknya: hubungan melengkung.
2. Residu makin lebar ke satu arah: sebaran berubah menurut $x$.
3. Residu berurutan menurut waktu yang membentuk tren: ada besaran lain yang bergeser.

Simpangan baku residu menunjukkan seberapa jauh titik biasanya dari garis:

Penyebut $n - 2$ karena dua parameter, $a$ dan $b$, sudah ditaksir dari data. Untuk perkiraan kasar, nilai baru diharapkan berada dalam sekitar $\pm 2 s_e$ dari garis di dalam rentang data.

Koefisien determinasi

Koefisien determinasi menyatakan bagian variasi $y$ yang dijelaskan garis:

Untuk regresi linear sederhana, $R^2 = r^2$. Nilai $R^2$ yang tinggi tidak membuktikan model benar. Hubungan melengkung dapat memberi $R^2$ di atas 0,98 dengan residu yang jelas berpola, seperti pada Contoh 3. Karena itu residu selalu diperiksa bersama $R^2$.

Linearisasi

Banyak hubungan teknis tidak lurus tetapi dapat diluruskan dengan mengubah skala. Narasi Fluida, Termal, dan Utilitas Industri mengutip buku kimia umum bahwa memplot data tertentu menghasilkan garis lurus yang menunjukkan reaksi memang berorde satu. Garis lurus setelah pengubahan skala adalah cara sederhana menguji apakah model yang diduga cocok. Bentuk yang umum (nilai literatur umum):

1. Peluruhan eksponensial $y = y_0 e^{-kt}$: plot $\ln y$ terhadap $t$ lurus dengan kemiringan $-k$. Contohnya klorin sisa yang berkurang di tangki.
2. Pangkat $y = c x^m$: plot $\log y$ terhadap $\log x$ lurus dengan kemiringan $m$. Contohnya hubungan debit dan beda tekanan pada lubang.
3. Kebalikan $y = a + b/x$: plot $y$ terhadap $1/x$ lurus.

Setelah linearisasi, kuadrat terkecil dihitung pada data yang sudah diubah. Hasil diubah kembali ke bentuk asal untuk dipakai.

Kurva kalibrasi dan prediksi terbalik

Kurva kalibrasi menghubungkan masukan yang diketahui dengan keluaran alat, lalu dipakai terbalik: dari keluaran yang terbaca, dicari masukan yang menghasilkannya, atau dari debit yang diinginkan dicari setelan.

Ketidakpastian prediksi terbalik paling kecil di tengah rentang kalibrasi dan membesar ke ujung. Perkiraan simpangan bakunya (nilai literatur umum) untuk satu pembacaan baru:

Suku pertama di bawah akar berasal dari sebaran pembacaan baru, suku kedua dari ketidakpastian letak garis, dan suku ketiga membesar bila $y$ jauh dari pusat data. Titik kalibrasi sebaiknya mencakup seluruh rentang pemakaian dengan jarak yang merata, dan beberapa titik diulang supaya sebaran dapat dinilai. Bila residu menunjukkan ketaklinearan, seperti galat ketaklinearan transmiter di Bab 4, dipakai kurva bertitik banyak atau tabel koreksi.

Interpolasi dan batas ekstrapolasi

Interpolasi adalah memakai garis di antara titik yang diukur; ekstrapolasi adalah memakainya di luar. Narasi Fluida, Termal, dan Utilitas Industri mengutip buku plambing praktis bahwa nilai di antara beban dalam tabel boleh diinterpolasi, dan mengutip buku perancangan teknik kimia bahwa korelasi dalam sebuah tabel hanya berlaku di antara batas bawah dan atas yang ditunjukkan. Narasi yang sama mengutip buku perhitungan perpindahan panas bahwa banyak korelasi diturunkan dari percobaan pada unit laboratorium yang relatif kecil, dan bahwa bila pemeriksaan gagal untuk suatu keadaan, harus dicari korelasi yang lebih mewakili. Buku pegangan katup dan perpipaan dalam narasi itu juga mencatat bahwa rugi pada belokan sulit dinilai selain dengan cara empiris.

Prinsipnya: garis empiris hanya berlaku pada rentang dan keadaan data asalnya. Di luar rentang, mekanisme fisis dapat berubah, seperti pompa yang jenuh, aliran yang berubah dari laminer ke turbulen, atau pemanas yang mencapai batas dayanya. Bila ekstrapolasi tidak dapat dihindari, beri catatan, perlakukan hasil sebagai perkiraan, dan ukur langsung sesegera mungkin.

Data yang baik untuk regresi

Garis hanya sebaik data yang membentuknya. Hal yang perlu diperhatikan saat mengumpulkan data untuk regresi di lapangan (nilai literatur umum):

1. Rentang $x$ cukup lebar dan mencakup seluruh rentang pemakaian. Titik yang berdesakan di rentang sempit memberi kemiringan yang sangat tidak pasti.
2. $x$ diatur atau diukur lebih teliti daripada $y$. Kuadrat terkecil biasa menganggap kesalahan hanya ada pada $y$. Bila kedua besaran sama tidak telitinya, kemiringan cenderung terlalu landai.
3. Titik diambil dalam urutan acak, tidak selalu dari kecil ke besar, supaya pergeseran alat atau pemanasan mesin selama pengujian tidak tercampur dengan pengaruh $x$.
4. Beberapa titik diulang, supaya sebaran murni dapat dibandingkan dengan sebaran di sekitar garis. Bila sebaran di sekitar garis jauh lebih besar daripada sebaran ulangan, model tidak cocok.
5. Keadaan uji dicatat: suhu cairan, kekentalan bahan kimia, panjang dan umur selang, tegangan pasokan. Garis yang dibuat dengan bahan kimia encer belum tentu berlaku untuk bahan kimia yang kental.

Garis kalibrasi lapangan juga diberi tanggal dan nama pembuatnya, dan diperiksa ulang setelah penggantian bagian yang mempengaruhi hubungan itu, seperti selang pompa atau sensor.

Contoh kerja

Contoh 1: garis kalibrasi dispenser. Data setelan $x$ (%) dan debit $y$ (mL/min): (20; 102), (30; 148), (40; 205), (50; 251), (60; 298). Rata-rata $\bar{x} = 40$ dan $\bar{y} = 200{,}8$; $S_{xx} = 1.000$, $S_{xy} = 4.950$, $S_{yy} = 24.534{,}8$. Kemiringan $b = 4.950/1.000 = 4{,}95$ mL/min per persen, potongan $a = 200{,}8 - 4{,}95 \times 40 = 2{,}8$ mL/min, dan $r = 4.950/\sqrt{1.000 \times 24.534{,}8} = 0{,}9993$.

Contoh 2: residu dan simpangan baku residu. Residu Contoh 1: $0{,}2$; $-3{,}3$; $4{,}2$; $0{,}7$; $-1{,}8$ mL/min, tersebar tanpa pola. Jumlah kuadrat residu 32,3 dan $s_e = \sqrt{32{,}3/3} = 3{,}3$ mL/min. Di dalam rentang 20% sampai 60%, debit pada setelan tertentu diperkirakan dalam sekitar $\pm 7$ mL/min dari garis.

Contoh 3: R kuadrat tinggi, model salah. Dua titik ditambahkan: (70; 330) dan (80; 352). Garis baru $b = 4{,}31$, $a = 25{,}3$, dan $R^2 = 0{,}984$. Tetapi residunya $-9{,}5$; $-6{,}6$; $7{,}3$; $10{,}1$; $14{,}0$; $2{,}9$; $-18{,}2$: negatif di kedua ujung, positif di tengah. Hubungan melengkung karena pompa jenuh; garis lurus tidak cocok untuk seluruh rentang.

Contoh 4: ekstrapolasi. Garis Contoh 1 memperkirakan debit pada 80% sebesar $2{,}8 + 4{,}95 \times 80 = 398{,}8$ mL/min. Pengukuran langsung 352 mL/min. Galat $46{,}8$ mL/min atau sekitar 12%, jauh di luar $\pm 2 s_e$, karena 80% berada di luar rentang data dan mekanismenya berubah.

Contoh 5: prediksi terbalik. Pelanggan meminta 220 mL/min. Dari garis Contoh 1, $x = (220 - 2{,}8)/4{,}95 = 43{,}9\%$. Dengan $s_e = 3{,}28$ dan $n = 5$, $s_x \approx (3{,}28/4{,}95)\sqrt{1 + 0{,}2 + 19{,}2^2/(4{,}95^2 \times 1.000)} = 0{,}73$ persen setelan, sehingga setelan yang benar kira-kira dalam $\pm 1{,}5$ persen dari 43,9%. Dispenser disetel 44%, lalu debit diperiksa langsung sekali untuk memastikan.

Contoh 6: satu titik menyimpang. Bila debit pada 60% salah dicatat 180 mL/min, bukan 298, korelasi turun menjadi $r = 0{,}73$ dan kemiringan menjadi 2,59. Diagram pencar langsung menunjukkan satu titik di luar pola. Titik itu diperiksa ke catatan asli atau diukur ulang; ia tidak dibuang hanya karena tidak cocok.

Contoh 7: linearisasi klorin sisa. Klorin sisa di tangki air: 2,0; 1,6; 1,3; 1,05 mg/L pada jam ke-0, 1, 2, dan 3. Nilai $\ln C$: 0,693; 0,470; 0,262; 0,049. Kuadrat terkecil memberi kemiringan $-0{,}214$ per jam, jadi $k = 0{,}214$ per jam dan waktu paruh $\ln 2/0{,}214 = 3{,}2$ jam. Dengan model ini, klorin sisa diperkirakan turun di bawah 0,5 mg/L setelah $\ln(2{,}0/0{,}5)/0{,}214 = 6{,}5$ jam, perkiraan yang perlu diperiksa dengan pengukuran karena di luar rentang data.

Contoh 8: korelasi karena pengganggu. Dua belas bulan data memberi $r = 0{,}8$ antara pemakaian deterjen dan jumlah linen yang dicuci, dan $r = -0{,}7$ antara pemakaian deterjen dan keluhan per seribu lembar. Ketika dosis per kilogram linen dihitung, angkanya hampir tetap sepanjang tahun. Pemakaian deterjen naik karena linen bertambah, bukan karena dosis berubah, sehingga kesimpulan "deterjen lebih banyak mengurangi noda" tidak didukung data.

Contoh 9: kemiringan elektroda pH. pH meter dikalibrasi dengan dua larutan penyangga: pH 7,00 memberi 0 mV dan pH 4,01 memberi +171 mV. Kemiringan $(0 - 171)/(7{,}00 - 4{,}01) = -57{,}2$ mV per pH. Dibandingkan nilai teoretis sekitar $-59{,}16$ mV per pH pada 25 °C (nilai literatur umum), kemiringannya sekitar 96,7%. Banyak pabrik pH meter menganggap kemiringan sekitar 95% sampai 102% masih baik; di bawah itu elektroda dibersihkan atau diganti, mengikuti manual alat. Dua titik selalu menghasilkan garis yang lewat tepat melalui keduanya, sehingga kalibrasi dua titik tidak dapat menunjukkan ketaklinearan; untuk itu diperlukan larutan ketiga, misalnya pH 10,01, sebagai pemeriksaan.

Kondisi berhenti

Hentikan pemakaian garis atau korelasi untuk keputusan dan minta keputusan penyelia bila:

1. Garis dipakai di luar rentang data untuk setelan yang menyangkut keselamatan atau dosis bahan kimia, tanpa pengukuran langsung.
2. Residu menunjukkan pola yang jelas, tetapi garis lurus tetap dipakai.
3. Korelasi akan dipakai untuk mengubah dosis, suhu, atau prosedur tanpa uji yang menahan pengganggu.
4. Titik menyimpang dibuang tanpa alasan yang tercatat.
5. Kurva kalibrasi pabrik atau standar berbeda dari kurva lapangan, dan sebabnya belum diketahui.

Salah tafsir yang sering terjadi

1. "Korelasi kuat berarti sebab." Pengganggu, arah terbalik, dan kebetulan dapat memberi korelasi kuat.
2. "R kuadrat 0,98 berarti model benar." Residu dapat berpola walaupun $R^2$ tinggi.
3. "Garis yang bagus berlaku di mana saja." Garis empiris hanya berlaku pada rentang dan keadaan datanya.
4. "r mendekati nol berarti tidak ada hubungan." Hubungan lengkung yang kuat dapat memberi $r$ kecil.
5. "Titik yang tidak cocok dibuang saja." Titik menyimpang diperiksa, tidak dibuang tanpa alasan.
6. "Potongan garis selalu bermakna." Hanya bila $x = 0$ dekat rentang data.

Hubungan dengan bab lain

Bab 2 memberi rata-rata dan simpangan baku, Bab 3 tren waktu, Bab 4 bias dan linearitas alat ukur, Bab 5 ketidakpastian yang ikut dalam setiap titik, Bab 3 · Sistem, Diagram & Diagnosis uji pembeda untuk membuktikan sebab, dan Bab 1 · Dispensing Kimia kalibrasi dispenser di lapangan. Bab berikutnya di rak ini membahas uji perbandingan sederhana untuk menilai apakah perubahan benar-benar berpengaruh.

Latihan dan pembahasan

1. Data $x$: 1, 2, 3, 4, 5 dan $y$: 2, 4, 5, 4, 5. Hitung $b$, $a$, dan $r$.
2. Untuk data latihan 1, hitung residu dan $s_e$.
3. Garis kalibrasi sensor $y = 0{,}12 + 1{,}98x$, dengan $y$ dalam volt dan $x$ dalam bar. Pembacaan 6,06 V. Berapa tekanannya?
4. Hubungan debit lubang $Q = c\,\Delta p^m$. Bagaimana menentukan $c$ dan $m$ dari data dengan regresi linear?
5. Garis kalibrasi debit dibuat dari setelan 20% sampai 60%. Mengapa tidak boleh langsung dipakai untuk 90%?
6. Sebuah analisis memberi $R^2 = 0{,}99$, tetapi residu membentuk lengkung. Apa yang dilakukan?

Kunci jawaban beralasan

1. $\bar{x} = 3$, $\bar{y} = 4$, $S_{xx} = 10$, $S_{xy} = 6$, $S_{yy} = 6$. $b = 0{,}6$, $a = 4 - 0{,}6 \times 3 = 2{,}2$, $r = 6/\sqrt{10 \times 6} = 0{,}77$.
2. Nilai garis 2,8; 3,4; 4,0; 4,6; 5,2, sehingga residu $-0{,}8$; $0{,}6$; $1{,}0$; $-0{,}6$; $-0{,}2$. Jumlah kuadrat 2,4 dan $s_e = \sqrt{2{,}4/3} = 0{,}89$.
3. $x = (6{,}06 - 0{,}12)/1{,}98 = 3{,}0$ bar, dengan syarat 3,0 bar berada di dalam rentang kalibrasi. Bila rentang kalibrasi hanya sampai 2,5 bar, angka 3,0 bar adalah ekstrapolasi; hasil dicatat sebagai perkiraan dan sensor diperiksa dengan manometer acuan pada tekanan itu sebelum dipakai untuk keputusan.
4. Ambil logaritma: $\log Q = \log c + m \log \Delta p$. Plot $\log Q$ terhadap $\log \Delta p$, hitung garis kuadrat terkecil; kemiringannya $m$ dan potongannya $\log c$, lalu $c = 10^{\text{potongan}}$.
5. 90% di luar rentang data. Pompa dapat jenuh, selang tidak terisi penuh, atau motor mencapai batas kecepatannya, sehingga hubungan berubah. Debit pada 90% diukur langsung, atau kalibrasi diperluas sampai mencakup 90%.
6. Model garis lurus tidak cocok walaupun $R^2$ tinggi. Coba linearisasi yang sesuai dengan mekanismenya, pakai kurva atau tabel koreksi bertitik banyak, atau batasi pemakaian garis pada bagian rentang yang residunya acak.

Referensi