Ketidakpastian gabungan dan anggaran ketidakpastian: model pengukuran, koefisien sensitivitas, distribusi komponen tipe B, korelasi, derajat kebebasan efektif, dan pelaporan

Seorang teknisi memeriksa debit pompa dispenser setelah mengganti selangnya. Ia menampung keluaran pompa di gelas ukur sampai garis 250 mililiter dan mencatat waktunya dengan stopwatch ponsel, enam kali. Rata-rata waktunya sekitar 30,1 detik, jadi debitnya kira-kira 499 mililiter per menit. Target pabrik untuk setelan itu 500 plus minus 25 mililiter per menit (angka latihan).

Pelanggan bertanya seberapa yakin angka itu. Teknisi menjawab dengan menjumlahkan semua yang ia tahu: toleransi gelas ukur, kesalahan membaca garis, waktu reaksi menekan stopwatch, dan sebaran enam ulangan, semuanya dijumlahkan begitu saja dan masing-masing diambil pada nilai terburuknya. Hasilnya rentang yang lebar dan tidak jelas artinya. Ia tidak tahu apakah rentang itu "pasti" atau "kemungkinan besar", dan tidak tahu bagian mana yang paling berpengaruh. Bab ini menjelaskan cara menyusun ketidakpastian gabungan dengan baku, sehingga angka plus minus mempunyai arti yang jelas dan dapat diperiksa orang lain.

Batas pembahasan

Bab ini membahas penyusunan ketidakpastian pengukuran menurut pendekatan pedoman ketidakpastian pengukuran yang dipakai luas (disebut tanpa menyalin isinya): model pengukuran, tipe A dan tipe B, distribusi, koefisien sensitivitas, penggabungan, korelasi, derajat kebebasan efektif, anggaran, pelaporan, dan pengurangan ketidakpastian. Dasar tipe A, tipe B, akar jumlah kuadrat, dan faktor cakupan diperkenalkan di Bab 1; angka penting di Bab 3 · Satuan & Matematika; sertifikat kalibrasi dan aturan keputusan di Bab 61 · Kelistrikan & Kendali; variasi sistem pengukuran di Bab 4; simpangan baku di Bab 2. Metode simulasi Monte Carlo hanya disebut. Sumbernya adalah narasi Satuan dan Pengukuran, narasi Logika dan Sistem Teknis, dan narasi Kimia, ditambah pengetahuan ketidakpastian umum yang ditandai di peta sumber. Rumus di bab ini adalah rumus baku (nilai literatur umum); angka dalam contoh adalah angka latihan.

Model pengukuran

Narasi Logika dan Sistem Teknis mengutip buku pegangan teknik manufaktur bahwa ketidakpastian adalah kenyataan yang selalu ada dalam kadar tertentu, dan narasi Kimia mengutip buku kimia umum tentang betapa pentingnya ketelitian percobaan bagi ilmu yang kuantitatif. Langkah pertama untuk menyatakan ketidakpastian adalah menulis model pengukuran: rumus yang menghubungkan besaran yang dicari dengan besaran yang diukur.

$$y = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$$

Narasi Satuan dan Pengukuran mengutip buku elektronika dasar bahwa daya dihitung dari hasil pengukuran arus dan tegangan; modelnya $P = V I$ untuk beban resistif. Debit pompa dalam kasus pembuka mempunyai model $Q = V/t$. Narasi yang sama mengutip buku matematika operator sistem air bahwa besaran dan simbol dalam persamaan harus dinyatakan dalam satuan yang serupa.

Model yang baik juga memuat koreksi yang diketahui, misalnya koreksi bias termometer dari sertifikat, walaupun nilai koreksinya nol, karena koreksi itu membawa ketidakpastiannya sendiri. Setiap besaran yang dapat mengubah hasil, termasuk suhu ruang atau waktu reaksi orang, perlu dipertimbangkan sebagai masukan atau dicatat sebagai diabaikan dengan alasan.

Ketidakpastian baku setiap masukan

Setiap masukan diberi ketidakpastian baku $u(x_i)$, yaitu ketidakpastian yang dinyatakan setara satu simpangan baku.

Tipe A dihitung dari ulangan pengukuran:

$$u(\bar{x}) = \frac{s}{\sqrt{n}}$$

dengan $s$ simpangan baku $n$ ulangan, seperti di Bab 2. Derajat kebebasannya $n - 1$.

Tipe B diambil dari informasi lain: sertifikat kalibrasi, spesifikasi pabrik, kelas toleransi, resolusi, atau pengalaman. Narasi Satuan dan Pengukuran mengutip buku elektronika bahwa spesifikasi karakteristik komponen biasanya disajikan oleh pabrik pembuatnya, dan bahwa kapasitansi nominal kondensator juga mempunyai toleransi. Spesifikasi seperti itu adalah bahan tipe B, setelah diubah menjadi ketidakpastian baku dengan distribusi yang sesuai.

Distribusi untuk komponen tipe B

Batas plus minus $a$ dari spesifikasi diubah menjadi ketidakpastian baku menurut anggapan bentuk sebarannya (nilai literatur umum):

1. Persegi atau seragam: bila hanya diketahui nilai pasti berada di antara $-a$ dan $+a$ tanpa kecenderungan ke tengah. $u = a/\sqrt{3}$. Ini anggapan umum untuk spesifikasi pabrik dan kelas toleransi.
2. Segitiga: bila nilai lebih mungkin di tengah daripada di tepi, misalnya kesalahan membaca garis skala oleh orang yang terlatih. $u = a/\sqrt{6}$.
3. Normal: bila sertifikat menyatakan ketidakpastian diperluas $U$ dengan faktor cakupan $k$. $u = U/k$.
4. Resolusi tampilan digital: narasi Satuan dan Pengukuran mengutip buku dasar instrumentasi dan pengukuran bahwa tampilan dilakukan dengan sejumlah angka tertentu. Angka terakhir menutupi setengah langkah ke atas dan ke bawah, sehingga dengan langkah $d$, $a = d/2$ dan $u = d/\sqrt{12}$.

Bila tidak jelas bentuk mana yang cocok, distribusi persegi memberi nilai yang lebih aman.

Koefisien sensitivitas

Masukan yang berbeda mempengaruhi hasil dengan kekuatan yang berbeda. Koefisien sensitivitas menyatakan perubahan hasil untuk perubahan kecil satu masukan:

$$c_i = \frac{\partial f}{\partial x_i}$$

Untuk $Q = V/t$, $c_V = 1/t$ dan $c_t = -V/t^2$. Bila turunan sulit ditulis, koefisien dapat dihitung secara numerik: ubah satu masukan sebesar ketidakpastiannya, hitung ulang hasil, dan catat perubahannya.

Untuk model yang hanya berupa perkalian dan pembagian, seperti $Q = V/t$ atau $P = VI$, ada bentuk yang lebih sederhana: ketidakpastian relatif hasil adalah akar jumlah kuadrat ketidakpastian relatif masukan, masing-masing dikalikan pangkatnya dalam rumus.

Menggabungkan ketidakpastian

Bila masukan saling bebas, ketidakpastian baku gabungan adalah:

$$u_c(y) = \sqrt{\sum_i \left(c_i\, u(x_i)\right)^2}$$

dan untuk model perkalian dan pembagian:

$$\frac{u_c(y)}{y} = \sqrt{\sum_i \left(p_i \frac{u(x_i)}{x_i}\right)^2}$$

dengan $p_i$ pangkat masukan dalam rumus.

Narasi Satuan dan Pengukuran mengutip panduan ujian kimia bahwa bila besaran berketidakpastian dijumlahkan atau dikurangkan, ketidakpastian mutlaknya dijumlahkan. Aturan itu adalah aturan keadaan terburuk: semua kesalahan dianggap terjadi bersamaan pada arah yang sama. Aturan itu sederhana dan aman, tetapi untuk banyak masukan yang saling bebas ia melebihkan ketidakpastian, karena kesalahan acak yang bebas jarang semuanya searah. Narasi yang sama mengutip buku matematika operator sistem air bahwa pada penjumlahan panjang, hasil dibatasi oleh pengukuran yang paling tidak teliti; dalam penggabungan kuadrat, kontributor terbesar juga menguasai hasil.

Korelasi

Bila dua masukan dipengaruhi sumber kesalahan yang sama, keduanya berkorelasi dan penggabungan perlu suku tambahan:

$$u_c^2 = \sum_i (c_i u_i)^2 + 2 \sum_{i<j} c_i c_j u_i u_j r_{ij}$$

dengan $r_{ij}$ koefisien korelasi antara $-1$ dan $+1$. Contoh paling umum dalam servis: selisih suhu masuk dan keluar penukar panas yang diukur dengan termometer yang sama. Bias termometer muncul pada kedua pembacaan dan saling menghapus pada selisihnya. Sebaliknya, dua pembacaan yang dikoreksi dengan acuan yang sama lalu dijumlahkan membawa kesalahan acuan dua kali. Bila korelasi tidak diketahui, ketidakpastian dihitung untuk $r = 0$ dan $r = 1$, lalu dipilih yang lebih aman untuk keputusan.

Derajat kebebasan efektif dan faktor cakupan

Ketidakpastian diperluas $U = k\,u_c$ memberi selang yang diharapkan mencakup nilai besaran dengan peluang tertentu. Faktor $k = 2$ memberi peluang sekitar 95% bila $u_c$ diketahui dengan baik. Bila salah satu komponen tipe A dengan sedikit ulangan menguasai anggaran, $u_c$ sendiri kurang pasti, dan $k$ perlu lebih besar.

Derajat kebebasan efektif diperkirakan dengan rumus Welch-Satterthwaite (nilai literatur umum):

$$\nu_{\text{eff}} = \frac{u_c^4}{\sum_i \dfrac{(c_i u_i)^4}{\nu_i}}$$

Komponen tipe B yang batasnya diketahui dengan baik diberi derajat kebebasan sangat besar. Faktor $k$ lalu diambil dari tabel distribusi t untuk 95%: sekitar 2,0 untuk derajat kebebasan besar, sekitar 2,78 untuk 4, dan sekitar 4,30 untuk 2 (nilai literatur umum).

Anggaran ketidakpastian

Anggaran ketidakpastian adalah tabel yang memuat setiap sumber, nilai batas, distribusi, pembagi, ketidakpastian baku, koefisien sensitivitas, kontribusi pada hasil, dan bagian dari varians total. Tabel itu membuat perhitungan dapat diperiksa, menunjukkan sumber yang paling berpengaruh, dan menjadi dasar keputusan memperbaiki cara ukur. Anggaran untuk debit pompa dalam kasus pembuka dihitung di Contoh 5. Kolom terakhir dibaca lebih dulu: sumber dengan bagian varians terbesar adalah sasaran perbaikan, dan sumber yang bagiannya kurang dari satu persen boleh dicatat sebagai diabaikan pada anggaran berikutnya, selama alasannya ditulis.

Pelaporan

Narasi Satuan dan Pengukuran mengutip buku pengantar fisika bahwa hasil ukur suatu besaran dinyatakan sebagai nilai plus minus ketidakpastiannya, dan buku yang sama mengajukan pertanyaan apakah suatu cara penulisan hasil ukur boleh dipakai, yaitu soal angka penting yang dibahas di Bab 3 · Satuan & Matematika. Laporan yang lengkap memuat:

1. Nilai hasil dan satuannya.
2. Ketidakpastian diperluas $U$, faktor cakupan $k$, dan perkiraan peluang cakupannya.
3. Ketidakpastian dibulatkan ke satu atau dua angka penting, dan hasil dibulatkan ke tempat desimal yang sama.
4. Model pengukuran, kondisi ukur, dan anggaran, setidaknya dalam lampiran atau catatan kerja.

Contoh penulisan: debit $Q = (498{,}9 \pm 7{,}7)$ mL/min, dengan $k = 2$, peluang cakupan sekitar 95%.

Ketidakpastian juga menentukan apakah cara ukur cukup baik untuk keputusan. Aturan praktis yang umum dipakai adalah ketidakpastian diperluas paling besar seperempat sampai sepersepuluh lebar toleransi (nilai literatur umum). Pada kasus pembuka, lebar toleransi 50 mL/min dan $U = 7{,}7$ mL/min, kira-kira seperenam, sehingga cara ukur dengan gelas ukur dan stopwatch layak untuk memeriksa setelan itu. Untuk toleransi yang lebih sempit, misalnya plus minus 5 mL/min, cara yang sama tidak layak, dan hasil di dekat batas memerlukan pita pengaman seperti di Bab 61 · Kelistrikan & Kendali.

Mengurangi ketidakpastian

Anggaran menunjukkan ke mana upaya perlu diarahkan. Karena kontribusi digabung secara kuadrat, mengurangi kontributor kecil hampir tidak mengubah hasil. Pada kasus pembuka, gelas ukur menyumbang lebih dari separuh varians. Gelas ukur dengan kelas toleransi lebih baik, atau penimbangan keluaran pompa dengan timbangan, lebih bermanfaat daripada stopwatch yang lebih halus. Waktu reaksi dapat dikurangi dengan menampung volume lebih besar sehingga waktu lebih panjang, karena kesalahan mulai dan berhenti yang tetap menjadi bagian relatif yang lebih kecil.

Sebagai gambaran, bila keluaran pompa ditimbang dengan timbangan yang ketidakpastian bakunya 0,5 g pada 250 g, ketidakpastian volume turun menjadi sekitar 0,2% setelah massa dibagi densitas cairan, asalkan densitas cairan diketahui atau diukur. Ketidakpastian relatif debit lalu dikuasai waktu, sekitar 0,5%, dan $U$ turun dari 7,7 menjadi sekitar 5,2 mL/min (angka latihan).

Menambah ulangan hanya mengurangi komponen tipe A, sebanding dengan $1/\sqrt{n}$. Empat kali ulangan lebih banyak hanya memperkecil komponen itu menjadi separuh, dan tidak mengubah komponen tipe B.

Contoh kerja

Contoh 1: tipe A dari ulangan. Waktu untuk 250 mL: 30,2; 29,8; 30,1; 30,4; 29,9; 30,0 detik. Rata-rata 30,07 detik, simpangan baku $s = 0{,}216$ detik, dan $u_A = 0{,}216/\sqrt{6} = 0{,}088$ detik dengan derajat kebebasan 5.

Contoh 2: tipe B dari waktu dan resolusi. Pengalaman menunjukkan menekan mulai dan berhenti dapat bergeser sistematis sampai $\pm 0{,}2$ detik yang tidak terlihat pada sebaran ulangan (angka latihan); dengan distribusi persegi $u = 0{,}2/\sqrt{3} = 0{,}115$ detik. Resolusi stopwatch 0,01 detik memberi $u = 0{,}01/\sqrt{12} = 0{,}003$ detik. Ketidakpastian waktu $u(t) = \sqrt{0{,}088^2 + 0{,}115^2 + 0{,}003^2} = 0{,}145$ detik, atau 0,48% dari 30,07 detik.

Contoh 3: tipe B dari gelas ukur. Kelas toleransi gelas ukur $\pm 2{,}5$ mL (angka latihan) dengan distribusi persegi, $u = 2{,}5/\sqrt{3} = 1{,}44$ mL. Kesalahan membaca garis $\pm 1$ mL dengan distribusi segitiga, $u = 1/\sqrt{6} = 0{,}41$ mL. Ketidakpastian volume $u(V) = \sqrt{1{,}44^2 + 0{,}41^2} = 1{,}50$ mL, atau 0,60% dari 250 mL.

Contoh 4: koefisien sensitivitas. $Q = V/t = 250/30{,}07 = 8{,}315$ mL/s atau 498,9 mL/min. Dalam satuan mL/min, $c_V = 60/t = 2{,}00$ per menit, dan setiap 1 mL kesalahan volume mengubah debit 2,0 mL/min. $c_t = -60V/t^2 = -16{,}6$ mL/min per detik, sehingga setiap 0,1 detik kesalahan waktu mengubah debit sekitar 1,7 mL/min.

Contoh 5: penggabungan. Dengan bentuk relatif, $u_c(Q)/Q = \sqrt{0{,}60^2 + 0{,}48^2}\,\% = 0{,}77\%$, sehingga $u_c(Q) = 0{,}0077 \times 498{,}9 = 3{,}84$ mL/min. Rincian kontribusinya ada di tabel anggaran. Dengan $k = 2$, $U = 7{,}7$ mL/min. Hasil $Q = (498{,}9 \pm 7{,}7)$ mL/min berada jauh di dalam target $500 \pm 25$, sehingga keputusan lulus tidak diragukan. Aturan keadaan terburuk yang menjumlahkan semua batas memberi sekitar $\pm 2{,}1\%$ atau $\pm 10$ mL/min, lebih lebar dan tanpa peluang cakupan yang jelas.

Contoh 6: korelasi pada selisih suhu. Suhu masuk dan keluar penukar panas diukur dengan termometer yang sama. Ketidakpastian bias termometer 0,3 °C dan ketidakpastian acak setiap pembacaan 0,1 °C. Bila bias dianggap bebas, $u(\Delta T) = \sqrt{2 \times (0{,}3^2 + 0{,}1^2)} = 0{,}45$ °C. Karena bias sama pada kedua pembacaan ($r = 1$) dan saling menghapus, yang tersisa hanya $\sqrt{2 \times 0{,}1^2} = 0{,}14$ °C. Bila dipakai dua termometer berbeda yang biasnya bebas, nilai 0,45 °C yang berlaku.

Contoh 7: derajat kebebasan efektif. Pada Contoh 5, komponen tipe A menyumbang 1,46 mL/min dengan derajat kebebasan 5, dan komponen lain dianggap berderajat kebebasan sangat besar. $\nu_{\text{eff}} = 3{,}84^4/(1{,}46^4/5) \approx 240$, sehingga $k = 2$ tepat. Sebaliknya, bila komponen tipe A 3,0 dari tiga ulangan (derajat kebebasan 2) dan komponen lain 1,0, $u_c = \sqrt{9 + 1} = 3{,}16$ dan $\nu_{\text{eff}} = 3{,}16^4/(3{,}0^4/2) = 2{,}5$, dibulatkan ke bawah menjadi 2. Faktor $k$ sekitar 4,30, dan $U = 4{,}30 \times 3{,}16 = 13{,}6$, jauh lebih besar daripada $2 \times 3{,}16 = 6{,}3$. Menambah ulangan adalah perbaikan yang murah.

Contoh 8: daya pemanas. Tegangan terukur 230 V dengan $u = 1{,}2$ V (0,52%) dan arus 8,0 A dengan $u = 0{,}08$ A (1,0%), beban resistif. $P = 230 \times 8{,}0 = 1.840$ W, $u_c(P)/P = \sqrt{0{,}52^2 + 1{,}0^2}\,\% = 1{,}13\%$, $u_c = 20{,}8$ W, dan $U = 42$ W dengan $k = 2$. Hasil dilaporkan $(1.840 \pm 42)$ W.

Contoh 9: sertifikat sebagai masukan. Sertifikat termometer acuan menyatakan koreksi $+0{,}10$ °C dengan $U = 0{,}20$ °C, $k = 2$. Masukan koreksi diberi nilai 0,10 °C dan $u = 0{,}20/2 = 0{,}10$ °C dengan distribusi normal. Bila sertifikat hanya menyatakan "dalam batas $\pm 0{,}2$ °C" tanpa $k$, distribusi persegi dipakai, $u = 0{,}2/\sqrt{3} = 0{,}12$ °C.

Kondisi berhenti

Hentikan pelaporan ketidakpastian dan minta keputusan penyelia atau laboratorium bila:

1. Model pengukuran tidak dapat ditulis atau ada masukan berpengaruh yang tidak diketahui nilainya.
2. Hasil ukur dan ketidakpastiannya melintasi batas keputusan yang menyangkut keselamatan, kesehatan, atau kontrak.
3. Sertifikat kalibrasi alat tidak menyatakan ketidakpastian atau sudah tidak berlaku.
4. Ketidakpastian dilaporkan untuk kepentingan akreditasi, sengketa, atau peraturan; perhitungan seperti itu disusun dan ditandatangani pihak yang berwenang.
5. Korelasi antarmasukan diduga kuat tetapi tidak dapat diperkirakan.

Salah tafsir yang sering terjadi

1. "Ketidakpastian sama dengan toleransi alat." Toleransi alat hanya salah satu masukan, dan harus diubah dulu menjadi ketidakpastian baku.
2. "Semua batas dijumlahkan saja." Itu aturan keadaan terburuk; untuk masukan bebas, penggabungan kuadrat lebih jujur.
3. "Banyak ulangan menghilangkan ketidakpastian." Ulangan hanya mengurangi komponen tipe A.
4. "Plus minus selalu berarti pasti di dalam." Selang dengan $k = 2$ mencakup nilai dengan peluang sekitar 95%, tidak pasti.
5. "Korelasi selalu menambah ketidakpastian." Pada selisih dengan alat yang sama, korelasi justru menghapus bias.
6. "Angka ketidakpastian ditulis dengan banyak desimal supaya teliti." Ketidakpastian cukup satu atau dua angka penting.

Hubungan dengan bab lain

Bab 1 memperkenalkan tipe A, tipe B, dan faktor cakupan, Bab 3 · Satuan & Matematika angka penting, Bab 61 · Kelistrikan & Kendali sertifikat dan aturan keputusan, Bab 4 variasi sistem pengukuran yang menjadi komponen tipe A dalam anggaran, dan Bab 2 simpangan baku. Pengukuran dosis pompa di Bab 1 · Dispensing Kimia dan kalibrasi dispenser memakai perhitungan yang sama. Bab berikutnya di rak ini membahas sampling dan ukuran sampel.

Latihan dan pembahasan

1. Tampilan termometer digital mempunyai langkah 0,1 °C. Hitung ketidakpastian baku dari resolusi.
2. Spesifikasi manometer menyatakan batas $\pm 0{,}5\%$ dari pembacaan. Pada pembacaan 200 kPa, hitung ketidakpastian bakunya dengan distribusi persegi.
3. Sertifikat menyatakan $U = 0{,}4$ °C dengan $k = 2$. Berapa ketidakpastian bakunya?
4. Debit dihitung dari $Q = V/t$ dengan ketidakpastian relatif volume 1,0% dan waktu 0,5%. Hitung ketidakpastian relatif debit.
5. Dua massa ditimbang terpisah dengan ketidakpastian baku bebas 0,3 g dan 0,4 g lalu dijumlahkan. Hitung ketidakpastian gabungan, dan bandingkan dengan aturan penjumlahan mutlak.
6. Mengapa selisih dua suhu yang diukur dengan termometer yang sama dapat mempunyai ketidakpastian lebih kecil daripada bila diukur dengan dua termometer berbeda?

Kunci jawaban beralasan

1. $a = 0{,}05$ °C, $u = 0{,}1/\sqrt{12} = 0{,}029$ °C.
2. $a = 0{,}005 \times 200 = 1{,}0$ kPa, $u = 1{,}0/\sqrt{3} = 0{,}58$ kPa.
3. $u = 0{,}4/2 = 0{,}2$ °C. Ketidakpastian diperluas dibagi faktor cakupannya; nilai baku inilah yang dimasukkan ke anggaran, bukan $U$, karena penggabungan kuadrat hanya berlaku untuk ketidakpastian baku.
4. $\sqrt{1{,}0^2 + 0{,}5^2}\,\% = 1{,}12\%$. Model hanya berupa pembagian dengan pangkat satu, sehingga ketidakpastian relatif digabung kuadrat. Volume menguasai hasil; memperbaiki pengukuran waktu hampir tidak mengubah angka itu.
5. $u = \sqrt{0{,}3^2 + 0{,}4^2} = 0{,}5$ g. Penjumlahan mutlak memberi 0,7 g, lebih besar karena menganggap kedua kesalahan selalu searah.
6. Bias termometer muncul sama besar pada kedua pembacaan dan saling menghapus saat dikurangkan, sehingga yang tersisa hanya bagian acak. Dua termometer berbeda mempunyai bias yang tidak saling berhubungan, sehingga keduanya ikut tergabung dalam ketidakpastian selisih.

Referensi