Trigonometri lapangan dan komponen vektor: sudut dan radian, sinus kosinus tangen, segitiga siku-siku dan sembarang, kemiringan, komponen dan resultan, dan gelombang sinus

Gambar kerja sebuah dapur hotel meminta saluran buangan mesin pencuci piring dipasang dengan "kemiringan 2". Pelaksana di ruang pertama membaca angka itu sebagai 2 derajat dan memasang pipa sepanjang 6 meter dengan beda tinggi sekitar 21 sentimeter. Pelaksana di ruang kedua membacanya sebagai 2 sentimeter per meter, atau 2%, dan memasang beda tinggi 12 sentimeter. Selisih 9 sentimeter itu membuat ujung pipa ruang pertama terlalu rendah untuk masuk ke saluran utama, dan pekerjaan harus dibongkar.

Pada hari yang sama, dua orang mengangkat motor pompa seberat 300 kilogram dengan dua sling yang dibentangkan lebar supaya motor tidak berputar. Sudut sling terhadap bidang datar hanya sekitar 30 derajat. Mereka terkejut ketika sling yang tertulis aman untuk 250 kilogram mulai meregang: setiap sling menahan gaya sebesar seluruh berat motor, tidak separuhnya. Kedua kejadian itu berasal dari satu hal yang sama, yaitu sudut, dan dapat dihitung sebelumnya dengan trigonometri. Bab ini menjelaskan trigonometri yang dipakai di lapangan.

Batas pembahasan

Bab ini membahas sudut dan satuannya, persen kemiringan, perbandingan trigonometri, segitiga siku-siku dan sembarang, komponen dan resultan vektor, tegangan tali, bidang miring, gelombang sinus, dan ketelitian sudut. Geometri luas, volume, dan pemeriksaan siku dengan diagonal ada di Bab 5; besaran vektor dan gerak di Bab 1 · Fisika dan Bab 2 · Fisika; diagram benda bebas di Bab 3 · Fisika; kesetimbangan dan momen di Bab 8 · Fisika; sling, sudut beban, dan beban kerja aman di Bab 9 · Keselamatan. Bab ini memberi alat hitungnya; keputusan mengangkat beban tetap mengikuti Bab 9 · Keselamatan dan data beban kerja aman alat angkat. Analisis fasor rangkaian arus bolak-balik ada di rak Kelistrikan. Sumbernya adalah narasi Matematika Teknik, narasi Fisika Teknik, narasi Fluida, Termal, dan Utilitas Industri, dan narasi Keselamatan Teknik, ditambah pengetahuan matematika umum yang ditandai di peta sumber. Rumus di bab ini adalah rumus baku (nilai literatur umum); angka dalam contoh adalah angka latihan.

Sudut: derajat, radian, dan persen kemiringan

Sudut dapat dinyatakan dengan beberapa cara, dan salah membaca satuan sudut adalah sumber kesalahan yang paling umum di lapangan:

1. Derajat: satu putaran penuh 360 derajat.
2. Radian: satu putaran penuh $2\pi$ radian, jadi 1 radian sekitar 57,3 derajat. Radian dipakai dalam rumus fisika, seperti kecepatan sudut dan gelombang sinus.
3. Persen kemiringan: beda tinggi dibagi jarak mendatar, dikali 100%. Kemiringan 2% berarti turun 2 cm untuk setiap 100 cm jarak mendatar.
4. Perbandingan: misalnya 1 banding 50, yang sama dengan 2%.

Hubungan antara sudut $\theta$ dan persen kemiringan:

Untuk sudut kecil, persen kemiringan kira-kira 1,75 kali sudut dalam derajat, sehingga 2 derajat sekitar 3,5%, hampir dua kali 2%. Gambar kerja, SOP, dan manual pabrik harus dibaca satuannya; bila tertulis tanpa satuan, tanyakan sebelum memasang.

Narasi Fluida, Termal, dan Utilitas Industri mengutip buku plambing praktis bahwa kemiringan yang lebih kecil hanya boleh dipakai bila perhitungan dengan jelas menunjukkan kecepatan aliran yang cukup akan tercapai, dan narasi Keselamatan Teknik mengutip buku instalasi listrik bahwa pada tanah basah diperlukan kemiringan yang jauh lebih landai. Kemiringan adalah besaran yang dihitung dan diperiksa, tidak ditaksir.

Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku

Narasi Matematika Teknik mengutip buku kimia umum yang memakai cara penamaan baku: sudut segitiga diberi huruf besar A, B, dan C, dengan C siku-siku, dan sisi di depannya diberi huruf kecil a, b, dan c. Narasi Fisika Teknik mengutip buku fisika untuk ilmuwan dan insinyur yang mencari sisi miring sebuah segitiga siku-siku dari dua sisi lainnya.

Untuk sudut $A$ pada segitiga siku-siku dengan sisi depan $a$, sisi samping $b$, dan sisi miring $c$:

Fungsi kebalikan, $\arcsin$, $\arccos$, dan $\arctan$, memberi sudut dari perbandingan sisi. Kalkulator harus berada pada mode yang sesuai, derajat atau radian, sebelum dipakai; satu tombol yang salah memberi hasil yang sama sekali berbeda.

Narasi Matematika Teknik juga mengutip buku fisika yang sama bahwa pembaca diharapkan sudah sangat terbiasa dengan teknik aljabar dasar, geometri analitik, dan trigonometri. Di lapangan, keterbiasaan itu berarti dapat membayangkan segitiganya lebih dulu: mana yang mendatar, mana yang tegak, dan mana yang miring.

Segitiga sembarang: aturan sinus dan kosinus

Tidak semua segitiga di lapangan siku-siku. Saat menentukan jarak antara dua titik yang terhalang mesin atau dinding, atau letak penyangga pada sudut yang tidak tegak, dipakai dua aturan (nilai literatur umum):

Aturan kosinus dipakai bila dua sisi dan sudut di antaranya diketahui, atau bila ketiga sisi diketahui dan sudut dicari. Aturan sinus dipakai bila satu sisi dan dua sudut diketahui. Bila $C$ siku-siku, $\cos C = 0$, dan aturan kosinus kembali menjadi teorema Pythagoras.

Komponen vektor

Besaran seperti gaya, kecepatan, dan perpindahan mempunyai besar dan arah. Narasi Matematika Teknik mengutip buku pengantar fisika tentang cara menuliskan besaran vektor dengan huruf tebal atau tanda panah, dan buku teknologi listrik bahwa komponen sebuah vektor adalah proyeksinya pada sebuah sumbu. Untuk vektor $F$ yang membentuk sudut $\theta$ dengan sumbu mendatar:

Buku teknologi listrik yang sama dalam narasi mencatat bahwa bila sudut antara dua vektor 90 derajat, komponen satu vektor pada arah vektor lain nol. Karena itu gaya tegak tidak membantu menggeser benda mendatar, dan gaya mendatar tidak membantu mengangkatnya. Memecah gaya menjadi komponen yang saling tegak lurus membuat setiap arah dapat dihitung terpisah.

Resultan beberapa gaya

Resultan adalah satu gaya yang setara dengan gabungan beberapa gaya. Narasi Matematika Teknik mengutip buku pengantar fisika yang menanyakan gaya resultan pada sebuah mobil. Caranya (nilai literatur umum):

1. Pecah setiap gaya menjadi komponen mendatar dan tegak.
2. Jumlahkan semua komponen mendatar menjadi $R_x$, dan semua komponen tegak menjadi $R_y$, dengan tanda sesuai arah.
3. Besar resultan $R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$ dan arahnya $\theta = \arctan(R_y/R_x)$, dengan memperhatikan kuadran.

Menjumlahkan besar gaya begitu saja tanpa arah adalah kesalahan yang sering terjadi; dua gaya 600 N dan 400 N yang saling tegak lurus tidak menghasilkan 1.000 N, tetapi sekitar 721 N.

Tegangan tali dan sudut

Narasi Fisika Teknik mengutip buku fisika untuk ilmuwan dan insinyur bahwa komponen tegak tegangan tali mengimbangi berat benda. Untuk benda seberat $W$ yang digantung dua tali simetris, masing-masing membentuk sudut $\theta$ terhadap bidang datar:

Pada sudut 90 derajat, tali tegak, dan setiap tali menahan separuh berat. Makin kecil sudut, makin besar tegangan: pada 30 derajat setiap tali menahan seluruh berat, dan pada sudut yang lebih kecil lagi tegangan melebihi berat benda. Karena itu Bab 9 · Keselamatan membatasi sudut sling dan memakai tabel beban kerja aman menurut sudut. Bab ini hanya menjelaskan asal angka itu.

Sudut sling di lapangan jarang diukur langsung. Ia dihitung dari panjang sling $L$ dan tinggi titik gantung di atas titik ikat $h$: $\sin\theta = h/L$. Sling sepanjang 2 m dengan titik gantung 1 m di atas titik ikat membentuk $\theta = \arcsin 0{,}5 = 30$ derajat, sudut yang pada kasus pembuka membuat setiap sling menahan seluruh berat. Memakai sling yang lebih panjang atau mendekatkan titik ikat menaikkan sudut dan menurunkan tegangan.

Komponen mendatar tegangan, $T\cos\theta$, juga ada dan menarik kedua titik ikat saling mendekat. Pada titik gantung di atap atau rangka, komponen mendatar ini memberi beban samping yang tidak selalu diperhitungkan.

Bidang miring

Narasi Fisika Teknik mengutip buku yang sama tentang sebuah balok di bidang miring 60 derajat. Berat $W = mg$ pada bidang miring bersudut $\theta$ dipecah menjadi komponen sejajar bidang, $W\sin\theta$, yang cenderung membuat benda meluncur, dan komponen tegak lurus bidang, $W\cos\theta$, yang menekan bidang dan menentukan gesekan.

Di lapangan, hitungan ini dipakai saat menaikkan mesin ke truk dengan ramp, menahan troli di lantai miring, atau memperkirakan gaya pada dongkrak yang tidak tegak. Gaya tarik yang diperlukan untuk menaikkan benda dengan kecepatan tetap kira-kira $W\sin\theta + \mu W\cos\theta$, dengan $\mu$ koefisien gesekan.

Gelombang sinus dan sudut fase

Narasi Matematika Teknik mengutip buku teknologi listrik bahwa tegangan atau arus bolak-balik umumnya dinyatakan sebagai gelombang sinus, fasor, atau ungkapan trigonometri. Tegangan sesaat:

dengan $V_m$ tegangan puncak, $f$ frekuensi, dan $\varphi$ sudut fase dalam radian. Untuk gelombang sinus murni, nilai efektif $V = V_m/\sqrt{2}$. Narasi Fluida, Termal, dan Utilitas Industri mengutip buku mesin fluida tentang lembaran air yang dibelokkan sebuah sirip sebesar 30 derajat; sudut dalam soal mekanika dan sudut fase dalam listrik memakai fungsi trigonometri yang sama, hanya artinya berbeda.

Pada beban yang memuat kumparan, seperti motor, arus tertinggal dari tegangan sebesar sudut fase $\varphi$. Daya nyata yang diserap beban sebanding dengan $\cos\varphi$, yang disebut faktor daya. Pada sudut fase 30 derajat, $\cos\varphi = 0{,}87$, sehingga untuk daya yang sama arus kira-kira 15% lebih besar daripada pada beban resistif. Rinciannya dibahas di rak Kelistrikan; di sini cukup dipahami bahwa sudut fase adalah sudut biasa yang diukur dalam waktu.

Ketelitian sudut dan alat ukurnya

Sudut di lapangan diukur dengan busur derajat, waterpass, pengukur sudut digital, atau aplikasi ponsel, atau dihitung dari beda tinggi dan jarak. Untuk kemiringan kecil, cara kedua biasanya lebih teliti: beda tinggi 12 cm pada 6 m diukur dengan selang air atau laser hampir sampai milimeter, sedangkan sudut 1,15 derajat sulit dibaca dengan busur.

Untuk sudut kecil dalam radian, $\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta$ (nilai literatur umum); pada 0,05 radian, ketiganya berbeda kurang dari 0,1%. Pendekatan ini berguna untuk perhitungan cepat, tetapi tidak boleh dipakai untuk sudut sling atau ramp yang besar. Galat sudut juga diperbesar oleh fungsi trigonometri: pada sudut sling kecil, salah ukur satu derajat mengubah tegangan jauh lebih banyak daripada pada sudut besar, sehingga sudut kecil harus dihindari, tidak diukur lebih teliti.

Memilih segitiga yang tepat

Kesulitan utama trigonometri di lapangan jarang terletak pada rumusnya, tetapi pada menemukan segitiga yang tepat. Langkah yang membantu (nilai literatur umum):

1. Gambar sketsa kasar dengan arah mendatar dan tegak yang jelas, lalu tandai besaran yang diketahui dan yang dicari.
2. Cari segitiga siku-siku lebih dulu; banyak bentuk miring dapat dipecah menjadi dua segitiga siku-siku dengan menarik garis tegak.
3. Tentukan sisi mana yang di depan sudut, mana yang di samping, dan mana yang miring, dari sudut yang dipakai, bukan dari letak di gambar.
4. Pilih fungsi yang menghubungkan besaran yang diketahui dengan yang dicari; bila dua sisi diketahui, tangen atau Pythagoras biasanya paling cepat.
5. Periksa hasil dengan aturan kasar: sisi miring selalu terpanjang, sudut di depan sisi terpanjang selalu terbesar, dan jumlah sudut segitiga 180 derajat.

Pada pemasangan pipa, segitiga biasanya dibentuk oleh pergeseran ke samping, jarak maju, dan potongan miring; pada pengangkatan, oleh tinggi titik gantung, jarak titik ikat, dan panjang sling. Sketsa sederhana di kertas atau di lantai dengan kapur sering mencegah salah ukur yang mahal.

Contoh kerja

Contoh 1: dua arti kemiringan 2. Pada pipa sepanjang 6 m mendatar, kemiringan 2% memberi beda tinggi $6 \times 0{,}02 = 0{,}12$ m. Kemiringan 2 derajat memberi $6 \times \tan 2^\circ$, yang dihitung sebagai $6 \times 0{,}0349 = 0{,}21$ m. Selisihnya 9 cm, cukup untuk membuat sambungan ke saluran utama tidak mungkin.

Contoh 2: dari beda tinggi ke sudut. Pipa turun 9 cm pada jarak mendatar 4,5 m. Kemiringan $9/450 \times 100\% = 2\%$, dan sudutnya $\arctan 0{,}02 = 1{,}15$ derajat.

Contoh 3: belokan 45 derajat. Pipa harus bergeser ke samping 30 cm dengan dua belokan 45 derajat. Panjang potongan miring di antara kedua belokan, diukur antara sumbu belokan, adalah $30/\sin 45^\circ = 42{,}4$ cm, dan jarak maju sepanjang arah pipa juga 30 cm karena sudutnya 45 derajat.

Contoh 4: jarak yang terhalang. Dari titik C, jarak ke titik A 4,0 m dan ke titik B 5,5 m, dengan sudut ACB 70 derajat. Jarak AB tidak dapat diukur langsung karena ada mesin di antaranya. $AB^2 = 4{,}0^2 + 5{,}5^2 - 2 \times 4{,}0 \times 5{,}5 \times \cos 70^\circ = 46{,}25 - 44 \times 0{,}342 = 31{,}2$, jadi $AB = 5{,}59$ m.

Contoh 5: komponen gaya tarik. Troli ditarik dengan gaya 800 N pada tali yang membentuk 35 derajat dengan lantai. Komponen mendatar $800 \cos 35^\circ = 655$ N yang menggerakkan troli, dan komponen tegak $800 \sin 35^\circ = 459$ N yang mengangkat sebagian berat troli.

Contoh 6: resultan dua gaya. Sebuah tumpuan pipa menerima 600 N mendatar dari pemuaian pipa dan 400 N tegak dari berat pipa. Resultan $\sqrt{600^2 + 400^2} = 721$ N dengan arah $\arctan(400/600) = 33{,}7$ derajat di bawah mendatar. Baut tumpuan dipilih untuk 721 N pada arah itu.

Contoh 7: sling pada motor. Motor 300 kg, berat $W = 300 \times 9{,}81 = 2.943$ N, diangkat dua sling simetris. Pada 30 derajat terhadap bidang datar, $T = 2.943/(2 \times 0{,}5) = 2.943$ N per sling, sama dengan seluruh berat. Pada 60 derajat, $T = 2.943/(2 \times 0{,}866) = 1.699$ N per sling. Sling untuk 250 kg, sekitar 2.450 N, aman pada 60 derajat tetapi tidak pada 30 derajat, sesuai kasus pembuka.

Contoh 8: menaikkan mesin dengan ramp. Mesin 250 kg didorong naik ramp 15 derajat. Komponen sejajar $250 \times 9{,}81 \times \sin 15^\circ = 635$ N, komponen tegak lurus $2.369$ N. Dengan koefisien gesekan roda sekitar 0,1, gaya dorong $635 + 0{,}1 \times 2.369 = 872$ N, terlalu besar untuk dua orang yang mendorong lama; dipakai katrol tangan atau ramp yang lebih landai.

Contoh 9: tegangan sesaat. Tegangan puncak 325 V pada 50 Hz. Pada $t = 2$ ms, $v = 325 \sin(2\pi \times 50 \times 0{,}002) = 325 \sin(0{,}628) = 191$ V. Nilai efektif $325/\sqrt{2} = 230$ V. Sudut 0,628 radian sama dengan 36 derajat; kalkulator dalam mode derajat akan memberi angka yang salah bila 0,628 dimasukkan langsung.

Kondisi berhenti

Hentikan pemasangan atau pengangkatan dan minta kejelasan atau keputusan penyelia bila:

1. Kemiringan, sudut, atau perbandingan pada gambar kerja ditulis tanpa satuan yang jelas.
2. Sudut sling terhadap bidang datar kurang dari yang diizinkan Bab 9 · Keselamatan, atau tegangan hasil hitungan melebihi beban kerja aman sling.
3. Hasil hitungan sudut atau jarak berbeda jauh dari ukuran langsung di lapangan.
4. Gaya pada tumpuan, titik gantung, atau dongkrak dihitung tanpa komponen mendatarnya.
5. Ramp, bidang miring, atau lantai miring memerlukan gaya yang melebihi kemampuan orang atau alat yang tersedia.

Salah tafsir yang sering terjadi

1. "Kemiringan 2 berarti 2 derajat." Bisa juga 2% atau 1 banding 50; satuan harus jelas.
2. "Dua sling membagi berat menjadi dua." Hanya bila sling tegak; makin landai, makin besar tegangan.
3. "Gaya dijumlahkan begitu saja." Gaya dijumlahkan menurut komponennya.
4. "Kalkulator selalu dalam derajat." Mode derajat dan radian harus diperiksa.
5. "Sudut kecil tidak penting." Pada kemiringan dan sling, sudut kecil sangat menentukan.
6. "Aturan kosinus hanya untuk soal sekolah." Aturan itu cara praktis mengukur jarak yang terhalang.
7. "Sudut pada gambar sama dengan sudut di lapangan." Lantai, dinding, dan rangka jarang benar-benar datar atau tegak; sudut dan kemiringan diukur ulang dari acuan yang jelas, seperti garis waterpass atau benang tegak, sebelum memotong pipa atau memasang penyangga.

Hubungan dengan bab lain

Bab 5 memberi geometri dan pemeriksaan siku, Bab 1 · Fisika dan Bab 2 · Fisika besaran vektor dan gerak, Bab 3 · Fisika diagram benda bebas, Bab 8 · Fisika kesetimbangan dan momen, dan Bab 9 · Keselamatan aturan mengangkat dengan sling. Bab berikutnya di rak ini membahas eksponen, logaritma, dan desibel.

Latihan dan pembahasan

1. Pipa sepanjang 8 m dipasang dengan kemiringan 1,5%. Berapa beda tingginya, dan berapa sudutnya?
2. Ubah kemiringan 3 derajat menjadi persen.
3. Pipa bergeser ke samping 25 cm dengan dua belokan 45 derajat. Berapa panjang potongan miringnya, diukur antara sumbu belokan?
4. Gaya 1.200 N membentuk 20 derajat dengan bidang datar. Hitung komponen mendatar dan tegaknya.
5. Beban 500 kg digantung dua sling simetris pada 45 derajat terhadap bidang datar. Berapa tegangan setiap sling?
6. Mengapa pendekatan $\sin\theta \approx \theta$ boleh dipakai untuk kemiringan pipa tetapi tidak untuk sudut sling?

Kunci jawaban beralasan

1. Beda tinggi $8 \times 0{,}015 = 0{,}12$ m, sudut $\arctan 0{,}015 = 0{,}86$ derajat.
2. $\tan 3^\circ \times 100\% = 5{,}24\%$. Angka itu sekitar 1,75 kali 3, sesuai pendekatan untuk sudut kecil.
3. $25/\sin 45^\circ = 35{,}4$ cm. Untuk belokan 45 derajat, panjang potongan miring selalu sekitar 1,414 kali pergeseran ke samping, sehingga angka ini dapat diperiksa cepat di lapangan; panjang pipa yang dipotong dikurangi lagi dengan bagian yang masuk ke dalam fiting.
4. Mendatar $1.200 \cos 20^\circ = 1.128$ N dan tegak $1.200 \sin 20^\circ = 410$ N.
5. $W = 500 \times 9{,}81 = 4.905$ N, $T = 4.905/(2 \sin 45^\circ) = 3.468$ N, sekitar 71% berat beban per sling.
6. Kemiringan pipa biasanya hanya beberapa persen, atau sudut di bawah sekitar 3 derajat, sehingga $\sin\theta$, $\tan\theta$, dan $\theta$ dalam radian hampir sama. Sudut sling puluhan derajat, dan pendekatan itu memberi galat besar; misalnya pada 30 derajat, $\sin\theta = 0{,}5$ sedangkan $\theta = 0{,}524$ radian, dan pada sudut yang lebih besar selisihnya makin besar.

Referensi