Eksponen, logaritma, dan desibel: pangkat dan notasi ilmiah, prefiks, pertumbuhan dan peluruhan eksponensial, logaritma, skala logaritmik, dan desibel daya dan tegangan

Sebuah dapur hotel mengganti deterjen mesin pencuci piringnya. Seminggu kemudian, teknisi mengukur pH air cuci 9, padahal sebelumnya 8. Penyelia dapur menganggapnya kenaikan kecil, "hanya satu angka", dan tidak mengubah apa pun. Beberapa minggu kemudian, pelanggan mengeluh lapisan dekorasi piring mulai pudar dan tangan petugas cuci mudah iritasi.

Pada minggu yang sama, laporan pemeliharaan menyebut sinyal sebuah sensor yang dipasang jauh dari panel turun 6 desibel setelah kabelnya diganti. Laporan itu dibaca sebagai penurunan 6 persen dan dianggap wajar. Kenyataannya, 6 desibel pada tegangan berarti sinyal tinggal kira-kira separuh, cukup untuk membuat pembacaan tidak stabil. Kedua angka itu adalah logaritma, dan skala logaritmik tidak dapat dibaca seperti skala biasa. Bab ini menjelaskan pangkat, eksponensial, logaritma, dan desibel yang dipakai di lapangan.

Batas pembahasan

Bab ini membahas pangkat dan aturannya, notasi ilmiah dan prefiks, pertumbuhan dan peluruhan eksponensial, waktu paruh dan tetapan waktu, logaritma, persamaan eksponensial, skala logaritmik, desibel daya dan tegangan, desibel mutlak, dan penjumlahan sumber. Aljabar dan rumus terbalik ada di Bab 6; satuan dan prefiks dasar di Bab 3; pH dan pengukuran larutan di Bab 8 · Kimia; intensitas bunyi dan desibel bunyi di Bab 14 · Fisika; dosis bising di Bab 7 · Keselamatan; distribusi eksponensial dalam keandalan di Bab 10 · Sistem, Diagram & Diagnosis; linearisasi dengan logaritma di Bab 7 · Data & Pengukuran. Sumbernya adalah narasi Matematika Teknik, narasi Teknik Elektro dan Elektronika, narasi Kimia, dan narasi Teknik Air dan Lingkungan, ditambah pengetahuan matematika umum yang ditandai di peta sumber. Rumus di bab ini adalah rumus baku (nilai literatur umum); angka dalam contoh adalah angka latihan.

Pangkat dan aturannya

Pangkat menyatakan perkalian berulang: $a^3 = a \times a \times a$. Aturan dasarnya (nilai literatur umum):

$$a^m a^n = a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad (a^m)^n = a^{mn}, \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \qquad a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$$

Narasi Teknik Elektro dan Elektronika mengutip buku elektronika praktis bahwa suatu suku berpangkat nol bernilai satu untuk semua parameter. Pangkat negatif berarti kebalikan, dan pangkat pecahan berarti akar, sehingga rumus seperti $Q \propto \Delta p^{0{,}5}$ berarti debit sebanding akar beda tekanan.

Kesalahan yang sering terjadi adalah menjumlahkan pangkat yang dasarnya berbeda, atau menganggap $(a + b)^2 = a^2 + b^2$. Kuadrat sebuah jumlah selalu memuat suku silang $2ab$.

Notasi ilmiah dan prefiks

Narasi Teknik Air dan Lingkungan mengutip buku matematika operator sistem air bahwa 2,34 dikali 10 pangkat 3 adalah contoh bilangan dalam notasi ilmiah, dan manual matematika operator pengolahan air bahwa beberapa prefiks penting disajikan dalam tabel. Notasi ilmiah menulis bilangan sebagai angka antara 1 dan 10 dikali pangkat sepuluh. Notasi teknik memakai pangkat kelipatan tiga, sehingga cocok dengan prefiks:

Dengan prefiks, konduktivitas 0,000052 S/cm ditulis 52 µS/cm, dan hambatan isolasi 3.300.000 Ω ditulis 3,3 MΩ. Huruf besar dan kecil penting: m adalah mili, M adalah mega; selisihnya satu miliar kali.

Menghitung cepat dengan pangkat sepuluh

Notasi ilmiah juga alat estimasi, seperti di Bab 4. Untuk memeriksa hasil kalkulator, setiap angka dibulatkan ke pangkat sepuluh terdekat, pangkatnya dijumlahkan saat dikali dan dikurangkan saat dibagi, lalu hasilnya dibandingkan dengan hasil kalkulator. Bila keduanya berbeda lebih dari satu pangkat, ada tombol yang salah atau prefiks yang tertukar.

Contohnya, energi pemanas 9 kW selama 30 menit: $9 \times 10^{3}$ W dikali $1{,}8 \times 10^{3}$ s, kira-kira $10^{4} \times 10^{3} = 10^{7}$ J. Hasil tepatnya $1{,}62 \times 10^{7}$ J atau 16,2 MJ, sesuai orde besaran itu. Bila kalkulator menunjukkan 16.200 J, berarti menit tidak diubah menjadi detik atau kilo terlupa.

Pembagian angka yang sangat besar dan sangat kecil, seperti arus bocor dalam mikroampere pada tegangan ratusan volt, juga lebih aman dikerjakan dengan pangkat sepuluh: 230 V dibagi $2 \times 10^{-6}$ A sama dengan $1{,}15 \times 10^{8}$ Ω, atau 115 MΩ. Menulis semua angka dengan pangkat sepuluh sebelum menghitung mengurangi kesalahan menghitung nol.

Pertumbuhan dan peluruhan eksponensial

Narasi Matematika Teknik mengutip buku teknologi listrik bahwa salah satu fungsi matematika yang paling penting adalah fungsi eksponensial. Besaran tumbuh atau meluruh secara eksponensial bila laju perubahannya sebanding dengan nilainya sendiri. Narasi Teknik Elektro dan Elektronika mengutip buku seni elektronika bahwa kurva pengosongan kapasitor harus berupa fungsi yang turunannya sebanding dengan nilainya, yaitu eksponensial, dan buku fisika bahwa bila tetapan lajunya positif, besaran itu tumbuh secara eksponensial terhadap waktu.

$$N(t) = N_0\, e^{k t}$$

Untuk $k$ positif, besaran tumbuh; untuk $k$ negatif, besaran meluruh. Dua cara yang umum untuk menyatakan kecepatan peluruhan:

1. Tetapan waktu $\tau = 1/|k|$: waktu sampai besaran turun menjadi sekitar 37% dari nilai awalnya. Untuk kapasitor yang dikosongkan melalui hambatan, $\tau = RC$.
2. Waktu paruh $t_{1/2} = \ln 2/|k| \approx 0{,}693\,\tau$: waktu sampai besaran tinggal separuh.

Narasi Kimia mengutip buku kimia umum bahwa setelah satu waktu paruh, jumlah yang tersisa tinggal separuhnya, dan narasi Matematika Teknik mengutip buku yang sama tentang waktu yang diperlukan sampai kadar sebuah zat turun ke nilai tertentu. Setelah tiga waktu paruh tersisa seperdelapan, dan setelah sekitar lima tetapan waktu tersisa kurang dari 1%.

Logaritma dan aturannya

Narasi Matematika Teknik mengutip buku kimia umum bahwa karena logaritma bilangan adalah pangkat, sifatnya sama dengan sifat pangkat. Logaritma basis 10 menjawab pertanyaan "10 dipangkatkan berapa untuk mendapat bilangan ini". Narasi Teknik Elektro dan Elektronika mengutip buku elektronika praktis bahwa $10^{-2} = 0{,}01$, sehingga logaritma 0,01 adalah $-2$.

$$\log(ab) = \log a + \log b, \qquad \log\frac{a}{b} = \log a - \log b, \qquad \log a^n = n \log a$$

Logaritma natural $\ln$ memakai basis $e \approx 2{,}718$ dan muncul secara alami dalam pertumbuhan dan peluruhan. Hubungan keduanya: $\ln x = 2{,}303 \log x$. Narasi Kimia mengutip buku kimia umum bahwa kadang diberikan logaritma natural dan diminta mencari bilangan aslinya; kebalikan $\ln$ adalah $e^x$, dan kebalikan $\log$ adalah $10^x$.

Logaritma hanya terdefinisi untuk bilangan positif. Logaritma nol atau bilangan negatif tidak ada, sehingga data yang memuat nol, seperti hitungan bakteri nol atau sinyal nol, tidak dapat langsung digambar pada skala logaritmik; data seperti itu dicatat sebagai "di bawah batas deteksi" dan ditangani terpisah.

Menyelesaikan persamaan eksponensial

Bila besaran yang dicari berada di pangkat, ambil logaritma kedua sisi. Dari $N = N_0 e^{kt}$:

$$t = \frac{1}{k} \ln\frac{N}{N_0}$$

Narasi Matematika Teknik mengutip buku fisika untuk ilmuwan dan insinyur yang menghitung pertumbuhan dengan laju 0,09 per tahun selama 200 tahun. Untuk pertumbuhan, waktu ganda $t_2 = \ln 2/k$, kira-kira 70 dibagi laju persen per tahun (aturan 70, nilai literatur umum). Kenaikan harga atau biaya 9% per tahun menggandakan biaya dalam sekitar 7,7 tahun.

Logaritma juga dipakai untuk mencari pangkat dalam rumus empiris, seperti di Bab 7 · Data & Pengukuran: bila $y = c x^m$, maka $\log y = \log c + m \log x$, sebuah garis lurus.

Skala logaritmik

Pada skala logaritmik, jarak yang sama berarti perbandingan yang sama, tidak selisih yang sama. Narasi Teknik Elektro dan Elektronika mengutip buku teknologi listrik yang menggambarkan skala logaritma lima dekade dan satu dekade yang diperbesar. Satu dekade adalah faktor sepuluh. Skala ini dipakai untuk besaran yang rentangnya sangat lebar: frekuensi, hambatan isolasi, laju bakteri, dan kurva pengaman.

pH adalah skala logaritmik yang paling sering ditemui teknisi servis:

$$\text{pH} = -\log[\text{H}^+]$$

Narasi Kimia mengutip buku pegangan operasi pengolahan air bahwa karena hubungan logaritmik terbalik itu, ada perbedaan sepuluh kali lipat dalam kadar ion hidrogen untuk setiap satu satuan pH. Dari pH 8 ke pH 9, kadar ion hidrogen turun sepuluh kali dan kadar ion hidroksida naik sepuluh kali, seperti di Bab 8 · Kimia. Karena itu perubahan "satu angka" pH adalah perubahan besar.

Membaca nilai di antara garis pada sumbu logaritmik juga berbeda. Dalam satu dekade, misalnya antara 10 dan 100, angka 20 tidak berada pada sepersembilan jarak, tetapi pada sekitar 30% jarak, karena $\log 2 = 0{,}30$; angka 50 berada pada sekitar 70%. Garis bantu pada kertas atau layar grafik logaritmik biasanya sudah ditandai 2, 3, sampai 9 di setiap dekade; nilai di antaranya ditaksir dengan perbandingan, tidak dengan selisih.

Desibel untuk daya dan tegangan

Narasi Teknik Air dan Lingkungan mengutip buku teknologi listrik bahwa desibel pada dasarnya adalah satuan perbandingan daya. Untuk dua daya:

$$L = 10 \log\frac{P_2}{P_1} \; \text{dB}$$

Untuk tegangan atau arus pada hambatan yang sama, karena daya sebanding kuadrat tegangan:

$$L = 20 \log\frac{V_2}{V_1} \; \text{dB}$$

Narasi Teknik Elektro dan Elektronika mengutip buku dasar elektronika bahwa bila satuan dB dipakai untuk daya, faktornya bukan lagi dua puluh, melainkan sepuluh, dan buku panduan elektronika bahwa dalam hitungan dB dengan logaritma sering dipakai pecahan di dalam logaritma. Angka yang perlu diingat (nilai literatur umum):

Desibel negatif berarti rugi atau pelemahan; desibel positif berarti penguatan.

Desibel dipakai karena dua alasan. Pertama, rentangnya lebar: perbandingan daya satu juta kali hanya 60 dB, sehingga angka tetap mudah ditulis. Kedua, banyak tanggapan, seperti pendengaran manusia, kira-kira sebanding logaritma rangsangannya, sehingga langkah desibel yang sama terasa sama besar. Ketiga, penguatan dan rugi berurutan cukup dijumlahkan, seperti dijelaskan di bagian berikut, sehingga perhitungan rantai sinyal yang panjang dapat dikerjakan di kepala atau di kertas tanpa kalkulator. Kelemahannya, desibel mudah salah dibaca oleh orang yang terbiasa dengan persen, seperti pada kasus pembuka.

Desibel mutlak dan rantai sinyal

Desibel mutlak membandingkan dengan acuan tetap. Narasi Teknik Elektro dan Elektronika mengutip buku teknologi listrik yang memuat daya mutlak dalam dBm, yaitu desibel terhadap 1 mW, dan buku elektronika praktis bahwa di beberapa bidang elektronika tegangan dinyatakan dalam dB volt, yaitu desibel terhadap 1 V. Jadi 0 dBm sama dengan 1 mW, 30 dBm sama dengan 1 W, dan $-20$ dBm sama dengan 0,01 mW.

Keuntungan desibel adalah penguatan dan rugi berurutan cukup dijumlahkan. Buku teknologi listrik dalam narasi yang sama merancang peredam dengan pelemahan 25 dB; peredam, kabel, konektor, dan penguat dalam satu rantai dijumlahkan desibelnya, lalu diubah kembali menjadi perbandingan bila perlu. Rugi kabel sering dinyatakan per 100 m, sehingga rugi kabel 250 m adalah 2,5 kali angka itu dalam desibel, tidak 2,5 kali perbandingan dayanya.

Menjumlahkan sumber dalam desibel

Desibel dari sumber yang berbeda dan tidak saling berhubungan, seperti dua mesin yang berbunyi bersamaan, tidak dijumlahkan langsung. Daya atau intensitasnya yang dijumlahkan:

$$L_{\text{total}} = 10 \log\left(10^{L_1/10} + 10^{L_2/10} + \cdots\right)$$

Dua sumber yang sama kuat menaikkan tingkat sekitar 3 dB, dan sumber yang 10 dB lebih lemah hampir tidak menambah apa pun. Aturan ini dibahas untuk bunyi di Bab 14 · Fisika dan Bab 7 · Keselamatan; di sini cukup dipahami bahwa ia berasal dari aturan logaritma yang sama.

Contoh kerja

Contoh 1: notasi ilmiah dan prefiks. Konduktivitas air RO 0,000052 S/cm ditulis $5{,}2 \times 10^{-5}$ S/cm atau 52 µS/cm. Hambatan isolasi 3.300.000 Ω ditulis $3{,}3 \times 10^{6}$ Ω atau 3,3 MΩ. Arus 0,0045 A ditulis 4,5 mA.

Contoh 2: peluruhan klorin sisa. Klorin sisa di tangki 2,0 mg/L dengan tetapan peluruhan 0,214 per jam (dari Bab 7 · Data & Pengukuran). Setelah 5 jam, $C = 2{,}0\,e^{-0{,}214 \times 5} = 0{,}69$ mg/L. Waktu paruh $0{,}693/0{,}214 = 3{,}24$ jam, dan waktu sampai 0,5 mg/L $\ln(2{,}0/0{,}5)/0{,}214 = 6{,}5$ jam, atau dua waktu paruh, karena 0,5 adalah seperempat dari 2,0.

Contoh 3: pengosongan kapasitor. Kapasitor 100 µF dikosongkan melalui hambatan 10 kΩ. $\tau = RC = 10^4 \times 10^{-4} = 1$ s. Tegangan turun ke 5% dari awal setelah $\tau \ln 20 = 3{,}0$ s, dan ke kurang dari 1% setelah sekitar 5 s. Waktu tunggu pada peralatan sebenarnya mengikuti manual dan diperiksa dengan alat ukur, karena hambatan pengosong dapat rusak. Bila hambatan pengosong putus, $R$ menjadi sangat besar, tetapan waktu menjadi sangat panjang, dan kapasitor dapat tetap bertegangan berbahaya selama berjam-jam; karena itu waktu tunggu tidak pernah menggantikan pengukuran bebas tegangan.

Contoh 4: waktu ganda biaya. Biaya suku cadang naik 9% per tahun. Waktu ganda $\ln 2/0{,}09 = 7{,}7$ tahun; aturan 70 memberi $70/9 = 7{,}8$ tahun.

Contoh 5: pH naik satu angka. pH 8 berarti $[\text{H}^+] = 10^{-8}$ mol/L, pH 9 berarti $10^{-9}$ mol/L. Kadar ion hidrogen turun sepuluh kali, dan kadar ion hidroksida naik sepuluh kali. Pada kasus pembuka, kenaikan ini cukup besar untuk merusak dekorasi piring dan mengiritasi kulit; dosis deterjen dan rekomendasi pabriknya diperiksa.

Contoh 6: desibel daya. Penguat dinaikkan dari 20 W menjadi 40 W. $L = 10 \log(40/20) = 3{,}0$ dB. Daya dua kali hanya menambah 3 dB.

Contoh 7: desibel tegangan. Sinyal sensor turun dari 2,0 V menjadi 1,0 V. $L = 20 \log(1{,}0/2{,}0) = -6{,}0$ dB. Sebaliknya, pelemahan $-20$ dB berarti tegangan tinggal $10^{-20/20} = 0{,}1$ kali. Laporan "turun 6 dB" pada kasus pembuka berarti sinyal tinggal separuh.

Contoh 8: rantai sinyal. Kabel dengan rugi 3 dB per 100 m sepanjang 250 m memberi $-7{,}5$ dB, dua konektor masing-masing $-0{,}5$ dB, dan penguat $+12$ dB. Jumlah $-7{,}5 - 1{,}0 + 12 = +3{,}5$ dB, jadi daya keluar $10^{0{,}35} = 2{,}24$ kali daya masuk. Bila daya masuk 0 dBm atau 1 mW, daya keluar 3,5 dBm atau 2,24 mW.

Contoh 9: dua sumber bunyi. Dua mesin masing-masing 85 dB pada titik yang sama: $L = 10 \log(2 \times 10^{8{,}5}) = 88$ dB. Mesin 85 dB dan 80 dB: $L = 10 \log(10^{8{,}5} + 10^{8{,}0}) = 86{,}2$ dB. Menghentikan mesin yang lebih pelan hanya menurunkan tingkat sekitar 1 dB. Upaya pengendalian bising karena itu diarahkan lebih dulu pada sumber yang paling keras, seperti dijelaskan di Bab 7 · Keselamatan.

Kondisi berhenti

Hentikan pemakaian angka dan minta pemeriksaan bila:

1. Satuan prefiks atau huruf besar dan kecil pada data tidak jelas, misalnya m dan M.
2. Perubahan pada skala logaritmik, seperti pH atau desibel, dilaporkan sebagai perubahan kecil tanpa dihitung perbandingannya.
3. Desibel daya dan desibel tegangan tercampur dalam satu hitungan.
4. Waktu tunggu pengosongan kapasitor atau penurunan kadar bahan kimia hanya ditaksir, tanpa diukur, sebelum pekerjaan yang bergantung padanya.
5. Hasil persamaan eksponensial dipakai jauh di luar rentang data yang mendasarinya.

Salah tafsir yang sering terjadi

1. "pH 9 hanya sedikit lebih tinggi dari pH 8." Satu satuan pH adalah faktor sepuluh.
2. "Turun 6 dB sama dengan turun 6%." Pada tegangan, turun 6 dB berarti tinggal separuh.
3. "Dua mesin 85 dB menghasilkan 170 dB." Sumber dijumlahkan dayanya; hasilnya sekitar 88 dB.
4. "Kapasitor kosong setelah satu tetapan waktu." Setelah satu tetapan waktu masih tersisa sekitar 37%.
5. "m dan M sama saja." Selisihnya satu miliar kali.
6. "Pertumbuhan 9% per tahun berarti dua kali setelah sebelas tahun." Karena bunga majemuk, dua kali setelah sekitar 7,7 tahun.
7. "Logaritma hanya untuk ahli matematika." Teknisi membaca logaritma setiap hari dalam pH, desibel, skala alat ukur, dan grafik pabrik; yang diperlukan hanya kebiasaan membaca perbandingan, tidak selisih.

Hubungan dengan bab lain

Bab 6 memberi aturan membalik rumus, Bab 3 satuan dan prefiks, Bab 8 · Kimia pH, Bab 14 · Fisika dan Bab 7 · Keselamatan desibel bunyi dan dosis bising, Bab 10 · Sistem, Diagram & Diagnosis distribusi eksponensial, dan Bab 7 · Data & Pengukuran linearisasi dengan logaritma. Bab berikutnya di rak ini membahas grafik, interpolasi, dan membaca kurva, termasuk grafik dengan skala logaritmik.

Latihan dan pembahasan

1. Tulis 0,0045 A dalam mA dan µA, dan 3.300.000 Ω dalam MΩ.
2. Kadar bahan kimia meluruh dengan waktu paruh 3,2 jam. Berapa lama sampai kadar turun dari 1,6 menjadi 0,2 mg/L?
3. Hitung $\log 200$ dan $\ln 200$, dan periksa hubungan keduanya.
4. Berapa desibel untuk perbandingan daya 1.000 kali, dan untuk perbandingan tegangan 10 kali?
5. Dua pompa masing-masing 82 dB berjalan bersamaan. Berapa tingkat totalnya?
6. Mengapa rugi kabel dalam desibel dapat dikalikan dengan panjang kabel, sedangkan perbandingan dayanya tidak?

Kunci jawaban beralasan

1. 0,0045 A sama dengan 4,5 mA atau 4.500 µA; 3.300.000 Ω sama dengan 3,3 MΩ.
2. Dari 1,6 ke 0,2 adalah seperdelapan, yaitu tiga waktu paruh, jadi $3 \times 3{,}2 = 9{,}6$ jam.
3. $\log 200 = 2{,}301$ dan $\ln 200 = 5{,}298$. Perbandingannya $5{,}298/2{,}301 = 2{,}303$, sesuai $\ln x = 2{,}303 \log x$.
4. Daya: $10 \log 1.000 = 30$ dB. Tegangan: $20 \log 10 = 20$ dB. Perbandingan tegangan 10 kali setara perbandingan daya 100 kali pada hambatan yang sama.
5. $10 \log(2 \times 10^{8{,}2}) = 85$ dB, naik sekitar 3 dB dari satu pompa.
6. Desibel adalah logaritma, sehingga perkalian perbandingan menjadi penjumlahan desibel. Setiap 100 m kabel mengalikan daya dengan faktor yang sama; dalam desibel, faktor itu menjadi angka yang dijumlahkan, sehingga rugi total sebanding panjang kabel. Perbandingan dayanya sendiri harus dipangkatkan menurut panjang, tidak dikalikan.

Referensi