Grafik, interpolasi, dan membaca kurva: sumbu dan skala, skala logaritmik, interpolasi linear satu dan dua arah, membaca kurva pabrik dan nomogram, dan titik kerja

Sebuah pompa penguat air panas di laundry rusak, dan teknisi diminta memesan pengganti yang setara. Kebutuhan sistem kira-kira 5 meter kubik per jam pada tinggi angkat 25 meter. Ia membuka lembar data pompa pilihan, menemukan angka 25 pada sumbu tegak, menarik garis ke kurva, lalu turun ke sumbu mendatar dan membaca angka sekitar 20. Ia menyimpulkan pompa itu mampu 20 meter kubik per jam, jauh di atas kebutuhan, dan memesannya.

Pompa yang datang ternyata terlalu kecil. Sumbu tegak lembar data itu dalam kaki, bukan meter, dan sumbu mendatarnya dalam galon per menit. Tinggi angkat 25 kaki hanya sekitar 7,6 meter, dan 20 galon per menit hanya sekitar 4,5 meter kubik per jam. Pada hari yang sama, ia menghitung suhu uap pada 4,5 bar dengan angka tabel untuk 4 bar, karena 4,5 bar tidak tercantum, dan suhu yang ia pakai meleset beberapa derajat. Grafik dan tabel pabrik sangat berguna, tetapi hanya bila dibaca dengan teliti. Bab ini menjelaskan cara membacanya.

Batas pembahasan

Bab ini membahas unsur grafik, menggambar grafik dari data, skala logaritmik, interpolasi linear satu dan dua arah, batas interpolasi, membaca kurva pabrik, titik kerja, kurva waktu-arus pengaman, dan diagram serta nomogram. Fungsi dan grafik dasar ada di Bab 2; garis lurus dari dua titik di Bab 7; logaritma di Bab 9; regresi dan batas ekstrapolasi di Bab 7 · Data & Pengukuran; kurva pompa dan sistem air gedung di Bab 9 · Bangunan & Fasilitas; kurva pengaman arus lebih di Bab 23 · Kelistrikan & Kendali; psikrometri ruang laundry di Bab 16 · Bangunan & Fasilitas. Pemilihan pompa dan pengaman untuk instalasi mengikuti bab-bab itu; bab ini membahas cara membaca grafiknya. Sumbernya adalah narasi Fluida, Termal, dan Utilitas Industri, narasi Kimia, dan narasi Teknik Elektro dan Elektronika, ditambah pengetahuan matematika umum yang ditandai di peta sumber. Rumus di bab ini adalah rumus baku (nilai literatur umum); angka dalam contoh adalah angka latihan kecuali yang ditandai lain.

Unsur sebuah grafik

Narasi Kimia mengutip buku kimia bahwa grafik adalah cara visual menunjukkan hubungan antara dua besaran. Sebelum membaca angka apa pun dari grafik, periksa unsurnya:

1. Judul dan keterangan: grafik apa, untuk alat atau model apa.
2. Besaran dan satuan setiap sumbu: meter atau kaki, meter kubik per jam atau galon per menit, bar atau psi.
3. Skala: linear atau logaritmik, dan apakah sumbu dimulai dari nol.
4. Garis bantu: jarak antargaris dan nilai setiap garis.
5. Legenda: arti setiap kurva, misalnya diameter impeler, kecepatan, atau jenis bahan.
6. Keadaan uji: suhu cairan, kerapatan, kecepatan putar, tegangan, atau suhu ruang saat kurva dibuat.

Narasi Teknik Elektro dan Elektronika mengutip buku dasar teknik listrik bahwa karakteristik dalam dan luar sebuah mesin diplot pada kecepatan tetap. Keadaan uji seperti itu menentukan apakah kurva berlaku untuk keadaan lapangan. Kurva pompa yang dibuat dengan air dingin tidak sepenuhnya berlaku untuk air panas atau cairan kental.

Menggambar grafik dari data

Narasi Kimia mengutip buku latihan kimia sekolah menengah bahwa menggambar grafik dari data percobaan adalah bagian penting kerja praktik. Aturan yang umum (nilai literatur umum):

1. Besaran yang diatur atau dianggap sebab di sumbu mendatar; besaran yang diukur di sumbu tegak.
2. Skala dipilih supaya data mengisi sebagian besar luas grafik, dengan langkah garis bantu yang mudah dibaca, seperti 1, 2, atau 5 kali pangkat sepuluh.
3. Setiap titik diberi tanda yang jelas; bila ada beberapa seri, tanda atau warna dibedakan dan diterangkan.
4. Data yang tersebar tidak disambung garis patah dari titik ke titik; ditarik garis atau kurva terbaik, seperti di Bab 7 · Data & Pengukuran.
5. Bila sumbu tidak dimulai dari nol, hal itu dibuat jelas, karena perbedaan kecil dapat tampak sangat besar.

Grafik yang baik membuat pola terlihat sebelum ada hitungan: titik menyimpang, kelompok, kejenuhan, atau perubahan kemiringan.

Skala logaritmik dan semi-logaritmik

Besaran yang rentangnya lebar digambar dengan skala logaritmik, seperti dijelaskan di Bab 9. Narasi Fluida, Termal, dan Utilitas Industri mengutip buku mekanika fluida berbahasa Indonesia bahwa kedua sumbu faktor gesekan dan bilangan Reynolds diplotkan dengan skala logaritma. Grafik dengan dua sumbu logaritmik disebut log-log; grafik dengan satu sumbu logaritmik disebut semi-log.

Dua sifat yang berguna: pada grafik log-log, hubungan pangkat $y = c x^m$ tampak sebagai garis lurus dengan kemiringan $m$; pada grafik semi-log dengan sumbu tegak logaritmik, hubungan eksponensial tampak sebagai garis lurus. Membaca nilai di antara garis bantu pada sumbu logaritmik dilakukan dengan perbandingan, tidak dengan selisih.

Interpolasi linear satu arah

Tabel hanya memuat nilai pada titik tertentu. Narasi Fluida, Termal, dan Utilitas Industri mengutip buku plambing praktis bahwa nilai di antara beban yang tercantum dalam tabel boleh diinterpolasi. Interpolasi linear menganggap hubungan di antara dua titik tabel lurus:

Bentuk ini sama dengan garis lurus melalui dua titik di Bab 7. Pecahan $(x - x_1)/(x_2 - x_1)$ menyatakan seberapa jauh $x$ di antara $x_1$ dan $x_2$, dari 0 sampai 1, dan nilai $y$ bergeser sejauh pecahan yang sama.

Interpolasi juga dapat dipakai terbalik, yaitu mencari $x$ untuk $y$ tertentu, dengan menukar peran keduanya. Aturan praktisnya: tulis kedua titik tabel, hitung pecahan, periksa bahwa hasilnya berada di antara kedua nilai tabel.

Interpolasi dua arah

Banyak tabel pabrik bergantung pada dua masukan, seperti kapasitas mesin pendingin menurut suhu udara dan suhu air masuk, atau sifat uap panas lanjut menurut tekanan dan suhu. Interpolasi dua arah dilakukan dalam tiga langkah (nilai literatur umum):

1. Pada baris pertama, interpolasi menurut masukan pertama.
2. Pada baris kedua, interpolasi menurut masukan pertama dengan pecahan yang sama.
3. Interpolasi kedua hasil itu menurut masukan kedua.

Urutan langkah boleh ditukar; hasilnya sama untuk interpolasi linear. Yang penting adalah tidak mencampur pecahan kedua masukan, dan menuliskan keempat nilai tabel yang dipakai, supaya hitungan dapat diperiksa.

Batas interpolasi

Interpolasi linear memberi galat bila hubungan di antara titik tabel melengkung kuat. Tekanan uap air, misalnya, naik makin cepat dengan suhu, sehingga interpolasi lurus di antara 30 °C dan 40 °C memberi nilai yang sedikit terlalu tinggi, seperti pada Latihan 1. Galat makin besar bila jarak titik tabel lebar dan kurvanya tajam.

Cara mengurangi galat: pakai tabel dengan langkah lebih rapat, pakai titik di kedua sisi yang lebih dekat, pakai persamaan pabrik bila ada, atau pakai interpolasi dengan tiga titik untuk kurva yang jelas melengkung. Narasi Fluida, Termal, dan Utilitas Industri mengutip buku perhitungan perpindahan panas bahwa cara lain selain memakai grafik adalah menghitung langsung nilai dari persamaannya. Bila persamaan tersedia, menghitung langsung biasanya lebih teliti daripada membaca grafik.

Interpolasi tidak boleh diganti ekstrapolasi tanpa tanda. Nilai di luar tabel atau di luar ujung kurva dapat menyangkut keadaan yang tidak diuji pabrik, seperti dijelaskan di Bab 7 · Data & Pengukuran.

Membaca kurva pabrik

Kurva pompa memuat beberapa kurva pada sumbu debit yang sama: tinggi angkat, efisiensi, daya poros, dan kebutuhan NPSH, kadang untuk beberapa diameter impeler atau kecepatan. Cara membacanya (nilai literatur umum):

1. Periksa satuan setiap sumbu dan ubah ke satuan kerja lebih dulu.
2. Tarik garis tegak dari debit yang dibutuhkan sampai memotong kurva tinggi angkat yang sesuai diameter impeler atau kecepatan.
3. Dari titik potong, tarik garis mendatar ke sumbu tinggi angkat dan baca nilainya.
4. Pada debit yang sama, baca efisiensi, daya, dan kebutuhan NPSH dari kurvanya masing-masing.
5. Catat keadaan uji kurva dan bandingkan dengan keadaan lapangan.

Titik pada kurva dengan efisiensi tertinggi disebut titik efisiensi terbaik. Pompa sebaiknya bekerja di sekitar titik itu; bekerja jauh di kiri, pada debit sangat kecil, atau jauh di kanan, pada debit sangat besar, menambah getaran, panas, dan keausan, walaupun tinggi angkatnya masih terpenuhi. Banyak pabrik menandai rentang kerja yang dianjurkan pada kurvanya; titik kerja yang dipilih sebaiknya berada di dalam rentang itu.

Narasi Teknik Elektro dan Elektronika mengutip buku panduan solusi rekayasa kelistrikan yang membandingkan kurva karakteristik pengaman. Membandingkan dua kurva pada grafik yang sama, seperti dua pompa atau dua pengaman, harus memakai sumbu dan satuan yang sama.

Titik kerja: perpotongan dua kurva

Pompa tidak bekerja pada debit yang dipilih orang, tetapi pada titik ketika tinggi angkat yang diberikan pompa sama dengan tinggi angkat yang diminta sistem. Kurva sistem biasanya berbentuk $H = H_s + k Q^2$, dengan $H_s$ tinggi statis dan $kQ^2$ rugi gesekan, seperti di Bab 9 · Bangunan & Fasilitas. Titik kerja adalah perpotongan kurva pompa dan kurva sistem.

Narasi Fluida, Termal, dan Utilitas Industri mengutip buku teknik kimia dengan aplikasi komputer yang menampilkan penyelesaian grafis sebuah contoh, dan yang memplot keadaan ujung keluar setelah ditetapkan. Penyelesaian grafis cepat dan memperlihatkan arti fisisnya. Penyelesaian angka dilakukan dengan mencari debit tempat selisih kedua kurva berubah tanda, lalu menginterpolasi selisih itu, seperti pada Contoh 5, atau dengan metode numerik yang dibahas di Bab 12.

Kurva waktu-arus pengaman

Kurva pengaman arus lebih menunjukkan waktu putus terhadap arus, biasanya pada grafik log-log, karena arus berkisar dari sedikit di atas arus pengenal sampai ribuan ampere dan waktu dari milidetik sampai jam. Narasi Teknik Elektro dan Elektronika mengutip buku instalasi listrik bahwa kurva pemutus sirkit melengkung lalu berupa garis lurus, sedangkan kurva sekering melengkung seluruhnya.

Kurva pengaman biasanya berupa pita, bukan garis, karena ada toleransi pabrik: pada arus tertentu, pengaman dapat putus di mana saja di antara batas bawah dan batas atas pita. Membaca kurva seperti itu berarti membaca dua waktu, yaitu paling cepat dan paling lambat, dan memastikan keduanya memenuhi syarat. Pemilihan dan koordinasinya ada di Bab 23 · Kelistrikan & Kendali.

Diagram dan nomogram

Beberapa hubungan dengan tiga besaran atau lebih disajikan sebagai diagram. Narasi Fluida, Termal, dan Utilitas Industri mengutip buku termodinamika bahwa diagram psikrometri adalah gambaran grafis berbagai sifat udara lembap, dan buku termodinamika lain yang membaca faktor kompresibilitas dari diagram pada tekanan dan suhu tereduksi tertentu. Pada diagram seperti itu, satu titik ditentukan oleh dua besaran yang diketahui, lalu besaran lain dibaca dari garis-garis yang melalui titik itu.

Nomogram adalah diagram dengan beberapa skala yang dihubungkan garis lurus: garis yang melalui dua nilai yang diketahui memotong skala ketiga pada nilai yang dicari. Ketelitian diagram dan nomogram terbatas oleh lebar garis dan mata pembaca; biasanya dua sampai tiga angka penting. Untuk keputusan yang peka, hasil diagram diperiksa dengan persamaan atau tabel.

Narasi Kimia mengutip buku kimia sekolah menengah yang meminta titik didih ditentukan dari grafik. Menentukan nilai dari grafik selalu disertai perkiraan ketelitiannya: setengah jarak garis bantu terkecil adalah batas kasar yang wajar.

Contoh kerja

Contoh 1: suhu uap jenuh dengan interpolasi. Tabel uap memuat suhu jenuh 143,6 °C pada 4 bar mutlak dan 151,8 °C pada 5 bar mutlak (nilai literatur umum). Pada 4,5 bar, pecahan $0{,}5$, sehingga suhu $143{,}6 + 0{,}5 \times (151{,}8 - 143{,}6) = 147{,}7$ °C. Memakai angka 4 bar langsung memberi galat sekitar 4 derajat. Tabel uap biasanya memakai tekanan mutlak; bila manometer menunjukkan tekanan ukur 3,5 bar, tekanan mutlaknya sekitar 4,5 bar, dan salah memilih jenis tekanan menggeser hasil hampir sejauh satu baris tabel.

Contoh 2: kerapatan air. Kerapatan air 998,2 kg/m³ pada 20 °C dan 995,7 kg/m³ pada 30 °C (nilai literatur umum). Pada 26 °C, pecahan 0,6, sehingga $998{,}2 + 0{,}6 \times (995{,}7 - 998{,}2) = 996{,}7$ kg/m³.

Contoh 3: interpolasi dua arah. Tabel kapasitas mesin es (angka latihan): pada air masuk 15 °C, 100 kg/hari pada udara 25 °C dan 92 kg/hari pada udara 35 °C; pada air masuk 25 °C, 88 dan 80 kg/hari. Untuk udara 30 °C dan air 21 °C: pada air 15 °C, $100 + 0{,}5 \times (92 - 100) = 96$; pada air 25 °C, $88 + 0{,}5 \times (80 - 88) = 84$; lalu pada air 21 °C dengan pecahan 0,6, $96 + 0{,}6 \times (84 - 96) = 88{,}8$ kg/hari.

Contoh 4: debit dari kurva pompa. Titik kurva pompa (angka latihan): debit 0, 2, 4, 6, 8 m³/jam dengan tinggi angkat 32, 31, 28, 23, 16 m. Untuk tinggi angkat 25 m, di antara 28 m pada 4 m³/jam dan 23 m pada 6 m³/jam, debit $4 + (28 - 25)/(28 - 23) \times 2 = 5{,}2$ m³/jam.

Contoh 5: titik kerja. Kurva sistem $H = 10 + 0{,}4 Q^2$ dengan $H$ dalam m dan $Q$ dalam m³/jam (angka latihan). Pada 5 m³/jam, pompa memberi 25,5 m dan sistem meminta 20,0 m, selisih $+5{,}5$; pada 6 m³/jam, pompa 23,0 m dan sistem 24,4 m, selisih $-1{,}4$. Interpolasi selisih: $Q = 5 + 5{,}5/(5{,}5 + 1{,}4) = 5{,}8$ m³/jam, dengan tinggi angkat sekitar 23,5 m. Kebutuhan 5 m³/jam terpenuhi dengan sedikit cadangan.

Contoh 6: satuan kurva pada kasus pembuka. Lembar data dalam kaki dan galon per menit. Kebutuhan 25 m sama dengan $25/0{,}3048 = 82$ kaki, dan 5 m³/jam sama dengan $5/0{,}2271 = 22$ galon per menit. Garis harus ditarik dari 82 kaki, bukan 25. Pada kurva yang dibaca teknisi, titik 25 kaki dan 20 galon per menit hanya setara sekitar 7,6 m dan 4,5 m³/jam.

Contoh 7: sumbu yang tidak dimulai dari nol. Grafik batang pemakaian listrik dua bulan, 980 dan 1.020 kWh, dengan sumbu tegak dimulai dari 950. Batang kedua tampak dua kali lebih tinggi, padahal kenaikannya hanya $1.020/980 - 1 = 4{,}1\%$. Laporan menyebut angka persen di samping grafik supaya pembaca tidak tertipu.

Contoh 8: pita kurva pengaman. Pemutus sirkit 16 A dengan kurva jenis yang pemutus seketikanya bekerja antara sekitar 3 dan 5 kali arus pengenal (nilai literatur umum; lihat Bab 23 · Kelistrikan & Kendali). Pada arus 64 A, empat kali arus pengenal, pemutus dapat putus seketika atau baru beberapa detik kemudian melalui bagian termal, tergantung letak di dalam pita. Keputusan yang bergantung pada waktu putus memakai batas paling lambat pita.

Contoh 9: menolak ekstrapolasi kurva pompa. Pelanggan ingin pompa yang sama dipakai untuk 10 m³/jam, padahal kurva pabrik berhenti pada 8 m³/jam. Di luar ujung kurva, kebutuhan NPSH dan daya motor tidak diketahui, dan pompa dapat berkavitasi atau motornya kelebihan beban. Pompa lain dipilih yang titik kerjanya berada di dalam kurva, sebaiknya dekat titik efisiensi terbaik.

Kondisi berhenti

Hentikan pemilihan atau penyetelan dan minta lembar data yang jelas atau keputusan penyelia bila:

1. Satuan sumbu, keadaan uji, atau diameter impeler pada kurva tidak jelas.
2. Titik yang dibutuhkan berada di luar kurva atau di luar tabel pabrik.
3. Hasil interpolasi dipakai untuk pengaman, tekanan uap, atau batas suhu, dan kurva di antara titik tabel jelas melengkung kuat.
4. Kurva pengaman dibaca hanya sebagai satu garis, padahal pabrik memberi pita toleransi.
5. Dua kurva dibandingkan pada grafik dengan sumbu atau satuan yang berbeda.

Salah tafsir yang sering terjadi

1. "Angka pada sumbu sudah pasti dalam satuan kita." Lembar data sering memakai kaki, galon, atau psi.
2. "Nilai tabel terdekat cukup." Interpolasi sering mengubah hasil beberapa persen atau beberapa derajat.
3. "Interpolasi linear selalu tepat." Hanya bila kurva di antara titik tabel hampir lurus.
4. "Pompa bekerja pada debit di pelat namanya." Pompa bekerja pada perpotongan dengan kurva sistem.
5. "Kurva pengaman berupa satu garis." Kurva itu pita dengan batas cepat dan lambat.
6. "Batang dua kali lebih tinggi berarti dua kali lebih besar." Periksa apakah sumbu dimulai dari nol.

Hubungan dengan bab lain

Bab 2 memberi fungsi dan grafik, Bab 7 garis melalui dua titik, Bab 9 skala logaritmik, Bab 7 · Data & Pengukuran garis terbaik dan batas ekstrapolasi, Bab 9 · Bangunan & Fasilitas kurva pompa dan sistem, Bab 23 · Kelistrikan & Kendali kurva pengaman, dan Bab 16 · Bangunan & Fasilitas psikrometri. Bab berikutnya di rak ini membahas laju perubahan dan luas di bawah kurva dari data.

Latihan dan pembahasan

1. Tekanan uap air 4,25 kPa pada 30 °C dan 7,38 kPa pada 40 °C (nilai literatur umum). Interpolasi untuk 35 °C, lalu bandingkan dengan nilai tabel 5,63 kPa.
2. Dari kurva pompa Contoh 4, berapa tinggi angkat pada 7 m³/jam?
3. Pada tabel Contoh 3, berapa kapasitas pada udara 35 °C dan air 20 °C?
4. Lembar data menyebut tekanan 50 psi dan debit 30 galon per menit. Ubah ke bar dan m³/jam.
5. Mengapa kurva waktu-arus pengaman digambar dengan sumbu logaritmik?
6. Mengapa titik kerja pompa di luar ujung kurva pabrik tidak boleh dipakai?

Kunci jawaban beralasan

1. $4{,}25 + 0{,}5 \times (7{,}38 - 4{,}25) = 5{,}82$ kPa. Nilai tabel 5,63 kPa, sehingga interpolasi lurus sekitar 3% terlalu tinggi karena kurva tekanan uap melengkung ke atas.
2. Di antara 23 m pada 6 m³/jam dan 16 m pada 8 m³/jam, pecahan 0,5, sehingga $23 + 0{,}5 \times (16 - 23) = 19{,}5$ m.
3. Pada udara 35 °C, nilai 92 pada air 15 °C dan 80 pada air 25 °C; air 20 °C dengan pecahan 0,5 memberi $92 + 0{,}5 \times (80 - 92) = 86$ kg/hari.
4. $50 \times 0{,}0689 = 3{,}45$ bar dan $30 \times 0{,}2271 = 6{,}81$ m³/jam.
5. Arus dan waktu berkisar beberapa dekade, dari sedikit di atas arus pengenal sampai ribuan ampere dan dari milidetik sampai jam. Skala logaritmik menampilkan seluruh rentang itu dengan ketelitian relatif yang sama di setiap bagian.
6. Di luar kurva, pabrik tidak menjamin tinggi angkat, efisiensi, daya, dan kebutuhan NPSH. Pompa dapat berkavitasi, bergetar, atau membebani motor berlebih. Pompa dengan kurva yang mencakup titik kerja dipilih.

Referensi