Besaran vektor dan gerak lurus: posisi, perpindahan, kecepatan, percepatan, dan grafik gerak

Seorang teknisi diminta memeriksa keluhan tentang mesin pencuci piring konveyor di dapur sebuah hotel: gelas dari mesin itu kadang masih berbusa. Manual menyebut zona bilas panjangnya 0,6 m, dan pelanggan baru saja mengubah kecepatan konveyor ke setelan cepat. Teknisi tidak perlu membongkar apa pun untuk memulai. Ia mengukur kecepatan rak dengan meteran dan stopwatch: rak menempuh 1,6 m dalam satu menit. Dari dua angka itu ia tahu berapa lama setiap gelas berada di bawah semprotan bilas, dan apakah waktu itu masih masuk akal.

Pertanyaan "berapa lama benda berada di suatu tempat" dan "seberapa cepat benda berhenti" muncul di banyak pekerjaan lapangan: troli linen yang direm di lorong, beban yang diangkat katrol, rak yang bergerak di konveyor, alat yang jatuh dari tangga. Kinematika (kinematics) adalah cabang fisika yang menggambarkan gerak tanpa lebih dulu menanyakan penyebabnya, dan semua pertanyaan itu dijawab olehnya.

Batas pembahasan

Bab ini membangun kinematika untuk gerak pada satu garis lurus: besaran skalar dan vektor, posisi, perpindahan, jarak tempuh, kecepatan, kelajuan, percepatan, grafik gerak, persamaan gerak berpercepatan tetap, jatuh bebas, dan cara menurunkan kecepatan dari data posisi. Angka kapasitas dan waktu bilas mesin tertentu tidak ditetapkan di sini; angka yang berlaku tetap angka manual mesin.

Gerak dua dimensi, lintasan proyektil, dan gerak melingkar dibahas di Bab 2 tentang gerak dua dimensi dan gerak melingkar. Penyebab perubahan gerak, yaitu gaya, dibahas di Bab 3 tentang hukum Newton. Bab 2 · Satuan & Matematika tentang besaran, fungsi, dan cara membaca hubungan menjelaskan cara membaca fungsi dan grafik, dan Bab 3 · Satuan & Matematika tentang satuan dan konversi menjelaskan satuan serta konversinya; bab ini memakai keduanya tanpa mengulang. Ketidakpastian pengukuran yang dipakai di bagian data sensor dibahas lengkap di Bab 1 · Data & Pengukuran tentang kalibrasi dan ketidakpastian.

Skalar dan vektor

Sebagian besaran cukup dinyatakan dengan satu angka dan satuannya: massa 20 kg, suhu 60 °C, waktu 22 s. Skalar (scalar) adalah besaran yang sudah lengkap dinyatakan dengan satu angka dan satuannya. Besaran lain baru lengkap bila arahnya juga disebut: troli bergerak 3 m ke arah pintu, dan angka 3 m saja belum cukup. Vektor (vector) adalah besaran yang punya besar dan arah; itulah definisi pertama yang biasa dikenal orang tentang vektor.

Untuk gerak pada satu garis lurus, arah cukup dinyatakan dengan tanda. Kita memilih satu titik nol dan satu arah positif, misalnya ke arah keluar mesin. Posisi di sisi positif bertanda plus, posisi di sisi sebaliknya bertanda minus. Pilihan ini bebas, tetapi harus dinyatakan dan dipakai konsisten dalam satu soal. Banyak kesalahan hitung lapangan bukan berasal dari rumus, tetapi dari tanda yang berganti makna di tengah jalan.

Posisi, perpindahan, dan jarak tempuh

Posisi (position) $x$ adalah letak benda terhadap titik nol yang dipilih, dalam meter. Perpindahan (displacement) adalah perubahan posisi:

$\Delta x = x_\text{akhir} - x_\text{awal}$

dengan $x_\text{awal}$ dan $x_\text{akhir}$ posisi pada awal dan akhir selang yang ditinjau. Perpindahan adalah vektor, sehingga tandanya penting. Benda yang bergerak dari $x = -3$ satuan ke $x = 5$ satuan mengalami perpindahan 8 satuan. Bila benda kembali ke posisi awalnya, perpindahannya nol walaupun ia sudah bergerak jauh.

Jarak tempuh (distance traveled) adalah panjang lintasan yang benar-benar dilalui; ia selalu positif dan merupakan skalar. Troli linen yang didorong 15 m ke ruang setrika lalu kembali 15 m ke ruang cuci menempuh jarak 30 m dengan perpindahan nol. Untuk menilai keausan roda, yang relevan adalah jarak tempuh. Untuk menilai di mana troli berada sekarang, yang relevan adalah posisi.

Kecepatan dan kelajuan

Kecepatan rata-rata (average velocity) adalah perpindahan dibagi selang waktu:

$\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$

dengan $\Delta t$ selang waktu dalam sekon, sehingga $\bar{v}$ bersatuan m/s dan bertanda sama dengan perpindahannya. Kelajuan rata-rata (average speed) adalah jarak tempuh dibagi selang waktu. Untuk troli yang pergi dan kembali tadi dalam 60 s, kecepatan rata-ratanya nol, sedangkan kelajuan rata-ratanya 0,5 m/s. Keduanya benar; masing-masing menjawab pertanyaan yang berbeda.

Kecepatan sesaat (instantaneous velocity) adalah kecepatan pada satu saat tertentu, yaitu batas kecepatan rata-rata ketika selang waktunya dibuat sangat kecil. Pada grafik posisi terhadap waktu, kecepatan sesaat adalah kemiringan garis singgung kurva di titik itu. Kurva yang makin curam berarti gerak makin cepat; kurva mendatar berarti benda diam sesaat; kemiringan negatif berarti benda bergerak ke arah negatif. Dalam bahasa kalkulus, definisi ini adalah turunan posisi terhadap waktu. Untuk pekerjaan lapangan, membaca kemiringan grafik sudah cukup.

Satuan SI kecepatan adalah m/s. Di lapangan sering dipakai m/menit untuk konveyor dan km/jam untuk kendaraan. Konversinya mengikuti cara faktor konversi di Bab 3 · Satuan & Matematika tentang satuan dan konversi: 1 m/menit = 1/60 m/s, dan 1 km/jam = 1/3,6 m/s.

Percepatan

Percepatan (acceleration) adalah laju perubahan kecepatan. Percepatan rata-rata:

$\bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$

dengan $\Delta v$ perubahan kecepatan dalam m/s selama selang $\Delta t$, sehingga satuannya m/s². Pada grafik kecepatan terhadap waktu, percepatan adalah kemiringan kurva. Luas di bawah kurva kecepatan-waktu adalah perpindahan, sehingga satu grafik kecepatan memuat dua informasi: kemiringannya memberi percepatan, luasnya memberi perpindahan.

Tanda percepatan sering disalahpahami. Percepatan negatif berarti kecepatan berubah ke arah negatif. Bila benda bergerak ke arah positif, percepatan negatif membuatnya melambat. Bila benda bergerak ke arah negatif, percepatan negatif justru membuatnya makin cepat. Kata yang tepat untuk "melambat" adalah percepatan yang arahnya berlawanan dengan kecepatan, dan tanda minus saja tidak menentukan hal itu.

Gerak dengan kecepatan tetap dan percepatan tetap

Gerak lurus beraturan (GLB, uniform linear motion) adalah gerak pada garis lurus dengan kecepatan tetap. Pada gerak ini posisi berubah linear terhadap waktu: $x = x_0 + v\,t$, dengan $x_0$ posisi pada $t = 0$. Grafik posisi-waktunya garis lurus yang kemiringannya sama dengan $v$. Rak di konveyor pada kecepatan tetap adalah contoh paling bersih.

Gerak lurus berubah beraturan (GLBB, uniformly accelerated linear motion) adalah gerak pada garis lurus dengan percepatan tetap. Untuk gerak ini empat persamaan berikut berlaku. Semuanya diturunkan dari definisi kecepatan dan percepatan, dengan $x_0$ dan $v_0$ sebagai posisi dan kecepatan pada $t = 0$:

$v = v_0 + a\,t$

$x = x_0 + v_0\,t + \tfrac{1}{2}a\,t^2$

$v^2 = v_0^2 + 2a\,(x - x_0)$

$x - x_0 = \tfrac{1}{2}(v_0 + v)\,t$

Cara memilih persamaan: tuliskan besaran yang diketahui dan yang dicari, lalu pilih persamaan yang tidak memuat besaran yang tidak diketahui dan tidak dicari. Bila waktu tidak diketahui dan tidak dicari, persamaan ketiga biasanya paling langsung. Mencari waktu dari persamaan kedua kadang memerlukan penyelesaian persamaan kuadrat, karena persamaan itu kuadratik dalam $t$, dan salah satu akarnya sering tidak bermakna fisik, misalnya waktu negatif.

Persamaan ini hanya berlaku bila percepatannya benar-benar tetap. Troli yang direm oleh orang, beban pada motor yang dikendalikan inverter, dan benda yang jatuh dengan hambatan udara besar tidak berpercepatan tetap. Untuk gerak seperti itu, gerak dibagi menjadi bagian-bagian yang kira-kira berpercepatan tetap, atau grafik kecepatan-waktu dibaca langsung.

Jatuh bebas

Jatuh bebas (free fall) adalah gerak benda di dekat permukaan bumi yang hanya dipengaruhi gravitasi. Benda seperti itu bergerak dengan percepatan tetap ke bawah sebesar $g \approx 9{,}81$ m/s². Percepatan ini sama, apa pun gerak awal bendanya: dilempar ke atas, dilempar ke bawah, atau dilepas. Bila hambatan udara diabaikan, benda berat dan ringan jatuh dengan percepatan yang sama.

Dengan arah ke atas sebagai positif, percepatannya $a = -g$. Benda yang dilempar ke atas melambat, berhenti sesaat di titik tertinggi, lalu bergerak turun makin cepat. Di titik tertinggi kecepatannya nol, tetapi percepatannya tetap $-g$. Ini contoh paling jelas bahwa kecepatan nol tidak berarti percepatan nol.

Untuk pekerjaan lapangan, jatuh bebas penting karena bahaya benda jatuh. Kecepatan benda yang jatuh dari ketinggian $h$ tanpa kecepatan awal adalah

$v = \sqrt{2\,g\,h}$

dengan $h$ dalam meter dan $v$ dalam m/s. Rumus ini adalah persamaan ketiga dengan $v_0 = 0$ dan percepatan $g$ searah gerak. Kecepatan tumbukan karena itu naik sebanding akar ketinggian, sedangkan energinya naik sebanding ketinggian, seperti energi potensial gravitasi di Bab 5 tentang gaya, usaha, dan energi.

Grafik gerak dari data sensor

Banyak mesin modern mengukur posisi, bukan kecepatan. Encoder pada poros, sensor jarak di konveyor, dan penghitung pulsa memberi deret posisi pada waktu-waktu tertentu. Kecepatan lalu dihitung sebagai beda posisi dibagi beda waktu, dan percepatan sebagai beda kecepatan dibagi beda waktu.

Langkah ini memperbesar derau. Misalkan posisi dibaca setiap 0,1 s dengan ketidakpastian ±2 mm. Beda dua posisi dapat meleset sampai 4 mm, sehingga kecepatan hasil hitung dapat meleset sampai $0{,}004/0{,}1 = 0{,}04$ m/s. Untuk konveyor yang bergerak 0,027 m/s, kesalahan itu lebih besar daripada nilai yang diukur. Menghitung percepatan dari kecepatan semacam itu memperbesar derau sekali lagi.

Ada tiga cara praktis yang berasal dari sifat ini. Pertama, perbesar selang waktu: beda posisi selama 10 s jauh lebih andal daripada selama 0,1 s untuk gerak yang lambat dan tetap. Kedua, haluskan data dengan rata-rata beberapa titik sebelum menghitung beda. Ketiga, bila yang dicari kecepatan rata-rata, cukup pakai posisi awal dan akhir, jangan menjumlahkan banyak kecepatan sesaat. Bab 1 · Data & Pengukuran tentang kalibrasi dan ketidakpastian menjelaskan cara menyatakan ketidakpastian hasil hitung seperti ini.

Dua benda pada satu garis: jarak antar dan waktu bertemu

Banyak soal lapangan melibatkan dua benda pada lintasan yang sama: rak berurutan di konveyor, dua troli di satu lorong, atau beban yang turun sementara orang berjalan di bawahnya. Caranya sama dengan satu benda. Tulis persamaan posisi untuk setiap benda memakai titik nol dan arah positif yang sama, lalu cari kapan kedua posisi sama atau berapa selisihnya pada waktu tertentu.

Untuk dua benda dengan kecepatan tetap $v_1$ dan $v_2$ yang mula-mula terpisah sejauh $d$ dan bergerak searah, selisih posisinya berubah dengan laju $v_1 - v_2$. Benda di belakang menyusul setelah

$t = \frac{d}{v_1 - v_2}$

asalkan $v_1 > v_2$. Bila keduanya bergerak berlawanan arah dan saling mendekat, jarak menyusut dengan laju $v_1 + v_2$. Kecepatan relatif (relative velocity) adalah kecepatan satu benda dilihat dari benda lain; untuk dua benda yang bergerak searah, kecepatan benda pertama terhadap benda kedua adalah $v_1 - v_2$. Bab 2 tentang gerak dua dimensi memperluas gagasan ini ke bidang.

Pada konveyor, semua rak bergerak dengan kecepatan yang sama, sehingga jarak antarrak tetap selama rak berada di konveyor. Jarak itu ditentukan saat rak dimasukkan: bila operator memasukkan satu rak setiap $\Delta t$ detik dan konveyor bergerak dengan kecepatan $v$, jarak antara depan rak yang satu dengan depan rak berikutnya adalah $v\,\Delta t$. Jarak itu tidak boleh lebih kecil daripada panjang rak, karena rak tidak dapat bertumpuk. Dari sini muncul batas kapasitas: jumlah rak paling banyak per satuan waktu adalah kecepatan konveyor dibagi panjang rak. Kapasitas konveyor dalam rak per jam yang tercantum di manual mesin adalah akibat dari kecepatan dan panjang rak, bukan angka yang berdiri sendiri. Angka kapasitas yang dipakai di lapangan tetap angka manual.

Gagasan yang sama berlaku untuk jarak aman. Dua troli yang melaju searah pada 1,2 m/s dan 1,5 m/s dengan jarak 6 m akan bertemu setelah $6/(1{,}5 - 1{,}2) = 20$ s. Bila troli di depan tiba-tiba berhenti, yang menentukan adalah jarak henti troli di belakang, seperti di Contoh 2. Jarak aman di lorong karena itu bergantung pada kuadrat kecepatan, bukan pada kecepatan saja.

Contoh kerja

Angka dalam contoh di bawah adalah angka latihan, kecuali disebut asalnya.

Contoh 1: waktu di zona bilas. Rak di pembuka bab menempuh 1,6 m dalam 60 s, jadi kecepatannya $v = 1{,}6/60 = 0{,}0267$ m/s. Waktu di zona bilas sepanjang 0,6 m adalah $t = 0{,}6/0{,}0267 = 22{,}5$ s. Bila setelan cepat menaikkan kecepatan menjadi 2,4 m/menit, waktunya turun menjadi 15 s. Batas waktu bilas yang sebenarnya mengikuti manual mesin. Konveyor rak dibahas rinci di Bab 7 · Dishwashing tentang mesin konveyor rak.

Contoh 2: jarak henti troli. Troli bergerak 1,5 m/s lalu direm dengan perlambatan tetap 0,75 m/s². Dengan arah gerak positif, $a = -0{,}75$ m/s². Dari $v^2 = v_0^2 + 2a\Delta x$ dengan $v = 0$:

$\Delta x = \frac{0 - 1{,}5^2}{2 \times (-0{,}75)} = 1{,}5 \text{ m}$

Waktu hentinya $t = 1{,}5/0{,}75 = 2{,}0$ s. Bila kecepatan awal dua kali lipat, jarak henti menjadi empat kali lipat, karena jarak henti sebanding kuadrat kecepatan. Ini alasan batas kecepatan di lorong sempit.

Contoh 3: kunci pas jatuh dari tangga. Kunci pas lepas dari tangan di ketinggian 3,0 m. Waktu jatuhnya $t = \sqrt{2h/g} = \sqrt{2 \times 3{,}0/9{,}81} = 0{,}78$ s, dan kecepatan tumbukannya $v = \sqrt{2 \times 9{,}81 \times 3{,}0} = 7{,}7$ m/s, sekitar 28 km/jam. Waktu 0,78 s terlalu singkat bagi orang di bawah untuk menghindar setelah mendengar peringatan.

Contoh 4: kecepatan dari data encoder. Sensor posisi konveyor mencatat 0,000 m pada $t = 0$ dan 0,268 m pada $t = 10{,}0$ s, dengan ketidakpastian ±2 mm untuk setiap pembacaan. Kecepatan rata-ratanya $0{,}268/10{,}0 = 0{,}0268$ m/s dengan ketidakpastian paling besar $0{,}004/10{,}0 = 0{,}0004$ m/s, sekitar 1,5 persen. Dari dua pembacaan berselang 0,1 s, ketidakpastian yang sama menjadi 0,04 m/s, lebih besar daripada kecepatannya sendiri.

Contoh 5: luas di bawah grafik kecepatan. Alat angkat linen dipercepat dari diam ke 0,5 m/s dalam 2 s, bergerak tetap 6 s, lalu diperlambat sampai berhenti dalam 2 s. Grafik kecepatannya berbentuk trapesium. Perpindahannya adalah luas trapesium itu: $\tfrac{1}{2} \times 2 \times 0{,}5 + 6 \times 0{,}5 + \tfrac{1}{2} \times 2 \times 0{,}5 = 0{,}5 + 3{,}0 + 0{,}5 = 4{,}0$ m. Percepatan pada bagian awal adalah kemiringan $0{,}5/2 = 0{,}25$ m/s².

Contoh 6: kapasitas konveyor. Konveyor bergerak 1,6 m/menit dan setiap rak panjangnya 0,5 m. Bila rak dimasukkan tanpa celah, satu rak masuk setiap $0{,}5/1{,}6 = 0{,}3125$ menit, atau 18,75 s. Kapasitas paling besar $60/0{,}3125 = 192$ rak per jam. Pada setelan 2,4 m/menit, kapasitasnya naik menjadi 288 rak per jam, tetapi waktu di zona bilas turun dari 22,5 s menjadi 15 s seperti di Contoh 1. Kecepatan konveyor menukar kapasitas dengan waktu kontak, dan pertukaran itu tidak dapat dihindari dengan menyetel ulang kecepatan saja.

Kondisi berhenti

Kinematika sendiri tidak berbahaya, tetapi pengukurannya sering dilakukan di dekat benda yang bergerak. Hentikan pekerjaan dan laporkan kepada pengawas pekerjaan bila:

1. Pengukuran kecepatan konveyor, rantai, atau poros memerlukan tangan atau alat ukur masuk ke daerah bagian yang bergerak. Ukur dari luar pelindung, dengan penanda pada rak atau dengan sensor tanpa sentuh, atau hentikan mesin mengikuti prosedur isolasi energi di Bab 1 · Keselamatan tentang bahaya, risiko, dan energi tersimpan.
2. Ada orang di bawah area kerja di ketinggian tanpa pembatas. Contoh 3 menunjukkan bahwa peringatan lisan tidak cukup cepat.
3. Uji jarak henti troli atau alat angkat dilakukan dengan beban di jalur orang. Kosongkan jalur dan pakai beban uji yang tidak berbahaya bila jatuh.

Salah tafsir yang sering terjadi

Hubungan dengan bab lain

Bab 2 · Satuan & Matematika tentang fungsi dan cara membaca hubungan serta Bab 3 · Satuan & Matematika tentang satuan dan konversi memberi dasar grafik, fungsi, dan satuan. Bab 2 tentang gerak dua dimensi memperluas gerak ke bidang dan ke gerak melingkar, dan Bab 3 tentang hukum Newton menjelaskan penyebab percepatan. Bab 5 tentang gaya, usaha, dan energi menghubungkan kecepatan dengan energi kinetik, dan Bab 4 tentang gesekan dan hambatan gerak menjelaskan peran hambatan udara pada benda yang jatuh. Bab 1 · Data & Pengukuran tentang kalibrasi dan ketidakpastian membahas ketidakpastian yang dipakai di bagian data sensor, dan Bab 1 · Keselamatan tentang bahaya dan energi tersimpan memuat prosedur isolasi energi yang dirujuk Kondisi berhenti 1. Bab 7 · Dishwashing tentang mesin konveyor rak menurunkan kecepatan lintasan dan waktu tinggal rak dari kapasitas rak per jam, memakai hubungan kecepatan dan panjang rak yang sama dengan Contoh 6.

Latihan dan pembahasan

Untuk setiap soal, tuliskan arah positif, persamaan, satuan, dan anggapan yang dipakai.