Metode numerik lapangan: iterasi titik tetap, coba-coba terarah, bagi dua, Newton, lembar kerja, dan pemeriksaan konvergensi

Sebuah laundry memakai tangki silinder mendatar berdiameter 1,2 meter dan panjang 2,5 meter untuk menampung air lunak. Teknisi diminta memasang sakelar level supaya pompa pengisi menyala ketika isi tangki tinggal 1 meter kubik. Ia tahu volume penuh tangki sekitar 2,83 meter kubik, lalu menghitung dengan perbandingan lurus: 1 dibagi 2,83 dikali 1,2 meter, sekitar 42 sentimeter. Sakelar dipasang pada tinggi itu. Kenyataannya, pada tinggi 42 sentimeter isi tangki hanya sekitar 0,89 meter kubik, karena bagian bawah tangki bulat lebih sempit daripada bagian tengahnya. Tinggi yang benar sekitar 46 sentimeter.

Rumus volume cairan di tangki mendatar terhadap tingginya diketahui, tetapi tidak dapat dibalik dengan aturan aljabar biasa untuk mendapat tinggi dari volume. Hal yang sama terjadi pada pekerjaan lain minggu itu: faktor gesekan pipa dalam rumus yang dipakai muncul di kedua sisi tanda sama dengan, sehingga teknisi memakai angka tebakan dari ingatan. Persamaan seperti ini tidak sulit bila diselesaikan dengan metode numerik sederhana yang dapat dikerjakan dengan kalkulator atau lembar kerja. Bab ini menjelaskan metode itu.

Batas pembahasan

Bab ini membahas penyelesaian satu persamaan dengan satu besaran tak diketahui secara numerik: tebakan awal, iterasi titik tetap, coba-coba terarah dan bagi dua, metode Newton, kriteria berhenti, lembar kerja dan pencari tujuan, kegagalan iterasi, dan rumus pendekatan eksplisit. Aljabar dan rumus terbalik ada di Bab 6, sistem persamaan linear di Bab 7, grafik, interpolasi, dan titik kerja di Bab 10, dan beda hingga untuk turunan di Bab 11. Sistem persamaan tak linear, persamaan diferensial, dan simulasi hanya disebut.

Persamaan yang tidak dapat dibalik dan tebakan awal

Metode numerik (numerical method) adalah cara menyelesaikan persamaan dengan menghitung berulang dari tebakan sampai hasilnya cukup dekat dengan jawaban, sebagai pengganti membalik rumus dengan aljabar. Banyak hubungan teknik dapat dihitung ke satu arah, tetapi tidak dapat dibalik dengan aljabar. Pendekatan iteratif sering dipakai untuk menyelesaikan persamaan seperti itu, dan memakai komputer untuk menyelesaikan persoalan dengan sendirinya terkait dengan teknik numerik. Contoh di lapangan:

1. Volume tangki silinder mendatar terhadap tinggi cairan memuat fungsi busur kosinus dan akar sekaligus.
2. Faktor gesekan pipa dalam persamaan yang umum dipakai untuk aliran turbulen muncul di dalam logaritma dan di luar logaritma.
3. Titik kerja pompa bila kurva pompa dan kurva sistem diberikan sebagai rumus tak linear, seperti di Bab 10 tentang grafik dan titik kerja.
4. Waktu pemanasan dengan rugi panas ke udara sekitar, ketika rugi bergantung pada suhu yang terus berubah.

Persamaan seperti itu ditulis dalam bentuk $f(x) = 0$, misalnya $V(h) - 1{,}0 = 0$, lalu dicari $x$ yang membuatnya nol. Akar persamaan (root) adalah nilai $x$ yang membuat $f(x)$ sama dengan nol.

Menulis $f(x)$ dengan benar adalah langkah pertama yang sering terlewat. Sisi kanan dipindahkan ke kiri sehingga persamaan menjadi selisih yang harus nol, dan satuan setiap suku diperiksa sama. Dengan bentuk ini, setiap tebakan langsung memberi informasi: $f$ positif berarti tebakan terlalu besar atau terlalu kecil, tergantung arah hubungan, dan besar $f$ menunjukkan seberapa jauh tebakan dari jawabannya. Kebiasaan mencatat tebakan dan nilai $f$ dalam tabel kecil, bahkan untuk coba-coba di kertas, membuat setiap langkah berikutnya lebih terarah.

Hampir semua metode numerik dimulai dari tebakan. Pada perancangan teknik kimia, misalnya, percobaan pertama memakai luas saluran turun sekitar 12% dari luas total; tebakan pertama yang masuk akal membuat iterasi cepat selesai dan mengurangi peluang gagal. Sumber tebakan awal:

1. Pendekatan sederhana, seperti perbandingan lurus pada kasus pembuka, yang memberi 0,42 m.
2. Pengalaman atau nilai khas, seperti faktor gesekan sekitar 0,02 untuk pipa air yang halus.
3. Grafik kasar fungsi $f(x)$ dari beberapa titik, untuk melihat di mana kurva memotong nol, seperti di Bab 10 tentang grafik dan titik kerja.
4. Batas fisis: tinggi cairan di antara 0 dan diameter tangki, debit di antara nol dan debit tertinggi pompa.

Iterasi titik tetap

Iterasi titik tetap (fixed-point iteration) adalah cara menyelesaikan persamaan yang ditulis dalam bentuk $x = g(x)$ dengan memasukkan hasil setiap putaran sebagai masukan putaran berikutnya:

sampai nilainya tidak berubah lagi. Prosedur seperti ini dapat diulang sampai konvergen, dan parameter luas diiterasi dengan beberapa nilai sampai diperoleh kecocokan yang memuaskan; pada salah satu hitungan perpindahan panas, efisiensi sirip yang dihasilkan sedikit lebih besar daripada pada iterasi sebelumnya, gambaran khas iterasi yang mendekati nilai tetapnya. Konvergen (convergent) berarti hasil putaran demi putaran makin dekat ke satu nilai dan perubahannya makin kecil.

Persamaan faktor gesekan untuk aliran turbulen ditulis dengan $x = 1/\sqrt{f}$:

dengan $\varepsilon/D$ kekasaran relatif dan $Re$ bilangan Reynolds. Bentuk ini sudah berbentuk $x = g(x)$ dan biasanya konvergen dalam tiga sampai lima putaran. Syarat konvergen yang umum: perubahan $g$ terhadap $x$ di sekitar akar lebih kecil dari satu dalam besarnya. Bila tidak, iterasi menjauh dan bentuk lain harus dipilih.

Iterasi yang berayun di sekitar akar dapat diredam dengan hanya memakai sebagian langkah: $x_{n+1} = x_n + w\,[g(x_n) - x_n]$ dengan $w$ antara 0 dan 1, misalnya 0,5. Peredaman membuat setiap langkah lebih pendek tetapi lebih stabil. Cara ini sering dipakai tanpa disadari ketika orang di lapangan "menaikkan setelan separuh dari selisihnya" saat menyetel katup atau pengatur suhu supaya tidak melewati sasaran.

Coba-coba terarah dan bagi dua

Cara paling aman adalah mengurung akar. Bila $f(a)$ dan $f(b)$ berlawanan tanda dan $f$ kontinu, ada akar di antara $a$ dan $b$. Metode bagi dua (bisection method) adalah cara mempersempit selang yang mengurung akar dengan membaginya dua pada setiap langkah. Metode ini mengulang langkah berikut:

1. Hitung titik tengah $m = (a + b)/2$ dan $f(m)$.
2. Bila $f(m)$ bertanda sama dengan $f(a)$, ganti $a$ dengan $m$; bila tidak, ganti $b$ dengan $m$.
3. Ulangi sampai lebar selang lebih kecil dari toleransi.

Setiap langkah membagi dua lebar selang, sehingga jumlah langkah yang diperlukan sekitar $\log_2(\text{lebar awal}/\text{toleransi})$. Metode ini lambat dibanding Newton, tetapi tidak pernah gagal selama akar sudah terkurung. Di lapangan, metode ini sama dengan coba-coba terarah: tebak, lihat apakah hasilnya terlalu besar atau terlalu kecil, lalu tebak di tengah-tengah.

Metode Newton

Metode Newton (Newton's method) adalah cara mencari akar yang memakai kemiringan fungsi untuk menebak akar berikutnya:

Bila tebakan dekat dengan akar, jumlah angka benar kira-kira berlipat dua setiap langkah, sehingga tiga atau empat langkah biasanya cukup. Turunan $f'$ dapat ditulis dari rumus, atau diperkirakan dengan beda hingga seperti di Bab 11 tentang laju perubahan dari data.

Pada tangki silinder mendatar, turunan volume terhadap tinggi mempunyai arti fisis yang sederhana: luas permukaan cairan, yaitu panjang tangki dikali lebar permukaan $2\sqrt{2Rh - h^2}$. Arti seperti itu membantu memeriksa bahwa turunan yang dipakai benar.

Kelemahan Newton: memerlukan turunan, dapat melompat jauh bila tebakan buruk atau kemiringan hampir nol, dan dapat keluar dari daerah tempat rumus berlaku. Pada tangki kasus pembuka, tebakan awal $h_0 = 0{,}02$ m sangat dekat dasar, tempat luas permukaan cairan kecil. Langkah Newton pertama melompat ke $h_1 = 1{,}31$ m, lebih tinggi dari diameter tangki, sehingga rumus volume tidak berlaku lagi dan kalkulator memberi galat. Tebakan diperbaiki dengan perbandingan lurus 0,42 m, atau akar dikurung di antara 0 dan 1,2 m lalu dipakai bagi dua.

Kriteria berhenti dan toleransi

Ukuran langkah dan toleransi konvergensi harus ditetapkan dengan hati-hati. Toleransi (tolerance) adalah batas perubahan atau sisa yang dianggap cukup kecil untuk menghentikan iterasi. Iterasi dihentikan bila salah satu syarat berikut terpenuhi:

1. Perubahan kecil: $|x_{n+1} - x_n|$ lebih kecil dari toleransi, misalnya 1 mm untuk tinggi cairan atau 0,1% untuk faktor gesekan.
2. Sisa kecil: $|f(x_{n+1})|$ lebih kecil dari batas yang berarti secara fisis, misalnya 1 liter untuk volume.
3. Batas jumlah putaran: bila setelah, misalnya, 20 putaran belum memenuhi syarat, iterasi dihentikan dan diperiksa, tidak dibiarkan berjalan terus.

Toleransi dipilih menurut kebutuhan. Menghitung tinggi sakelar level sampai mikrometer tidak berguna bila sakelar hanya dapat dipasang dengan ketelitian sentimeter. Sebaliknya, toleransi yang terlalu longgar dapat menghentikan iterasi sebelum hasilnya cukup dekat.

Lembar kerja dan pencari tujuan

Penyelesaian iteratif dapat dilakukan dengan pemecah persamaan, dan lembar kerja dipakai untuk mengurangi galat pembulatan dalam hitungan. Pencari tujuan (goal seek) adalah fungsi lembar kerja yang mengubah satu sel sampai sel lain mencapai nilai yang diminta. Lembar kerja umum mempunyai fungsi pencari tujuan atau pemecah: pengguna menyatakan sel yang ingin dibuat bernilai tertentu dan sel yang boleh diubah, lalu lembar kerja mencari nilainya.

Iterasi juga mudah dibuat langsung: satu baris untuk setiap putaran, dengan kolom $x_n$, $f(x_n)$, dan $x_{n+1}$. Cara ini memperlihatkan riwayat konvergensi, sehingga terlihat apakah nilai benar-benar mendekat. Dari riwayat konvergensi tidak selalu jelas apakah hasilnya sudah benar, sehingga hasil akhir tetap diperiksa dengan memasukkannya ke persamaan asal.

Algoritme yang dibuat untuk satu keadaan kadang tidak bekerja dengan benar bila dipakai untuk keadaan lain. Lembar kerja iterasi yang dibuat untuk satu tangki atau satu pipa diperiksa lagi sebelum dipakai untuk ukuran yang sangat berbeda.

Pencari tujuan di lembar kerja juga memakai tebakan awal, biasanya nilai yang sedang ada di sel yang boleh diubah. Bila sel itu kosong atau berisi nol, pencarian dapat gagal atau menemukan akar yang salah, seperti tinggi cairan negatif. Karena itu sel diisi tebakan yang wajar sebelum pencari tujuan dijalankan, dan batas nilai yang boleh dicoba ditetapkan bila fungsi pemecah menyediakannya.

Ketika iterasi gagal

Pada simulasi proses, konvergensi model kolom distilasi mungkin persoalan paling umum bagi insinyur pemula. Kegagalan iterasi di lapangan biasanya salah satu dari ini:

1. Menjauh: nilai makin besar atau keluar dari daerah yang berarti.
2. Berayun: nilai melompat bolak-balik di sekitar akar tanpa mendekat.
3. Akar yang salah: persamaan mempunyai lebih dari satu akar, dan iterasi menemukan akar yang tidak berarti fisis, seperti debit negatif.
4. Tidak ada akar: syarat yang diminta mustahil, seperti volume yang lebih besar dari isi penuh tangki.

Langkah pemulihan: gambar $f(x)$ untuk melihat bentuknya, pakai tebakan yang lebih baik, kurung akar lalu pakai bagi dua, atau batasi besar langkah Newton. Hasil yang diperoleh setelah kegagalan diperiksa dua kali.

Rumus pendekatan eksplisit sebagai pemeriksa

Rumus pendekatan eksplisit (explicit approximation) adalah rumus yang langsung memberi hasil tanpa iterasi, dengan galat beberapa persen atau kurang di rentang tertentu. Rumus seperti itu tersedia untuk beberapa persamaan yang sering dipakai. Contohnya rumus pendekatan faktor gesekan yang umum dipakai:

Rumus pendekatan cocok untuk perhitungan cepat dan sebagai pemeriksa hasil iterasi. Bila hasil iterasi dan hasil pendekatan berbeda jauh, salah satunya keliru. Sebuah cara dapat dipakai untuk hitung tangan, tetapi karena melibatkan prosedur iteratif, paling baik diprogram untuk komputer pribadi; di lapangan, lembar kerja di ponsel atau laptop sudah cukup.

Contoh kerja

Angka dalam contoh di bawah adalah angka latihan, kecuali disebut asalnya.

Contoh 1: tinggi sakelar level dengan Newton. Tangki $R = 0{,}6$ m dan $L = 2{,}5$ m. Volume $V(h) = L[R^2 \arccos((R - h)/R) - (R - h)\sqrt{2Rh - h^2}]$ dan turunannya $V'(h) = 2L\sqrt{2Rh - h^2}$. Dicari $V(h) = 1{,}0$ m³. Tebakan $h_0 = 0{,}40$ m. Putaran pertama memberi $h_1 = 0{,}4619$ m dengan $V = 1{,}0030$ m³, putaran kedua $h_2 = 0{,}4608$ m dengan $V = 1{,}0000$ m³. Sakelar dipasang pada sekitar 46 cm dari dasar dalam tangki, bukan 42 cm.

Contoh 2: faktor gesekan dengan iterasi titik tetap. Air 60 °C dengan viskositas kinematik sekitar $0{,}474 \times 10^{-6}$ m²/s (sifat air pada suhu itu) mengalir 1,5 m/s di pipa berdiameter dalam 27 mm dengan kekasaran 0,0015 mm. $Re = 1{,}5 \times 0{,}027/(0{,}474 \times 10^{-6}) = 85.400$ dan $\varepsilon/D = 5{,}6 \times 10^{-5}$. Mulai dari $f = 0{,}02$, atau $x = 7{,}07$: putaran pertama $x = 7{,}304$, kedua 7,278, ketiga 7,281, keempat 7,2807. Faktor gesekan $f = 1/x^2 = 0{,}01886$. Perubahan dari putaran ketiga ke keempat hanya 0,0003 pada $x$, jauh di bawah toleransi 0,1%, sehingga iterasi dihentikan.

Contoh 3: pengaruh pada rugi tekanan. Untuk pipa 30 m, rugi tinggi $h_f = f (L/D) v^2/(2g)$. Dengan $f = 0{,}01886$, $h_f = 2{,}40$ m; dengan tebakan $f = 0{,}02$, $h_f = 2{,}55$ m, sekitar 6% lebih besar. Untuk pipa kasar atau aliran dengan bilangan Reynolds kecil, selisih tebakan dan hasil iterasi dapat jauh lebih besar.

Contoh 4: pemeriksa eksplisit. Rumus pendekatan memberi $f = 0{,}01877$, sekitar 0,5% di bawah hasil iterasi. Kedua cara sepakat, sehingga hasil iterasi dapat dipakai.

Contoh 5: titik kerja dengan bagi dua. Kurva pompa $H = 32 - 0{,}25 Q^2$ dan kurva sistem $H = 10 + 0{,}4 Q^2$. $f(Q) = 22 - 0{,}65 Q^2$. $f(5) = 5{,}75$ dan $f(6) = -1{,}4$, jadi akar di antara 5 dan 6. Titik tengah: 5,5 ($f > 0$), 5,75 ($f > 0$), 5,875 ($f < 0$), 5,8125 ($f > 0$), dan seterusnya; setelah delapan langkah, selang selebar 0,004 m³/jam di sekitar 5,818. Hasil tepat $\sqrt{22/0{,}65} = 5{,}818$ m³/jam, sama.

Contoh 6: tabel tinggi dan volume. Untuk tangki yang sama, dibuat tabel volume untuk setiap 5 cm tinggi dengan lembar kerja, lalu dipasang di dekat tangki. Operator dapat membaca volume dari tinggi, dan sebaliknya mencari tinggi dari volume dengan interpolasi seperti di Bab 10 tentang interpolasi. Untuk pemasangan sakelar, nilai yang dihitung dengan Newton tetap dipakai sebagai acuan.

Kondisi berhenti

Hentikan pemakaian hasil iterasi dan periksa ulang bila salah satu keadaan di bawah terjadi. Pemeriksa ulang adalah pengawas atau teknisi berkompeten yang memahami persamaan dan metode yang dipakai.

1. Iterasi tidak memenuhi kriteria berhenti setelah batas jumlah putaran.
2. Nilai keluar dari daerah fisis yang berarti, seperti tinggi negatif atau lebih besar dari tangki.
3. Hasil iterasi berbeda jauh dari pendekatan eksplisit atau dari perkiraan kasar.
4. Persamaan mungkin mempunyai lebih dari satu akar dan belum dipastikan akar mana yang berarti.
5. Hasil dipakai untuk setelan pengaman, seperti sakelar level rendah pelindung pompa, tanpa diperiksa dengan pengukuran setelah dipasang.

Salah tafsir yang sering terjadi

Hubungan dengan bab lain

Bab 6 tentang aljabar teknik dan rumus terbalik memberi cara membalik rumus yang dapat dibalik, Bab 7 tentang persamaan linear dan sistem persamaan menyelesaikan beberapa persamaan linear sekaligus, Bab 10 tentang grafik, interpolasi, dan membaca kurva menentukan titik kerja secara grafis, dan Bab 11 tentang laju perubahan dari data memberi turunan numerik untuk metode Newton. Rumus faktor gesekan dan rugi tekanan dipakai di bab-bab ukuran pipa rak Bangunan, seperti Bab 8 · Bangunan & Fasilitas tentang kebutuhan air dan ukuran pipa. Dengan bab ini, rak Satuan & Matematika menutup jalur dari aritmetika dan satuan sampai penyelesaian numerik.

Latihan dan pembahasan