Grafik, interpolasi, dan membaca kurva: sumbu dan skala, skala logaritmik, interpolasi linear satu dan dua arah, membaca kurva pabrik dan nomogram, dan titik kerja

Sebuah pompa penguat air panas di laundry rusak, dan teknisi diminta memesan pengganti yang setara. Kebutuhan sistem kira-kira 5 meter kubik per jam pada tinggi angkat 25 meter. Ia membuka lembar data pompa pilihan, menemukan angka 25 pada sumbu tegak, menarik garis ke kurva, lalu turun ke sumbu mendatar dan membaca angka sekitar 20. Ia menyimpulkan pompa itu mampu 20 meter kubik per jam, jauh di atas kebutuhan, dan memesannya.

Pompa yang datang ternyata terlalu kecil. Sumbu tegak lembar data itu dalam kaki, bukan meter, dan sumbu mendatarnya dalam galon per menit. Tinggi angkat 25 kaki hanya sekitar 7,6 meter, dan 20 galon per menit hanya sekitar 4,5 meter kubik per jam. Pada hari yang sama, ia menghitung suhu uap pada 4,5 bar dengan angka tabel untuk 4 bar, karena 4,5 bar tidak tercantum, dan suhu yang ia pakai meleset beberapa derajat. Grafik dan tabel pabrik sangat berguna, tetapi hanya bila dibaca dengan teliti. Bab ini menjelaskan cara membacanya.

Batas pembahasan

Bab ini membahas unsur grafik, menggambar grafik dari data, skala logaritmik, interpolasi linear satu dan dua arah, batas interpolasi, membaca kurva pabrik, titik kerja, kurva waktu-arus pengaman, dan diagram serta nomogram. Rumus di bab ini adalah rumus baku.

Topik yang berdekatan dibahas di bab lain:

• fungsi dan grafik dasar di Bab 2 tentang besaran, fungsi, dan cara membaca hubungan;
• garis lurus dari dua titik di Bab 7 tentang persamaan linear dan sistem persamaan;
• logaritma di Bab 9 tentang eksponen, logaritma, dan desibel;
• regresi dan batas ekstrapolasi di Bab 7 · Data & Pengukuran tentang korelasi dan regresi;
• kurva pompa dan sistem air gedung di Bab 9 · Bangunan & Fasilitas tentang tekanan dan pompa air gedung;
• kurva pengaman arus lebih di Bab 23 · Kelistrikan & Kendali tentang proteksi arus lebih;
• psikrometri ruang laundry di Bab 16 · Bangunan & Fasilitas tentang ventilasi dan tata udara ruang laundry dan dapur.

Pemilihan pompa dan pengaman untuk instalasi mengikuti bab-bab itu; bab ini membahas cara membaca grafiknya.

Unsur sebuah grafik

Grafik (graph) adalah cara visual menunjukkan hubungan antara dua besaran. Sebelum membaca angka apa pun dari grafik, periksa unsurnya:

1. Judul dan keterangan: grafik apa, untuk alat atau model apa.
2. Besaran dan satuan setiap sumbu: meter atau kaki, meter kubik per jam atau galon per menit, bar atau psi.
3. Skala: linear atau logaritmik, dan apakah sumbu dimulai dari nol.
4. Garis bantu: jarak antargaris dan nilai setiap garis.
5. Legenda: arti setiap kurva, misalnya diameter impeler, kecepatan, atau jenis bahan.
6. Keadaan uji: suhu cairan, kerapatan, kecepatan putar, tegangan, atau suhu ruang saat kurva dibuat.

Karakteristik dalam dan luar sebuah mesin, misalnya, diplot pada kecepatan tetap. Keadaan uji seperti itu menentukan apakah kurva berlaku untuk keadaan lapangan. Kurva pompa yang dibuat dengan air dingin tidak sepenuhnya berlaku untuk air panas atau cairan kental.

Menggambar grafik dari data

Menggambar grafik dari data percobaan adalah bagian penting kerja praktik. Aturan yang umum:

1. Besaran yang diatur atau dianggap sebab di sumbu mendatar; besaran yang diukur di sumbu tegak.
2. Skala dipilih supaya data mengisi sebagian besar luas grafik, dengan langkah garis bantu yang mudah dibaca, seperti 1, 2, atau 5 kali pangkat sepuluh.
3. Setiap titik diberi tanda yang jelas; bila ada beberapa seri, tanda atau warna dibedakan dan diterangkan.
4. Data yang tersebar tidak disambung garis patah dari titik ke titik; ditarik garis atau kurva terbaik, seperti garis kuadrat terkecil di Bab 7 · Data & Pengukuran tentang korelasi dan regresi.
5. Bila sumbu tidak dimulai dari nol, hal itu dibuat jelas, karena perbedaan kecil dapat tampak sangat besar.

Grafik yang baik membuat pola terlihat sebelum ada hitungan: titik menyimpang, kelompok, kejenuhan, atau perubahan kemiringan.

Skala logaritmik dan semi-logaritmik

Besaran yang rentangnya lebar digambar dengan skala logaritmik, seperti dijelaskan di Bab 9 tentang eksponen, logaritma, dan desibel. Pada grafik faktor gesekan terhadap bilangan Reynolds, misalnya, kedua sumbu diplotkan dengan skala logaritma. Grafik log-log (log-log plot) adalah grafik dengan dua sumbu logaritmik, sedangkan grafik semi-log (semi-log plot) adalah grafik dengan satu sumbu logaritmik.

Dua sifat yang berguna: pada grafik log-log, hubungan pangkat $y = c x^m$ tampak sebagai garis lurus dengan kemiringan $m$; pada grafik semi-log dengan sumbu tegak logaritmik, hubungan eksponensial tampak sebagai garis lurus. Membaca nilai di antara garis bantu pada sumbu logaritmik dilakukan dengan perbandingan, tidak dengan selisih.

Interpolasi linear satu dan dua arah

Interpolasi linear satu arah

Tabel hanya memuat nilai pada titik tertentu. Nilai di antara beban yang tercantum dalam tabel boleh diinterpolasi. Interpolasi linear (linear interpolation) adalah cara menaksir nilai di antara dua titik tabel dengan menganggap hubungan di antara keduanya lurus:

Di sini $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$ adalah dua titik tabel yang mengapit $x$, dan $y$ hasilnya; $x$ bersatuan sama dengan $x_1$ dan $x_2$, dan $y$ bersatuan sama dengan $y_1$ dan $y_2$. Bentuk ini sama dengan garis lurus melalui dua titik di Bab 7 tentang persamaan linear dan sistem persamaan. Pecahan $(x - x_1)/(x_2 - x_1)$ menyatakan seberapa jauh $x$ di antara $x_1$ dan $x_2$, dari 0 sampai 1, dan nilai $y$ bergeser sejauh pecahan yang sama.

Interpolasi juga dapat dipakai terbalik, yaitu mencari $x$ untuk $y$ tertentu, dengan menukar peran keduanya. Aturan praktisnya: tulis kedua titik tabel, hitung pecahan, periksa bahwa hasilnya berada di antara kedua nilai tabel.

Interpolasi dua arah

Banyak tabel pabrik bergantung pada dua masukan, seperti kapasitas mesin pendingin menurut suhu udara dan suhu air masuk, atau sifat uap panas lanjut menurut tekanan dan suhu. Interpolasi dua arah (bilinear interpolation) adalah interpolasi linear pada tabel dengan dua masukan, yang dilakukan dalam tiga langkah:

1. Pada baris pertama, interpolasi menurut masukan pertama.
2. Pada baris kedua, interpolasi menurut masukan pertama dengan pecahan yang sama.
3. Interpolasi kedua hasil itu menurut masukan kedua.

Urutan langkah boleh ditukar; hasilnya sama untuk interpolasi linear. Yang penting adalah tidak mencampur pecahan kedua masukan, dan menuliskan keempat nilai tabel yang dipakai, supaya hitungan dapat diperiksa.

Batas interpolasi

Interpolasi linear memberi galat bila hubungan di antara titik tabel melengkung kuat. Tekanan uap air, misalnya, naik makin cepat dengan suhu, sehingga interpolasi lurus di antara 30 °C dan 40 °C memberi nilai yang sedikit terlalu tinggi, seperti pada Latihan 1. Galat makin besar bila jarak titik tabel lebar dan kurvanya tajam.

Cara mengurangi galat: pakai tabel dengan langkah lebih rapat, pakai titik di kedua sisi yang lebih dekat, pakai persamaan pabrik bila ada, atau pakai interpolasi dengan tiga titik untuk kurva yang jelas melengkung. Cara lain selain memakai grafik adalah menghitung langsung nilai dari persamaannya. Bila persamaan tersedia, menghitung langsung biasanya lebih teliti daripada membaca grafik.

Ekstrapolasi (extrapolation) adalah menaksir nilai di luar rentang tabel atau kurva. Interpolasi tidak boleh diganti ekstrapolasi tanpa tanda. Nilai di luar tabel atau di luar ujung kurva dapat menyangkut keadaan yang tidak diuji pabrik, seperti dijelaskan di Bab 7 · Data & Pengukuran tentang korelasi dan regresi.

Membaca kurva pabrik

Kurva pompa memuat beberapa kurva pada sumbu debit yang sama: tinggi angkat, efisiensi, daya poros, dan kebutuhan NPSH, kadang untuk beberapa diameter impeler atau kecepatan. Cara membacanya:

1. Periksa satuan setiap sumbu dan ubah ke satuan kerja lebih dulu.
2. Tarik garis tegak dari debit yang dibutuhkan sampai memotong kurva tinggi angkat yang sesuai diameter impeler atau kecepatan.
3. Dari titik potong, tarik garis mendatar ke sumbu tinggi angkat dan baca nilainya.
4. Pada debit yang sama, baca efisiensi, daya, dan kebutuhan NPSH dari kurvanya masing-masing.
5. Catat keadaan uji kurva dan bandingkan dengan keadaan lapangan.

Titik efisiensi terbaik (best efficiency point) adalah titik pada kurva dengan efisiensi tertinggi. Pompa sebaiknya bekerja di sekitar titik itu; bekerja jauh di kiri, pada debit sangat kecil, atau jauh di kanan, pada debit sangat besar, menambah getaran, panas, dan keausan, walaupun tinggi angkatnya masih terpenuhi. Banyak pabrik menandai rentang kerja yang dianjurkan pada kurvanya; titik kerja yang dipilih sebaiknya berada di dalam rentang itu.

Kurva karakteristik pengaman juga dibandingkan satu dengan yang lain. Membandingkan dua kurva pada grafik yang sama, seperti dua pompa atau dua pengaman, harus memakai sumbu dan satuan yang sama.

Titik kerja: perpotongan dua kurva

Pompa tidak bekerja pada debit yang dipilih orang, tetapi pada titik ketika tinggi angkat yang diberikan pompa sama dengan tinggi angkat yang diminta sistem. Kurva sistem (system curve) adalah hubungan tinggi angkat yang diminta sistem pipa terhadap debit, biasanya berbentuk $H = H_s + k Q^2$, dengan $H$ tinggi angkat dalam m, $Q$ debit, $H_s$ tinggi statis, dan $kQ^2$ rugi gesekan, seperti di Bab 9 · Bangunan & Fasilitas tentang tekanan dan pompa air gedung. Titik kerja (operating point) adalah perpotongan kurva pompa dan kurva sistem.

Penyelesaian grafis dipakai juga untuk contoh teknik kimia, termasuk memplot keadaan ujung keluar setelah ditetapkan. Penyelesaian grafis cepat dan memperlihatkan arti fisisnya. Penyelesaian angka dilakukan dengan mencari debit tempat selisih kedua kurva berubah tanda, lalu menginterpolasi selisih itu, seperti pada Contoh 4, atau dengan metode numerik yang dibahas di Bab 12 tentang metode numerik lapangan.

Kurva waktu-arus pengaman

Kurva waktu-arus (time-current curve) pengaman arus lebih menunjukkan waktu putus terhadap arus, biasanya pada grafik log-log, karena arus berkisar dari sedikit di atas arus pengenal sampai ribuan ampere dan waktu dari milidetik sampai jam. Kurva pemutus sirkit melengkung lalu berupa garis lurus, sedangkan kurva sekering melengkung seluruhnya.

Kurva pengaman biasanya berupa pita, bukan garis, karena ada toleransi pabrik: pada arus tertentu, pengaman dapat putus di mana saja di antara batas bawah dan batas atas pita. Membaca kurva seperti itu berarti membaca dua waktu, yaitu paling cepat dan paling lambat, dan memastikan keduanya memenuhi syarat. Pemilihan dan koordinasinya ada di Bab 23 · Kelistrikan & Kendali tentang proteksi arus lebih.

Diagram dan nomogram

Beberapa hubungan dengan tiga besaran atau lebih disajikan sebagai diagram. Diagram psikrometri adalah gambaran grafis berbagai sifat udara lembap, dan faktor kompresibilitas dibaca dari diagram pada tekanan dan suhu tereduksi tertentu. Pada diagram seperti itu, satu titik ditentukan oleh dua besaran yang diketahui, lalu besaran lain dibaca dari garis-garis yang melalui titik itu.

Nomogram (nomogram) adalah diagram dengan beberapa skala yang dihubungkan garis lurus: garis yang melalui dua nilai yang diketahui memotong skala ketiga pada nilai yang dicari. Ketelitian diagram dan nomogram terbatas oleh lebar garis dan mata pembaca; biasanya dua sampai tiga angka penting. Untuk keputusan yang peka, hasil diagram diperiksa dengan persamaan atau tabel.

Titik didih, misalnya, dapat ditentukan dari grafik. Menentukan nilai dari grafik selalu disertai perkiraan ketelitiannya: setengah jarak garis bantu terkecil adalah batas kasar yang wajar.

Contoh kerja

Angka dalam contoh di bawah adalah angka latihan, kecuali disebut asalnya.

Contoh 1: suhu uap jenuh dengan interpolasi. Tabel uap memuat suhu jenuh 143,6 °C pada 4 bar mutlak dan 151,8 °C pada 5 bar mutlak. Pada 4,5 bar, pecahan $0{,}5$, sehingga suhu $143{,}6 + 0{,}5 \times (151{,}8 - 143{,}6) = 147{,}7$ °C. Memakai angka 4 bar langsung memberi galat sekitar 4 derajat. Tabel uap biasanya memakai tekanan mutlak; bila manometer menunjukkan tekanan ukur 3,5 bar, tekanan mutlaknya sekitar 4,5 bar, dan salah memilih jenis tekanan menggeser hasil hampir sejauh satu baris tabel.

Contoh 2: interpolasi dua arah. Tabel kapasitas mesin es: pada air masuk 15 °C, 100 kg/hari pada udara 25 °C dan 92 kg/hari pada udara 35 °C; pada air masuk 25 °C, 88 dan 80 kg/hari. Untuk udara 30 °C dan air 21 °C: pada air 15 °C, $100 + 0{,}5 \times (92 - 100) = 96$; pada air 25 °C, $88 + 0{,}5 \times (80 - 88) = 84$; lalu pada air 21 °C dengan pecahan 0,6, $96 + 0{,}6 \times (84 - 96) = 88{,}8$ kg/hari.

Contoh 3: debit dari kurva pompa. Titik kurva pompa: debit 0, 2, 4, 6, 8 m³/jam dengan tinggi angkat 32, 31, 28, 23, 16 m. Untuk tinggi angkat 25 m, di antara 28 m pada 4 m³/jam dan 23 m pada 6 m³/jam, debit $4 + (28 - 25)/(28 - 23) \times 2 = 5{,}2$ m³/jam.

Contoh 4: titik kerja. Kurva sistem $H = 10 + 0{,}4 Q^2$ dengan $H$ dalam m dan $Q$ dalam m³/jam. Pada 5 m³/jam, pompa memberi 25,5 m dan sistem meminta 20,0 m, selisih $+5{,}5$; pada 6 m³/jam, pompa 23,0 m dan sistem 24,4 m, selisih $-1{,}4$. Interpolasi selisih: $Q = 5 + 5{,}5/(5{,}5 + 1{,}4) = 5{,}8$ m³/jam, dengan tinggi angkat sekitar 23,5 m. Kebutuhan 5 m³/jam terpenuhi dengan sedikit cadangan.

Contoh 5: satuan kurva pada kasus pembuka. Lembar data dalam kaki dan galon per menit. Kebutuhan 25 m sama dengan $25/0{,}3048 = 82$ kaki, dan 5 m³/jam sama dengan $5/0{,}2271 = 22$ galon per menit. Garis harus ditarik dari 82 kaki, bukan 25. Pada kurva yang dibaca teknisi, titik 25 kaki dan 20 galon per menit hanya setara sekitar 7,6 m dan 4,5 m³/jam.

Contoh 6: pita kurva pengaman. Pemutus sirkit 16 A dengan kurva jenis yang pemutus seketikanya bekerja antara sekitar 3 dan 5 kali arus pengenal, seperti dibahas di Bab 23 · Kelistrikan & Kendali tentang proteksi arus lebih. Pada arus 64 A, empat kali arus pengenal, pemutus dapat putus seketika atau baru beberapa detik kemudian melalui bagian termal, tergantung letak di dalam pita. Keputusan yang bergantung pada waktu putus memakai batas paling lambat pita.

Kondisi berhenti

Hentikan pemilihan atau penyetelan dan minta lembar data yang jelas atau keputusan penyelia bila:

1. Satuan sumbu, keadaan uji, atau diameter impeler pada kurva tidak jelas.
2. Titik yang dibutuhkan berada di luar kurva atau di luar tabel pabrik.
3. Hasil interpolasi dipakai untuk pengaman, tekanan uap, atau batas suhu, dan kurva di antara titik tabel jelas melengkung kuat.
4. Kurva pengaman dibaca hanya sebagai satu garis, padahal pabrik memberi pita toleransi.
5. Dua kurva dibandingkan pada grafik dengan sumbu atau satuan yang berbeda.

Salah tafsir yang sering terjadi

Hubungan dengan bab lain

• Bab 2 tentang besaran, fungsi, dan cara membaca hubungan memberi fungsi dan grafik.
• Bab 7 tentang persamaan linear dan sistem persamaan memberi garis melalui dua titik.
• Bab 9 tentang eksponen, logaritma, dan desibel memberi skala logaritmik.
• Bab 7 · Data & Pengukuran tentang korelasi dan regresi memberi garis terbaik dan batas ekstrapolasi.
• Bab 9 · Bangunan & Fasilitas tentang tekanan dan pompa air gedung memakai kurva pompa dan sistem.
• Bab 23 · Kelistrikan & Kendali tentang proteksi arus lebih memakai kurva pengaman.
• Bab 16 · Bangunan & Fasilitas tentang ventilasi dan tata udara ruang laundry dan dapur memakai psikrometri.
• Bab 12 tentang metode numerik lapangan menyelesaikan titik kerja dengan metode numerik.
• Bab 11 tentang laju perubahan dan luas di bawah kurva dari data, bab berikutnya di rak ini, melanjutkan dengan kemiringan dan luas yang dihitung dari data grafik.

Latihan dan pembahasan