Korelasi dan regresi: diagram pencar, koefisien korelasi, garis kuadrat terkecil, residu, koefisien determinasi, kurva kalibrasi, dan batas ekstrapolasi

Seorang teknisi menyiapkan garis kalibrasi untuk dispenser bahan kimia. Ia mengukur debit pada lima setelan, 20%, 30%, 40%, 50%, dan 60%, menggambar titik-titiknya, dan mendapat garis yang hampir sempurna. Pelanggan lalu meminta setelan 80% untuk program cuci berat. Dari garis itu, debitnya diperkirakan sekitar 399 mililiter per menit. Uji di lapangan sebulan kemudian menunjukkan debit sebenarnya hanya sekitar 352 mililiter per menit, kira-kira 12% lebih rendah, karena pada kecepatan tinggi selang pompa tidak lagi terisi penuh.

Pada minggu yang sama, seorang penyelia menunjukkan grafik bulanan: makin banyak deterjen dipakai, makin sedikit keluhan noda per kilogram linen. Ia mengusulkan menaikkan dosis. Ketika data dipisah menurut bulan, ternyata kedua angka itu sama-sama mengikuti musim tamu: pada bulan ramai, linen lebih banyak, deterjen lebih banyak, dan linen lebih cepat berputar sehingga noda lama lebih jarang menumpuk. Garis yang bagus dan korelasi yang kuat sama-sama dapat menyesatkan bila dipakai di luar batasnya. Bab ini menjelaskan cara membaca dan memakai hubungan antara dua besaran dengan jujur.

Batas pembahasan

Bab ini membahas hubungan antara dua besaran: diagram pencar, koefisien korelasi, korelasi dan sebab, regresi linear sederhana dengan kuadrat terkecil, residu, koefisien determinasi, linearisasi, kurva kalibrasi dan prediksi terbalik, serta interpolasi dan ekstrapolasi. Regresi berganda dan regresi tak linear hanya disebut. Topik di sekitarnya ada di bab lain:

• ringkasan data di Bab 2 tentang variasi, distribusi, dan ringkasan data;
• tren waktu dan diagram kendali di Bab 3 tentang tren, kontrol proses, dan keputusan berbasis bukti;
• bias dan linearitas alat ukur di Bab 4 tentang analisis sistem pengukuran;
• ketidakpastian gabungan di Bab 5 tentang ketidakpastian gabungan dan anggaran ketidakpastian;
• uji pembeda untuk mencari sebab di Bab 3 · Sistem, Diagram & Diagnosis tentang gejala dan hipotesis yang dapat diuji;
• kalibrasi dispenser di Bab 1 · Dispensing Kimia tentang dispenser peristaltik, kalibrasi, dan verifikasi dosis.

Diagram pencar dan koefisien korelasi

Langkah pertama selalu menggambar data. Diagram pencar (scatter plot) adalah grafik titik yang menempatkan satu besaran pada sumbu mendatar, biasanya yang diatur atau dianggap penyebab, dan besaran lain pada sumbu tegak. Dari gambar itu terlihat:

1. Arah: naik, turun, atau tidak ada pola.
2. Bentuk: lurus, melengkung, jenuh, atau berundak.
3. Kekuatan: titik rapat di sekitar garis atau tersebar lebar.
4. Titik menyimpang: satu atau dua titik yang jauh dari pola, mungkin salah catat, mungkin keadaan yang berbeda.
5. Kelompok: dua gumpalan titik yang menunjukkan data dari dua sumber bercampur.

Pada fungsi linear yang berupa garis lurus, kemiringannya tetap, seperti resistansi pada grafik tegangan terhadap arus. Kemiringan garis grafik jarak terhadap waktu sebanding dengan kecepatan benda. Kemiringan diagram pencar mempunyai arti fisis bila satuan kedua sumbu dicatat.

Koefisien korelasi Pearson (Pearson correlation coefficient) adalah angka yang mengukur seberapa dekat titik-titik pada sebuah garis lurus:

dan $S_{yy}$ dihitung dengan cara yang sama untuk $y$. Nilainya antara $-1$ dan $+1$, tanpa satuan. Nilai dekat $+1$ berarti titik hampir pada garis naik, dekat $-1$ pada garis turun, dan dekat 0 berarti tidak ada hubungan garis lurus.

Koefisien korelasi mempunyai tiga batas:

1. Ia hanya mengukur hubungan garis lurus. Hubungan lengkung yang kuat dapat memberi $r$ kecil.
2. Ia peka pada titik menyimpang. Satu titik salah catat dapat menaikkan atau menurunkan $r$ dengan banyak.
3. Ia tidak menunjukkan besarnya pengaruh. Dua besaran dapat berkorelasi sangat kuat walaupun perubahan satu hanya sedikit mengubah yang lain.

Korelasi dan sebab

Korelasi tidak sama dengan sebab. Korelasi (correlation) adalah kecenderungan dua besaran berubah bersama; ia tidak menyatakan mana yang menggerakkan mana. Pengganggu (confounder) adalah besaran ketiga yang menggerakkan dua besaran sekaligus, sehingga keduanya tampak berhubungan. Ada beberapa alasan dua besaran tampak berhubungan tanpa yang satu menyebabkan yang lain:

1. Pengganggu: besaran ketiga menggerakkan keduanya, seperti jumlah tamu pada kasus pembuka.
2. Arah terbalik: yang tampak akibat sebenarnya sebab. Mesin yang sering rusak mendapat lebih banyak kunjungan servis, sehingga kunjungan servis tampak "menyebabkan" kerusakan.
3. Kebetulan: dengan sedikit titik, korelasi kuat dapat muncul secara acak.
4. Pemilihan: data hanya dari keadaan tertentu, misalnya hanya mesin yang dilaporkan rusak.

Kebetulan dapat dinilai kasar dengan batas korelasi kritis. Untuk peluang sekitar 5% bahwa korelasi sebesar itu muncul hanya karena acak, batasnya sekitar 0,88 untuk 5 titik, 0,63 untuk 10 titik, dan 0,44 untuk 20 titik. Korelasi 0,7 dari lima bulan data belum cukup untuk menyimpulkan apa pun; korelasi yang sama dari dua puluh minggu lebih meyakinkan, walaupun tetap belum membuktikan sebab.

Untuk membuktikan sebab diperlukan uji yang mengubah satu besaran dengan sengaja sambil menahan yang lain, seperti uji pembeda di Bab 3 · Sistem, Diagram & Diagnosis tentang gejala dan hipotesis yang dapat diuji, atau perbandingan terkendali seperti di Bab 8 tentang uji perbandingan sederhana. Pemisahan data menurut kelompok, atau penormalan seperti keluhan per seribu lembar, sering memperlihatkan pengganggu.

Garis kuadrat terkecil

Soal latihan kimia sekolah menengah pun meminta pembaca memeriksa apakah garis terbaik yang sesuai sudah digambar melalui titik-titik yang diplot. Regresi linear sederhana (simple linear regression) adalah cara mencari garis lurus yang paling mewakili hubungan satu besaran $y$ dengan satu besaran $x$. Garis kuadrat terkecil (least squares line) adalah garis terbaik yang baku, yaitu garis yang membuat jumlah kuadrat jarak tegak titik ke garis sekecil mungkin:

Kemiringan $b$ adalah perubahan rata-rata $y$ untuk setiap satuan $x$, dengan satuan $y$ per satuan $x$, dan potongan $a$ adalah nilai $y$ saat $x = 0$, dengan satuan $y$. Potongan hanya bermakna bila $x = 0$ berada di dalam atau dekat rentang data.

Dalam kurikulum teknik elektro, pemahaman peramalan beban dipelajari bersama soal yang diselesaikan dengan analisis regresi; cara hitungnya sama untuk debit, suhu, atau arus.

Residu dan koefisien determinasi

Residu (residual) adalah selisih nilai teramati dengan nilai dari garis: $e_i = y_i - \hat{y}_i$. Residu yang baik tersebar acak di sekitar nol tanpa pola. Pola pada residu menunjukkan model tidak cocok:

1. Residu negatif di kedua ujung dan positif di tengah, atau sebaliknya: hubungan melengkung.
2. Residu makin lebar ke satu arah: sebaran berubah menurut $x$.
3. Residu berurutan menurut waktu yang membentuk tren: ada besaran lain yang bergeser.

Simpangan baku residu (residual standard deviation) adalah ukuran seberapa jauh titik biasanya dari garis, dalam satuan $y$:

Penyebut $n - 2$ karena dua parameter, $a$ dan $b$, sudah ditaksir dari data. Untuk perkiraan kasar, nilai baru diharapkan berada dalam sekitar $\pm 2 s_e$ dari garis di dalam rentang data.

Koefisien determinasi (coefficient of determination) adalah bagian variasi $y$ yang dijelaskan garis:

Untuk regresi linear sederhana, $R^2 = r^2$. Nilai $R^2$ yang tinggi tidak membuktikan model benar. Hubungan melengkung dapat memberi $R^2$ di atas 0,98 dengan residu yang jelas berpola, seperti pada Contoh 3. Karena itu residu selalu diperiksa bersama $R^2$.

Linearisasi

Banyak hubungan teknis tidak lurus tetapi dapat diluruskan dengan mengubah skala. Linearisasi (linearization) adalah mengubah skala satu atau kedua besaran sehingga hubungan yang lengkung menjadi garis lurus. Dalam kinetika kimia, memplot data tertentu menghasilkan garis lurus yang menunjukkan reaksi memang berorde satu. Garis lurus setelah pengubahan skala adalah cara sederhana menguji apakah model yang diduga cocok. Bentuk yang umum:

1. Peluruhan eksponensial $y = y_0 e^{-kt}$: plot $\ln y$ terhadap $t$ lurus dengan kemiringan $-k$. Contohnya klorin sisa yang berkurang di tangki.
2. Pangkat $y = c x^m$: plot $\log y$ terhadap $\log x$ lurus dengan kemiringan $m$. Contohnya hubungan debit dan beda tekanan pada lubang.
3. Kebalikan $y = a + b/x$: plot $y$ terhadap $1/x$ lurus.

Setelah linearisasi, kuadrat terkecil dihitung pada data yang sudah diubah. Hasil diubah kembali ke bentuk asal untuk dipakai.

Kurva kalibrasi dan prediksi terbalik

Kurva kalibrasi (calibration curve) adalah garis atau kurva yang menghubungkan masukan yang diketahui dengan keluaran alat. Prediksi terbalik (inverse prediction) adalah memakai kurva itu dari arah sebaliknya: dari keluaran yang terbaca, dicari masukan yang menghasilkannya, atau dari debit yang diinginkan dicari setelan.

Ketidakpastian prediksi terbalik paling kecil di tengah rentang kalibrasi dan membesar ke ujung. Perkiraan simpangan bakunya untuk satu pembacaan baru, dalam satuan $x$, adalah sebagai berikut.

Suku pertama di bawah akar berasal dari sebaran pembacaan baru, suku kedua dari ketidakpastian letak garis, dan suku ketiga membesar bila $y$ jauh dari pusat data. Titik kalibrasi sebaiknya mencakup seluruh rentang pemakaian dengan jarak yang merata, dan beberapa titik diulang supaya sebaran dapat dinilai. Bila residu menunjukkan ketaklinearan, seperti galat ketaklinearan transmiter di Bab 4 tentang analisis sistem pengukuran, dipakai kurva bertitik banyak atau tabel koreksi.

Interpolasi dan batas ekstrapolasi

Interpolasi (interpolation) adalah memakai garis di antara titik yang diukur; ekstrapolasi (extrapolation) adalah memakainya di luar. Pada tabel rancangan plambing, nilai di antara beban yang tercantum boleh diinterpolasi, sedangkan korelasi dalam sebuah tabel rancangan teknik kimia hanya berlaku di antara batas bawah dan atas yang ditunjukkan. Banyak korelasi perpindahan panas diturunkan dari percobaan pada unit laboratorium yang relatif kecil, dan bila pemeriksaan gagal untuk suatu keadaan, harus dicari korelasi yang lebih mewakili. Rugi pada belokan pipa juga sulit dinilai selain dengan cara empiris.

Prinsipnya: garis empiris hanya berlaku pada rentang dan keadaan data asalnya. Di luar rentang, mekanisme fisis dapat berubah, seperti pompa yang jenuh, aliran yang berubah dari laminer ke turbulen, atau pemanas yang mencapai batas dayanya. Bila ekstrapolasi tidak dapat dihindari, beri catatan, perlakukan hasil sebagai perkiraan, dan ukur langsung sesegera mungkin.

Data yang baik untuk regresi

Garis hanya sebaik data yang membentuknya. Hal yang perlu diperhatikan saat mengumpulkan data untuk regresi di lapangan adalah sebagai berikut.

1. Rentang $x$ cukup lebar dan mencakup seluruh rentang pemakaian. Titik yang berdesakan di rentang sempit memberi kemiringan yang sangat tidak pasti.
2. $x$ diatur atau diukur lebih teliti daripada $y$. Kuadrat terkecil biasa menganggap kesalahan hanya ada pada $y$. Bila kedua besaran sama tidak telitinya, kemiringan cenderung terlalu landai.
3. Titik diambil dalam urutan acak, tidak selalu dari kecil ke besar, supaya pergeseran alat atau pemanasan mesin selama pengujian tidak tercampur dengan pengaruh $x$.
4. Beberapa titik diulang, supaya sebaran murni dapat dibandingkan dengan sebaran di sekitar garis. Bila sebaran di sekitar garis jauh lebih besar daripada sebaran ulangan, model tidak cocok.
5. Keadaan uji dicatat: suhu cairan, kekentalan bahan kimia, panjang dan umur selang, tegangan pasokan. Garis yang dibuat dengan bahan kimia encer belum tentu berlaku untuk bahan kimia yang kental.

Garis kalibrasi lapangan juga diberi tanggal dan nama pembuatnya, dan diperiksa ulang setelah penggantian bagian yang mempengaruhi hubungan itu, seperti selang pompa atau sensor.

Contoh kerja

Angka dalam contoh di bawah adalah angka latihan, kecuali disebut asalnya.

Contoh 1: garis kalibrasi dispenser. Data setelan $x$ (%) dan debit $y$ (mL/min): (20; 102), (30; 148), (40; 205), (50; 251), (60; 298). Rata-rata $\bar{x} = 40$ dan $\bar{y} = 200{,}8$; $S_{xx} = 1.000$, $S_{xy} = 4.950$, $S_{yy} = 24.534{,}8$. Kemiringan $b = 4.950/1.000 = 4{,}95$ mL/min per persen, potongan $a = 200{,}8 - 4{,}95 \times 40 = 2{,}8$ mL/min, dan $r = 4.950/\sqrt{1.000 \times 24.534{,}8} = 0{,}9993$.

Contoh 2: residu dan simpangan baku residu. Residu Contoh 1: $0{,}2$; $-3{,}3$; $4{,}2$; $0{,}7$; $-1{,}8$ mL/min, tersebar tanpa pola. Jumlah kuadrat residu 32,3 dan $s_e = \sqrt{32{,}3/3} = 3{,}3$ mL/min. Di dalam rentang 20% sampai 60%, debit pada setelan tertentu diperkirakan dalam sekitar $\pm 7$ mL/min dari garis.

Contoh 3: R kuadrat tinggi, model salah. Dua titik ditambahkan: (70; 330) dan (80; 352). Garis baru $b = 4{,}31$, $a = 25{,}3$, dan $R^2 = 0{,}984$. Tetapi residunya $-9{,}5$; $-6{,}6$; $7{,}3$; $10{,}1$; $14{,}0$; $2{,}9$; $-18{,}2$: negatif di kedua ujung, positif di tengah. Hubungan melengkung karena pompa jenuh; garis lurus tidak cocok untuk seluruh rentang.

Contoh 4: ekstrapolasi. Garis Contoh 1 memperkirakan debit pada 80% sebesar $2{,}8 + 4{,}95 \times 80 = 398{,}8$ mL/min. Pengukuran langsung 352 mL/min. Galat $46{,}8$ mL/min atau sekitar 12%, jauh di luar $\pm 2 s_e$, karena 80% berada di luar rentang data dan mekanismenya berubah.

Contoh 5: prediksi terbalik. Pelanggan meminta 220 mL/min. Dari garis Contoh 1, $x = (220 - 2{,}8)/4{,}95 = 43{,}9\%$. Dengan $s_e = 3{,}28$ dan $n = 5$, $s_x \approx (3{,}28/4{,}95)\sqrt{1 + 0{,}2 + 19{,}2^2/(4{,}95^2 \times 1.000)} = 0{,}73$ persen setelan, sehingga setelan yang benar kira-kira dalam $\pm 1{,}5$ persen dari 43,9%. Dispenser disetel 44%, lalu debit diperiksa langsung sekali untuk memastikan.

Contoh 6: kemiringan elektroda pH. pH meter dikalibrasi dengan dua larutan penyangga: pH 7,00 memberi 0 mV dan pH 4,01 memberi +171 mV. Kemiringan $(0 - 171)/(7{,}00 - 4{,}01) = -57{,}2$ mV per pH. Dibandingkan nilai teoretis sekitar $-59{,}16$ mV per pH pada 25 °C, kemiringannya sekitar 96,7%. Banyak pabrik pH meter menganggap kemiringan sekitar 95% sampai 102% masih baik; di bawah itu elektroda dibersihkan atau diganti, mengikuti manual alat. Dua titik selalu menghasilkan garis yang lewat tepat melalui keduanya, sehingga kalibrasi dua titik tidak dapat menunjukkan ketaklinearan; untuk itu diperlukan larutan ketiga, misalnya pH 10,01, sebagai pemeriksaan.

Kondisi berhenti

Hentikan pemakaian garis atau korelasi untuk keputusan dan minta keputusan penyelia bila:

1. Garis dipakai di luar rentang data untuk setelan yang menyangkut keselamatan atau dosis bahan kimia, tanpa pengukuran langsung.
2. Residu menunjukkan pola yang jelas, tetapi garis lurus tetap dipakai.
3. Korelasi akan dipakai untuk mengubah dosis, suhu, atau prosedur tanpa uji yang menahan pengganggu.
4. Titik menyimpang dibuang tanpa alasan yang tercatat.
5. Kurva kalibrasi pabrik atau standar berbeda dari kurva lapangan, dan sebabnya belum diketahui.

Salah tafsir yang sering terjadi

Hubungan dengan bab lain

• Bab 2 tentang variasi, distribusi, dan ringkasan data memberi rata-rata dan simpangan baku.
• Bab 3 tentang tren, kontrol proses, dan keputusan berbasis bukti membahas tren waktu.
• Bab 4 tentang analisis sistem pengukuran membahas bias dan linearitas alat ukur.
• Bab 5 tentang ketidakpastian gabungan membahas ketidakpastian yang ikut dalam setiap titik.
• Bab 3 · Sistem, Diagram & Diagnosis tentang gejala dan hipotesis yang dapat diuji memberi uji pembeda untuk membuktikan sebab.
• Bab 1 · Dispensing Kimia tentang dispenser peristaltik membahas kalibrasi dispenser di lapangan.
• Bab 8 tentang uji perbandingan sederhana menilai apakah perubahan benar-benar berpengaruh.

Latihan dan pembahasan