Ketidakpastian gabungan dan anggaran ketidakpastian: model pengukuran, koefisien sensitivitas, distribusi komponen tipe B, korelasi, derajat kebebasan efektif, dan pelaporan

Seorang teknisi memeriksa debit pompa dispenser di sebuah laundry setelah mengganti selangnya. Ia menampung keluaran pompa di gelas ukur sampai garis 250 mililiter dan mencatat waktunya dengan stopwatch ponsel, enam kali. Rata-rata waktunya sekitar 30,1 detik, jadi debitnya kira-kira 499 mililiter per menit. Target pabrik untuk setelan itu 500 plus minus 25 mililiter per menit.

Pelanggan bertanya seberapa yakin angka itu. Teknisi menjawab dengan menjumlahkan semua yang ia tahu: toleransi gelas ukur, kesalahan membaca garis, waktu reaksi menekan stopwatch, dan sebaran enam ulangan, semuanya dijumlahkan begitu saja dan masing-masing diambil pada nilai terburuknya. Hasilnya rentang yang lebar dan tidak jelas artinya. Ia tidak tahu apakah rentang itu "pasti" atau "kemungkinan besar", dan tidak tahu bagian mana yang paling berpengaruh. Bab ini menjelaskan cara menyusun ketidakpastian gabungan dengan baku, sehingga angka plus minus mempunyai arti yang jelas dan dapat diperiksa orang lain.

Batas pembahasan

Bab ini membahas penyusunan ketidakpastian pengukuran menurut pendekatan pedoman ketidakpastian pengukuran yang dipakai luas: model pengukuran, tipe A dan tipe B, distribusi, koefisien sensitivitas, penggabungan, korelasi, derajat kebebasan efektif, anggaran, pelaporan, dan pengurangan ketidakpastian. Metode simulasi Monte Carlo hanya disebut. Topik yang berdekatan dibahas di bab lain:

• dasar tipe A, tipe B, akar jumlah kuadrat, dan faktor cakupan di Bab 1 tentang kalibrasi, ketidakpastian, dan mutu pengukuran;
• angka penting di Bab 3 · Satuan & Matematika tentang satuan, dimensi, konversi, dan angka penting;
• sertifikat kalibrasi dan aturan keputusan di Bab 61 · Kelistrikan & Kendali tentang kalibrasi instrumen dan ketertelusuran;
• variasi sistem pengukuran di Bab 4 tentang analisis sistem pengukuran;
• simpangan baku di Bab 2 tentang variasi, distribusi, dan ringkasan data.

Rumus di bab ini adalah rumus baku penyusunan ketidakpastian pengukuran.

Model pengukuran

Ketidakpastian adalah kenyataan yang selalu ada dalam kadar tertentu, dan bagi ilmu yang kuantitatif, ketelitian percobaan amat penting. Langkah pertama untuk menyatakan ketidakpastian adalah menulis model pengukuran. Model pengukuran (measurement model) adalah rumus yang menghubungkan besaran yang dicari dengan besaran yang diukur.

$$y = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$$

dengan $y$ besaran keluaran yang dicari, $x_1$ sampai $x_n$ besaran masukan yang diukur atau diambil dari dokumen, dan $f$ hubungan di antara keduanya. Daya dihitung dari hasil pengukuran arus dan tegangan; modelnya $P = V I$ untuk beban resistif. Debit pompa dalam kasus pembuka mempunyai model $Q = V/t$. Besaran dan simbol dalam persamaan harus dinyatakan dalam satuan yang serupa.

Model yang baik juga memuat koreksi yang diketahui, misalnya koreksi bias termometer dari sertifikat, walaupun nilai koreksinya nol, karena koreksi itu membawa ketidakpastiannya sendiri. Setiap besaran yang dapat mengubah hasil, termasuk suhu ruang atau waktu reaksi orang, perlu dipertimbangkan sebagai masukan atau dicatat sebagai diabaikan dengan alasan.

Ketidakpastian baku setiap masukan

Ketidakpastian baku (standard uncertainty) $u(x_i)$ adalah ketidakpastian suatu masukan yang dinyatakan setara satu simpangan baku. Setiap masukan diberi ketidakpastian baku, dalam satuan masukan itu.

Tipe A (Type A evaluation) dihitung dari ulangan pengukuran:

$$u(\bar{x}) = \frac{s}{\sqrt{n}}$$

dengan $s$ simpangan baku $n$ ulangan, seperti di Bab 2 tentang variasi, distribusi, dan ringkasan data. Satuan $u(\bar{x})$ sama dengan satuan pembacaan. Derajat kebebasannya $n - 1$.

Tipe B (Type B evaluation) diambil dari informasi lain: sertifikat kalibrasi, spesifikasi pabrik, kelas toleransi, resolusi, atau pengalaman. Spesifikasi karakteristik komponen biasanya disajikan oleh pabrik pembuatnya, dan kapasitansi nominal kondensator pun mempunyai toleransi. Spesifikasi seperti itu adalah bahan tipe B, setelah diubah menjadi ketidakpastian baku dengan distribusi yang sesuai.

Distribusi untuk komponen tipe B

Batas plus minus $a$ dari spesifikasi, dalam satuan besaran itu, diubah menjadi ketidakpastian baku menurut anggapan bentuk sebarannya:

1. Persegi atau seragam (rectangular, uniform): bila hanya diketahui nilai pasti berada di antara $-a$ dan $+a$ tanpa kecenderungan ke tengah. $u = a/\sqrt{3}$. Ini anggapan umum untuk spesifikasi pabrik dan kelas toleransi.
2. Segitiga (triangular): bila nilai lebih mungkin di tengah daripada di tepi, misalnya kesalahan membaca garis skala oleh orang yang terlatih. $u = a/\sqrt{6}$.
3. Normal (normal): bila sertifikat menyatakan ketidakpastian diperluas $U$ dengan faktor cakupan $k$. $u = U/k$.
4. Resolusi tampilan digital: tampilan dilakukan dengan sejumlah angka tertentu. Angka terakhir menutupi setengah langkah ke atas dan ke bawah, sehingga dengan langkah $d$, $a = d/2$ dan $u = d/\sqrt{12}$.

Bila tidak jelas bentuk mana yang cocok, distribusi persegi memberi nilai yang lebih aman. Pembaginya paling kecil di antara ketiga bentuk, sehingga ketidakpastian bakunya paling besar untuk batas yang sama.

Koefisien sensitivitas

Masukan yang berbeda mempengaruhi hasil dengan kekuatan yang berbeda. Koefisien sensitivitas (sensitivity coefficient) adalah perubahan hasil untuk perubahan kecil satu masukan:

$$c_i = \frac{\partial f}{\partial x_i}$$

dengan satuan $c_i$ sama dengan satuan $y$ dibagi satuan $x_i$, sehingga hasil kali $c_i\,u(x_i)$ selalu bersatuan sama dengan hasil. Untuk $Q = V/t$, $c_V = 1/t$ dan $c_t = -V/t^2$. Koefisien waktu bertanda negatif karena waktu yang lebih panjang untuk volume yang sama berarti debit yang lebih kecil. Bila turunan sulit ditulis, koefisien dapat dihitung secara numerik: ubah satu masukan sebesar ketidakpastiannya, hitung ulang hasil, dan catat perubahannya.

Untuk model yang hanya berupa perkalian dan pembagian, seperti $Q = V/t$ atau $P = VI$, ada bentuk yang lebih sederhana: ketidakpastian relatif hasil adalah akar jumlah kuadrat ketidakpastian relatif masukan, masing-masing dikalikan pangkatnya dalam rumus.

Menggabungkan ketidakpastian

Ketidakpastian baku gabungan (combined standard uncertainty) $u_c(y)$ adalah ketidakpastian baku hasil yang dihimpun dari ketidakpastian baku semua masukan. Bila masukan saling bebas, nilainya:

$$u_c(y) = \sqrt{\sum_i \left(c_i\, u(x_i)\right)^2}$$

dan untuk model perkalian dan pembagian:

$$\frac{u_c(y)}{y} = \sqrt{\sum_i \left(p_i \frac{u(x_i)}{x_i}\right)^2}$$

dengan $p_i$ pangkat masukan dalam rumus. Bentuk relatif ini tidak bersatuan dan biasanya ditulis dalam persen.

Bila besaran berketidakpastian dijumlahkan atau dikurangkan, ketidakpastian mutlaknya dijumlahkan. Aturan itu adalah aturan keadaan terburuk (worst case): semua kesalahan dianggap terjadi bersamaan pada arah yang sama. Aturan itu sederhana dan aman, tetapi untuk banyak masukan yang saling bebas ia melebihkan ketidakpastian, karena kesalahan acak yang bebas jarang semuanya searah. Pada penjumlahan panjang, hasil dibatasi oleh pengukuran yang paling tidak teliti; dalam penggabungan kuadrat, kontributor terbesar juga menguasai hasil.

Korelasi

Bila dua masukan dipengaruhi sumber kesalahan yang sama, keduanya berkorelasi (correlated) dan penggabungan perlu suku tambahan:

$$u_c^2 = \sum_i (c_i u_i)^2 + 2 \sum_{i<j} c_i c_j u_i u_j r_{ij}$$

dengan $r_{ij}$ koefisien korelasi (correlation coefficient) antara $-1$ dan $+1$, tanpa satuan. Contoh paling umum dalam servis: selisih suhu masuk dan keluar penukar panas yang diukur dengan termometer yang sama. Bias termometer muncul pada kedua pembacaan dan saling menghapus pada selisihnya. Sebaliknya, dua pembacaan yang dikoreksi dengan acuan yang sama lalu dijumlahkan membawa kesalahan acuan dua kali. Bila korelasi tidak diketahui, ketidakpastian dihitung untuk $r = 0$ dan $r = 1$, lalu dipilih yang lebih aman untuk keputusan.

Derajat kebebasan efektif dan faktor cakupan

Ketidakpastian diperluas (expanded uncertainty) $U = k\,u_c$ memberi selang yang diharapkan mencakup nilai besaran dengan peluang tertentu, dan faktor cakupan (coverage factor) $k$ adalah pengali yang menghasilkannya. Faktor $k = 2$ memberi peluang sekitar 95% bila $u_c$ diketahui dengan baik. Bila salah satu komponen tipe A dengan sedikit ulangan menguasai anggaran, $u_c$ sendiri kurang pasti, dan $k$ perlu lebih besar.

Derajat kebebasan efektif (effective degrees of freedom) $\nu_{\text{eff}}$ adalah derajat kebebasan yang dipakai untuk $u_c$ ketika memilih $k$. Nilainya diperkirakan dengan rumus Welch-Satterthwaite:

$$\nu_{\text{eff}} = \frac{u_c^4}{\sum_i \dfrac{(c_i u_i)^4}{\nu_i}}$$

dengan $\nu_i$ derajat kebebasan komponen ke-$i$. Komponen tipe B yang batasnya diketahui dengan baik diberi derajat kebebasan sangat besar. Faktor $k$ lalu diambil dari tabel distribusi t untuk 95%: sekitar 2,0 untuk derajat kebebasan besar, sekitar 2,78 untuk 4, dan sekitar 4,30 untuk 2.

Anggaran ketidakpastian

Anggaran ketidakpastian (uncertainty budget) adalah tabel yang memuat setiap sumber, nilai batas, distribusi, pembagi, ketidakpastian baku, koefisien sensitivitas, kontribusi pada hasil, dan bagian dari varians total. Tabel itu membuat perhitungan dapat diperiksa, menunjukkan sumber yang paling berpengaruh, dan menjadi dasar keputusan memperbaiki cara ukur. Anggaran untuk debit pompa dalam kasus pembuka dihitung di Contoh 5. Kolom terakhir dibaca lebih dulu: sumber dengan bagian varians terbesar adalah sasaran perbaikan, dan sumber yang bagiannya kurang dari satu persen boleh dicatat sebagai diabaikan pada anggaran berikutnya, selama alasannya ditulis. Pada tabel di bawah, kelas toleransi gelas ukur menyumbang 56% varians, sedangkan resolusi stopwatch kurang dari 1%.

Pelaporan

Hasil ukur suatu besaran dinyatakan sebagai nilai plus minus ketidakpastiannya. Apakah suatu cara penulisan hasil ukur boleh dipakai adalah soal angka penting, yang dibahas di Bab 3 · Satuan & Matematika tentang satuan, dimensi, konversi, dan angka penting. Laporan yang lengkap memuat:

1. Nilai hasil dan satuannya.
2. Ketidakpastian diperluas $U$, faktor cakupan $k$, dan perkiraan peluang cakupannya.
3. Ketidakpastian dibulatkan ke satu atau dua angka penting, dan hasil dibulatkan ke tempat desimal yang sama.
4. Model pengukuran, kondisi ukur, dan anggaran, setidaknya dalam lampiran atau catatan kerja.

Contoh penulisan: debit $Q = (498{,}9 \pm 7{,}7)$ mL/min, dengan $k = 2$, peluang cakupan sekitar 95%.

Ketidakpastian juga menentukan apakah cara ukur cukup baik untuk keputusan. Aturan praktis yang umum dipakai adalah ketidakpastian diperluas paling besar seperempat sampai sepersepuluh lebar toleransi. Pada kasus pembuka, lebar toleransi 50 mL/min dan $U = 7{,}7$ mL/min, kira-kira seperenam, sehingga cara ukur dengan gelas ukur dan stopwatch layak untuk memeriksa setelan itu. Untuk toleransi yang lebih sempit, misalnya plus minus 5 mL/min, cara yang sama tidak layak, dan hasil di dekat batas memerlukan pita pengaman seperti di Bab 61 · Kelistrikan & Kendali tentang kalibrasi instrumen dan ketertelusuran.

Mengurangi ketidakpastian

Anggaran menunjukkan ke mana upaya perlu diarahkan. Karena kontribusi digabung secara kuadrat, mengurangi kontributor kecil hampir tidak mengubah hasil. Pada kasus pembuka, gelas ukur menyumbang lebih dari separuh varians. Gelas ukur dengan kelas toleransi lebih baik, atau penimbangan keluaran pompa dengan timbangan, lebih bermanfaat daripada stopwatch yang lebih halus. Waktu reaksi dapat dikurangi dengan menampung volume lebih besar sehingga waktu lebih panjang, karena kesalahan mulai dan berhenti yang tetap menjadi bagian relatif yang lebih kecil.

Sebagai gambaran, bila keluaran pompa ditimbang dengan timbangan yang ketidakpastian bakunya 0,5 g pada 250 g, ketidakpastian volume turun menjadi sekitar 0,2% setelah massa dibagi densitas cairan, asalkan densitas cairan diketahui atau diukur. Ketidakpastian relatif debit lalu dikuasai waktu, sekitar 0,5%, dan $U$ turun dari 7,7 menjadi sekitar 5,2 mL/min.

Menambah ulangan hanya mengurangi komponen tipe A, sebanding dengan $1/\sqrt{n}$. Empat kali ulangan lebih banyak hanya memperkecil komponen itu menjadi separuh, dan tidak mengubah komponen tipe B.

Contoh kerja

Angka dalam pembuka, dalam gambaran penimbangan di bagian Mengurangi ketidakpastian, dan dalam contoh di bawah adalah angka latihan, kecuali disebut asalnya.

Contoh 1: tipe A dari ulangan. Waktu untuk 250 mL: 30,2; 29,8; 30,1; 30,4; 29,9; 30,0 detik. Rata-rata 30,07 detik, simpangan baku $s = 0{,}216$ detik, dan $u_A = 0{,}216/\sqrt{6} = 0{,}088$ detik dengan derajat kebebasan 5.

Contoh 2: tipe B dari waktu dan resolusi. Pengalaman menunjukkan menekan mulai dan berhenti dapat bergeser sistematis sampai $\pm 0{,}2$ detik yang tidak terlihat pada sebaran ulangan; dengan distribusi persegi $u = 0{,}2/\sqrt{3} = 0{,}115$ detik. Resolusi stopwatch 0,01 detik memberi $u = 0{,}01/\sqrt{12} = 0{,}003$ detik. Ketidakpastian waktu $u(t) = \sqrt{0{,}088^2 + 0{,}115^2 + 0{,}003^2} = 0{,}145$ detik, atau 0,48% dari 30,07 detik.

Contoh 3: tipe B dari gelas ukur. Kelas toleransi gelas ukur $\pm 2{,}5$ mL dengan distribusi persegi, $u = 2{,}5/\sqrt{3} = 1{,}44$ mL. Kesalahan membaca garis $\pm 1$ mL dengan distribusi segitiga, $u = 1/\sqrt{6} = 0{,}41$ mL. Ketidakpastian volume $u(V) = \sqrt{1{,}44^2 + 0{,}41^2} = 1{,}50$ mL, atau 0,60% dari 250 mL.

Contoh 4: koefisien sensitivitas. $Q = V/t = 250/30{,}07 = 8{,}315$ mL/s atau 498,9 mL/min. Dalam satuan mL/min, $c_V = 60/t = 2{,}00$ per menit, dan setiap 1 mL kesalahan volume mengubah debit 2,0 mL/min. $c_t = -60V/t^2 = -16{,}6$ mL/min per detik, sehingga setiap 0,1 detik kesalahan waktu mengubah debit sekitar 1,7 mL/min.

Contoh 5: penggabungan. Dengan bentuk relatif, $u_c(Q)/Q = \sqrt{0{,}60^2 + 0{,}48^2}\,\% = 0{,}77\%$, sehingga $u_c(Q) = 0{,}0077 \times 498{,}9 = 3{,}84$ mL/min. Rincian kontribusinya ada di tabel anggaran. Dengan $k = 2$, $U = 7{,}7$ mL/min. Hasil $Q = (498{,}9 \pm 7{,}7)$ mL/min berada jauh di dalam target $500 \pm 25$, sehingga keputusan lulus tidak diragukan. Aturan keadaan terburuk yang menjumlahkan semua batas memberi sekitar $\pm 2{,}1\%$ atau $\pm 10$ mL/min, lebih lebar dan tanpa peluang cakupan yang jelas.

Contoh 6: derajat kebebasan efektif. Pada Contoh 5, komponen tipe A menyumbang 1,46 mL/min dengan derajat kebebasan 5, dan komponen lain dianggap berderajat kebebasan sangat besar. $\nu_{\text{eff}} = 3{,}84^4/(1{,}46^4/5) \approx 240$, sehingga $k = 2$ tepat. Sebaliknya, bila komponen tipe A 3,0 dari tiga ulangan (derajat kebebasan 2) dan komponen lain 1,0, $u_c = \sqrt{9 + 1} = 3{,}16$ dan $\nu_{\text{eff}} = 3{,}16^4/(3{,}0^4/2) = 2{,}5$, dibulatkan ke bawah menjadi 2. Faktor $k$ sekitar 4,30, dan $U = 4{,}30 \times 3{,}16 = 13{,}6$, jauh lebih besar daripada $2 \times 3{,}16 = 6{,}3$. Menambah ulangan adalah perbaikan yang murah.

Kondisi berhenti

Hentikan pelaporan ketidakpastian dan minta keputusan penyelia atau laboratorium bila:

1. Model pengukuran tidak dapat ditulis atau ada masukan berpengaruh yang tidak diketahui nilainya.
2. Hasil ukur dan ketidakpastiannya melintasi batas keputusan yang menyangkut keselamatan, kesehatan, atau kontrak.
3. Sertifikat kalibrasi alat tidak menyatakan ketidakpastian atau sudah tidak berlaku.
4. Ketidakpastian dilaporkan untuk kepentingan akreditasi, sengketa, atau peraturan; perhitungan seperti itu disusun dan ditandatangani pihak yang berwenang.
5. Korelasi antarmasukan diduga kuat tetapi tidak dapat diperkirakan.

Salah tafsir yang sering terjadi

Hubungan dengan bab lain

• Bab 1 tentang kalibrasi, ketidakpastian, dan mutu pengukuran memperkenalkan tipe A, tipe B, dan faktor cakupan.
• Bab 3 · Satuan & Matematika tentang satuan, dimensi, konversi, dan angka penting memberi angka penting.
• Bab 61 · Kelistrikan & Kendali tentang kalibrasi instrumen dan ketertelusuran menjelaskan sertifikat dan aturan keputusan.
• Bab 4 tentang analisis sistem pengukuran memberi variasi sistem pengukuran yang menjadi komponen tipe A dalam anggaran.
• Bab 2 tentang variasi, distribusi, dan ringkasan data memberi simpangan baku.
• Bab 1 · Dispensing Kimia tentang dispenser peristaltik memakai perhitungan yang sama untuk pengukuran dosis pompa dan kalibrasi dispenser.
• Bab 6 tentang sampling dan ukuran sampel melanjutkan rak ini dengan cara memilih sampel dan menghitung ukurannya.

Latihan dan pembahasan