Eksponen, logaritma, dan desibel: pangkat dan notasi ilmiah, prefiks, pertumbuhan dan peluruhan eksponensial, logaritma, skala logaritmik, dan desibel daya dan tegangan

Sebuah dapur hotel mengganti deterjen mesin pencuci piringnya. Seminggu kemudian, teknisi mengukur pH air cuci 9, padahal sebelumnya 8. Penyelia dapur menganggapnya kenaikan kecil, "hanya satu angka", dan tidak mengubah apa pun. Beberapa minggu kemudian, pelanggan mengeluh lapisan dekorasi piring mulai pudar dan tangan petugas cuci mudah iritasi.

Pada minggu yang sama, laporan pemeliharaan menyebut sinyal sebuah sensor yang dipasang jauh dari panel turun 6 desibel setelah kabelnya diganti. Laporan itu dibaca sebagai penurunan 6 persen dan dianggap wajar. Kenyataannya, 6 desibel pada tegangan berarti sinyal tinggal kira-kira separuh, cukup untuk membuat pembacaan tidak stabil. Kedua angka itu adalah logaritma, dan skala logaritmik tidak dapat dibaca seperti skala biasa. Bab ini menjelaskan pangkat, eksponensial, logaritma, dan desibel yang dipakai di lapangan.

Batas pembahasan

Bab ini membahas pangkat dan aturannya, notasi ilmiah dan prefiks, pertumbuhan dan peluruhan eksponensial, waktu paruh dan tetapan waktu, logaritma, persamaan eksponensial, skala logaritmik, desibel daya dan tegangan, desibel mutlak, dan penjumlahan sumber. Rumus di bab ini adalah rumus baku matematika.

Topik yang berdekatan dibahas di bab lain:

• aljabar dan rumus terbalik di Bab 6 tentang aljabar teknik dan rumus terbalik;
• satuan dan prefiks dasar di Bab 3 tentang satuan, dimensi, konversi, dan angka penting;
• pH dan pengukuran larutan di Bab 8 · Kimia tentang larutan, konsentrasi, pH, dan pengukuran;
• intensitas bunyi dan desibel bunyi di Bab 14 · Fisika tentang gelombang mekanik dan bunyi;
• dosis bising di Bab 7 · Keselamatan tentang kebisingan dan getaran tangan-lengan;
• distribusi eksponensial dalam keandalan di Bab 10 · Sistem, Diagram & Diagnosis tentang keandalan, MTBF, dan ketersediaan;
• linearisasi dengan logaritma di Bab 7 · Data & Pengukuran tentang korelasi dan regresi.

Pangkat dan aturannya

Pangkat (exponent) adalah bilangan yang menyatakan berapa kali bilangan dasar dikalikan dengan dirinya sendiri: $a^3 = a \times a \times a$. Aturan dasarnya:

$$a^m a^n = a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad (a^m)^n = a^{mn}, \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \qquad a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$$

Di sini $a$ adalah bilangan dasar, sedangkan $m$ dan $n$ pangkatnya. Aturan menjumlahkan dan mengurangkan pangkat hanya berlaku bila dasarnya sama. Suku berpangkat nol bernilai satu untuk semua parameter. Pangkat negatif berarti kebalikan, dan pangkat pecahan berarti akar, sehingga rumus seperti $Q \propto \Delta p^{0{,}5}$ berarti debit sebanding akar beda tekanan.

Kesalahan yang sering terjadi adalah menjumlahkan pangkat yang dasarnya berbeda, atau menganggap $(a + b)^2 = a^2 + b^2$. Kuadrat sebuah jumlah selalu memuat suku silang $2ab$.

Notasi ilmiah dan prefiks

Notasi ilmiah (scientific notation) adalah cara menulis bilangan sebagai angka antara 1 dan 10 dikali pangkat sepuluh. Bilangan 2,34 dikali 10 pangkat 3 adalah contoh bilangan dalam notasi ilmiah. Notasi teknik (engineering notation) adalah cara menulis yang memakai pangkat kelipatan tiga, sehingga cocok dengan prefiks. Beberapa prefiks yang penting:

Dengan prefiks, konduktivitas 0,000052 S/cm ditulis 52 µS/cm, dan hambatan isolasi 3.300.000 Ω ditulis 3,3 MΩ. Huruf besar dan kecil penting: m adalah mili, M adalah mega; selisihnya satu miliar kali.

Menghitung cepat dengan pangkat sepuluh

Notasi ilmiah juga alat estimasi, seperti orde besaran di Bab 4 tentang estimasi, skala, dan kewajaran. Untuk memeriksa hasil kalkulator, setiap angka dibulatkan ke pangkat sepuluh terdekat, pangkatnya dijumlahkan saat dikali dan dikurangkan saat dibagi, lalu hasilnya dibandingkan dengan hasil kalkulator. Bila keduanya berbeda lebih dari satu pangkat, ada tombol yang salah atau prefiks yang tertukar.

Contohnya, energi pemanas 9 kW selama 30 menit: $9 \times 10^{3}$ W dikali $1{,}8 \times 10^{3}$ s, kira-kira $10^{4} \times 10^{3} = 10^{7}$ J. Hasil tepatnya $1{,}62 \times 10^{7}$ J atau 16,2 MJ, sesuai orde besaran itu. Bila kalkulator menunjukkan 16.200 J, berarti menit tidak diubah menjadi detik atau kilo terlupa.

Pembagian angka yang sangat besar dan sangat kecil, seperti arus bocor dalam mikroampere pada tegangan ratusan volt, juga lebih aman dikerjakan dengan pangkat sepuluh: 230 V dibagi $2 \times 10^{-6}$ A sama dengan $1{,}15 \times 10^{8}$ Ω, atau 115 MΩ. Menulis semua angka dengan pangkat sepuluh sebelum menghitung mengurangi kesalahan menghitung nol.

Pertumbuhan dan peluruhan eksponensial

Fungsi eksponensial adalah salah satu fungsi matematika yang paling penting. Pertumbuhan eksponensial (exponential growth) dan peluruhan eksponensial (exponential decay) adalah perubahan besaran yang lajunya sebanding dengan nilainya sendiri. Kurva pengosongan kapasitor harus berupa fungsi yang turunannya sebanding dengan nilainya, yaitu eksponensial, dan bila tetapan lajunya positif, besaran itu tumbuh secara eksponensial terhadap waktu.

$$N(t) = N_0\, e^{k t}$$

Di sini $N_0$ adalah nilai awal, $N(t)$ nilai pada waktu $t$, $k$ tetapan laju dalam satuan kebalikan waktu (misalnya per jam bila $t$ dalam jam), dan $e \approx 2{,}718$ bilangan dasar logaritma natural. Untuk $k$ positif, besaran tumbuh; untuk $k$ negatif, besaran meluruh. Dua cara yang umum untuk menyatakan kecepatan peluruhan:

1. Tetapan waktu (time constant) $\tau = 1/|k|$: waktu sampai besaran turun menjadi sekitar 37% dari nilai awalnya. Untuk kapasitor yang dikosongkan melalui hambatan, $\tau = RC$.
2. Waktu paruh (half-life) $t_{1/2} = \ln 2/|k| \approx 0{,}693\,\tau$: waktu sampai besaran tinggal separuh.

Setelah satu waktu paruh, jumlah yang tersisa tinggal separuhnya. Dari hubungan yang sama dihitung waktu yang diperlukan sampai kadar sebuah zat turun ke nilai tertentu. Setelah tiga waktu paruh tersisa seperdelapan, dan setelah sekitar lima tetapan waktu tersisa kurang dari 1%.

Logaritma dan aturannya

Logaritma (logarithm) suatu bilangan adalah pangkat yang harus dikenakan pada bilangan dasar untuk menghasilkan bilangan itu. Karena logaritma bilangan adalah pangkat, sifatnya sama dengan sifat pangkat. Logaritma basis 10 menjawab pertanyaan "10 dipangkatkan berapa untuk mendapat bilangan ini". Misalnya $10^{-2} = 0{,}01$, sehingga logaritma 0,01 adalah $-2$.

$$\log(ab) = \log a + \log b, \qquad \log\frac{a}{b} = \log a - \log b, \qquad \log a^n = n \log a$$

Logaritma natural $\ln$ memakai basis $e \approx 2{,}718$ dan muncul secara alami dalam pertumbuhan dan peluruhan. Hubungan keduanya: $\ln x = 2{,}303 \log x$. Bila yang diketahui logaritma natural dan yang dicari bilangan aslinya, dipakai kebalikannya: kebalikan $\ln$ adalah $e^x$, dan kebalikan $\log$ adalah $10^x$.

Logaritma hanya terdefinisi untuk bilangan positif. Logaritma nol atau bilangan negatif tidak ada, sehingga data yang memuat nol, seperti hitungan bakteri nol atau sinyal nol, tidak dapat langsung digambar pada skala logaritmik; data seperti itu dicatat sebagai "di bawah batas deteksi" dan ditangani terpisah.

Menyelesaikan persamaan eksponensial

Bila besaran yang dicari berada di pangkat, ambil logaritma kedua sisi. Dari $N = N_0 e^{kt}$:

$$t = \frac{1}{k} \ln\frac{N}{N_0}$$

dengan $t$ dalam satuan waktu yang sama dengan kebalikan satuan $k$, dan $N$ serta $N_0$ dalam satuan yang sama. Hitungan pertumbuhan dengan laju 0,09 per tahun selama 200 tahun memakai hubungan ini. Untuk pertumbuhan, waktu ganda (doubling time) adalah waktu sampai besaran menjadi dua kali, $t_2 = \ln 2/k$, kira-kira 70 dibagi laju persen per tahun (aturan 70). Kenaikan harga atau biaya 9% per tahun menggandakan biaya dalam sekitar 7,7 tahun.

Logaritma juga dipakai untuk mencari pangkat dalam rumus empiris, seperti pada linearisasi di Bab 7 · Data & Pengukuran tentang korelasi dan regresi: bila $y = c x^m$, maka $\log y = \log c + m \log x$, sebuah garis lurus.

Skala logaritmik

Skala logaritmik (logarithmic scale) adalah skala tempat jarak yang sama berarti perbandingan yang sama, tidak selisih yang sama. Skala logaritma dapat digambar lima dekade sekaligus, dan satu dekade dapat digambar diperbesar. Dekade (decade) adalah faktor sepuluh pada skala itu. Skala ini dipakai untuk besaran yang rentangnya sangat lebar: frekuensi, hambatan isolasi, laju bakteri, dan kurva pengaman. Teknisi membaca logaritma setiap hari dalam pH, desibel, skala alat ukur, dan grafik pabrik; yang diperlukan hanya kebiasaan membaca perbandingan, tidak selisih.

pH adalah skala logaritmik yang paling sering ditemui teknisi servis:

$$\text{pH} = -\log[\text{H}^+]$$

dengan $[\text{H}^+]$ kadar ion hidrogen dalam mol/L. Karena hubungan logaritmik terbalik itu, ada perbedaan sepuluh kali lipat dalam kadar ion hidrogen untuk setiap satu satuan pH. Dari pH 8 ke pH 9, kadar ion hidrogen turun sepuluh kali dan kadar ion hidroksida naik sepuluh kali, seperti dijelaskan di Bab 8 · Kimia tentang larutan, konsentrasi, pH, dan pengukuran. Karena itu perubahan "satu angka" pH adalah perubahan besar.

Membaca nilai di antara garis pada sumbu logaritmik juga berbeda. Dalam satu dekade, misalnya antara 10 dan 100, angka 20 tidak berada pada sepersembilan jarak, tetapi pada sekitar 30% jarak, karena $\log 2 = 0{,}30$; angka 50 berada pada sekitar 70%. Garis bantu pada kertas atau layar grafik logaritmik biasanya sudah ditandai 2, 3, sampai 9 di setiap dekade; nilai di antaranya ditaksir dengan perbandingan, tidak dengan selisih.

Desibel untuk daya dan tegangan

Desibel (decibel, dB) pada dasarnya adalah satuan perbandingan daya. Untuk dua daya:

$$L = 10 \log\frac{P_2}{P_1} \; \text{dB}$$

Untuk tegangan atau arus pada hambatan yang sama, karena daya sebanding kuadrat tegangan:

$$L = 20 \log\frac{V_2}{V_1} \; \text{dB}$$

Di sini $L$ adalah tingkat perubahan dalam desibel, $P_1$ dan $P_2$ daya awal dan akhir dalam satuan yang sama, serta $V_1$ dan $V_2$ tegangan awal dan akhir dalam satuan yang sama, sehingga perbandingannya tanpa satuan. Bila satuan dB dipakai untuk daya, faktornya bukan lagi dua puluh, melainkan sepuluh, dan dalam hitungan dB sering dipakai pecahan di dalam logaritma. Angka yang perlu diingat:

Desibel negatif berarti rugi atau pelemahan; desibel positif berarti penguatan.

Desibel dipakai karena tiga alasan. Pertama, rentangnya lebar: perbandingan daya satu juta kali hanya 60 dB, sehingga angka tetap mudah ditulis. Kedua, banyak tanggapan, seperti pendengaran manusia, kira-kira sebanding logaritma rangsangannya, sehingga langkah desibel yang sama terasa sama besar. Ketiga, penguatan dan rugi berurutan cukup dijumlahkan, seperti dijelaskan di bagian berikut, sehingga perhitungan rantai sinyal yang panjang dapat dikerjakan di kepala atau di kertas tanpa kalkulator. Kelemahannya, desibel mudah salah dibaca oleh orang yang terbiasa dengan persen, seperti pada kasus pembuka.

Desibel mutlak dan rantai sinyal

Desibel mutlak membandingkan dengan acuan tetap. Daya mutlak dinyatakan dalam dBm, yaitu desibel terhadap 1 mW, dan di beberapa bidang elektronika tegangan dinyatakan dalam dB volt, yaitu desibel terhadap 1 V. Jadi 0 dBm sama dengan 1 mW, 30 dBm sama dengan 1 W, dan $-20$ dBm sama dengan 0,01 mW.

Keuntungan desibel adalah penguatan dan rugi berurutan cukup dijumlahkan. Sebuah peredam, misalnya, dapat dirancang dengan pelemahan 25 dB; peredam, kabel, konektor, dan penguat dalam satu rantai dijumlahkan desibelnya, lalu diubah kembali menjadi perbandingan bila perlu. Rugi kabel sering dinyatakan per 100 m, sehingga rugi kabel 250 m adalah 2,5 kali angka itu dalam desibel, tidak 2,5 kali perbandingan dayanya.

Menjumlahkan sumber dalam desibel

Desibel dari sumber yang berbeda dan tidak saling berhubungan, seperti dua mesin yang berbunyi bersamaan, tidak dijumlahkan langsung. Daya atau intensitasnya yang dijumlahkan:

$$L_{\text{total}} = 10 \log\left(10^{L_1/10} + 10^{L_2/10} + \cdots\right)$$

dengan $L_1$, $L_2$, dan seterusnya tingkat setiap sumber dalam dB pada titik yang sama. Dua sumber yang sama kuat menaikkan tingkat sekitar 3 dB, dan sumber yang 10 dB lebih lemah hampir tidak menambah apa pun. Aturan ini dibahas untuk bunyi di Bab 14 · Fisika tentang gelombang mekanik dan bunyi dan di Bab 7 · Keselamatan tentang kebisingan dan getaran tangan-lengan; di sini cukup dipahami bahwa ia berasal dari aturan logaritma yang sama.

Contoh kerja

Angka dalam contoh di bawah adalah angka latihan, kecuali disebut asalnya.

Contoh 1: peluruhan klorin sisa. Klorin sisa di tangki 2,0 mg/L dengan tetapan peluruhan 0,214 per jam (dari Bab 7 · Data & Pengukuran tentang korelasi dan regresi). Setelah 5 jam, $C = 2{,}0\,e^{-0{,}214 \times 5} = 0{,}69$ mg/L. Waktu paruh $0{,}693/0{,}214 = 3{,}24$ jam, dan waktu sampai 0,5 mg/L $\ln(2{,}0/0{,}5)/0{,}214 = 6{,}5$ jam, atau dua waktu paruh, karena 0,5 adalah seperempat dari 2,0.

Contoh 2: pengosongan kapasitor. Kapasitor 100 µF dikosongkan melalui hambatan 10 kΩ. $\tau = RC = 10^4 \times 10^{-4} = 1$ s. Tegangan turun ke 5% dari awal setelah $\tau \ln 20 = 3{,}0$ s, dan ke kurang dari 1% setelah sekitar 5 s. Waktu tunggu pada peralatan sebenarnya mengikuti manual dan diperiksa dengan alat ukur, karena hambatan pengosong dapat rusak. Bila hambatan pengosong putus, $R$ menjadi sangat besar, tetapan waktu menjadi sangat panjang, dan kapasitor dapat tetap bertegangan berbahaya selama berjam-jam; karena itu waktu tunggu tidak pernah menggantikan pengukuran bebas tegangan.

Contoh 3: pH naik satu angka. pH 8 berarti $[\text{H}^+] = 10^{-8}$ mol/L, pH 9 berarti $10^{-9}$ mol/L. Kadar ion hidrogen turun sepuluh kali, dan kadar ion hidroksida naik sepuluh kali. Pada kasus pembuka, kenaikan ini cukup besar untuk merusak dekorasi piring dan mengiritasi kulit; dosis deterjen dan rekomendasi pabriknya diperiksa.

Contoh 4: desibel tegangan. Sinyal sensor turun dari 2,0 V menjadi 1,0 V. $L = 20 \log(1{,}0/2{,}0) = -6{,}0$ dB. Sebaliknya, pelemahan $-20$ dB berarti tegangan tinggal $10^{-20/20} = 0{,}1$ kali. Laporan "turun 6 dB" pada kasus pembuka berarti sinyal tinggal separuh.

Contoh 5: rantai sinyal. Kabel dengan rugi 3 dB per 100 m sepanjang 250 m memberi $-7{,}5$ dB, dua konektor masing-masing $-0{,}5$ dB, dan penguat $+12$ dB. Jumlah $-7{,}5 - 1{,}0 + 12 = +3{,}5$ dB, jadi daya keluar $10^{0{,}35} = 2{,}24$ kali daya masuk. Bila daya masuk 0 dBm atau 1 mW, daya keluar 3,5 dBm atau 2,24 mW.

Contoh 6: dua sumber bunyi. Dua mesin masing-masing 85 dB pada titik yang sama: $L = 10 \log(2 \times 10^{8{,}5}) = 88$ dB. Mesin 85 dB dan 80 dB: $L = 10 \log(10^{8{,}5} + 10^{8{,}0}) = 86{,}2$ dB. Menghentikan mesin yang lebih pelan hanya menurunkan tingkat sekitar 1 dB. Upaya pengendalian bising karena itu diarahkan lebih dulu pada sumber yang paling keras, seperti dijelaskan di Bab 7 · Keselamatan tentang kebisingan dan getaran tangan-lengan.

Kondisi berhenti

Hentikan pemakaian angka dan minta pemeriksaan kepada pengawas pekerjaan bila:

1. Satuan prefiks atau huruf besar dan kecil pada data tidak jelas, misalnya m dan M.
2. Perubahan pada skala logaritmik, seperti pH atau desibel, dilaporkan sebagai perubahan kecil tanpa dihitung perbandingannya.
3. Desibel daya dan desibel tegangan tercampur dalam satu hitungan.
4. Waktu tunggu pengosongan kapasitor atau penurunan kadar bahan kimia hanya ditaksir, tanpa diukur, sebelum pekerjaan yang bergantung padanya.
5. Hasil persamaan eksponensial dipakai jauh di luar rentang data yang mendasarinya.

Salah tafsir yang sering terjadi

Hubungan dengan bab lain

• Bab 6 tentang aljabar teknik dan rumus terbalik memberi aturan membalik rumus, termasuk rumus berpangkat.
• Bab 3 tentang satuan, dimensi, konversi, dan angka penting memberi satuan dan prefiks.
• Bab 4 tentang estimasi, skala, dan kewajaran memberi dasar estimasi orde besaran yang dipakai saat menghitung cepat dengan pangkat sepuluh.
• Bab 8 · Kimia tentang larutan, konsentrasi, pH, dan pengukuran membahas pH.
• Bab 14 · Fisika tentang gelombang mekanik dan bunyi dan Bab 7 · Keselamatan tentang kebisingan dan getaran tangan-lengan membahas desibel bunyi dan dosis bising.
• Bab 10 · Sistem, Diagram & Diagnosis tentang keandalan, MTBF, dan ketersediaan memakai distribusi eksponensial.
• Bab 7 · Data & Pengukuran tentang korelasi dan regresi memakai logaritma untuk linearisasi.
• Bab 10 tentang grafik, interpolasi, dan membaca kurva, bab berikutnya di rak ini, membahas juga grafik dengan skala logaritmik.

Latihan dan pembahasan