Trigonometri lapangan dan komponen vektor: sudut dan radian, sinus kosinus tangen, segitiga siku-siku dan sembarang, kemiringan, komponen dan resultan, dan gelombang sinus

Gambar kerja sebuah dapur hotel meminta saluran buangan mesin pencuci piring dipasang dengan "kemiringan 2". Pelaksana di ruang pertama membaca angka itu sebagai 2 derajat dan memasang pipa sepanjang 6 meter dengan beda tinggi sekitar 21 sentimeter. Pelaksana di ruang kedua membacanya sebagai 2 sentimeter per meter, atau 2%, dan memasang beda tinggi 12 sentimeter. Selisih 9 sentimeter itu membuat ujung pipa ruang pertama terlalu rendah untuk masuk ke saluran utama, dan pekerjaan harus dibongkar.

Pada hari yang sama, dua orang mengangkat motor pompa seberat 300 kilogram dengan dua sling yang dibentangkan lebar supaya motor tidak berputar. Sudut sling terhadap bidang datar hanya sekitar 30 derajat. Mereka terkejut ketika sling yang tertulis aman untuk 250 kilogram mulai meregang: setiap sling menahan gaya sebesar seluruh berat motor, tidak separuhnya. Kedua kejadian itu berasal dari satu hal yang sama, yaitu sudut, dan dapat dihitung sebelumnya dengan trigonometri. Bab ini menjelaskan trigonometri yang dipakai di lapangan.

Batas pembahasan

Bab ini membahas sudut dan satuannya, persen kemiringan, perbandingan trigonometri, segitiga siku-siku dan sembarang, komponen dan resultan vektor, tegangan tali, bidang miring, gelombang sinus, dan ketelitian sudut. Geometri luas, volume, dan pemeriksaan siku dengan diagonal ada di Bab 5 tentang geometri lapangan. Besaran vektor dan gerak ada di Bab 1 · Fisika tentang besaran vektor dan gerak lurus dan Bab 2 · Fisika tentang gerak dua dimensi dan komponen vektor. Diagram benda bebas ada di Bab 3 · Fisika tentang hukum Newton dan diagram benda bebas, kesetimbangan dan momen di Bab 8 · Fisika tentang kesetimbangan statik, serta sling, sudut beban, dan beban kerja aman di Bab 9 · Keselamatan tentang mengangkat dan memindahkan beban dengan alat. Bab ini memberi alat hitungnya; keputusan mengangkat beban tetap mengikuti Bab 9 · Keselamatan dan data beban kerja aman alat angkat. Analisis fasor rangkaian arus bolak-balik ada di rak Kelistrikan.

Sudut: derajat, radian, dan persen kemiringan

Sudut dapat dinyatakan dengan beberapa cara, dan salah membaca satuan sudut adalah sumber kesalahan yang paling umum di lapangan:

1. Derajat (degree) adalah satuan sudut yang membagi satu putaran penuh menjadi 360 derajat.
2. Radian (radian) adalah satuan sudut yang membuat satu putaran penuh sama dengan $2\pi$ radian, jadi 1 radian sekitar 57,3 derajat. Radian dipakai dalam rumus fisika, seperti kecepatan sudut dan gelombang sinus.
3. Persen kemiringan (percent slope) adalah beda tinggi dibagi jarak mendatar, dikali 100%. Kemiringan 2% berarti turun 2 cm untuk setiap 100 cm jarak mendatar.
4. Perbandingan: misalnya 1 banding 50, yang sama dengan 2%.

Hubungan antara sudut $\theta$ dan persen kemiringan:

Untuk sudut kecil, persen kemiringan kira-kira 1,75 kali sudut dalam derajat, sehingga 2 derajat sekitar 3,5%, hampir dua kali 2%. Gambar kerja, SOP, dan manual pabrik harus dibaca satuannya; bila tertulis tanpa satuan, tanyakan sebelum memasang.

Kemiringan yang lebih kecil hanya boleh dipakai bila perhitungan dengan jelas menunjukkan kecepatan aliran yang cukup akan tercapai, dan pada tanah basah diperlukan kemiringan yang jauh lebih landai. Kemiringan adalah besaran yang dihitung dan diperiksa, tidak ditaksir.

Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku

Penamaan baku segitiga memakai huruf besar A, B, dan C untuk sudut, dengan C siku-siku, dan huruf kecil a, b, dan c untuk sisi di depannya. Sisi miring sebuah segitiga siku-siku dapat dicari dari dua sisi lainnya.

Untuk sudut $A$ pada segitiga siku-siku dengan sisi depan $a$, sisi samping $b$, dan sisi miring $c$, sinus (sine) adalah perbandingan sisi depan terhadap sisi miring, kosinus (cosine) perbandingan sisi samping terhadap sisi miring, dan tangen (tangent) perbandingan sisi depan terhadap sisi samping:

Fungsi kebalikan, $\arcsin$, $\arccos$, dan $\arctan$, memberi sudut dari perbandingan sisi. Kalkulator harus berada pada mode yang sesuai, derajat atau radian, sebelum dipakai; satu tombol yang salah memberi hasil yang sama sekali berbeda.

Sejak awal pelajaran fisika, pembaca diharapkan sudah sangat terbiasa dengan teknik aljabar dasar, geometri analitik, dan trigonometri. Di lapangan, keterbiasaan itu berarti dapat membayangkan segitiganya lebih dulu: mana yang mendatar, mana yang tegak, dan mana yang miring.

Segitiga sembarang: aturan sinus dan kosinus

Tidak semua segitiga di lapangan siku-siku. Saat menentukan jarak antara dua titik yang terhalang mesin atau dinding, atau letak penyangga pada sudut yang tidak tegak, dipakai dua aturan:

Aturan kosinus dipakai bila dua sisi dan sudut di antaranya diketahui, atau bila ketiga sisi diketahui dan sudut dicari. Aturan sinus dipakai bila satu sisi dan dua sudut diketahui. Bila $C$ siku-siku, $\cos C = 0$, dan aturan kosinus kembali menjadi teorema Pythagoras.

Komponen vektor dan resultan

Vektor (vector) adalah besaran yang mempunyai besar dan arah, seperti gaya, kecepatan, dan perpindahan. Besaran vektor ditulis dengan huruf tebal atau tanda panah, dan komponen (component) sebuah vektor adalah proyeksinya pada sebuah sumbu. Untuk vektor $F$ yang membentuk sudut $\theta$ dengan sumbu mendatar:

Bila sudut antara dua vektor 90 derajat, komponen satu vektor pada arah vektor lain nol. Karena itu gaya tegak tidak membantu menggeser benda mendatar, dan gaya mendatar tidak membantu mengangkatnya. Memecah gaya menjadi komponen yang saling tegak lurus membuat setiap arah dapat dihitung terpisah.

Resultan (resultant) adalah satu gaya yang setara dengan gabungan beberapa gaya. Pertanyaan berapa gaya resultan yang diderita sebuah mobil, misalnya, dijawab dengan cara ini. Caranya:

1. Pecah setiap gaya menjadi komponen mendatar dan tegak.
2. Jumlahkan semua komponen mendatar menjadi $R_x$, dan semua komponen tegak menjadi $R_y$, dengan tanda sesuai arah.
3. Besar resultan $R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$ dan arahnya $\theta = \arctan(R_y/R_x)$, dengan memperhatikan kuadran.

Menjumlahkan besar gaya begitu saja tanpa arah adalah kesalahan yang sering terjadi; dua gaya 600 N dan 400 N yang saling tegak lurus tidak menghasilkan 1.000 N, tetapi sekitar 721 N. Pada tumpuan pipa yang menerima 600 N mendatar dari pemuaian pipa dan 400 N tegak dari berat pipa, resultan itu mengarah $\arctan(400/600) = 33{,}7$ derajat di bawah mendatar, dan baut tumpuan dipilih untuk 721 N pada arah itu.

Tegangan tali, sudut, dan bidang miring

Komponen tegak tegangan tali mengimbangi berat benda. Untuk benda seberat $W$ yang digantung dua tali simetris, masing-masing membentuk sudut $\theta$ terhadap bidang datar:

Pada sudut 90 derajat, tali tegak, dan setiap tali menahan separuh berat. Makin kecil sudut, makin besar tegangan: pada 30 derajat setiap tali menahan seluruh berat, dan pada sudut yang lebih kecil lagi tegangan melebihi berat benda. Karena itu Bab 9 · Keselamatan tentang mengangkat beban dengan alat membatasi sudut sling dan memakai tabel beban kerja aman menurut sudut. Bab ini hanya menjelaskan asal angka itu.

Sudut sling di lapangan jarang diukur langsung. Ia dihitung dari panjang sling $L$ dan tinggi titik gantung di atas titik ikat $h$: $\sin\theta = h/L$. Sling sepanjang 2 m dengan titik gantung 1 m di atas titik ikat membentuk $\theta = \arcsin 0{,}5 = 30$ derajat, sudut yang pada kasus pembuka membuat setiap sling menahan seluruh berat. Memakai sling yang lebih panjang atau mendekatkan titik ikat menaikkan sudut dan menurunkan tegangan.

Komponen mendatar tegangan, $T\cos\theta$, juga ada dan menarik kedua titik ikat saling mendekat. Pada titik gantung di atap atau rangka, komponen mendatar ini memberi beban samping yang tidak selalu diperhitungkan.

Sebuah balok di bidang miring 60 derajat adalah contoh baku persoalan bidang miring. Berat $W = mg$ pada bidang miring bersudut $\theta$ dipecah menjadi komponen sejajar bidang, $W\sin\theta$, yang cenderung membuat benda meluncur, dan komponen tegak lurus bidang, $W\cos\theta$, yang menekan bidang dan menentukan gesekan. Di lapangan, hitungan ini dipakai saat menaikkan mesin ke truk dengan ramp, menahan troli di lantai miring, atau memperkirakan gaya pada dongkrak yang tidak tegak. Gaya tarik yang diperlukan untuk menaikkan benda dengan kecepatan tetap kira-kira $W\sin\theta + \mu W\cos\theta$, dengan $\mu$ koefisien gesekan.

Gelombang sinus dan sudut fase

Tegangan atau arus bolak-balik umumnya dinyatakan sebagai gelombang sinus, fasor, atau ungkapan trigonometri. Tegangan sesaat:

dengan $V_m$ tegangan puncak, $f$ frekuensi, dan $\varphi$ sudut fase dalam radian. Sudut fase (phase angle) adalah pergeseran gelombang sinus terhadap acuannya, dinyatakan sebagai sudut. Untuk gelombang sinus murni, nilai efektif $V = V_m/\sqrt{2}$. Sudut dalam soal mekanika, seperti lembaran air yang dibelokkan sebuah sirip sebesar 30 derajat, dan sudut fase dalam listrik memakai fungsi trigonometri yang sama, hanya artinya berbeda.

Pada beban yang memuat kumparan, seperti motor, arus tertinggal dari tegangan sebesar sudut fase $\varphi$. Daya nyata yang diserap beban sebanding dengan $\cos\varphi$. Faktor daya (power factor) adalah nama untuk $\cos\varphi$ itu. Pada sudut fase 30 derajat, $\cos\varphi = 0{,}87$, sehingga untuk daya yang sama arus kira-kira 15% lebih besar daripada pada beban resistif. Rinciannya dibahas di rak Kelistrikan; di sini cukup dipahami bahwa sudut fase adalah sudut biasa yang diukur dalam waktu.

Ketelitian sudut dan alat ukurnya

Sudut di lapangan diukur dengan busur derajat, waterpass, pengukur sudut digital, atau aplikasi ponsel, atau dihitung dari beda tinggi dan jarak. Untuk kemiringan kecil, cara kedua biasanya lebih teliti: beda tinggi 12 cm pada 6 m diukur dengan selang air atau laser hampir sampai milimeter, sedangkan sudut 1,15 derajat sulit dibaca dengan busur.

Untuk sudut kecil dalam radian, $\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta$; pada 0,05 radian, ketiganya berbeda kurang dari 0,1%. Pendekatan ini berguna untuk perhitungan cepat, tetapi tidak boleh dipakai untuk sudut sling atau ramp yang besar. Galat sudut juga diperbesar oleh fungsi trigonometri: pada sudut sling kecil, salah ukur satu derajat mengubah tegangan jauh lebih banyak daripada pada sudut besar, sehingga sudut kecil harus dihindari, tidak diukur lebih teliti.

Memilih segitiga yang tepat

Kesulitan utama trigonometri di lapangan jarang terletak pada rumusnya, tetapi pada menemukan segitiga yang tepat. Langkah yang membantu:

1. Gambar sketsa kasar dengan arah mendatar dan tegak yang jelas, lalu tandai besaran yang diketahui dan yang dicari.
2. Cari segitiga siku-siku lebih dulu; banyak bentuk miring dapat dipecah menjadi dua segitiga siku-siku dengan menarik garis tegak.
3. Tentukan sisi mana yang di depan sudut, mana yang di samping, dan mana yang miring, dari sudut yang dipakai, bukan dari letak di gambar.
4. Pilih fungsi yang menghubungkan besaran yang diketahui dengan yang dicari; bila dua sisi diketahui, tangen atau Pythagoras biasanya paling cepat.
5. Periksa hasil dengan aturan kasar: sisi miring selalu terpanjang, sudut di depan sisi terpanjang selalu terbesar, dan jumlah sudut segitiga 180 derajat.

Pada pemasangan pipa, segitiga biasanya dibentuk oleh pergeseran ke samping, jarak maju, dan potongan miring; pada pengangkatan, oleh tinggi titik gantung, jarak titik ikat, dan panjang sling. Sketsa sederhana di kertas atau di lantai dengan kapur sering mencegah salah ukur yang mahal.

Contoh kerja

Angka dalam contoh di bawah adalah angka latihan, kecuali disebut asalnya.

Contoh 1: dua arti kemiringan 2. Pada pipa sepanjang 6 m mendatar, kemiringan 2% memberi beda tinggi $6 \times 0{,}02 = 0{,}12$ m. Kemiringan 2 derajat memberi $6 \times \tan 2^\circ$, yang dihitung sebagai $6 \times 0{,}0349 = 0{,}21$ m. Selisihnya 9 cm, cukup untuk membuat sambungan ke saluran utama tidak mungkin.

Contoh 2: belokan 45 derajat. Pipa harus bergeser ke samping 30 cm dengan dua belokan 45 derajat. Panjang potongan miring di antara kedua belokan, diukur antara sumbu belokan, adalah $30/\sin 45^\circ = 42{,}4$ cm, dan jarak maju sepanjang arah pipa juga 30 cm karena sudutnya 45 derajat.

Contoh 3: jarak yang terhalang. Dari titik C, jarak ke titik A 4,0 m dan ke titik B 5,5 m, dengan sudut ACB 70 derajat. Jarak AB tidak dapat diukur langsung karena ada mesin di antaranya. $AB^2 = 4{,}0^2 + 5{,}5^2 - 2 \times 4{,}0 \times 5{,}5 \times \cos 70^\circ = 46{,}25 - 44 \times 0{,}342 = 31{,}2$, jadi $AB = 5{,}59$ m.

Contoh 4: sling pada motor. Motor 300 kg, berat $W = 300 \times 9{,}81 = 2.943$ N, diangkat dua sling simetris. Pada 30 derajat terhadap bidang datar, $T = 2.943/(2 \times 0{,}5) = 2.943$ N per sling, sama dengan seluruh berat. Pada 60 derajat, $T = 2.943/(2 \times 0{,}866) = 1.699$ N per sling. Sling untuk 250 kg, sekitar 2.450 N, aman pada 60 derajat tetapi tidak pada 30 derajat, sesuai kasus pembuka.

Contoh 5: menaikkan mesin dengan ramp. Mesin 250 kg didorong naik ramp 15 derajat. Komponen sejajar $250 \times 9{,}81 \times \sin 15^\circ = 635$ N, komponen tegak lurus $2.369$ N. Dengan koefisien gesekan roda sekitar 0,1, gaya dorong $635 + 0{,}1 \times 2.369 = 872$ N, terlalu besar untuk dua orang yang mendorong lama; dipakai katrol tangan atau ramp yang lebih landai.

Contoh 6: tegangan sesaat. Tegangan puncak 325 V pada 50 Hz. Pada $t = 2$ ms, $v = 325 \sin(2\pi \times 50 \times 0{,}002) = 325 \sin(0{,}628) = 191$ V. Nilai efektif $325/\sqrt{2} = 230$ V. Sudut 0,628 radian sama dengan 36 derajat; kalkulator dalam mode derajat akan memberi angka yang salah bila 0,628 dimasukkan langsung.

Kondisi berhenti

Hentikan pemasangan atau pengangkatan dan minta kejelasan atau keputusan penyelia bila:

1. Kemiringan, sudut, atau perbandingan pada gambar kerja ditulis tanpa satuan yang jelas.
2. Sudut sling terhadap bidang datar kurang dari yang diizinkan Bab 9 · Keselamatan, atau tegangan hasil hitungan melebihi beban kerja aman sling.
3. Hasil hitungan sudut atau jarak berbeda jauh dari ukuran langsung di lapangan.
4. Gaya pada tumpuan, titik gantung, atau dongkrak dihitung tanpa komponen mendatarnya.
5. Ramp, bidang miring, atau lantai miring memerlukan gaya yang melebihi kemampuan orang atau alat yang tersedia.

Salah tafsir yang sering terjadi

Hubungan dengan bab lain

Bab 5 tentang geometri lapangan memberi geometri dan pemeriksaan siku. Bab 1 · Fisika tentang besaran vektor dan gerak lurus dan Bab 2 · Fisika tentang gerak dua dimensi dan komponen vektor memakai komponen dan resultan untuk gerak. Bab 3 · Fisika tentang hukum Newton dan diagram benda bebas memakai tegangan tali, Bab 8 · Fisika tentang kesetimbangan statik membahas kesetimbangan dan momen, dan Bab 9 · Keselamatan tentang mengangkat dan memindahkan beban dengan alat memberi aturan mengangkat dengan sling. Bab 4 · Kelistrikan & Kendali tentang arus bolak-balik membahas gelombang sinus, nilai efektif, dan fasor dalam listrik. Bab 9 tentang eksponen, logaritma, dan desibel melanjutkan rak ini.

Latihan dan pembahasan