Kesetimbangan statik, pusat massa, dan stabilitas guling: momen, reaksi tumpuan, dan sudut guling

Dua petugas memindahkan lemari pengering kecil bermassa 80 kg di lantai laundry. Seorang mendorong di bagian atas lemari, setinggi bahunya, supaya tidak perlu membungkuk. Lemari tidak bergeser. Lemari mulai miring, lalu terguling ke depan dan hampir menimpa petugas kedua yang memegang kabel di sisi lain. Mereka mencoba lagi dengan mendorong di bagian bawah, dan lemari bergeser tanpa masalah.

Gaya dorongnya hampir sama. Yang berbeda adalah letak gaya itu terhadap tepi alas lemari dan terhadap titik berat lemari. Bab ini menjelaskan kesetimbangan benda yang tidak hanya bergeser tetapi juga dapat berputar: kapan benda diam, kapan terguling, dan berapa gaya yang dipikul setiap tumpuan dan baut.

Batas pembahasan

Bab ini membahas syarat kesetimbangan benda tegar, momen gaya, reaksi tumpuan, pusat massa dan titik berat, jenis kestabilan, sudut guling, perbandingan terguling dan tergelincir, gaya pada baut braket, dan gaya akibat ketidakseimbangan putar. Hitungan di sini menunjukkan besarnya gaya yang harus ditahan; pemilihan angkur mengikuti data pabrik angkur dan jenis dinding, dan ketentuan tangga mengikuti pedoman keselamatan setempat.

Bab 7 tentang pesawat sederhana membahas tuas, katrol, dan kesetimbangan momen, dan bab ini memakai cara yang sama tanpa mengulangnya. Hukum Newton dan diagram benda bebas dibahas di Bab 3 tentang hukum Newton dan diagram benda bebas, dan gesekan di Bab 4 tentang gesekan dan hambatan gerak. Jalur gaya pada elemen struktur bangunan dibahas di Bab 1 · Bangunan & Fasilitas tentang beban, elemen struktur, dan jalur gaya, dan torsi pada poros dan transmisi di Bab 1 · Mekanikal & Mekatronika tentang gaya, torsi, putaran, dan transmisi daya. Getaran akibat ketidakseimbangan rotor dibahas di Bab 23 tentang dinamika rotor.

Dua syarat kesetimbangan

Benda titik diam bila jumlah gayanya nol. Benda nyata punya ukuran, dan gaya yang bekerja di titik berbeda dapat membuatnya berputar walaupun jumlah gayanya nol. Dua orang yang mendorong ujung-ujung papan dengan gaya sama besar berlawanan arah membuat papan berputar di tempat. Kopel (couple) adalah pasangan gaya yang sama besar, berlawanan arah, dan tidak segaris seperti itu; jumlah gayanya nol, tetapi momennya tidak. Karena itu benda tegar diam bila dua syarat terpenuhi bersama:

$\sum \vec{F} = 0 \qquad \text{dan} \qquad \sum \tau = 0$

Di sini $\sum \vec{F}$ adalah jumlah vektor semua gaya luar pada benda, dalam newton, dan $\sum \tau$ adalah jumlah momen gaya-gaya itu terhadap satu titik acuan, dalam N·m. Syarat pertama mencegah benda bergeser; syarat kedua mencegah benda berputar. Kesetimbangan statik (static equilibrium) adalah keadaan benda diam yang memenuhi kedua syarat itu. Untuk soal pada bidang, syarat pertama menjadi dua persamaan komponen, $\sum F_x = 0$ dan $\sum F_y = 0$, dan syarat kedua menjadi satu persamaan momen terhadap titik mana saja. Jadi soal kesetimbangan bidang punya paling banyak tiga persamaan, dan dapat menyelesaikan paling banyak tiga besaran yang tidak diketahui.

Momen gaya dan lengan momen

Momen gaya (torque), atau torsi, terhadap suatu titik adalah besar gaya dikali jarak tegak lurus dari titik itu ke garis kerja gaya:

$\tau = F\,d_\perp = F\,r\sin\theta$

Lengan momen (moment arm) adalah jarak tegak lurus $d_\perp$ itu. Dalam rumus, $F$ adalah besar gaya dalam newton, $r$ jarak dari titik acuan ke titik kerja gaya dalam meter, dan $\theta$ sudut antara garis $r$ dan arah gaya, sehingga $d_\perp = r\sin\theta$. Lengan momen gaya pada sebuah simpal juga dihitung dengan faktor sinus sudut yang sama. Satuan momen adalah N·m. Arah putar biasanya diberi tanda: berlawanan arah jarum jam positif, searah jarum jam negatif.

Gaya berat bekerja seolah-olah seluruhnya di titik berat benda. Momen yang diberikan gravitasi pada benda yang tergantung besarnya $mgd\sin\theta$, dengan $d$ jarak dari titik putar ke titik berat. Bila garis kerja berat melewati titik putar, momennya nol.

Satu kebebasan penting: titik acuan momen boleh dipilih di mana saja, dan untuk benda yang setimbang jumlah momennya nol terhadap titik mana pun. Pilihan yang cerdas adalah titik tempat bekerja gaya yang tidak diketahui. Momen gaya itu terhadap dirinya sendiri nol, sehingga persamaan momen langsung memberi gaya lain. Cara ini dipakai di semua contoh kerja di bawah.

Reaksi tumpuan pada balok dan rak

Balok yang ditumpu di dua titik dan memikul beban adalah soal kesetimbangan yang paling sering dijumpai: rak dinding pada dua penyangga, papan di atas dua kuda-kuda, rel alat angkat pada dua tiang. Reaksi tumpuan (support reaction) adalah gaya yang diberikan tumpuan kepada benda yang ditopangnya. Untuk balok sepanjang $L$ dengan beban $W$ pada jarak $a$ dari tumpuan kiri, momen terhadap tumpuan kiri memberi reaksi kanan, dan jumlah gaya tegak memberi reaksi kiri:

$R_\text{kanan} = \frac{W\,a}{L}, \qquad R_\text{kiri} = W - R_\text{kanan} = \frac{W\,(L - a)}{L}$

Beban dan kedua reaksi dinyatakan dalam newton, sedangkan $a$ dan $L$ dalam meter; balok dianggap tidak berbobot dan kedua reaksi tegak. Tumpuan yang lebih dekat ke beban memikul bagian yang lebih besar. Bila berat balok sendiri tidak dapat diabaikan, berat itu diperlakukan sebagai beban tambahan di tengah balok. Bab 1 · Bangunan & Fasilitas tentang beban, elemen struktur, dan jalur gaya membahas bagaimana gaya itu kemudian diteruskan ke dinding dan lantai.

Pusat massa dan titik berat

Pusat massa (center of mass) adalah titik tempat massa benda dapat dianggap terkumpul untuk menghitung gerak translasinya. Di medan gravitasi yang seragam, pusat massa sama dengan titik berat (center of gravity), yaitu titik tempat gaya berat dianggap bekerja. Untuk benda yang tersusun dari beberapa bagian dengan massa $m_i$ dan titik berat masing-masing di $x_i$:

$x_\text{pm} = \frac{\sum m_i\,x_i}{\sum m_i}$

dengan $m_i$ dalam kilogram, serta $x_i$ dan $x_\text{pm}$ dalam meter yang diukur dari satu titik acuan yang sama. Rumus yang sama berlaku untuk koordinat tegak. Untuk benda homogen yang simetris, titik beratnya di pusat simetri: di tengah balok seragam, di pusat lempeng persegi, di sumbu silinder.

Titik berat dapat berada di luar bahan benda. Titik berat cincin berada di pusat lubangnya. Titik berat lemari kosong dengan pintu terbuka bergeser ke arah pintu. Titik berat mesin cuci berubah ketika drum terisi air dan linen, dan berubah lagi ketika linen menumpuk di satu sisi drum.

Di lapangan, titik berat ditentukan dengan tiga cara praktis, semuanya penerapan dari kesetimbangan momen:

1. Menggantung di dua titik. Benda kecil yang digantung bebas diam dengan titik beratnya tepat di bawah titik gantung. Tarik garis tegak dari dua titik gantung berbeda; titik berat berada di perpotongannya.
2. Menimbang di dua tumpuan. Letakkan benda panjang di atas dua timbangan pada jarak $L$. Dari bacaan $R_\text{kiri}$ dan $R_\text{kanan}$, jarak titik berat dari tumpuan kiri adalah $x = R_\text{kanan}\,L/(R_\text{kiri} + R_\text{kanan})$. Titik angkat atau kaki tambahan sebaiknya ditempatkan dekat titik itu.
3. Menimbang dengan satu sisi diangkat. Untuk menentukan tinggi titik berat, angkat satu sisi benda sedikit dan ulangi penimbangan; perubahan bacaan memberi tinggi titik berat. Cara ini dipakai untuk kendaraan dan mesin besar dan memerlukan perhitungan sudut.

Manual pemasangan peralatan berat sering mencantumkan letak titik berat dan titik angkat. Bila data itu ada, data itulah yang dipakai. Cara di atas berguna untuk benda yang datanya tidak tersedia.

Kestabilan dan sudut guling

Benda yang setimbang dapat berada dalam salah satu dari tiga keadaan. Setimbang stabil (stable equilibrium) adalah keadaan ketika benda yang sedikit diganggu kembali ke posisi semula; titik beratnya naik ketika benda dimiringkan sedikit, sehingga berat menghasilkan momen yang mengembalikan. Setimbang labil (unstable equilibrium) adalah keadaan ketika benda yang sedikit diganggu makin menjauh; titik beratnya turun ketika dimiringkan, seperti pensil yang berdiri di ujungnya. Setimbang netral (neutral equilibrium) adalah keadaan ketika benda tetap di posisi baru; titik beratnya tidak naik atau turun, seperti bola di lantai datar.

Benda yang berdiri di atas alas biasanya stabil untuk kemiringan kecil, dan menjadi labil setelah melewati sudut tertentu. Sudut itulah yang menentukan apakah benda terguling. Dasar tumpu (base of support) adalah daerah yang dibatasi titik-titik sentuh benda dengan lantai. Benda yang berdiri di lantai tetap tegak selama garis tegak melalui titik beratnya jatuh di dalam dasar tumpu. Bila benda dimiringkan sampai garis itu melewati tepi dasar tumpu, momen berat berbalik arah dan benda terguling. Sudut guling (tipping angle) adalah sudut miring saat garis tegak melalui titik berat tepat berada di atas tepi dasar tumpu.

Untuk benda dengan titik berat di tengah lebar alas $b$ pada tinggi $h$, sudut miring saat mulai terguling memenuhi

$\tan\theta_\text{guling} = \frac{b/2}{h}$

Lebar $b$ diukur searah kemiringan dan tinggi $h$ diukur dari lantai, keduanya dalam satuan yang sama, sehingga perbandingannya tidak bersatuan. Benda yang tinggi dan sempit terguling pada sudut kecil. Menaikkan titik berat, misalnya menumpuk karung linen di rak paling atas troli, mengurangi sudut guling. Alas yang lebih lebar atau beban yang diletakkan rendah menaikkannya. Sudut guling juga menentukan seberapa curam jalan landai yang aman untuk troli tinggi, dan seberapa kuat pengereman mendadak yang dapat menggulingkan muatan tinggi.

Benda tegak di atas kendaraan atau troli juga dapat terguling tanpa dimiringkan, yaitu ketika troli dipercepat atau direm mendadak. Dilihat dari troli yang diperlambat dengan perlambatan $a$, benda seolah didorong ke depan dengan gaya $ma$ yang bekerja di titik beratnya. Benda yang tidak tergelincir mulai terguling bila momen gaya itu terhadap tepi depan alas melampaui momen beratnya, yaitu bila

$\frac{a}{g} > \frac{b/2}{h}$

dengan $a$ perlambatan dan $g$ percepatan gravitasi, keduanya dalam m/s². Perbandingan yang sama dengan rumus sudut guling muncul lagi. Muatan tinggi dan sempit di atas troli yang direm mendadak, atau tabung gas yang berdiri tanpa diikat di atas kendaraan, terguling pada perlambatan yang tidak terasa berbahaya bagi pengemudinya. Contoh 6 memberi angkanya.

Terguling atau tergelincir lebih dulu

Kasus pembuka dapat dihitung. Gaya mendatar $F$ yang didorongkan pada tinggi $h_\text{d}$ menghasilkan momen terhadap tepi depan alas sebesar $F\,h_\text{d}$. Berat menahan dengan momen $mg\,(b/2)$, dengan anggapan titik berat berada di tengah lebar alas. Benda mulai terguling bila

$F_\text{guling} = \frac{mg\,(b/2)}{h_\text{d}}$

Benda mulai tergelincir bila $F$ mencapai gesekan statik maksimum $\mu_\text{s}\,mg$, dengan $\mu_\text{s}$ koefisien gesek statik dari Bab 4 tentang gesekan dan hambatan gerak. Yang terjadi lebih dulu adalah yang membutuhkan gaya lebih kecil. Benda tergelincir lebih dulu bila

$\mu_\text{s} < \frac{b/2}{h_\text{d}}$

Massa $m$ muncul di kedua gaya, sehingga syarat ini hanya bergantung pada koefisien gesek, lebar alas, dan tinggi titik dorong. Mendorong di tempat yang tinggi memperbesar $h_\text{d}$ dan membuat benda lebih mudah terguling. Lantai yang kesat atau alas yang menempel memperbesar $\mu_\text{s}$ dengan akibat yang sama. Mendorong rendah, di bawah titik berat, adalah cara aman untuk menggeser benda tinggi; kesimpulan ini mengikuti dua rumus di atas.

Braket dinding dan baut angkur

Braket yang menahan pompa, pemanas air, atau dispenser di dinding adalah benda tegar yang setimbang di bawah tiga jenis gaya: berat peralatan, tarikan baut atas, dan tekanan bagian bawah braket ke dinding. Berat bekerja pada jarak $e$ dari dinding dan menghasilkan momen $W e$ yang cenderung memutar braket menjauhi dinding di bagian atas. Momen itu ditahan oleh baut atas yang tertarik dan bagian bawah braket yang menekan dinding, dengan lengan sebesar jarak tegak $s$ di antara keduanya:

$T_\text{baut atas} \approx \frac{W\,e}{s}$

Tarikan dan berat dinyatakan dalam newton, $e$ dan $s$ dalam meter. Tanda kira-kira menandai anggapan bahwa braket berputar terhadap bagian bawahnya yang menekan dinding. Baut juga memikul gaya geser tegak sebesar berat. Akibat praktisnya: makin jauh peralatan dari dinding dan makin dekat jarak antarbaut, makin besar tarikan pada baut atas. Tarikan itu dapat melampaui berat peralatan, seperti di Contoh 3. Pemilihan angkur mengikuti data pabrik angkur dan jenis dinding; perhitungan di sini hanya menunjukkan besarnya gaya yang harus ditahan.

Beban berputar yang tidak seimbang

Kesetimbangan statik mengandaikan benda diam. Benda yang berputar dengan massa tidak merata, seperti drum mesin cuci dengan linen menumpuk di satu sisi, memerlukan gaya ke pusat $m\,\omega^2 r$ untuk massa yang tidak seimbang itu, seperti dibahas di Bab 3 tentang hukum Newton. Di sini $m$ adalah massa yang tidak seimbang dalam kilogram, $r$ jaraknya dari sumbu putar dalam meter, dan $\omega$ kecepatan sudut dalam rad/s, yaitu $2\pi n/60$ untuk putaran $n$ dalam rpm. Gaya itu ikut berputar dan diteruskan oleh bantalan ke rangka dan baut angkur mesin, berganti arah setiap putaran. Contoh 4 menunjukkan bahwa gaya ini dapat jauh lebih besar daripada berat mesin. Itu sebabnya mesin cuci-peras berputar tinggi diangkur ke lantai atau dipasang di atas peredam, dan sistem kendalinya mendeteksi ketidakseimbangan sebelum menaikkan putaran. Bab 10 · Laundry tentang washer-extractor membahas penanganannya.

Contoh kerja

Angka dalam contoh di bawah adalah angka latihan, kecuali disebut asalnya.

Contoh 1: titik berat gabungan. Lemari pengering 120 kg punya titik berat 0,80 m di atas lantai. Linen basah 30 kg di dalam drum punya titik berat 1,20 m. Titik berat gabungan $(120 \times 0{,}80 + 30 \times 1{,}20)/150 = 0{,}88$ m, naik 8 cm karena muatan. Titik berat yang naik memperkecil sudut guling lemari itu.

Contoh 2: kasus pembuka. Lemari 80 kg dengan alas 0,6 m didorong pada ketinggian 1,2 m. Gaya untuk menggulingkannya $80 \times 9{,}81 \times 0{,}3/1{,}2 = 196$ N. Dengan $\mu_\text{s} = 0{,}5$, gaya untuk menggesernya $0{,}5 \times 785 = 392$ N. Lemari terguling lebih dulu. Di lantai yang lebih licin dengan $\mu_\text{s} = 0{,}2$, gaya geser 157 N, lebih kecil daripada 196 N, sehingga lemari bergeser. Bila didorong pada 0,3 m, gaya guling menjadi 785 N dan lemari pasti bergeser lebih dulu.

Contoh 3: baut braket pompa. Pompa 20 kg dipasang dengan titik berat 0,30 m dari dinding, dan jarak tegak antara baut atas dan tumpuan bawah braket 0,20 m. Tarikan baut atas $196{,}2 \times 0{,}30/0{,}20 = 294$ N, satu setengah kali berat pompa, di samping gaya geser 196 N. Memperbesar jarak antarbaut menjadi 0,40 m menurunkan tarikan menjadi 147 N.

Contoh 4: ketidakseimbangan drum. Linen menumpuk sehingga ada ketidakseimbangan 2 kg pada jari-jari 0,3 m. Pada 1.000 rpm, gaya ke pusat yang diperlukan $2 \times 104{,}7^2 \times 0{,}3 = 6.580$ N, setara berat sekitar 670 kg, berputar sekali setiap 0,06 s. Pada 45 rpm, gayanya hanya 13 N. Ketidakseimbangan yang tidak terasa saat mencuci menjadi beban besar saat memeras.

Contoh 5: tangga bersandar. Tangga sepanjang 4 m yang kakinya 1 m dari dinding membentuk sudut $\arccos(1/4) = 75{,}5°$ dengan lantai, perbandingan yang sering dipakai sebagai pegangan praktik 4 banding 1. Sudut yang lebih landai membuat lengan momen berat tangga dan orang terhadap kaki tangga lebih besar, sehingga gaya gesek yang diperlukan di kaki tangga bertambah. Pegangan 4 banding 1 adalah praktik keselamatan; ketentuan tangga yang berlaku mengikuti pedoman keselamatan setempat.

Contoh 6: muatan tinggi di troli yang direm. Tumpukan kotak dengan alas 0,7 m dan titik berat 1,0 m di atas dasar troli mulai terguling bila perlambatan melebihi $9{,}81 \times 0{,}35/1{,}0 = 3{,}4$ m/s². Bila tumpukan dinaikkan sehingga titik beratnya 1,4 m, batasnya turun menjadi 2,5 m/s². Pengereman troli dengan tangan di lantai licin jarang sekuat itu, tetapi tumbukan dengan ambang pintu atau lubang lantai dapat memberi perlambatan sesaat yang jauh lebih besar, seperti dibahas di Bab 6 tentang momentum, impuls, dan tumbukan.

Kondisi berhenti

Hentikan pekerjaan dan laporkan kepada pengawas atau penanggung jawab peralatan, yang memutuskan kapan pekerjaan boleh dilanjutkan, bila:

1. Benda tinggi akan didorong atau dipindahkan tanpa mengetahui letak titik beratnya, terutama di lantai yang tidak rata atau di jalan landai. Dorong rendah, pakai alat bantu, dan jauhkan orang dari arah gulingnya.
2. Braket atau rak dinding akan dipasang tanpa mengetahui jenis dinding dan kekuatan angkurnya. Contoh 3 menunjukkan tarikan baut dapat melebihi berat peralatan.
3. Mesin cuci-peras berputar tinggi bergetar keras, bergeser, atau baut angkurnya longgar. Hentikan, periksa angkur dan muatan menurut Bab 10 · Laundry tentang washer-extractor, dan ikuti isolasi energi di Bab 1 · Keselamatan tentang bahaya, risiko, dan energi tersimpan.
4. Tangga, perancah, atau troli tinggi dipakai dengan muatan yang menaikkan titik berat di luar petunjuknya.

Salah tafsir yang sering terjadi

Hubungan dengan bab lain

Bab 7 tentang pesawat sederhana memakai kesetimbangan momen untuk tuas dan katrol. Bab 3 tentang hukum Newton dan diagram benda bebas menyediakan diagram benda bebas dan gaya ke pusat, dan Bab 4 tentang gesekan dan hambatan gerak menyediakan gesekan statik untuk perbandingan guling dan gelincir. Bab 1 · Bangunan & Fasilitas tentang beban, elemen struktur, dan jalur gaya meneruskan reaksi tumpuan ke struktur, Bab 1 · Mekanikal & Mekatronika tentang gaya, torsi, putaran, dan transmisi daya membahas torsi pada poros, dan Bab 10 · Laundry tentang washer-extractor membahas ketidakseimbangan drum. Gaya sesaat pada tumbukan dibahas di Bab 6 tentang momentum, impuls, dan tumbukan, dan ketidakseimbangan rotor di Bab 23 tentang dinamika rotor. Titik berat saat beban diangkat dengan alat dibahas di Bab 9 · Keselamatan tentang mengangkat dan memindahkan beban, dan tangga sandar di Bab 10 · Keselamatan tentang kerja di ketinggian, tangga, dan perancah ringan.

Latihan dan pembahasan

Untuk setiap soal, gambar diagram benda bebas, pilih titik acuan momen, dan tuliskan anggapan.