Aljabar teknik dan rumus terbalik: variabel dan konstanta, mengubah subjek rumus, pangkat dan akar, rumus berantai, satuan dalam aljabar, dan pemeriksaan hasil

Seorang teknisi di laundry sebuah hotel diminta memasang pipa baru untuk mengalirkan 3 meter kubik air per jam ke sebuah mesin. Pabrik mesin menganjurkan kecepatan air di pipa paling tinggi 1,5 meter per detik supaya tidak bising dan tidak terjadi palu air. Teknisi ingat dua rumus: debit sama dengan luas penampang dikali kecepatan, dan luas penampang pipa bulat sama dengan pi dikali diameter kuadrat dibagi empat.

Ia membalik rumus di kertas dan menulis diameter sama dengan empat kali debit dibagi pi dikali kecepatan. Hasilnya 0,000707, yang ia baca sebagai 0,7 milimeter. Angka itu jelas mustahil untuk pipa air, tetapi ia tidak tahu di mana salahnya. Yang terlupa adalah akar kuadrat: diameter yang benar sekitar 27 milimeter. Kesalahan seperti ini sangat umum, dan hampir selalu dapat ditangkap dengan satu pemeriksaan sederhana, yaitu satuan. Bab ini menjelaskan cara membalik dan menggabungkan rumus dengan benar, dan cara memeriksa hasilnya sebelum dipakai.

Batas pembahasan

Bab ini membahas aljabar untuk rumus teknik: variabel, konstanta, dan parameter, mengubah subjek rumus, pangkat, akar, dan pecahan bertingkat, rumus berantai, satuan dalam aljabar, variabel yang muncul lebih dari sekali, pertidaksamaan, pemeriksaan hasil, dan rumus empiris. Aritmetika, pecahan, persen, dan rasio ada di Bab 1 tentang aritmetika teknik. Besaran dan fungsi ada di Bab 2 tentang besaran, fungsi, dan cara membaca hubungan. Satuan, dimensi, dan angka penting ada di Bab 3 tentang satuan, dimensi, dan konversi, sedangkan estimasi dan kewajaran ada di Bab 4 tentang estimasi dan pemeriksaan kewajaran. Geometri luas dan volume ada di Bab 5 tentang geometri lapangan. Persamaan linear dan sistem persamaan dibahas di Bab 7 tentang persamaan linear dan sistem persamaan. Dasar rigor aljabar bilangan riil ada di rak Matematika Analisis. Bab ini tidak menetapkan ukuran pipa, kabel, pengaman, atau dosis untuk pekerjaan nyata; angka contohnya hanya untuk cara hitung.

Variabel, konstanta, dan parameter

Hukum dasar fisika dinyatakan dalam bahasa matematika, alat yang menjembatani teori dan percobaan. Sebuah rumus adalah kalimat dalam bahasa itu. Misalnya $Q = A v$ dibaca "debit sama dengan luas penampang dikali kecepatan".

Unsur sebuah rumus ada tiga:

1. Variabel (variable) adalah besaran yang berubah dari kasus ke kasus, seperti debit, kecepatan, atau suhu.
2. Konstanta (constant) adalah angka yang tetap di mana pun, seperti $\pi$ atau percepatan gravitasi baku.
3. Parameter (parameter) adalah angka yang tetap untuk satu benda atau satu keadaan, tetapi berbeda antarbenda, seperti hambatan sebuah elemen pemanas atau kalor jenis air.

Sebelum menghitung, tentukan mana yang diketahui, mana yang dicari, dan mana yang dianggap tetap. Simbol untuk menyatakan perubahan suatu besaran memudahkan penulisan, seperti $\Delta T$ untuk selisih suhu.

Simbol yang sama dapat berarti hal berbeda di buku yang berbeda: $Q$ dapat berarti debit, kalor, atau muatan listrik, dan $P$ dapat berarti daya atau tekanan. Karena itu setiap hitungan dimulai dengan daftar simbol dan satuannya. Indeks kecil di bawah simbol, seperti $T_1$ dan $T_2$ atau $R_0$, membedakan keadaan atau benda; indeks itu juga dicatat artinya, misalnya 1 untuk air dingin dan 2 untuk air panas.

Aturan dasar mengubah subjek rumus

Subjek rumus (subject of a formula) adalah besaran yang berdiri sendiri di satu sisi tanda sama dengan, seperti $Q$ pada $Q = A v$. Persamaan disusun ulang untuk mencari besaran yang belum diketahui. Aturannya hanya satu: lakukan operasi yang sama pada kedua sisi tanda sama dengan. Dalam praktik, cara yang paling aman:

1. Tulis urutan hitung yang dikenakan pada besaran yang dicari, dari dalam ke luar. Untuk $A = \pi d^2/4$, urutannya: $d$ dikuadratkan, dikali $\pi$, dibagi 4.
2. Batalkan urutan itu dari luar ke dalam dengan operasi kebalikannya: kali 4, bagi $\pi$, akar kuadrat.
3. Hasilnya $d = \sqrt{4A/\pi}$.

Pasangan operasi kebalikan: tambah dan kurang, kali dan bagi, kuadrat dan akar, pangkat $n$ dan akar pangkat $n$, eksponensial dan logaritma. Sebelum membagi dengan suatu besaran, pastikan besaran itu tidak mungkin nol dalam kasus yang dihitung.

Bila besaran yang dicari muncul di dua tempat, kumpulkan semua suku yang mengandungnya di satu sisi, lalu keluarkan sebagai faktor. Contohnya pencampuran air dengan suhu berbeda:

dengan $T_m$ suhu campuran, $m_1$ dan $T_1$ massa dan suhu air pertama, serta $m_2$ dan $T_2$ massa dan suhu air kedua. Untuk mencari $m_2$ yang diperlukan, kalikan kedua sisi dengan $(m_1 + m_2)$, kumpulkan suku $m_2$, lalu bagi:

Hasil ini juga memberi pemeriksaan arti: bila $T_m$ di antara $T_1$ dan $T_2$, $m_2$ positif; bila tidak, pencampuran itu memang mustahil. Contoh lain adalah hambatan sensor suhu logam, $R = R_0(1 + \alpha \Delta T)$, yang dibalik menjadi $\Delta T = (R/R_0 - 1)/\alpha$.

Pangkat, akar, dan pecahan bertingkat

Banyak rumus teknik memuat pangkat dua: daya pada hambatan $P = I^2 R$, energi kinetik $E = \tfrac{1}{2} m v^2$, kecepatan keluar lubang $v = \sqrt{2 g h}$. Saat dibalik, kuadrat menjadi akar, dan akar menjadi kuadrat:

Akar kuadrat secara matematis mempunyai dua tanda; dalam rumus teknik, tanda yang dipakai ditentukan oleh arti fisisnya, biasanya positif untuk diameter, arus efektif, atau kecepatan.

Pecahan bertingkat, seperti hambatan paralel, dibalik dengan menyendirikan suku yang mengandung besaran yang dicari:

Hasil ini juga menunjukkan batasnya: $R$ harus lebih kecil dari $R_1$, karena hambatan paralel selalu lebih kecil daripada setiap cabangnya.

Rumus berantai dan substitusi

Masalah lapangan sering memerlukan dua rumus atau lebih. Substitusi (substitution) adalah mengganti suatu besaran di satu rumus dengan isi rumus lain. Pada kasus pembuka, $Q = A v$ dan $A = \pi d^2/4$ digabung dengan mengganti $A$ di rumus pertama dengan isi rumus kedua:

Pada rangkaian elektronika, misalnya, mengganti satu hasil kali dengan tegangan keluaran menghasilkan rumus tegangan keluaran yang lebih sederhana. Substitusi seperti itu mengurangi jumlah langkah hitung dan jumlah pembulatan antara.

Aturan praktis: gabungkan rumus secara simbolik lebih dulu, baru masukkan angka di akhir. Dengan begitu, satu rumus akhir dapat diperiksa satuannya, dipakai ulang untuk kasus lain, dan dihitung dengan pembulatan sekali saja.

Pembulatan antara dapat menggeser hasil lebih dari yang diduga. Bila nilai di bawah akar pada kasus pembuka dibulatkan dulu menjadi $7 \times 10^{-4}$ m² sebelum diakar, diameter menjadi 0,0265 m; bila debit dibulatkan menjadi $8 \times 10^{-4}$ m³/s, diameter menjadi 0,0261 m. Selisihnya kecil di sini, tetapi pada rumus dengan pangkat tinggi atau pengurangan dua angka yang hampir sama, pembulatan antara dapat mengubah keputusan.

Satuan dalam aljabar

Besaran dan simbol dalam persamaan harus dinyatakan dalam satuan yang serupa. Pada hitungan debit, misalnya, satuan diubah lebih dulu, seperti kaki per menit menjadi kaki per detik dan inci menjadi kaki, baru debit dihitung. Satuan ikut serta dalam setiap operasi aljabar: dikali, dibagi, dikuadratkan, dan diakarkan bersama angkanya.

Pemeriksaan satuan adalah cara tercepat menangkap kesalahan membalik rumus. Dimensi percepatan dan waktu, misalnya, diperiksa sebelum dipakai, dan sebuah hasil hitungan baru diterima setelah terbukti mempunyai satuan yang diharapkan. Pada kasus pembuka, $4Q/(\pi v)$ mempunyai satuan (m³/s) dibagi (m/s), yaitu m². Diameter harus dalam meter, sehingga jelas ada yang kurang: akar kuadrat.

Batas dan pertidaksamaan

Banyak pertanyaan lapangan bukan "berapa", tetapi "paling banyak" atau "paling sedikit berapa". Kecepatan air paling tinggi 1,5 m/s, arus kabel paling tinggi sekian ampere, suhu bilas paling rendah sekian derajat. Pertidaksamaan (inequality) adalah hubungan dua ruas yang memakai tanda lebih kecil atau lebih besar sebagai pengganti tanda sama dengan. Pertanyaan seperti itu ditulis sebagai pertidaksamaan dan dibalik dengan aturan yang hampir sama dengan persamaan:

1. Menambah atau mengurangi kedua sisi dengan bilangan yang sama tidak mengubah arah tanda.
2. Mengalikan atau membagi kedua sisi dengan bilangan positif tidak mengubah arah tanda.
3. Mengalikan atau membagi dengan bilangan negatif membalik arah tanda.
4. Mengakarkan kedua sisi boleh bila keduanya positif.

Pada kasus pembuka, syaratnya $v \le 1{,}5$ m/s. Karena $v = 4Q/(\pi d^2)$ dan semua besaran positif, syarat itu menjadi $d^2 \ge 4Q/(\pi \times 1{,}5)$, atau $d \ge 0{,}0266$ m. Arah tanda berbalik dari "paling tinggi" untuk kecepatan menjadi "paling sedikit" untuk diameter, karena kecepatan turun bila diameter naik. Membaca arah hubungan seperti ini, naik bersama atau berlawanan, adalah pemeriksaan arti yang penting sebelum memilih ukuran.

Hasil pertidaksamaan lalu dicocokkan dengan ukuran yang tersedia: pipa, kabel, atau pengaman dipilih pada ukuran baku yang memenuhi syarat, biasanya yang terdekat di atas atau di bawah batas, tergantung arah tandanya.

Memeriksa hasil dan menulis langkah hitung

Jawaban perkiraan sering berguna dihitung walaupun informasinya sedikit. Setiap hasil rumus terbalik diperiksa dengan beberapa cara:

1. Satuan: satuan hasil harus sama dengan satuan besaran yang dicari.
2. Orde besaran: hasil dibandingkan dengan pengalaman, seperti di Bab 4 tentang estimasi dan pemeriksaan kewajaran. Pipa air bangunan berdiameter belasan sampai puluhan milimeter, bukan kurang dari satu milimeter.
3. Kasus batas: apa yang terjadi bila satu masukan nol atau sangat besar. Bila kecepatan dinaikkan, diameter harus turun.
4. Substitusi balik: masukkan hasil ke rumus asal, dan periksa apakah besaran awal kembali.
5. Tanda: hasil negatif untuk besaran yang selalu positif menunjukkan salah tanda atau keadaan yang mustahil.

Hitungan yang hasilnya dipakai untuk memilih bahan atau menyetel mesin ditulis sedemikian rupa sehingga orang lain dapat memeriksanya tanpa bertanya. Urutan yang umum dipakai:

1. Pertanyaan dan besaran yang dicari, dengan satuannya.
2. Data yang diketahui, dengan satuan dan asalnya: diukur, dari pelat nama, atau dari manual.
3. Rumus yang dipakai, dalam bentuk simbolik, termasuk rumus yang sudah dibalik atau digabung.
4. Konversi satuan, ditulis tersendiri.
5. Substitusi angka dan hasil, dengan satuan.
6. Pemeriksaan: satuan, orde besaran, dan substitusi balik.
7. Keputusan: ukuran baku yang dipilih dan alasannya.

Bila hitungan dibuat di lembar kerja, rumus ditulis di sel yang terlihat atau di catatan, dan data masukan dipisah dari rumus, supaya perubahan satu data tidak menimpa hitungan.

Rumus empiris dan batasnya

Rumus yang tepat harus dipilih dengan hati-hati. Rumus empiris (empirical formula) adalah rumus yang dibuat dari data, dengan koefisien yang hanya berlaku untuk satuan, bahan, dan rentang tertentu. Banyak rumus di lapangan termasuk jenis ini. Rumus seperti itu dapat dibalik dengan aturan yang sama, tetapi tiga hal harus diperhatikan:

1. Koefisien sering mengandung satuan tersembunyi, sehingga rumus hanya benar untuk satuan yang tertulis di sumbernya.
2. Rumus hanya berlaku pada rentang data asalnya, seperti dibahas di Bab 7 · Data & Pengukuran tentang korelasi, regresi, dan batas ekstrapolasi.
3. Membalik rumus empiris tidak membuatnya lebih teliti; ketidakpastian koefisien ikut terbawa.

Contoh kerja

Angka dalam contoh di bawah adalah angka latihan, kecuali disebut asalnya.

Contoh 1: diameter pipa. $Q = 3$ m³/jam $= 3/3.600 = 8{,}33 \times 10^{-4}$ m³/s dan $v = 1{,}5$ m/s. $d = \sqrt{4 \times 8{,}33 \times 10^{-4}/(\pi \times 1{,}5)} = \sqrt{7{,}07 \times 10^{-4}} = 0{,}0266$ m, sekitar 27 mm. Dipilih pipa dengan diameter dalam paling sedikit sekitar 27 mm. Substitusi balik: dengan $d = 0{,}0266$ m, $v = 4Q/(\pi d^2) = 1{,}50$ m/s. Karena diameter dalam pipa berbeda menurut bahan dan kelas tekanannya, angka 27 mm dicocokkan dengan tabel diameter dalam pipa yang akan dipakai, bukan dengan ukuran nominalnya.

Contoh 2: suhu dari hambatan sensor. Sensor platina mempunyai $R_0 = 100$ Ω pada 0 °C, dan koefisien suhu platina (sifat bahan) sekitar $0{,}00385$ per derajat. Terbaca 130,8 Ω. $\Delta T = (130{,}8/100 - 1)/0{,}00385 = 80$ °C. Rumus garis lurus ini adalah pendekatan; untuk ketelitian tinggi dipakai tabel atau persamaan pabrik.

Contoh 3: air panas untuk pencampuran. Tangki berisi 200 L air bersuhu 15 °C. Air panas 70 °C ditambahkan supaya campuran menjadi 40 °C, dengan anggapan tanpa rugi panas dan kalor jenis sama. $m_2 = 200 \times (40 - 15)/(70 - 40) = 166{,}7$ L. Pemeriksaan arti: 40 °C lebih dekat ke 15 °C daripada ke 70 °C, sehingga air panas yang diperlukan lebih sedikit dari 200 L, sesuai hasil. Dalam kenyataan, tangki dan pipa menyerap sebagian panas, sehingga air panas yang diperlukan sedikit lebih banyak.

Contoh 4: waktu pemanasan. Air 60 L dipanaskan dari 20 °C ke 85 °C dengan pemanas 9 kW, tanpa rugi panas. Kalor $Q = m c \Delta T = 60 \times 4{,}186 \times 65 = 16.325$ kJ, dan waktu $t = Q/P = 16.325/9 = 1.814$ s, sekitar 30 menit. Dibalik untuk daya: supaya selesai dalam 20 menit, $P = 16.325/1.200 = 13{,}6$ kW. Satuan: kJ dibagi kW sama dengan detik, karena 1 kW sama dengan 1 kJ per detik. Rumus yang sama juga dapat dibalik untuk kenaikan suhu yang dicapai dalam waktu tertentu, $\Delta T = P t/(m c)$; dengan 9 kW selama 10 menit, $\Delta T = 9 \times 600/(60 \times 4{,}186) = 21{,}5$ derajat. Ketiga bentuk itu berasal dari satu rumus, sehingga cukup satu rumus yang diingat dengan benar.

Contoh 5: pengenceran. Larutan 10 L dengan kadar 200 ppm dibuat dari larutan induk 12,5% atau 125.000 ppm. Dari $C_1 V_1 = C_2 V_2$, $V_1 = C_2 V_2/C_1 = 200 \times 10/125.000 = 0{,}016$ L atau 16 mL, ditambah air sampai 10 L.

Contoh 6: koefisien empiris. Rugi tinggi pada sebuah katup dimodelkan $h = K v^2/(2g)$. Terukur $h = 0{,}25$ m pada $v = 1{,}5$ m/s. $K = 2 g h/v^2 = 2 \times 9{,}81 \times 0{,}25/2{,}25 = 2{,}18$, tanpa satuan. Nilai ini berlaku untuk katup itu pada bukaan dan rentang aliran yang diuji.

Kondisi berhenti

Hentikan perhitungan dan periksa ulang, atau minta pemeriksaan orang lain, bila salah satu keadaan di bawah terjadi. Pemeriksa ulang adalah pengawas atau teknisi berkompeten yang memahami rumus yang dipakai.

1. Satuan hasil tidak sama dengan satuan besaran yang dicari.
2. Hasil berbeda jauh dari orde besaran yang wajar atau dari pengalaman.
3. Hasil negatif, nol, atau tak hingga untuk besaran yang tidak mungkin demikian.
4. Rumus empiris dipakai dengan satuan atau rentang yang berbeda dari sumbernya.
5. Hasil hitungan akan dipakai untuk ukuran pengaman, kabel, pipa bertekanan, atau dosis bahan kimia tanpa diperiksa orang kedua.
6. Diameter hasil hitungan hendak dicocokkan dengan ukuran nominal pipa, bukan dengan tabel diameter dalam pipa yang akan dipakai menurut bahan dan kelas tekanannya.

Salah tafsir yang sering terjadi

Hubungan dengan bab lain

Bab 1 tentang aritmetika teknik memberi pecahan, persen, dan rasio, Bab 2 tentang besaran dan fungsi memberi cara membaca hubungan, dan Bab 3 tentang satuan, dimensi, dan konversi memberi dasar pemeriksaan satuan. Bab 4 tentang estimasi dan pemeriksaan kewajaran mendasari pemeriksaan orde besaran, Bab 5 tentang geometri lapangan memberi rumus luas penampang, dan Bab 7 · Data & Pengukuran tentang korelasi dan regresi membahas batas rentang rumus empiris. Bab 7 tentang persamaan linear dan sistem persamaan melanjutkan aljabar ini ke beberapa persamaan sekaligus.

Latihan dan pembahasan