Laju perubahan dan luas di bawah kurva dari data: kemiringan, beda hingga, laju sesaat dan rata-rata, aturan trapesium dan Simpson, energi dari daya, dan volume dari debit

Sebuah laundry ingin tahu berapa energi listrik yang dipakai pengering besar setiap hari, untuk membandingkannya dengan pengering gas. Pencatat daya dipasang dan mencatat angka setiap 15 menit. Penyelia melihat daya tertinggi sekitar 18 kilowatt, mengalikannya dengan 2 jam kerja per muatan, dan mendapat 36 kilowatt-jam per muatan. Angka itu ternyata sepertiga lebih besar dari yang tercatat di meteran listrik, karena daya pengering tidak selalu 18 kilowatt: pemanas menyala dan mati mengikuti suhu, dan menjelang akhir siklus hanya kipas yang bekerja.

Pada minggu yang sama, seorang teknisi menduga salah satu dari tiga elemen pemanas mesin cuci sudah putus. Ia membaca catatan suhu air setiap 10 detik dan menghitung selisih dua pembacaan berurutan, tetapi angkanya melompat-lompat dari negatif sampai dua kali lipat nilai biasanya, sehingga ia tidak dapat menyimpulkan apa pun. Kedua persoalan itu adalah matematika laju dan jumlah: energi adalah luas di bawah kurva daya, dan kecepatan pemanasan adalah kemiringan kurva suhu. Bab ini menjelaskan cara menghitung keduanya dari data lapangan.

Batas pembahasan

Bab ini membahas laju rata-rata dan kemiringan, laju sesaat dengan beda hingga, pengaruh derau, luas di bawah kurva dan artinya, aturan persegi panjang, trapesium, dan Simpson, selang yang tidak sama, data hilang, hubungan laju dan jumlah, dan pemeriksaan hasil numerik. Definisi limit, turunan, dan integral Riemann yang ketat ada di rak Matematika Analisis. Rumus di bab ini adalah rumus baku.

Topik yang berdekatan dibahas di bab lain:

• fungsi dan grafik di Bab 2 tentang besaran, fungsi, dan cara membaca hubungan;
• grafik dan interpolasi di Bab 10 tentang grafik, interpolasi, dan membaca kurva;
• kemiringan garis terbaik di Bab 7 · Data & Pengukuran tentang korelasi dan regresi;
• pencatat data dan laju cuplik di Bab 12 · Sistem, Diagram & Diagnosis tentang diagnosis gangguan berselang;
• aljabar kalor dan daya di Bab 6 tentang aljabar teknik dan rumus terbalik.

Laju rata-rata dan kemiringan

Laju rata-rata (average rate of change) adalah perubahan sebuah besaran dibagi selang waktu atau selang besaran lain:

dengan $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$ dua titik data, dan $\Delta$ tanda perubahan. Memakai simbol untuk menyatakan perubahan suatu besaran memudahkan penulisan. Pada grafik, laju rata-rata adalah kemiringan garis yang menghubungkan dua titik. Kemiringan garis grafik jarak terhadap waktu sebanding dengan kecepatan benda.

Laju rata-rata pembentukan gas, misalnya, dihitung dalam sentimeter kubik per detik. Laju selalu mempunyai satuan, yaitu satuan besaran dibagi satuan waktu: derajat per menit, liter per jam, kilowatt-jam per hari. Laju yang dilaporkan tanpa satuan tidak dapat dibandingkan.

Kadang laju lebih berguna dinyatakan relatif terhadap nilainya, misalnya persen per jam. Penurunan klorin sisa 0,2 mg/L per jam berarti banyak bila kadar awal 0,5 mg/L, tetapi sedikit bila kadar awal 5 mg/L. Laju relatif $(\Delta y/y)/\Delta t$ memperlihatkan perbedaan itu, dan pada peluruhan eksponensial di Bab 9 tentang eksponen, logaritma, dan desibel laju relatif itu tetap, yaitu tetapan peluruhannya.

Laju sesaat dan beda hingga

Laju sesaat (instantaneous rate of change) adalah laju pada satu titik waktu, yaitu kemiringan garis singgung kurva. Beda hingga (finite difference) adalah taksiran laju sesaat dari selisih data di sekitar titik itu. Dari data berselang tetap $h$, laju sesaat diperkirakan dengan beda hingga:

dengan $y_i$ pembacaan ke-$i$ dan $h$ selang antarpembacaan dalam satuan waktu, sehingga hasilnya bersatuan besaran per satuan waktu. Beda pusat biasanya paling teliti karena memakai data di kedua sisi; beda maju dan mundur dipakai di ujung data. Turunan numerik suatu fungsi di sebuah titik dapat dihitung dengan sebuah fungsi program; cara yang sama dikerjakan di lembar kerja dengan rumus selisih.

Pada nilai puncak arus, laju perubahan arus nol. Sifat ini berguna di lapangan: pada titik tertinggi atau terendah sebuah kurva, laju berubah tanda, sehingga puncak suhu atau tekanan dapat ditemukan dari data dengan mencari tempat beda hingga berubah dari positif ke negatif.

Data berderau dan laju

Derau (noise) adalah galat acak kecil yang menumpang pada setiap pembacaan. Selisih dua angka yang berdekatan sangat peka terhadap derau. Bila setiap pembacaan mempunyai galat acak dengan simpangan baku $\sigma$, simpangan baku beda maju kira-kira $\sqrt{2}\,\sigma/h$. Makin pendek selang $h$, makin besar galat lajunya. Itulah yang terjadi pada kasus pembuka: galat pembacaan termometer yang kecil menjadi besar setelah dibagi 10 detik.

Cara mengatasinya:

1. Pakai selang yang lebih panjang, misalnya selisih pembacaan dua menit, bukan sepuluh detik.
2. Pakai kemiringan garis terbaik dari beberapa titik, seperti di Bab 7 · Data & Pengukuran tentang korelasi dan regresi, yang memakai semua data sekaligus.
3. Ratakan data lebih dulu dengan rata-rata bergerak (moving average) beberapa titik, dengan sadar bahwa perataan juga menunda dan menumpulkan perubahan cepat.

Pilihan selang adalah kompromi: cukup panjang untuk menekan derau, cukup pendek untuk tidak menghapus perubahan yang ingin dilihat.

Luas di bawah kurva: arti fisisnya

Luas di bawah kurva laju terhadap waktu adalah jumlah total. Contoh di lapangan:

1. Luas di bawah kurva daya terhadap waktu adalah energi. Tarif listrik dikenakan per satuan energi, yaitu kilowatt-jam, dan pemakaian sebulan pun dihitung sebagai jumlah kilowatt-jam.
2. Luas di bawah kurva debit terhadap waktu adalah volume. Volume limbah harian, misalnya, dipakai untuk memeriksa kapasitas bak penampung dan untuk sampel gabungan sebanding aliran di Bab 6 · Data & Pengukuran tentang sampling dan ukuran sampel.
3. Luas di bawah kurva kecepatan terhadap waktu adalah jarak.
4. Luas di bawah kurva laju kalor terhadap waktu adalah kalor total. Luas di bawah lintasan terbalikkan pada diagram suhu dan entropi menyatakan perpindahan kalor, dan dalam keadaan tertentu kalor dapat diperoleh dengan integrasi.

Luas juga dapat dihitung di atas sebuah garis dasar, tidak selalu di atas nol. Bila pengering menyerap 2 kW untuk kipas dan kendali sepanjang waktu, luas di atas garis 2 kW adalah energi pemanas saja, dan luas di bawah garis itu adalah energi siaga. Pemisahan seperti ini menunjukkan bagian energi yang dapat dihemat dengan mematikan mesin di antara muatan, yang tidak terlihat bila hanya jumlah total yang dihitung.

Satuan luas adalah satuan sumbu tegak dikali satuan sumbu mendatar: kilowatt dikali jam menjadi kilowatt-jam, liter per menit dikali menit menjadi liter. Integral jenis itu disebut integral tertentu (definite integral); dari data, integral itu dihitung dengan aturan numerik.

Aturan numerik untuk luas

Aturan persegi panjang dan trapesium

Untuk data $y_0, y_1, \ldots, y_n$ dengan selang tetap $h$, cara paling sederhana adalah aturan persegi panjang: setiap selang dianggap bernilai tetap sama dengan nilai di awalnya, sehingga luas $h(y_0 + y_1 + \cdots + y_{n-1})$. Aturan ini cocok bila pencatat memang menyimpan rata-rata setiap selang.

Karena itu cara pencatat menyimpan data diperiksa lebih dulu di manualnya. Ada pencatat yang menyimpan nilai sesaat pada akhir setiap selang, ada yang menyimpan rata-rata selama selang, dan ada yang menyimpan nilai terbesar atau terkecil, seperti dibahas di Bab 12 · Sistem, Diagram & Diagnosis tentang diagnosis gangguan berselang. Untuk nilai sesaat, aturan trapesium tepat dipakai; untuk rata-rata selang, jumlah dihitung langsung sebagai rata-rata dikali lama selang; untuk nilai terbesar, data itu tidak boleh dipakai untuk menghitung jumlah sama sekali, karena akan memberi angka yang terlalu besar seperti pada kasus pembuka.

Aturan trapesium (trapezoidal rule) adalah aturan luas yang menghubungkan titik berurutan dengan garis lurus:

dengan $A$ luas dalam satuan $y$ dikali satuan $h$, dan $n$ jumlah selang. Galatnya mengecil kira-kira sebanding kuadrat selang: selang dibuat setengahnya, galat kira-kira tinggal seperempat. Aturan trapesium mudah dikerjakan di lembar kerja dan cukup teliti untuk kebanyakan data lapangan yang selangnya rapat.

Aturan Simpson

Aturan Simpson (Simpson's rule) adalah aturan luas yang menghubungkan setiap tiga titik berurutan dengan parabola, sehingga lebih teliti untuk kurva yang halus. Jumlah selang $n$ harus genap:

Titik berindeks ganjil diberi bobot 4, titik berindeks genap di tengah bobot 2, dan kedua ujung bobot 1. Untuk data lapangan yang berderau atau berubah mendadak, seperti pemanas yang menyala dan mati, aturan Simpson tidak selalu lebih baik dari trapesium, karena parabola dapat melengkung melewati perubahan mendadak itu.

Selang tidak sama dan data hilang

Data lapangan sering tercatat pada waktu yang tidak teratur. Aturan trapesium tetap dapat dipakai dengan menghitung setiap trapesium sendiri:

dengan $x_i$ waktu pembacaan ke-$i$ dan $y_i$ nilainya. Bila ada bagian data yang hilang, misalnya pencatat mati setengah jam, pilihannya adalah menginterpolasi di antara titik sebelum dan sesudah celah dengan anggapan yang ditulis, atau melaporkan jumlah untuk bagian yang tercatat saja beserta lama celahnya. Mengisi celah diam-diam dengan nol atau dengan nilai rata-rata membuat jumlah tampak pasti padahal tidak.

Hubungan laju dan jumlah

Laju dan jumlah adalah dua sisi dari satu hal. Meteran listrik dan meteran air mencatat jumlah kumulatif; laju rata-rata diperoleh dari selisih dua pembacaan dibagi waktu. Pencatat daya dan alat ukur debit mencatat laju; jumlah diperoleh dari luas di bawah kurvanya. Kedua cara dapat saling memeriksa: energi dari luas kurva daya sebaiknya mendekati selisih pembacaan meteran pada selang yang sama.

Hubungan sebaliknya juga berguna. Bila pembacaan meteran kumulatif dicatat berkala lalu digambar terhadap waktu, kemiringan kurva itu adalah laju. Bagian yang landai menunjukkan pemakaian kecil, bagian yang curam menunjukkan pemakaian besar, dan bagian yang tetap naik pada malam hari ketika semua mesin mati menunjukkan kebocoran air atau beban yang lupa dimatikan.

Berbeda dengan hasil lembar kerja, hasil kalkulus integral adalah tepat. Untuk fungsi yang rumusnya diketahui, integral tepat dipakai; untuk data lapangan, tidak ada rumus, dan hasil numerik adalah satu-satunya pilihan, dengan galat yang perlu diperkirakan.

Memeriksa hasil numerik

Pemeriksaan sangat penting, baik dalam pekerjaan numerik maupun analitis. Pemeriksaan yang umum:

1. Satuan: satuan laju dan satuan luas sesuai dengan yang diharapkan.
2. Batas kasar: luas harus berada di antara nilai terkecil dan terbesar dikali lama waktu.
3. Dua cara: bandingkan trapesium dan Simpson, atau selang penuh dan setengah selang; perbedaan besar menunjukkan data terlalu jarang.
4. Pembanding fisis: bandingkan dengan meteran, pelat nama, atau neraca energi.
5. Tanda: laju negatif atau luas negatif harus mempunyai arti, seperti pendinginan atau aliran balik.

Contoh kerja

Angka dalam contoh di bawah adalah angka latihan, kecuali disebut asalnya.

Contoh 1: laju pemanasan dan elemen putus. Air 60 L dipanaskan dengan pemanas 9 kW yang terdiri dari tiga elemen sama. Tanpa rugi panas, laju yang diharapkan $9/(60 \times 4{,}186) = 0{,}0358$ °C per detik, atau 2,15 °C per menit. Catatan menunjukkan suhu naik dari 20 °C ke 50 °C dalam 20 menit, laju rata-rata 1,5 °C per menit, atau 70% dari yang diharapkan. Angka itu dekat dengan dua pertiga, sesuai dugaan satu elemen putus; arus setiap fasa elemen lalu diukur untuk memastikan.

Contoh 2: derau dan selang. Termometer pencatat mempunyai galat acak sekitar 0,2 °C. Dengan selang 10 detik, galat beda maju kira-kira $\sqrt{2} \times 0{,}2/10 = 0{,}028$ °C per detik, atau 1,7 °C per menit, lebih besar dari laju yang dicari. Dengan selang 2 menit, galatnya $\sqrt{2} \times 0{,}2/120 \times 60 = 0{,}14$ °C per menit, cukup kecil. Pada kasus pembuka, selisih harus dihitung dengan selang beberapa menit atau dengan garis terbaik.

Contoh 3: energi pengering dengan trapesium dan Simpson. Daya setiap 15 menit selama 2 jam: 2; 18; 18; 17; 12; 18; 17; 6; 2 kW. Trapesium: $0{,}25 \times (2/2 + 18 + 18 + 17 + 12 + 18 + 17 + 6 + 2/2) = 27{,}0$ kWh. Simpson dengan delapan selang: $(0{,}25/3) \times [2 + 4(18 + 17 + 18 + 6) + 2(18 + 12 + 17) + 2] = 27{,}8$ kWh. Perkalian daya tertinggi dengan waktu memberi 36 kWh, sekitar sepertiga terlalu besar, seperti pada kasus pembuka.

Contoh 4: selang tidak sama. Debit pengisian tangki pada menit ke-0, 10, 25, 45, dan 60: 0; 20; 26; 24; 0 L/menit. Luas: $10 \times (0 + 20)/2 + 15 \times (20 + 26)/2 + 20 \times (26 + 24)/2 + 15 \times (24 + 0)/2 = 100 + 345 + 500 + 180 = 1.125$ L.

Contoh 5: laju dari meteran kumulatif. Meteran energi menunjukkan 12.345,6 kWh pada pukul 08.00 dan 12.401,2 kWh pada pukul 12.00. Energi $55{,}6$ kWh dalam 4 jam, daya rata-rata $13{,}9$ kW. Bila luas kurva pencatat daya pada selang yang sama 54 kWh, selisihnya sekitar 3%, wajar untuk ketelitian kedua alat. Bila selisihnya puluhan persen, yang diperiksa lebih dulu adalah cara pencatat menyimpan data dan rasio trafo arus yang disetel padanya.

Contoh 6: data hilang. Pada Contoh 3, misalkan pembacaan pukul ke-1,00 jam hilang. Trapesium dengan selang 0,5 jam di bagian itu memakai titik 17 dan 18 kW di kedua sisi; hasilnya berubah sedikit, tetapi laporan menyebut satu titik diinterpolasi. Bila yang hilang setengah jam di tengah pemanasan, jumlah dilaporkan sebagai perkiraan, dengan batas bawah dan atas dari anggapan pemanas mati atau menyala penuh selama celah itu.

Kondisi berhenti

Hentikan pemakaian hasil, periksa data atau cara hitung, dan laporkan kepada pengawas pekerjaan bila:

1. Laju dihitung dari selang yang sangat pendek pada data berderau, dan hasilnya berubah tanda atau melompat jauh.
2. Jumlah dari luas kurva berbeda jauh dari meteran kumulatif pada selang yang sama.
3. Data memuat celah atau perubahan selang yang tidak dicatat.
4. Hasil trapesium dan Simpson, atau selang penuh dan setengah selang, berbeda jauh.
5. Hasil dipakai untuk tagihan, klaim energi, atau kapasitas pengaman tanpa pembanding fisis.

Salah tafsir yang sering terjadi

Hubungan dengan bab lain

• Bab 2 tentang besaran, fungsi, dan cara membaca hubungan memberi fungsi dan grafik.
• Bab 10 tentang grafik, interpolasi, dan membaca kurva memberi cara membaca grafik dan interpolasi.
• Bab 7 · Data & Pengukuran tentang korelasi dan regresi memberi kemiringan garis terbaik.
• Bab 12 · Sistem, Diagram & Diagnosis tentang diagnosis gangguan berselang membahas laju cuplik pencatat data.
• Bab 6 tentang aljabar teknik dan rumus terbalik memberi rumus kalor dan daya.
• Bab 9 tentang eksponen, logaritma, dan desibel memberi peluruhan eksponensial dengan laju relatif tetap.
• Bab 6 · Data & Pengukuran tentang sampling dan ukuran sampel memakai volume dari debit untuk sampel gabungan.
• Bab 12 tentang metode numerik lapangan, bab berikutnya di rak ini, membahas metode numerik untuk persamaan yang tidak dapat diselesaikan langsung.

Latihan dan pembahasan