Gerak rotasi: kecepatan sudut, momen inersia, energi rotasi, dan momentum sudut

Sebuah washer-extractor di laundry rumah sakit berganti motor setelah motor lamanya terbakar. Motor baru punya daya dan putaran yang sama. Ketika diuji dengan drum kosong, drum mencapai putaran peras dalam belasan detik. Ketika diuji dengan muatan penuh linen basah, drum memerlukan waktu jauh lebih lama, dan pengaman beban lebih sempat trip sekali. Setelah tombol berhenti ditekan, drum berputar hampir satu menit sebelum diam, dan kunci pintu baru terbuka setelah itu.

Teknisi yang menangani mesin itu bertanya-tanya apakah motor barunya kurang kuat. Jawabannya ada pada fisika rotasi. Benda yang berputar menolak perubahan putaran sebanding dengan momen inersianya, sama seperti benda yang bergerak lurus menolak perubahan kecepatan sebanding dengan massanya. Drum penuh linen basah punya momen inersia jauh lebih besar daripada drum kosong, dan ketika berputar cepat ia menyimpan energi yang besar. Bab ini menjelaskan besaran-besaran gerak rotasi dan cara memakainya.

Batas pembahasan

Bab ini membahas besaran sudut, persamaan gerak rotasi dengan percepatan sudut tetap, torsi dan hukum Newton untuk rotasi, momen inersia, teorema sumbu sejajar, energi kinetik rotasi, benda menggelinding, kerja dan daya rotasi, momentum sudut, waktu percepatan dan pengereman, serta inersia beban yang dirujuk ke poros motor.

Torsi sebagai gaya kali lengan dan transmisi daya dibahas di Bab 1 · Mekanikal & Mekatronika tentang gaya, torsi, putaran, dan transmisi daya, dan bab ini memakainya tanpa mengulang. Gerak melingkar dan percepatan sentripetal dibahas di Bab 2 tentang gerak dua dimensi dan gerak melingkar, dan faktor G drum di Bab 10 · Laundry tentang washer-extractor. Pemilihan motor menurut inersia beban dan waktu asut dibahas di Bab 43 · Kelistrikan & Kendali tentang memilih motor untuk beban, yang menulis momen inersia dengan lambang $J$; bab ini memakai $I$ seperti buku teks fisika, dengan arti yang sama. Ketidakseimbangan rotor dibahas di Bab 23 tentang dinamika rotor.

Besaran sudut

Posisi benda yang berputar dinyatakan dengan sudut $\theta$. Dalam fisika, sudut diukur dalam radian. Radian (radian) adalah sudut yang busurnya sama panjang dengan jari-jarinya. Satu putaran penuh sama dengan $2\pi$ radian, sekitar 6,283 rad. Radian adalah satuan yang membuat rumus rotasi sederhana, karena panjang busur $s = r\theta$ tanpa faktor tambahan.

Kecepatan sudut (angular velocity) $\omega$ adalah laju perubahan sudut, dalam rad/s. Di lapangan, putaran dinyatakan dalam putaran per menit (rpm), sehingga perlu dikonversi:

$\omega = \frac{2\pi n}{60}$

dengan $n$ dalam rpm dan $\omega$ dalam rad/s. Faktor $2\pi$ mengubah putaran menjadi radian, dan angka 60 mengubah menit menjadi sekon. Motor 1.470 rpm berputar dengan $\omega = 2\pi \times 1.470/60 = 153{,}9$ rad/s, angka yang juga dipakai Bab 43 · Kelistrikan & Kendali tentang memilih motor untuk beban.

Setiap titik pada benda yang berputar bergerak melingkar dengan kecepatan tangensial yang sebanding dengan jaraknya dari sumbu. Kecepatan sudut benda berhubungan dengan kecepatan tangensial titik pada benda itu melalui $v = \omega r$, dengan $v$ dalam m/s dan $r$ jarak titik dari sumbu dalam meter. Titik di tepi drum bergerak paling cepat, dan titik di poros hampir diam.

Percepatan sudut (angular acceleration) $\alpha$ adalah laju perubahan kecepatan sudut terhadap waktu, dalam rad/s². Titik di tepi benda yang percepatan sudutnya $\alpha$ punya percepatan tangensial $a_t = \alpha r$.

Persamaan gerak rotasi dengan percepatan sudut tetap

Bila percepatan sudut tetap, persamaan rotasi punya bentuk yang sama dengan persamaan gerak lurus di Bab 1 tentang gerak lurus, dengan $\theta$ menggantikan $x$, $\omega$ menggantikan $v$, dan $\alpha$ menggantikan $a$:

$\omega = \omega_0 + \alpha t \qquad \theta = \omega_0 t + \tfrac{1}{2}\alpha t^2 \qquad \omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\theta$

dengan $\omega_0$ kecepatan sudut awal, $t$ waktu dalam sekon, dan $\theta$ sudut yang ditempuh dalam radian. Jumlah putaran adalah $\theta/(2\pi)$. Persamaan ini berlaku untuk motor yang dipercepat dengan torsi tetap atau drum yang direm dengan torsi rem tetap. Dalam praktik torsi motor berubah dengan putaran, seperti kurva torsi di Bab 40 · Kelistrikan & Kendali tentang motor induksi tiga fasa, sehingga hasilnya adalah perkiraan rata-rata.

Torsi dan hukum Newton untuk rotasi

Torsi (torque) adalah penyebab perubahan putaran, seperti gaya adalah penyebab perubahan gerak lurus. Bab 1 · Mekanikal & Mekatronika tentang gaya, torsi, putaran, dan transmisi daya mendefinisikan torsi sebagai gaya kali lengan tegak lurus, $\tau = F d_\perp$. Hubungan torsi dengan percepatan sudut adalah hukum Newton kedua untuk rotasi:

$\sum \tau = I\,\alpha$

dengan $\sum \tau$ torsi bersih dalam N·m, $I$ momen inersia dalam kg·m², dan $\alpha$ percepatan sudut dalam rad/s². Torsi yang bekerja pada partikel sebanding dengan percepatan sudutnya, dan konstanta perbandingannya adalah momen inersia. Torsi bersih adalah torsi penggerak dikurangi semua torsi penghambat: gesekan bantalan, gesekan sabuk, hambatan udara dan air, serta torsi rem. Bila torsi bersih nol, kecepatan sudut tetap.

Momen inersia

Momen inersia (moment of inertia) $I$ adalah ukuran kelembaman benda terhadap perubahan putaran. Untuk benda yang tersusun dari banyak titik bermassa:

$I = \sum m_i r_i^2$

dengan $m_i$ massa setiap titik dan $r_i$ jaraknya dari sumbu putar. Satuannya kg·m². Karena jarak dikuadratkan, massa yang jauh dari sumbu menyumbang jauh lebih besar daripada massa yang dekat. Linen basah yang terlempar ke dinding drum saat peras menyumbang momen inersia besar karena berada di jari-jari terbesar.

Nilai baku untuk bentuk sederhana, dengan $M$ massa dan $R$ jari-jari:

Cincin dan piringan dengan massa dan jari-jari sama berbeda dua kali, karena seluruh massa cincin berada di tepi. Itulah sebabnya roda gila dibuat dengan pelek yang tebal dan jari-jari yang ringan.

Teorema sumbu sejajar dan jari-jari girasi

Bila sumbu putar tidak melalui pusat massa, momen inersia bertambah. Teorema sumbu sejajar (parallel axis theorem) menyatakan:

$I = I_\text{pm} + M d^2$

dengan $I_\text{pm}$ momen inersia terhadap sumbu yang melalui pusat massa dan $d$ jarak antara kedua sumbu yang sejajar. Batang yang diputar di ujungnya, misalnya, punya $\tfrac{1}{12}ML^2 + M(L/2)^2 = \tfrac{1}{3}ML^2$, sesuai tabel.

Data pabrik sering menyatakan momen inersia dengan jari-jari girasi. Jari-jari girasi (radius of gyration) $k$ adalah jarak dari sumbu tempat seluruh massa dapat dianggap terkumpul, sehingga $I = Mk^2$. Untuk piringan pejal, $k = R/\sqrt{2} \approx 0{,}71R$. Beberapa katalog memakai besaran $GD^2$ atau $WR^2$; satuannya harus diperiksa sebelum dipakai, karena faktor konversinya berbeda menurut definisi.

Energi kinetik rotasi dan benda menggelinding

Benda yang berputar menyimpan energi kinetik rotasi (rotational kinetic energy):

$E_\text{rot} = \tfrac{1}{2}I\omega^2$

dengan $E_\text{rot}$ dalam joule bila $I$ dalam kg·m² dan $\omega$ dalam rad/s. Bentuknya sama dengan $\tfrac{1}{2}mv^2$ di Bab 5 tentang gaya, usaha, dan energi, dengan $I$ menggantikan $m$ dan $\omega$ menggantikan $v$. Karena energi sebanding dengan kuadrat kecepatan sudut, menggandakan putaran menjadikan energi empat kali. Drum yang berputar pada putaran peras penuh menyimpan energi jauh lebih besar daripada drum yang berputar pada putaran cuci, seperti di Contoh 3.

Benda yang menggelinding tanpa selip punya dua bentuk energi kinetik sekaligus: energi gerak lurus pusat massanya dan energi rotasi terhadap pusat massanya. Silinder yang menggelinding sampai ke kaki bidang miring setinggi $h$ telah kehilangan energi potensial $Mgh$. Energi potensial itu dibagi menjadi kedua bentuk, sehingga silinder yang menggelinding tiba di bawah lebih lambat daripada benda yang meluncur tanpa gesekan dari ketinggian yang sama. Untuk silinder pejal, $\tfrac{3}{4}Mv^2 = Mgh$, sehingga $v = \sqrt{4gh/3}$, lebih kecil daripada $\sqrt{2gh}$ untuk benda yang meluncur. Roda troli dan rol konveyor yang berat menyimpan sebagian energi geraknya sebagai rotasi.

Kerja dan daya rotasi

Torsi yang memutar benda sejauh sudut $\theta$ melakukan kerja $W = \tau\theta$, dan daya yang disalurkan adalah:

$P = \tau\,\omega$

dengan $P$ dalam watt, $\tau$ dalam N·m, dan $\omega$ dalam rad/s. Rumus ini sama dengan $P = Fv$ untuk gerak lurus dan sudah dipakai di Bab 1 · Mekanikal & Mekatronika tentang gaya, torsi, putaran, dan transmisi daya. Motor yang menyalurkan torsi 40 N·m pada 94,2 rad/s memberikan daya $40 \times 94{,}2 = 3{,}77$ kW. Pada putaran rendah, torsi yang sama memberikan daya yang lebih kecil, karena itu daya motor selalu dinyatakan bersama putarannya.

Kerja torsi bersih sama dengan perubahan energi kinetik rotasi, sama seperti teorema kerja-energi untuk gerak lurus. Energi yang diberikan motor selama percepatan tersimpan di drum, dan energi itu harus dibuang lagi ketika drum direm.

Momentum sudut dan kekekalannya

Momentum sudut (angular momentum) benda yang berputar terhadap sumbu tetap adalah:

$L = I\omega$

dengan $L$ dalam kg·m²/s. Momentum sudut katrol yang tepinya bergerak dengan kelajuan $v$, misalnya, adalah $I\omega = Iv/R$, dan konsep momentum sudut sangat berguna untuk menggambarkan gerak sistem makroskopik. Hukum Newton untuk rotasi dapat ditulis sebagai torsi bersih sama dengan laju perubahan momentum sudut, sejajar dengan bentuk momentum di Bab 6 tentang momentum, impuls, dan tumbukan.

Bila torsi luar bersih nol, momentum sudut tetap. Banyak contoh kekekalan momentum sudut sudah dikenal sehari-hari. Penari yang menarik lengannya berputar lebih cepat, karena momen inersianya turun sedangkan $I\omega$ tetap. Energi kinetik rotasinya naik, dan tambahan energi itu berasal dari kerja otot yang menarik lengan ke dalam.

Kekekalan momentum sudut juga berlaku ketika dua benda berputar disatukan, misalnya kopling yang menyatukan dua poros. Momentum sudut total tetap, tetapi sebagian energi kinetik hilang menjadi panas di permukaan kopling, sama seperti tumbukan tak lenting di Bab 6. Sabuk yang selip saat start juga mengubah energi menjadi panas dengan cara yang sama.

Waktu percepatan dan pengereman

Dari $\tau = I\alpha$ dan $\omega = \omega_0 + \alpha t$, waktu untuk mengubah kecepatan sudut dengan torsi bersih tetap adalah:

$t = \frac{I\,\Delta\omega}{\tau}$

dengan $t$ dalam sekon, $\Delta\omega$ perubahan kecepatan sudut dalam rad/s, dan $\tau$ torsi bersih dalam N·m. Waktu itu sebanding dengan momen inersia. Bila momen inersia beban dua kali, waktu percepatan dengan torsi yang sama juga dua kali. Selama waktu percepatan itu motor menarik arus yang tinggi, sehingga beban berinersia besar dapat membuat pengaman beban lebih trip, seperti di kasus pembuka. Bab 43 · Kelistrikan & Kendali tentang memilih motor untuk beban membahas cara memilih motor dan metode asut untuk beban seperti itu.

Untuk pengereman, rumus yang sama memberi waktu berhenti. Drum yang hanya direm oleh gesekan bantalan dan hambatan udara berputar lama, karena torsi penghambatnya kecil. Rem atau pengereman motor mempersingkat waktu itu, tetapi seluruh energi kinetik rotasi harus dibuang sebagai panas di rem atau dikembalikan ke suplai. Kunci pintu mesin berputar menunggu putaran nol karena alasan ini.

Inersia beban dilihat dari poros motor

Motor jarang memutar beban secara langsung. Di antara keduanya ada sabuk, puli, atau roda gigi dengan rasio $i = n_\text{motor}/n_\text{beban}$, seperti dibahas di Bab 1 · Mekanikal & Mekatronika tentang gaya, torsi, putaran, dan transmisi daya. Untuk menghitung percepatan motor, momen inersia beban perlu dirujuk ke poros motor. Momen inersia rujukan (reflected inertia) adalah momen inersia beban sebagaimana dirasakan di poros motor. Energi kinetik yang tersimpan harus sama dilihat dari kedua poros, sehingga:

$I_\text{rujuk} = \frac{I_\text{beban}}{i^2}$

Rasio dikuadratkan karena energi sebanding dengan kuadrat kecepatan sudut. Drum dengan $I = 16{,}8$ kg·m² yang diputar melalui sabuk dengan rasio 1.470/900, sekitar 1,63, terasa di poros motor sebagai $16{,}8/1{,}63^2 = 6{,}3$ kg·m². Torsi motor dirujuk ke arah sebaliknya: torsi di poros drum $i$ kali torsi motor, dikurangi rugi transmisi.

Akibatnya, reduksi yang besar membuat beban berinersia besar mudah dipercepat oleh motor kecil, dengan harga putaran beban yang lebih rendah. Sebaliknya, beban kecil yang diputar sangat cepat melalui transmisi naik putaran terasa jauh lebih berat di poros motor. Momen inersia rotor motor sendiri juga harus ditambahkan ke inersia beban yang sudah dirujuk, dan Bab 43 · Kelistrikan & Kendali tentang memilih motor untuk beban memakai jumlah itu, ditulis $J_\text{total}$, untuk menghitung waktu asut. Bila data rotor tidak tersedia, perkiraan dari bentuk benda seperti di tabel momen inersia lebih baik daripada mengabaikannya, asalkan perkiraan itu ditandai.

Contoh kerja

Angka dalam contoh di bawah adalah angka latihan, kecuali disebut asalnya.

Contoh 1: konversi putaran. Drum berputar 900 rpm. $\omega = 2\pi \times 900/60 = 94{,}2$ rad/s. Dengan jari-jari drum 0,40 m, kecepatan tepi drum $94{,}2 \times 0{,}40 = 37{,}7$ m/s, sekitar 136 km/jam. Faktor G-nya $\omega^2 r/g = 94{,}2^2 \times 0{,}40/9{,}81 = 362$, dengan rumus yang sama seperti Bab 10 · Laundry tentang washer-extractor.

Contoh 2: momen inersia drum dan muatan. Anggap kulit drum 60 kg sebagai silinder berdinding tipis berjari-jari 0,40 m: $I = 60 \times 0{,}40^2 = 9{,}6$ kg·m². Linen basah 50 kg (25 kg linen kering dan 25 kg air) yang menempel di dinding pada jari-jari rata-rata 0,38 m: $I = 50 \times 0{,}38^2 = 7{,}2$ kg·m². Total sekitar 16,8 kg·m². Angka-angka ini bukan data mesin tertentu.

Contoh 3: energi yang tersimpan. Pada 900 rpm, $E = \tfrac{1}{2} \times 16{,}8 \times 94{,}2^2 = 74.500$ J, sekitar 75 kJ. Mobil 1.500 kg yang melaju 10 m/s (36 km/jam) punya energi $\tfrac{1}{2} \times 1.500 \times 10^2 = 75$ kJ. Pada putaran cuci 45 rpm (4,71 rad/s), energinya hanya $\tfrac{1}{2} \times 16{,}8 \times 4{,}71^2 = 186$ J, sekitar 400 kali lebih kecil.

Contoh 4: waktu percepatan. Torsi bersih di poros drum 40 N·m, setelah reduksi sabuk dan dikurangi gesekan. $\alpha = 40/16{,}8 = 2{,}38$ rad/s², dan waktu dari diam ke 94,2 rad/s adalah $16{,}8 \times 94{,}2/40 = 39{,}6$ s. Dengan drum kosong ($I = 9{,}6$ kg·m²), waktunya $9{,}6 \times 94{,}2/40 = 22{,}6$ s. Dalam praktik, air yang keluar selama peras membuat momen inersia turun bertahap.

Contoh 5: jumlah putaran selama percepatan. Dari diam ke 94,2 rad/s dalam 39,6 s dengan percepatan tetap, sudut yang ditempuh $\theta = \tfrac{1}{2}\omega t = \tfrac{1}{2} \times 94{,}2 \times 39{,}6 = 1.865$ rad, yaitu $1.865/(2\pi) = 297$ putaran.

Contoh 6: pengereman. Drum di Contoh 3 harus berhenti dalam 30 s. Perlambatan sudut $94{,}2/30 = 3{,}14$ rad/s², sehingga torsi rem bersih $16{,}8 \times 3{,}14 = 52{,}8$ N·m. Energi 74,5 kJ dibuang dalam 30 s, daya panas rata-rata $74.500/30 = 2{,}48$ kW. Rem yang dipakai berulang tanpa sempat dingin dapat menjadi sangat panas.

Kondisi berhenti

Hentikan pekerjaan dan laporkan kepada pengawas pekerjaan bila:

1. Pintu, tutup, atau pelindung mesin berputar akan dibuka sebelum putaran benar-benar nol, atau kunci pintu dan interlock akan dilewati. Energi yang tersimpan di drum yang masih berputar setara mobil yang melaju; ikuti Bab 70 · Kelistrikan & Kendali tentang keselamatan fungsional mesin dan interlock pintu.
2. Pekerjaan pada transmisi, sabuk, atau rem dimulai setelah suplai diisolasi tetapi poros masih berputar karena kelembaman. Tunggu sampai berhenti dan pastikan tidak dapat berputar, sesuai Bab 1 · Keselamatan tentang bahaya, risiko, energi tersimpan, dan kondisi berhenti.
3. Rem atau kopling berbau hangus atau berubah warna setelah pengereman berulang.
4. Benda berputar yang retak, penyok, atau tidak seimbang akan dijalankan pada putaran tinggi.

Salah tafsir yang sering terjadi

Hubungan dengan bab lain

Bab 1 tentang gerak lurus dan Bab 3 tentang hukum Newton memberi bentuk persamaan yang ditiru di sini, Bab 2 tentang gerak dua dimensi dan gerak melingkar membahas percepatan sentripetal, dan Bab 6 tentang momentum, impuls, dan tumbukan membahas tumbukan tak lenting yang sejajar dengan kopling. Bab 5 tentang gaya, usaha, dan energi membahas energi kinetik, Bab 1 · Mekanikal & Mekatronika tentang gaya, torsi, putaran, dan transmisi daya membahas torsi dan daya, dan Bab 40 · Kelistrikan & Kendali tentang motor induksi tiga fasa memberi kurva torsi motor. Bab 10 · Laundry tentang washer-extractor membahas faktor G drum, dan Bab 43 · Kelistrikan & Kendali tentang memilih motor untuk beban membahas pemilihan motor menurut inersia beban. Bab 70 · Kelistrikan & Kendali tentang keselamatan fungsional mesin dan Bab 1 · Keselamatan tentang bahaya, risiko, energi tersimpan, dan kondisi berhenti membahas interlock dan isolasi energi. Bab 23 tentang dinamika rotor membahas ketidakseimbangan rotor, dan Bab 13 tentang getaran harmonik melanjutkan ke gerak bolak-balik.

Latihan dan pembahasan

Untuk setiap soal, tuliskan rumus, satuan, dan konversi rpm ke rad/s bila perlu.