Getaran harmonik: pegas-massa, frekuensi alami, redaman, dan resonansi

Sebuah washer-extractor bersuspensi baru dipasang di lantai atas sebuah hotel. Pada setiap siklus peras, mesin berguncang keras selama beberapa detik ketika drum mulai berputar cepat, sampai lantai terasa bergetar di ruang sebelah. Setelah itu mesin tenang, bahkan pada putaran peras penuh yang jauh lebih cepat. Petugas khawatir bantalan drum rusak. Di ruang yang sama, sebuah tutup panel pengering berbunyi berisik hanya ketika kipasnya berputar pada satu kecepatan tertentu.

Kedua gejala itu adalah resonansi. Setiap struktur yang lentur punya frekuensi alami, yaitu frekuensi tempat ia suka bergetar. Ketika gaya pengganggu, misalnya ketidakseimbangan drum atau kipas, bergetar pada frekuensi yang mendekati frekuensi alami itu, getaran membesar jauh melampaui yang diperkirakan dari besar gayanya. Mesin bersuspensi melewati resonansi itu sesaat ketika dipercepat, lalu bekerja tenang di atasnya. Bab ini menjelaskan getaran harmonik, frekuensi alami, redaman, dan resonansi.

Batas pembahasan

Bab ini membahas besaran getaran, hukum Hooke, sistem pegas-massa dan bandul, hubungan simpangan, kecepatan, dan percepatan, energi getaran, redaman, getaran paksa, resonansi, melewati resonansi, dan analogi dengan rangkaian resonan.

Gerak melingkar, yang proyeksinya adalah getaran harmonik, dibahas di Bab 2 tentang gerak dua dimensi dan gerak melingkar. Ketidakseimbangan drum dan pilihan dudukan kaku atau bersuspensi dibahas di Bab 10 · Laundry tentang washer-extractor, dan getaran motor sebagai gejala kerusakan di Bab 44 · Kelistrikan & Kendali tentang kerusakan dan uji motor. Isolasi getaran dan analisis spektrum untuk diagnosis dibahas di Bab 22 tentang getaran paksa, isolasi getaran, dan analisis spektrum. Bab ini tidak memuat batas getaran yang diizinkan dari standar mana pun; batas itu diambil dari data pabrik atau standar yang berlaku.

Getaran dan besarannya

Getaran (vibration) adalah gerak bolak-balik di sekitar posisi setimbang. Besaran pokoknya:

• Amplitudo $A$: simpangan terbesar dari posisi setimbang.
• Periode $T$: waktu untuk satu getaran penuh, dalam sekon.
• Frekuensi $f$: jumlah getaran per sekon, dalam hertz (Hz), yaitu kebalikan periode, $f = 1/T$.
• Frekuensi sudut $\omega = 2\pi f$, dalam rad/s.

Untuk mesin berputar, frekuensi gaya dari ketidakseimbangan sama dengan frekuensi putaran, $f = n/60$ dengan $n$ dalam rpm. Motor 1.500 rpm memberi getaran 25 Hz, dan drum 900 rpm memberi 15 Hz. Konversi sederhana ini adalah langkah pertama setiap diagnosis getaran: frekuensi getaran yang terukur dibandingkan dengan frekuensi putaran setiap poros di mesin.

Getaran harmonik sederhana (simple harmonic motion) adalah getaran yang simpangannya berubah menurut fungsi sinus terhadap waktu:

$x(t) = A\sin(\omega t + \phi)$

dengan $x$ simpangan pada waktu $t$, dan $\phi$ sudut fase yang ditentukan keadaan awal. Frekuensi dan periode getaran ini tidak bergantung pada amplitudo. Struktur yang bergetar kecil maupun besar bergetar pada frekuensi yang sama, selama perilakunya tetap linear. Getaran harmonik adalah bayangan gerak melingkar beraturan pada satu sumbu, sehingga $\omega$ di sini sama dengan kecepatan sudut di Bab 2 tentang gerak dua dimensi dan Bab 12 tentang gerak rotasi.

Gaya pemulih dan hukum Hooke

Getaran harmonik terjadi bila ada gaya yang selalu menarik benda kembali ke posisi setimbang dan besarnya sebanding dengan simpangan:

$F = -kx$

Hubungan ini adalah hukum Hooke. Kekakuan (stiffness) $k$, disebut juga konstanta pegas, adalah gaya pemulih per satuan simpangan, dalam N/m. Tanda minus menyatakan bahwa gaya selalu berlawanan arah dengan simpangan. Pegas suspensi, karet dudukan, balok yang melentur, dan pelat tipis semuanya punya kekakuan yang dapat dinyatakan dengan $k$, walaupun bentuknya tidak seperti pegas.

Pegas yang memikul beban diam menyusut sejauh lendutan statis (static deflection) $\delta = mg/k$, dengan $m$ massa beban dalam kilogram dan $g$ percepatan gravitasi. Lendutan statis mudah diukur di lapangan dan, seperti ditunjukkan di bagian berikut, langsung memberi frekuensi alami sistem itu.

Sistem pegas-massa dan frekuensi alami

Frekuensi alami (natural frequency) adalah frekuensi tempat struktur bergetar sendiri setelah diganggu, tanpa gaya pengganggu yang terus bekerja. Massa $m$ di ujung pegas dengan kekakuan $k$ bergetar dengan frekuensi alami:

$\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} \qquad f_n = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$

dengan $\omega_n$ dalam rad/s dan $f_n$ dalam Hz. Kekakuan yang lebih besar menaikkan frekuensi alami, dan massa yang lebih besar menurunkannya. Karena $k/m = g/\delta$, frekuensi alami dapat dihitung dari lendutan statis saja:

$f_n = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{\delta}} \approx \frac{15{,}8}{\sqrt{\delta\,[\text{mm}]}}\ \text{Hz}$

Mesin yang menekan suspensinya 10 mm punya frekuensi alami vertikal sekitar 5 Hz, sekitar 300 putaran per menit. Rumus ini hanya berlaku untuk pegas yang linear dan getaran vertikal; mesin nyata juga punya frekuensi alami untuk goyang ke samping dan berayun, yang biasanya berbeda.

Bandul

Bandul sederhana dengan tali sepanjang $L$ bergetar dengan periode:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$

untuk simpangan kecil. Periode bandul tidak bergantung pada massanya, hanya pada panjang tali dan percepatan gravitasi. Beban yang tergantung pada derek atau katrol berayun dengan periode yang sama, sehingga mengangkat beban yang berayun memerlukan gerakan yang pelan, dan ayunan berhenti lebih cepat bila gerakan pengangkatan disesuaikan dengan periodenya.

Simpangan, kecepatan, dan percepatan getaran

Dari $x = A\sin\omega t$, kecepatan dan percepatan getaran juga berbentuk sinus, dengan amplitudo:

$v_\text{maks} = A\omega \qquad a_\text{maks} = A\omega^2$

dengan $v_\text{maks}$ dalam m/s dan $a_\text{maks}$ dalam m/s² bila $A$ dalam meter. Ketiga besaran itu dipakai untuk menyatakan getaran mesin. Simpangan cocok untuk getaran lambat, kecepatan getaran dalam mm/s dipakai luas untuk menilai keparahan getaran mesin berputar, dan percepatan dipakai untuk frekuensi tinggi seperti cacat bantalan. Karena kecepatan sebanding dengan $\omega$ dan percepatan dengan $\omega^2$, simpangan yang sama pada frekuensi lebih tinggi menghasilkan kecepatan dan percepatan yang jauh lebih besar.

Alat ukur getaran sering menampilkan nilai RMS, bukan puncak. Untuk getaran sinus murni, nilai RMS sama dengan puncak dibagi $\sqrt{2}$, seperti untuk arus bolak-balik. Untuk getaran yang tidak sinus, hubungan itu tidak berlaku, sehingga satuan dan jenis nilai di laporan harus selalu dibaca.

Percepatan getaran juga menentukan apakah benda di atas permukaan yang bergetar tetap diam. Benda di atas platform yang bergetar, misalnya, mulai bergeser ketika amplitudo getarannya mencapai 0,3 m. Benda bergeser bila percepatan maksimum platform melebihi yang dapat ditahan gesekan statik, yaitu $\mu_s g$, seperti dibahas di Bab 4 tentang gesekan dan hambatan gerak.

Energi dalam getaran

Sistem pegas-massa yang bergetar tanpa redaman menukar energi potensial pegas dan energi kinetik massa secara terus-menerus. Energi totalnya tetap:

$E = \tfrac{1}{2}kA^2 = \tfrac{1}{2}m\,v_\text{maks}^2$

dengan $E$ dalam joule. Di simpangan terbesar, seluruh energi berupa energi potensial pegas dan massa sesaat diam. Di posisi setimbang, seluruh energi berupa energi kinetik dan kecepatannya terbesar. Energi sebanding dengan kuadrat amplitudo, sehingga getaran dengan amplitudo dua kali membawa energi empat kali, dan gaya pada pegas serta dudukannya juga dua kali.

Redaman

Redaman (damping) adalah pelemahan getaran karena energinya diubah menjadi panas oleh gesekan, deformasi karet, aliran fluida di peredam kejut, atau arus pusar. Getaran nyata selalu mengalami redaman. Redaman oleh arus pusar sangat efektif, dan prinsip itu dipakai pada alat ukur jarum dan rem elektromagnetik.

Rasio redaman (damping ratio) $\zeta$ adalah perbandingan redaman yang ada dengan redaman kritis, dan dipakai untuk menyatakan besar redaman. Tiga keadaan dibedakan:

• Kurang teredam ($\zeta < 1$): sistem bergetar dengan amplitudo yang mengecil perlahan. Kebanyakan struktur dan mesin berada di sini, dengan $\zeta$ jauh di bawah 1.
• Teredam kritis ($\zeta = 1$): sistem kembali ke posisi setimbang paling cepat tanpa bergetar.
• Terlalu teredam ($\zeta > 1$): sistem kembali tanpa bergetar tetapi lambat; sistem yang terlalu teredam menjadi lambat dan lesu.

Getaran harmonik sederhana, getaran harmonik teredam, dan getaran harmonik teredam yang dipaksa dibedakan menurut gaya yang bekerja dan ciri getarannya. Ketiga jenis itu adalah urutan pembahasan bab ini.

Redaman sistem yang kurang teredam dapat diperkirakan dari rekaman getaran yang meluruh setelah diketuk. Perbandingan dua puncak berurutan, $x_1/x_2$, memberi penurunan logaritmik (logarithmic decrement) $\delta = \ln(x_1/x_2)$, dan untuk redaman kecil rasio redamannya $\zeta \approx \delta/(2\pi)$. Bila puncak-puncak itu sulit dibaca satu per satu, perbandingan puncak yang terpisah $N$ getaran dibagi $N$ setelah diambil logaritmanya. Contoh 5 memakai cara ini.

Getaran paksa dan resonansi

Mesin yang bekerja memberikan gaya bolak-balik pada strukturnya. Sumber yang paling umum adalah ketidakseimbangan benda berputar, yang memberi gaya sentrifugal berputar pada frekuensi putaran, seperti dibahas di Bab 8 tentang kesetimbangan statik. Struktur yang menerima gaya itu bergetar pada frekuensi gaya, bukan pada frekuensi alaminya. Getaran paksa (forced vibration) adalah getaran struktur pada frekuensi gaya pengganggu yang terus bekerja padanya.

Amplitudo getaran paksa bergantung pada perbandingan frekuensi gaya dengan frekuensi alami, $r = f/f_n$. Bila $r$ jauh di bawah 1, struktur mengikuti gaya seperti pegas yang ditekan pelan. Resonansi (resonance) adalah keadaan ketika $r$ mendekati 1 dan amplitudo getaran paksa membesar tajam. Pada resonansi, besar amplitudo hanya dibatasi oleh redaman. Bila $r$ jauh di atas 1, massa tidak sempat mengikuti gaya, dan amplitudonya mengecil.

Kurva resonansi melebar ketika redaman bertambah. Dapatkah osilasi teredam terjadi pada saat resonansi? Jawabannya ya: redaman tidak menghilangkan resonansi, tetapi menurunkan puncaknya dan melebarkan rentang frekuensi tempat getaran besar terjadi.

Melewati resonansi saat mesin dipercepat

Mesin bersuspensi sengaja dirancang dengan frekuensi alami suspensi yang jauh di bawah putaran kerja. Pada putaran kerja, $r$ besar dan gaya yang diteruskan ke lantai kecil. Transmisibilitas (transmissibility) adalah perbandingan gaya yang diteruskan ke lantai dengan gaya pengganggu. Untuk getaran tanpa redaman, transmisibilitas adalah:

$T_r = \frac{1}{\left| 1 - r^2 \right|}$

Transmisibilitas di bawah 1, artinya isolasi bekerja, hanya tercapai bila $r$ lebih besar dari $\sqrt{2}$, sekitar 1,41. Di bawah itu, suspensi justru memperbesar gaya.

Akibatnya, setiap kali mesin dipercepat dari diam ke putaran kerja, putarannya melewati frekuensi alami suspensi. Selama beberapa detik itu getaran membesar, seperti di kasus pembuka, lalu turun lagi. Mesin melewati daerah itu secepat mungkin, dan peredam di suspensi membatasi puncaknya. Distribusi linen yang buruk sebelum peras menambah gaya ketidakseimbangan dan memperbesar guncangan, seperti dibahas di Bab 10 · Laundry tentang washer-extractor. Bila peredam aus, puncak resonansi menjadi jauh lebih tinggi. Mesin berdudukan kaku bekerja dengan prinsip sebaliknya: frekuensi alaminya dibuat jauh di atas putaran kerja, dengan fondasi yang kaku dan berat.

Frekuensi alami di lapangan dapat ditemukan dengan dua cara sederhana. Cara pertama adalah uji ketuk: struktur yang diam diketuk dengan palu karet, dan getaran yang meluruh direkam dengan alat ukur getaran atau aplikasi akselerometer; frekuensi getaran yang meluruh itu adalah frekuensi alaminya. Cara kedua adalah mengamati mesin ketika diperlambat setelah suplai diputus: getaran naik ke puncak pada putaran yang sama dengan frekuensi alami, lalu turun lagi. Mencatat putaran pada puncak itu memberi frekuensi alami tanpa alat khusus. Kedua cara memberi perkiraan; analisis spektrum yang lebih teliti dibahas di Bab 22 tentang getaran paksa dan analisis spektrum.

Analogi rangkaian listrik resonan

Persamaan getaran pegas-massa-peredam punya bentuk yang sama dengan rangkaian listrik induktor, kapasitor, dan resistor. Induktansi berperan seperti massa, kebalikan kapasitansi seperti kekakuan, dan resistansi seperti redaman. Frekuensi resonansinya:

$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

dengan $L$ induktansi dalam henry, $C$ kapasitansi dalam farad, dan $f_0$ dalam Hz. Pada rangkaian itu, resonansi terpenuhi saat reaktansi induktif sama dengan reaktansi kapasitif. Makin kecil resistansi, makin tajam puncak kurva resonansinya, sejajar dengan redaman mekanik. Analogi ini berguna karena teknisi listrik yang sudah mengenal resonansi rangkaian dapat langsung memahami resonansi struktur, dan sebaliknya.

Analogi itu juga bekerja di sisi listrik. Kapasitor perbaikan faktor daya bersama induktansi trafo dapat membentuk rangkaian resonan pada salah satu frekuensi harmonisa, sehingga arus harmonisa membesar dan kapasitor menjadi panas, seperti dibahas di Bab 10 · Kelistrikan & Kendali tentang harmonisa dan Bab 7 · Kelistrikan & Kendali tentang perbaikan faktor daya. Gejalanya serupa dengan tutup panel yang beresonansi: gangguan kecil pada frekuensi yang tepat menghasilkan respons besar.

Contoh kerja

Angka dalam contoh di bawah adalah angka latihan, kecuali disebut asalnya.

Contoh 1: frekuensi alami suspensi. Mesin 400 kg berdiri di atas empat pegas yang masing-masing berkekakuan 100 kN/m, total 400 kN/m. $\omega_n = \sqrt{400.000/400} = 31{,}6$ rad/s, $f_n = 31{,}6/(2\pi) = 5{,}03$ Hz, setara $5{,}03 \times 60 = 302$ rpm. Lendutan statisnya $400 \times 9{,}81/400.000 = 9{,}81$ mm, dan rumus lendutan memberi $15{,}8/\sqrt{9{,}81} = 5{,}04$ Hz, sama.

Contoh 2: transmisibilitas pada putaran kerja. Drum di Contoh 1 diperas pada 900 rpm, yaitu 15 Hz. $r = 15/5{,}03 = 2{,}98$, sehingga $T_r = 1/(2{,}98^2 - 1) = 1/7{,}88 = 0{,}127$. Hanya sekitar 13 persen gaya ketidakseimbangan yang diteruskan ke lantai, tanpa memperhitungkan redaman. Pada 240 rpm (4 Hz), $r = 0{,}80$ dan $T_r = 1/(1 - 0{,}64) = 2{,}8$: gaya diteruskan hampir tiga kali lipat.

Contoh 3: kecepatan dan percepatan getaran motor. Motor 1.500 rpm (25 Hz, $\omega = 157$ rad/s) bergetar dengan amplitudo simpangan 0,05 mm pada frekuensi putaran. $v_\text{maks} = 0{,}05 \times 10^{-3} \times 157 = 7{,}85 \times 10^{-3}$ m/s, yaitu 7,85 mm/s puncak atau $7{,}85/\sqrt{2} = 5{,}55$ mm/s RMS. $a_\text{maks} = 0{,}05 \times 10^{-3} \times 157^2 = 1{,}23$ m/s², sekitar 0,13 g. Penilaian apakah angka itu baik atau buruk memerlukan batas dari pabrik atau standar, seperti dibahas di Bab 44 · Kelistrikan & Kendali tentang kerusakan dan uji motor.

Contoh 4: benda bergeser di atas permukaan bergetar. Sebuah botol bahan kimia berdiri di atas tutup mesin yang bergetar 2 Hz. Dengan koefisien gesek statik 0,5, botol mulai bergeser bila $A\omega^2 > \mu_s g$, yaitu $A > 0{,}5 \times 9{,}81/(2\pi \times 2)^2 = 4{,}91/158 = 0{,}031$ m. Amplitudo sekitar 3 cm sudah cukup; pada frekuensi lebih tinggi, amplitudo yang diperlukan jauh lebih kecil.

Contoh 5: getaran yang meluruh. Amplitudo getaran tutup panel setelah diketuk turun menjadi separuh setiap tiga getaran. Setelah sembilan getaran, amplitudonya $(1/2)^3 = 1/8$ dari semula. Penurunan logaritmik per getaran $\delta = \ln 2/3 = 0{,}231$, sehingga $\zeta \approx 0{,}231/(2\pi) = 0{,}037$. Redaman sekecil itu membuat puncak resonansi tinggi: untuk redaman kecil, amplitudo pada resonansi sekitar $1/(2\zeta)$, yaitu sekitar 14 kali simpangan statis yang ditimbulkan gaya yang sama.

Contoh 6: tutup panel yang berisik. Tutup panel punya frekuensi alami 25 Hz, sama dengan kipas yang berputar 1.500 rpm. Menggandakan frekuensi alaminya memerlukan kekakuan empat kali, karena $f_n$ sebanding dengan $\sqrt{k}$; cara praktisnya adalah menambah lipatan, penguat, atau titik baut. Pilihan lain adalah menambah redaman dengan bantalan karet, atau mengubah kecepatan kipas menjauhi 25 Hz.

Kondisi berhenti

Hentikan pekerjaan dan laporkan kepada pengawas pekerjaan bila:

1. Getaran mesin pada putaran kerja terus membesar, tidak turun setelah melewati putaran awal, atau disertai bunyi ketukan logam. Kemungkinan suspensi, peredam, atau dudukan rusak, atau ada ketidakseimbangan besar; ikuti Bab 10 · Laundry tentang washer-extractor dan Bab 44 · Kelistrikan & Kendali tentang kerusakan dan uji motor.
2. Baut dudukan mesin longgar, pegas patah, atau peredam bocor. Mesin bersuspensi yang kehilangan peredam dapat bergetar sangat besar saat melewati resonansi.
3. Getaran akan diperiksa dengan tangan di dekat bagian yang berputar atau dengan membuka pelindung. Pakai alat ukur getaran dari luar pelindung, dan ikuti Bab 1 · Keselamatan tentang bahaya, risiko, energi tersimpan, dan kondisi berhenti.
4. Sensor ketidakseimbangan atau pengaman getaran akan dinonaktifkan agar siklus selesai.

Salah tafsir yang sering terjadi

Hubungan dengan bab lain

Bab 2 tentang gerak dua dimensi dan Bab 12 tentang gerak rotasi memberi hubungan gerak melingkar dan frekuensi sudut. Bab 4 tentang gesekan dan hambatan gerak memberi batas gesekan statik, dan Bab 8 tentang kesetimbangan statik membahas gaya dari ketidakseimbangan drum. Bab 10 · Laundry tentang washer-extractor membahas dudukan, distribusi, dan ketidakseimbangan washer-extractor, Bab 44 · Kelistrikan & Kendali tentang kerusakan dan uji motor membahas getaran motor, dan Bab 1 · Keselamatan tentang bahaya, risiko, energi tersimpan, dan kondisi berhenti membahas keselamatan kerja di dekat mesin berputar. Bab 10 · Kelistrikan & Kendali tentang harmonisa dan Bab 7 · Kelistrikan & Kendali tentang perbaikan faktor daya membahas resonansi kapasitor dengan induktansi trafo. Bab 14 tentang gelombang mekanik dan bunyi melanjutkan getaran yang merambat, dan Bab 22 tentang getaran paksa, isolasi getaran, dan analisis spektrum membahas getaran paksa, isolasi, dan analisis spektrum secara lebih lanjut.

Latihan dan pembahasan

Untuk setiap soal, tuliskan rumus dan satuan.