Relativitas umum dan gravitasi: prinsip ekuivalensi, ruang-waktu melengkung, jam di ketinggian, lubang hitam dan radius Schwarzschild, gelombang gravitasi, dan koreksi waktu GPS

Sebuah rumah sakit memakai server waktu berpenerima GPS untuk menyamakan jam kunci pintu, kamera CCTV, dan catatan medis, dan laundry rumah sakit itu memasang pelacak GPS pada empat mobil pengantar linen. Seorang teknisi baru membaca bahwa jam satelit GPS berjalan sekitar 38 mikrodetik per hari lebih cepat daripada jam di Bumi. Ia mengusulkan agar server waktu dikurangi 38 µs setiap hari, dan bertanya apakah titik pelacak yang kadang meloncat 200 m di dekat gedung parkir bertingkat adalah akibat relativitas. Kepala teknik justru heran: bukankah relativitas hanya berarti di dekat kecepatan cahaya, sedangkan satelit hanya melaju sekitar 3,9 km/s?

Jawabannya ada pada teori gravitasi Einstein. Jam satelit memang harus dikoreksi, dan bagian terbesarnya berasal dari gravitasi yang lebih lemah di orbit, bukan dari kecepatan (Contoh 4 sampai 6). Koreksi itu sudah dirancang di dalam sistem satelit, sehingga server dan pelacak tidak disetel tangan. Loncatan 200 m mempunyai sebab lain, misalnya pantulan sinyal di antara gedung, dan ditangani lewat manual pabrik serta penyedia layanan.

Batas pembahasan

Bab ini membahas prinsip ekuivalensi, ruang-waktu melengkung, efek gravitasi pada laju jam, lubang hitam dan radius Schwarzschild, gelombang gravitasi, dan koreksi waktu GPS gabungan. Dilatasi waktu karena kecepatan dibahas di Bab 36 tentang relativitas khusus; di sini hasilnya hanya dipakai untuk koreksi GPS gabungan. Kesetaraan massa dan energi ada di Bab 37 tentang energi relativistik, gerak melingkar di Bab 2 tentang gerak dua dimensi dan gerak melingkar, berat dan hukum Newton di Bab 3 tentang hukum Newton, dan kerapatan inti di Bab 33 tentang fisika nuklir. Penanda waktu dan geser jam perangkat ada di Bab 12 · Data & Pengukuran tentang data deret waktu, jam atom di Bab 34 tentang teknologi kuantum, dan materi gelap serta pengembangan alam semesta di Bab 41 tentang kosmologi. Klaim populer tentang waktu dibahas di Bab 42 tentang klaim populer kosmologi. Persamaan tensor relativitas umum tidak dibahas; rumus jam di bab ini adalah pendekatan medan lemah.

Dari gravitasi Newton ke geometri ruang-waktu

Hukum gravitasi Newton meramalkan sebagian besar gerak di tata surya; lintasan setiap wahana antariksa cukup dihitung dengan hukum Newton. Bentuknya:

$F = \frac{G\,m_1 m_2}{r^2}, \qquad g = \frac{G M}{r^2}$

dengan $F$ gaya tarik (N), $m_1$ dan $m_2$ massa (kg), $r$ jarak pusat ke pusat (m), $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N·m²/kg², dan $g$ percepatan gravitasi (m/s²) pada jarak $r$ dari massa $M$. Bumi bermassa $5{,}97 \times 10^{24}$ kg dengan jari-jari rata-rata sekitar 6.370 km.

Hukum itu bertumpu pada dua anggapan. Gaya aksi jarak jauh (action-at-a-distance force) adalah gaya yang bekerja tanpa sentuhan fisik. Newton menganggap perubahan posisi satu massa langsung terasa oleh semua massa lain, padahal relativitas khusus menetapkan tidak ada yang melaju melebihi cahaya. Anggapan kedua, massa dalam hukum gravitasi sama dengan massa dalam $F = ma$, cocok dengan percobaan tetapi tidak diturunkan dari asas apa pun.

Relativitas umum (general relativity) adalah teori Einstein tentang gravitasi dan kerangka acuan dipercepat yang memandang gravitasi sebagai akibat massa dan energi melengkungkan ruang-waktu di sekitarnya. Teori yang terbit tahun 1916 ini menjawab kedua soal tadi dan merupakan teori geometri, bukan teori gaya. Dasar relativitas umum sudah tua, berakar pada prinsip ekuivalensi Galileo dan Newton.

Prinsip ekuivalensi

Einstein bertanya mengapa orang yang jatuh bebas tidak merasakan beratnya. Astronaut di stasiun antariksa pada ketinggian 400 km masih ditarik dengan $g = 8{,}67$ m/s², sekitar 88 persen berat di permukaan, tetapi tampak tanpa bobot karena mereka jatuh bebas mengelilingi Bumi.

Prinsip ekuivalensi (principle of equivalence) adalah asas relativitas umum yang menyatakan bahwa jatuh bebas tidak dapat dibedakan dari keadaan tanpa bobot, dan medan gravitasi seragam tidak dapat dibedakan dari percepatan seragam. Percobaan apa pun di laboratorium di Bumi memberi hasil yang sama dengan percobaan di laboratorium yang dipercepat $a = g$ di ruang jauh dari massa lain. Gravitasi adalah tanggapan setiap benda terhadap pengaruh benda lain pada ruang-waktu di sekitarnya, dan medan seragam serta percepatan seragam berpengaruh sama terhadap ruang-waktu.

Berkas laser yang ditembakkan mendatar di laboratorium yang dipercepat ke atas mengenai dinding seberang sedikit lebih rendah, karena lantai bergerak naik selama cahaya menyeberang. Menurut prinsip ekuivalensi, cahaya juga "jatuh" di medan gravitasi, dan massa cahaya tidak berperan. Penurunannya di laboratorium sangat kecil.

Ruang-waktu melengkung dan ujinya

Ruang-waktu (space-time) adalah gabungan tiga koordinat ruang dan satu koordinat waktu yang dalam persamaan relativitas diperlakukan setara. Geometri non-Euclides (non-Euclidean geometry) adalah geometri ruang lengkung yang menggambarkan hubungan sudut dan garis pada permukaan seperti bola atau hiperboloid. Geometri Euclides menganggap ruang datar: garis lurus adalah jarak terpendek, jumlah sudut segitiga 180°, dan garis sejajar tidak pernah bertemu.

Menurut relativitas umum, hanya ruang kosong yang datar. Massa atau energi melengkungkan ruang dan waktu, dan gerak massa lain adalah tanggapan terhadap lengkungan itu. Gambar dua dimensi berupa permukaan yang melesak hanya alat bantu; lengkungan terjadi pada ruang tiga dimensi dan waktu, dan hanya terlihat lewat pengukuran cermat gerak benda dan cahaya. Pada medan lemah, hasil relativitas umum hampir sama dengan Newton; pada medan kuat, keduanya berbeda, dan relativitas umum terbukti benar.

Untuk Merkurius, sebagian besar pergeseran perihelion disebabkan tarikan planet lain, tetapi sisa kecilnya tidak terjelaskan hukum Newton sampai orang sempat mencari planet "pendamping"; relativitas umum meramalkannya dengan tepat. Relativitas umum bangkit kembali pada 1960 sampai 1980, dan ramalan khusus tentang besar dan sifat lengkungan ruang-waktu memerlukan percobaan tersendiri.

Jam di ketinggian: gravitasi memperlambat waktu

Di dekat massa besar, ruang "teregang" dan waktu melambat. Dilatasi waktu gravitasi (gravitational time dilation) adalah perlambatan laju jam di tempat yang lebih dalam di medan gravitasi dibandingkan jam di tempat yang lebih tinggi. Untuk medan lemah seperti medan Bumi, selisih laju relatif dua jam diam dihitung dengan:

$\frac{\Delta f}{f} \approx \frac{G M}{c^2}\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right) \approx \frac{g\,h}{c^2}$

dengan $r_1$ jarak jam bawah dan $r_2$ jarak jam atas dari pusat Bumi (m), $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m/s, dan $h = r_2 - r_1$ (m). Jam atas berjalan lebih cepat dengan pecahan itu; bentuk $gh/c^2$ berlaku bila $h$ jauh lebih kecil daripada jari-jari Bumi. Bilangan $GM/c^2$ untuk Bumi hanya sekitar 4,4 mm, sehingga efeknya sangat kecil di permukaan (Contoh 1).

Pada medan kuat, laju jam diam pada jarak $r$ dari lubang hitam dibanding jam yang sangat jauh adalah $\sqrt{1 - R_S/r}$, dengan $R_S$ radius Schwarzschild. Pada $r = 2R_S$ jam berjalan 0,71 kali laju jam jauh, pada $r = 1{,}01 R_S$ hanya 0,10 kali, dan menuju nol di $R_S$. Sejalan dengan itu, pengamat luar melihat jam dan detak jantung orang yang jatuh makin lambat lalu seakan berhenti, sedangkan orang itu merasakan prosesnya sendiri berjalan biasa.

Lubang hitam dan radius Schwarzschild

Gagasan bintang yang tidak dapat melepaskan cahaya sudah ada pada akhir 1700-an. John Michell dan Pierre-Simon Laplace memakai hukum Newton dan laju cahaya yang diukur Ole Rømer pada 1676. Bila kecepatan lepas $v_{esc} = \sqrt{2GM/R}$, yang tidak bergantung pada massa benda yang lepas, melebihi $c$, cahaya tidak dapat lolos. Karl Schwarzschild menemukan solusi persamaan Einstein pada 1916, dan nama lubang hitam diberikan John Wheeler pada 1969.

Lubang hitam (black hole) adalah massa yang begitu rapat sehingga runtuh ke dalam dirinya dan membentuk singularitas yang dikelilingi cakrawala peristiwa. Radius Schwarzschild (Schwarzschild radius) adalah jari-jari kritis suatu massa yang, bila massa dimampatkan sampai lebih kecil, membuat massa runtuh menjadi singularitas dan membuat benda yang masuk melewati jari-jari kritis tidak dapat lolos. Cakrawala peristiwa (event horizon) adalah batas di sekitar lubang hitam pada radius Schwarzschild yang dari dalamnya tidak ada benda, bahkan cahaya, yang dapat lolos.

$R_S = \frac{2GM}{c^2}$

dengan $R_S$ dalam meter dan $M$ massa (kg). Kecocokan rumus ini dengan rumus kecepatan lepas Newton hanyalah kebetulan, karena rumus klasik energi kinetik tidak berlaku untuk cahaya. Massa Matahari, $1{,}99 \times 10^{30}$ kg, memberi $R_S$ sekitar 3 km, dan massa Bumi kurang dari 1 cm (Contoh 2).

Bintang neutron (neutron star) adalah sisa bintang yang tersusun atas neutron dengan kerapatan inti atom dan merupakan benda paling mampat yang dikenal di luar lubang hitam. Jari-jari bintang neutron masih lebih besar daripada $R_S$-nya, sehingga benda masih dapat lepas dari permukaannya. Bintang bermassa beberapa kali Matahari dapat runtuh menjadi lubang hitam di akhir hidupnya, sedangkan bintang seukuran Matahari tidak. Lubang hitam terbentuk ketika bintang kehabisan bahan bakar termonuklir yang menahan tekanan melawan gravitasi.

Bukti pengamatan: pusat galaksi dan citra lubang hitam

Bintang neutron tervalidasi pertama ditemukan Jocelyn Bell Burnell pada 1967 sebagai sumber pulsa radio teratur. Bukti lubang hitam datang dari sinar-X sistem bintang ganda, pelensaan gravitasi cahaya galaksi jauh, dan gerak benda tampak di sekitar pasangan yang tidak terlihat. Gas yang jatuh ke lubang hitam begitu panas sehingga memancarkan sinar-X dalam jumlah besar.

Bukti terdekat ada di pusat Bima Sakti. Kelompok UCLA, dengan data teleskop Keck, menghitung orbit beberapa bintang dan menaksir massa pusatnya sekitar 4 juta massa Matahari dalam daerah yang muat di dalam orbit Merkurius, tanpa ada yang terlihat di cahaya tampak. Hadiah Nobel Fisika 2020 dibagi dua: setengah untuk Roger Penrose karena menunjukkan bahwa pembentukan lubang hitam adalah akibat relativitas umum, dan setengah untuk Reinhard Genzel dan Andrea Ghez atas penemuan objek mampat supermasif di pusat galaksi kita, setelah tim mereka mengikuti bintang di sana hampir tiga dasawarsa.

Citra pertama diperoleh Event Horizon Telescope, jaringan observatorium di seluruh dunia. Menurut NASA JPL, rilis tahun 2019 memperlihatkan bayangan cakrawala peristiwa lubang hitam M87*, dan data dari delapan lokasi disinkronkan dengan penanda waktu sebelum digabung. Pada 12 Mei 2022, kolaborasi itu merilis citra Sagittarius A* di pusat Bima Sakti, sekitar 27.000 tahun cahaya dari Bumi; menurut ESO, ukuran cincinnya cocok dengan ramalan relativitas umum, dan citranya adalah rata-rata banyak rekonstruksi dari pengamatan 2017.

Gelombang gravitasi

Gelombang gravitasi (gravitational wave) adalah riak lengkungan ruang-waktu yang dipancarkan massa yang bergerak dipercepat, misalnya dua lubang hitam yang saling mengorbit, dan merambat dengan kecepatan cahaya. Percobaan Joseph Weber memulai program deteksi gelombang gravitasi. Pengukuran gelombang gravitasi tahun 2015 dari penggabungan dua lubang hitam adalah salah satu ramalan Einstein yang sudah terbukti.

Menurut LIGO, sinyal GW150914 tertangkap pada 14 September 2015 pukul 09.50.45 UTC oleh dua observatorium kembar di Hanford dan Livingston, Amerika Serikat, dan diumumkan pada 11 Februari 2016. Sumbernya dua lubang hitam bermassa 36 dan 29 kali Matahari yang bergabung menjadi satu lubang hitam sekitar 62 kali Matahari, dengan sekitar 3 massa Matahari terpancar sebagai gelombang gravitasi dari jarak 1,3 miliar tahun cahaya. Sinyalnya hanya 0,2 detik dan menjadi bukti langsung pertama bahwa lubang hitam dapat bergabung.

Hadiah Nobel Fisika 2017 diberikan setengah kepada Rainer Weiss dan setengah lagi kepada Barry C. Barish dan Kip S. Thorne "atas sumbangan menentukan pada detektor LIGO dan pengamatan gelombang gravitasi". Weiss sudah menganalisis sumber derau pada pertengahan 1970-an dan merancang interferometer berbasis laser, sedangkan Barish memimpin proyek sampai selesai. Detektor mengukur perubahan panjang lengan interferometer yang sangat kecil; regangan khasnya sekitar $10^{-21}$ dan lengannya sekitar 4 km.

Koreksi waktu GPS: dua efek yang berlawanan

Satelit GPS mengorbit pada ketinggian sekitar 20.000 km, di orbit Bumi menengah. Waktu berjalan sedikit berbeda di Bumi dan di satelit GPS, penerima di kendaraan tidak dapat menemukan posisinya tanpa koreksi, dan Gladys West memasukkan efek relativitas ke dalam algoritma yang ia kembangkan. Efek itu tidak hanya berasal dari relativitas khusus; efek gravitasi lebih besar dan arahnya berlawanan (Contoh 4 dan 5).

Neil Ashby menjelaskan bahwa laju jam GPS bergeser cukup besar sehingga sistem tidak akan bekerja tanpa koreksi, dan efek yang ditangani mencakup dilatasi waktu, pergeseran frekuensi gravitasi, efek Sagnac, dan relativitas keserempakan. Dua efek utama untuk jam satelit:

Di tabel, $v$ kecepatan orbit, $R_E$ jari-jari Bumi, dan $r$ jari-jari orbit; nilainya dihitung dari data Bumi dan orbit di atas (Contoh 3 sampai 6). Frekuensi jam satelit disetel sedikit lebih rendah sebelum peluncuran, sehingga dilihat dari Bumi lajunya tepat, dan sisa efek periodik karena orbit yang sedikit lonjong dikoreksi oleh perangkat lunak penerima. Pemakai, server waktu, dan pelacak tidak menambahkan koreksi relativitas sendiri. Menurut Bab 34 tentang teknologi kuantum dan jam atom, galat 1 µs setara sekitar 300 m jarak sinyal, dan geser jam perangkat dibahas di Bab 12 · Data & Pengukuran tentang data deret waktu.

Contoh kerja

Angka dalam kasus pembuka dan contoh di bawah adalah angka latihan, kecuali disebut asalnya.

Contoh 1: jam di puncak menara hotel. Jam di atap berada 100 m di atas jam basemen. Selisih lajunya $gh/c^2 = 9{,}8 \times 100/(9{,}00 \times 10^{16}) = 1{,}09 \times 10^{-14}$, atau $1{,}09 \times 10^{-14} \times 86.400 = 0{,}94$ ns per hari dan 0,34 µs per tahun. Jam kuarsa bergalat 20 ppm bergeser 1,7 detik per hari menurut Bab 12 · Data & Pengukuran tentang data deret waktu, sekitar $1{,}8 \times 10^{9}$ kali lebih besar.

Contoh 2: radius Schwarzschild Matahari dan Bumi. Untuk Matahari, $R_S = 2(6{,}67 \times 10^{-11})(1{,}99 \times 10^{30})/(3{,}00 \times 10^{8})^2 = 2{,}95 \times 10^{3}$ m; untuk Bumi $8{,}85 \times 10^{-3}$ m. Massa Bumi di dalam bola berjari-jari 8,85 mm berkerapatan $5{,}97 \times 10^{24}/(\tfrac{4}{3}\pi (8{,}85 \times 10^{-3})^3) = 2{,}06 \times 10^{30}$ kg/m³, sekitar $9 \times 10^{12}$ kali kerapatan inti $2{,}3 \times 10^{17}$ kg/m³ di Bab 33 tentang fisika nuklir. Untuk Matahari kerapatannya $1{,}85 \times 10^{19}$ kg/m³, sekitar 80 kali kerapatan inti.

Contoh 3: orbit satelit GPS. Dengan ketinggian 20.000 km, $r = 6{,}37 \times 10^{6} + 2{,}00 \times 10^{7} = 2{,}637 \times 10^{7}$ m. Kecepatan orbit $v = \sqrt{GM/r} = \sqrt{(6{,}67 \times 10^{-11})(5{,}97 \times 10^{24})/(2{,}637 \times 10^{7})} = 3{,}89 \times 10^{3}$ m/s, dan periodenya $2\pi r/v = 4{,}26 \times 10^{4}$ s atau 11,8 jam; gaya gravitasi di sini berperan sebagai gaya sentripetal seperti di Bab 2 tentang gerak melingkar.

Contoh 4: efek kecepatan. Untuk kecepatan jauh di bawah $c$, jam yang bergerak tertinggal dengan pecahan $v^2/(2c^2)$, pendekatan rumus dilatasi waktu di Bab 36 tentang relativitas khusus. Hasilnya $(3{,}886 \times 10^{3})^2/(2 \times 9{,}00 \times 10^{16}) = 8{,}39 \times 10^{-11}$, atau 7,25 µs per hari lebih lambat.

Contoh 5: efek gravitasi. Dengan $GM/c^2 = 4{,}42 \times 10^{-3}$ m, pecahannya $4{,}42 \times 10^{-3}(1/6{,}37 \times 10^{6} - 1/2{,}637 \times 10^{7}) = 5{,}27 \times 10^{-10}$, atau 45,5 µs per hari lebih cepat. Efek ini lebih dari enam kali efek kecepatan.

Contoh 6: gabungan dan kasus pembuka. Jam satelit maju $45{,}5 - 7{,}25 = 38{,}3$ µs per hari, sejalan dengan angka sekitar 38 µs yang dibaca teknisi. Bila tidak dikoreksi, galat itu setara $38{,}3 \times 10^{-6} \times 3{,}00 \times 10^{8} = 11{,}5$ km jarak sinyal per hari, atau sekitar 480 m per jam. Karena koreksi sudah ada di sistem, server waktu tidak dikurangi tangan; loncatan 200 m pada pelacak diperiksa sebagai masalah sinyal, antena, atau perangkat menurut manual pabrik.

Kondisi berhenti

Hentikan pekerjaan dan serahkan kepada penanggung jawab TI, penyedia layanan, atau pabrik bila:

1. Ada usul menyetel jam server waktu atau penerima GPS secara manual untuk "mengoreksi relativitas". Catat selisih jam dan laporkan, seperti aturan sinkronisasi di Bab 12 · Data & Pengukuran tentang data deret waktu dan Bab 34 tentang jam atom.
2. Server waktu menunjukkan loncatan yang memengaruhi kunci pintu, catatan medis, atau rekaman CCTV yang dapat menjadi bukti; jangan menghapus atau mengubah log.
3. Posisi pelacak armada terus meleset atau hilang; pemeriksaan antena, kabel, dan perangkat mengikuti manual pabrik dan penyedia layanan.
4. Pemasangan atau pemeriksaan antena GPS memerlukan kerja di atap; pekerjaan tidak dimulai tanpa prosedur tertulis untuk cuaca buruk dan petir, seperti di Bab 35 · Kelistrikan & Kendali tentang proteksi petir.
5. Ada usul memasang pemancar ulang atau pengacak sinyal satelit; keputusan perangkat pemancar radio milik penanggung jawab yang memahami izin frekuensi.
6. Klaim populer tentang perjalanan waktu atau lubang hitam dipakai sebagai dasar pembelian atau keputusan keselamatan; rujuk Bab 42 tentang klaim populer kosmologi.

Salah tafsir yang sering terjadi

Hubungan dengan bab lain

Bab 36 tentang relativitas khusus memberi efek kecepatan pada jam, dan Bab 37 tentang energi relativistik memberi kesetaraan massa dan energi. Bab 2 tentang gerak melingkar dan Bab 3 tentang hukum Newton memberi gerak melingkar dan berat. Bab 33 tentang fisika nuklir memberi kerapatan inti, Bab 12 · Data & Pengukuran tentang data deret waktu memberi sinkronisasi, Bab 34 tentang teknologi kuantum memberi jam atom, dan Bab 35 · Kelistrikan & Kendali tentang proteksi petir memberi batas kerja di atap. Bab 41 tentang kosmologi memakai relativitas umum untuk pengembangan alam semesta dan pelensaan oleh materi gelap, dan Bab 42 tentang klaim populer kosmologi membahas klaim populer tentang waktu.

Latihan dan pembahasan

Referensi