Relativitas khusus: postulat Einstein, relativitas keserempakan, dilatasi waktu, kontraksi panjang, transformasi Lorentz, penjumlahan kecepatan, dan jam satelit

Sebuah laundry hotel mengantar linen bersih dengan empat van yang masing-masing membawa pelacak GPS. Admin pengiriman memperhatikan bahwa waktu tiba di laporan pelacak berselisih 3 sampai 5 detik dari log server laundry untuk kejadian yang sama, padahal posisi van di peta tepat sampai beberapa meter. Seorang teknisi membaca bahwa jam satelit GPS dikoreksi karena relativitas, lalu bertanya: apakah selisih itu akibat relativitas, dan apakah jam di van yang terus bergerak berjalan lebih lambat daripada jam server di ruang mesin?

Jawabannya ada pada besarnya angka. Van yang melaju 60 km/jam selama 10 jam hanya tertinggal sekitar 0,06 nanodetik karena geraknya, sedangkan jam kristal bergalat 20 ppm bergeser 0,7 detik dalam waktu yang sama (Contoh 1). Jam satelit GPS yang jauh lebih cepat tertinggal sekitar 7 mikrodetik per hari karena efek relativitas khusus saja (Contoh 6). Selisih detik di log adalah persoalan sinkronisasi jam, bukan relativitas.

Batas pembahasan

Bab ini membahas kinematika relativitas khusus, dari postulat Einstein sampai penjumlahan kecepatan, dan bagian relativitas khusus dari koreksi jam satelit GPS.

Momentum, energi relativistik, dan efek Doppler cahaya dibahas di Bab 37 tentang momentum dan energi relativistik. Efek gravitasi pada jam dan koreksi waktu GPS gabungan dibahas di Bab 38 tentang relativitas umum. Sinkronisasi jam data dibahas di Bab 12 · Data & Pengukuran tentang data deret waktu, jam atom di Bab 34 tentang teknologi kuantum, kecepatan relatif klasik di Bab 2 tentang gerak dua dimensi, dan kerangka inersia di Bab 3 tentang hukum Newton. Klaim bahwa waktu adalah ilusi dibahas di Bab 42 tentang klaim populer kosmologi.

Kerangka acuan inersia dan dua postulat Einstein

Albert Einstein (1879 sampai 1955) mengajukan relativitas khusus pada tahun 1905 untuk kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan tetap relatif satu sama lain; relativitas umum, karyanya yang kemudian, menangani kerangka apa pun, termasuk kerangka yang dipercepat. Relativitas khusus (special theory of relativity) adalah teori Einstein yang menganggap semua hukum fisika berbentuk sama di setiap kerangka acuan inersia dan kecepatan cahaya sama di semua kerangka inersia.

Kerangka acuan inersia (inertial frame of reference) adalah kerangka acuan tempat benda diam tetap diam dan benda bergerak tetap bergerak lurus dengan kelajuan tetap selama tidak ada gaya luar yang bekerja. Pesawat yang terbang dengan kelajuan dan ketinggian tetap adalah contohnya; saat lepas landas, penumpang memerlukan gaya fiktif.

Postulat pertama relativitas khusus (first postulate of special relativity) adalah pernyataan bahwa hukum fisika sama di semua kerangka acuan inersia. Relativitas tidak mengenal kerangka inersia istimewa. Tidak ada kerangka yang diam mutlak; yang dapat ditentukan hanya gerak relatif.

Persamaan Maxwell meramalkan cahaya merambat $3{,}00 \times 10^8$ m/s di ruang hampa tanpa menyebut terhadap kerangka mana, sehingga ilmuwan abad ke-19 menduga ada medium cahaya yang disebut eter. Eksperimen Michelson-Morley (Michelson-Morley experiment) adalah penyelidikan tahun 1887 yang menunjukkan bahwa kecepatan cahaya di ruang hampa tidak bergantung pada gerak Bumi mengelilingi Matahari. Cahaya tidak memerlukan medium, berbeda dengan bunyi.

Postulat kedua relativitas khusus (second postulate of special relativity) adalah pernyataan bahwa cahaya merambat di ruang hampa dengan kelajuan yang sama ke segala arah di semua kerangka inersia, tidak bergantung pada gerak sumbernya. Einstein sampai pada postulat ini terutama dari hukum listrik dan magnet, dan ia hanya sedikit mengetahui eksperimen Michelson-Morley; ia juga menyimpulkan bahwa benda bermassa tidak dapat bergerak secepat $c$. Penjumlahan klasik $u' = u + v$, yang disebut relativitas Galileo, tidak berlaku untuk cahaya. Sifat gelombang cahaya dibahas di Bab 20 tentang cahaya. Mekanika Newton tidak batal: di dunia sehari-hari persamaan relativistik kembali menjadi persamaan klasik.

Keserempakan bersifat relatif

Kejadian (event) adalah peristiwa yang ditentukan oleh posisi dan waktunya relatif terhadap satu kerangka acuan. Kejadian ditulis dengan koordinat $(x, y, z, t)$.

Sebuah percobaan pikiran memakai gerbong kereta. Pengamat A duduk di tengah gerbong yang melaju cepat, dengan lampu kilat di kedua ujung. Pengamat B di peron menerima kedua kilatan bersamaan, mendapati jarak keduanya sama, dan menyimpulkan kedua lampu menyala serempak. Karena A bergerak menuju lampu depan, kilatan depan tiba lebih dulu padanya, dan dengan jarak yang juga sama di kerangkanya ia menyimpulkan kedua lampu tidak serempak. Kedua kesimpulan benar.

Relativitas keserempakan (relativity of simultaneity) adalah sifat ruang dan waktu bahwa dua kejadian di tempat berbeda yang serempak bagi pengamat di satu kerangka belum tentu serempak bagi pengamat di kerangka lain yang bergerak relatif terhadapnya. Sifat ini mengikuti langsung dari postulat kedua, dan eksperimen yang teliti berulang kali mendukungnya. Untuk kereta sungguhan yang melaju 50 m/s, ketidakserempakannya hanya sekitar $10^{-13}$ s (Contoh 4).

Dilatasi waktu dan waktu sejati

Pada jam cahaya, astronaut mengukur waktu bagi pulsa cahaya untuk naik tegak lurus arah gerak pesawat, dipantulkan cermin, dan kembali. Bagi pengamat di Bumi, pesawat bergeser selama pulsa merambat, sehingga cahaya menempuh lintasan miring yang lebih panjang dengan kelajuan yang sama, dan waktunya lebih lama. Teorema Pythagoras pada segitiga lintasan memberi:

$\Delta t = \frac{\Delta\tau}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma\,\Delta\tau, \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

dengan $\Delta\tau$ waktu sejati (s), $\Delta t$ selang waktu menurut pengamat yang melihat proses bergerak (s), $v$ kecepatan relatif kerangka (m/s), $c = 2{,}998 \times 10^8$ m/s, dan $\gamma$ faktor Lorentz (tak berdimensi).

Dilatasi waktu (time dilation) adalah pemanjangan selang waktu antara dua kejadian bagi pengamat di kerangka inersia yang bergerak relatif terhadap kerangka tempat kedua kejadian terjadi di lokasi yang sama. Waktu sejati (proper time) adalah selang waktu antara dua kejadian yang diukur pengamat yang melihat kedua kejadian terjadi di tempat yang sama. Faktor Lorentz (Lorentz factor) adalah faktor relativistik yang bernilai satu bila kedua kerangka saling diam dan membesar tanpa batas ketika kecepatan relatif mendekati kecepatan cahaya.

Waktu sejati adalah selang terpendek yang mungkin terukur antara dua kejadian. Efek ini nyata, bukan akibat jam yang tidak teliti: semua jam yang bergerak relatif terhadap pengamat, termasuk detak jantung dan penuaan, teramati lebih lambat. Pada kecepatan rendah, $\gamma - 1 \approx v^2/(2c^2)$ (pendekatan binomial). Hitungan relativitas tidak dibulatkan sebelum hasil akhir, karena efeknya sering baru tampak pada digit kesekian.

Bukti dilatasi waktu: muon, jam atom di pesawat, dan paradoks kembar

Muon (muon) adalah partikel berumur pendek yang terbentuk ketika partikel sinar kosmik menumbuk inti atom di atmosfer atas. Waktu paruh muon diam, yaitu waktu sejatinya, adalah 1,52 µs; bila waktu Newton benar, sedikit sekali muon mencapai tanah. Waktu paruh muon cepat yang diukur di Bumi berubah menurut kecepatan persis seperti ramalan $\Delta t = \gamma\Delta\tau$, sehingga jauh lebih banyak muon tiba di tanah.

Pada tahun 1971 Joseph Hafele dan Richard Keating menerbangkan jam atom yang sangat teliti mengelilingi dunia dengan pesawat komersial dan membandingkannya dengan jam di darat, dengan ketelitian beberapa nanodetik. Hasilnya sesuai ramalan relativitas; relativitas khusus dan umum sama-sama diperhitungkan karena gravitasi dan percepatan ikut berperan. Cara kerja jam atom dijelaskan di Bab 34 tentang teknologi kuantum.

Paradoks kembar (twin paradox) adalah kesimpulan yang tampak bertentangan tentang saudara kembar mana yang lebih muda setelah salah satunya melakukan perjalanan jauh dengan kecepatan relativistik. Dengan $\gamma = 30{,}0$, perjalanan 2,00 tahun menurut astronaut sama dengan 60,0 tahun di Bumi. Dalih bahwa Bumilah yang bergerak keliru karena situasinya tidak setangkup: astronaut dipercepat saat berangkat, berbalik, dan pulang, sehingga berganti kerangka inersia, sedangkan kembaran di Bumi tetap di satu kerangka.

Kontraksi panjang dan panjang sejati

Dua pengamat yang saling melintas selalu sepakat tentang kecepatan relatif mereka, sehingga bila waktunya berbeda, jaraknya juga berbeda. Panjang sejati (proper length) adalah jarak antara dua titik yang diukur pengamat yang diam terhadap kedua titik. Kontraksi panjang (length contraction) adalah berkurangnya panjang terukur sebuah benda dari panjang sejatinya bila diukur dari kerangka acuan yang bergerak relatif terhadap benda.

$L = \frac{L_0}{\gamma} = L_0\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

dengan $L_0$ panjang sejati (m) dan $L$ panjang yang diukur dari kerangka yang bergerak dengan kecepatan $v$ (m). Panjang sejati adalah ukuran terpanjang suatu jarak. Kontraksi hanya terjadi sepanjang arah gerak: dua tongkat meter yang dipegang tegak lurus arah gerak menunjukkan bahwa postulat pertama menuntut panjang melintang sama di semua kerangka inersia. Efeknya nyata: garis medan listrik elektron berkecepatan relativistik termampatkan searah gerak, sehingga sinyalnya di kumparan detektor akselerator lebih singkat.

Transformasi Lorentz dan ruang-waktu

Transformasi Galileo (Galilean transformation) adalah hubungan koordinat posisi dan waktu kejadian yang sama di dua kerangka acuan menurut mekanika klasik, dengan anggapan waktu sama di semua kerangka. Untuk kerangka S′ yang bergerak $v$ sepanjang sumbu $x$ kerangka S, $x = x' + vt$ dan $t = t'$. Transformasi Galileo dipakai mekanika Newton, sedangkan teori Einstein memakai transformasi relativistik.

Transformasi Lorentz (Lorentz transformation) adalah hubungan koordinat posisi dan waktu kejadian yang sama di dua kerangka inersia menurut relativitas khusus. Persamaannya diperoleh dengan menuntut muka gelombang cahaya dari titik asal berbentuk bola yang membesar dengan kelajuan $c$ di kedua kerangka:

$t' = \frac{t - vx/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}, \qquad x' = \frac{x - vt}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}, \qquad y' = y, \qquad z' = z$

dengan $(x, y, z, t)$ koordinat kejadian di S (m dan s) dan koordinat beraksen di S′. Kebalikannya diperoleh dengan menukar besaran beraksen dan tak beraksen serta mengganti $v$ dengan $-v$. Persamaan ini dinamai menurut H. A. Lorentz (1853 sampai 1928), yang pertama kali mengajukannya dengan alasan yang belakangan terbukti keliru; dasar teorinya yang benar adalah relativitas khusus Einstein. Transformasi ini menghasilkan kembali dilatasi waktu dan kontraksi panjang, dan suku $vx/c^2$ adalah sumber ketidakserempakan.

Garis dunia (world line) adalah lintasan sebuah partikel melalui ruang-waktu empat dimensi. Besaran yang sama bagi semua pengamat inersia adalah selang ruang-waktu:

$\Delta s^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2 - (c\Delta t)^2$

dengan $\Delta s^2$ dalam m². Seperti jarak yang tidak berubah oleh rotasi sumbu, $\Delta s^2$ tidak berubah oleh transformasi Lorentz, sehingga waktu sejati juga disepakati semua pengamat. Bila $\Delta s^2 < 0$, kedua kejadian terpisah seperti waktu dan yang satu dapat memengaruhi yang lain; bila $\Delta s^2 > 0$, keduanya terpisah seperti ruang, urutan waktunya bergantung pada pengamat, dan sebab-akibat di antaranya memerlukan gerak lebih cepat daripada cahaya. Kerucut cahaya (light cone) adalah himpunan garis dunia semua berkas cahaya yang melewati satu kejadian, dengan bentuk yang sama di semua kerangka inersia.

Penjumlahan kecepatan relativistik

Dalam mekanika klasik kecepatan dijumlahkan seperti vektor, misalnya kayak di sungai; kecepatan relatif klasik dibahas di Bab 2 tentang gerak dua dimensi. Untuk benda berkecepatan $u'$ di S′ searah gerak S′, transformasi Lorentz memberi kecepatannya di S:

$u = \frac{v + u'}{1 + vu'/c^2}$

dengan $v$ kecepatan S′ terhadap S, $u'$ dan $u$ dalam m/s, dan tanda negatif untuk arah berlawanan. Penjumlahan kecepatan relativistik (relativistic velocity addition) adalah cara menjumlahkan kecepatan benda yang bergerak dengan kecepatan relativistik menurut transformasi Lorentz. Bila $v \ll c$, rumus ini kembali menjadi penjumlahan Galileo. Untuk $u' = c$ hasilnya tetap $c$: cahaya lampu depan mobil mendekati pejalan kaki dengan kecepatan $c$, bukan $c + v$. Kecepatan yang masing-masing kurang dari $c$ tidak dapat berjumlah lebih dari $c$.

Jam satelit GPS: bagian relativitas khusus

Relativitas khusus menjelaskan mengapa waktu berjalan sedikit berbeda di Bumi dan di satelit GPS yang bergerak cepat, dan unit GPS di kendaraan tidak dapat menemukan lokasi yang benar tanpa koreksi ini. Selisih waktu terkecil pun menimbulkan ketidaktelitian yang berarti. Gladys West, ilmuwan komputer dan matematikawan, mengembangkan algoritme yang mengukur bentuk Bumi, sinyal, dan posisi satelit dengan teliti dan memperhitungkan efek relativistik untuk sistem GPS Amerika Serikat.

Satelit GPS mengorbit pada sekitar 20.000 km, tergolong orbit Bumi menengah, dan kecepatan orbit lingkaran adalah $v_\text{orbit} = \sqrt{GM_E/r}$. Di sini $G = 6{,}674 \times 10^{-11}$ N·m²/kg², $M_E = 5{,}97 \times 10^{24}$ kg, dan $r$ jarak dari pusat Bumi (m), dengan jari-jari Bumi 6.378 km dari diameter khatulistiwa 12.756 km. Dengan menganggap 20.000 km sebagai ketinggian, kecepatannya 3,89 km/s dan jam satelit tertinggal sekitar 7,3 µs per hari karena geraknya saja (Contoh 6). Cahaya menempuh sekitar 2,2 km dalam 7,3 µs, sehingga galat jam ini, bila tidak dikoreksi, setara galat jarak orde kilometer per hari (taksiran kasar). Hubungan galat waktu dan galat jarak sinyal dibahas di Bab 34 tentang jam atom.

Tiga catatan membatasi angka ini. Pertama, kerangka berpusat di Bumi dianggap inersia; jam di khatulistiwa yang ikut berputar sekitar 465 m/s terpengaruh sekitar 70 kali lebih kecil. Kedua, waktu melambat di dekat massa besar, sehingga gravitasi memperlambat jam di permukaan Bumi lebih banyak daripada jam satelit, berlawanan arah dengan efek gerak; besar efek gravitasi dan koreksi gabungannya dihitung di Bab 38 tentang relativitas umum. Ketiga, Bab 12 · Data & Pengukuran tentang data deret waktu memakai galat khas 20 ppm untuk jam kristal, sekitar 240.000 kali $8{,}4 \times 10^{-11}$. Jam server, pencatat data, dan pelacak karena itu dijaga dengan sinkronisasi ke acuan waktu seperti di Bab 12 · Data & Pengukuran, bukan dengan rumus relativitas.

Contoh kerja

Angka dalam kasus pembuka, contoh, dan soal latihan di bawah adalah angka latihan, kecuali disebut asalnya.

Contoh 1: jam di van pengantar linen. Van melaju rata-rata 60 km/jam, atau 16,7 m/s, selama 10 jam. Maka $\gamma - 1 \approx 16{,}7^2/(2 \times (2{,}998 \times 10^8)^2) = 1{,}5 \times 10^{-15}$, dan jam van tertinggal $1{,}5 \times 10^{-15} \times 36.000 = 5{,}6 \times 10^{-11}$ s, atau 0,056 ns. Jam kristal dengan galat khas 20 ppm dari Bab 12 · Data & Pengukuran bergeser $20 \times 10^{-6} \times 36.000 = 0{,}72$ s dalam 10 jam, sekitar $1{,}3 \times 10^{10}$ kali lebih besar. Kendaraan roket hipersonik 5.830 m/s pun hanya mengubah 1 s menjadi 1,000000000189 s.

Contoh 2: berapa muon yang selamat. Muon 0,995c menembus 10 km udara dengan waktu paruh diam 1,52 µs. Waktu tempuh di kerangka Bumi $10^4/(0{,}995 \times 2{,}998 \times 10^8) = 33{,}5$ µs, atau 22 waktu paruh, sehingga tanpa dilatasi fraksi yang tersisa $2^{-22} = 2{,}4 \times 10^{-7}$. Dengan $\gamma = 10{,}0$, waktu sejatinya 3,35 µs atau 2,2 waktu paruh, sehingga fraksi yang tersisa $2^{-2{,}2} = 0{,}22$, dan di kerangka muon lapisan udara itu hanya sekitar 1,0 km.

Contoh 3: kontraksi panjang. Astronaut dengan $\gamma = 30{,}00$ menuju Alpha Centauri, 4,300 tahun cahaya menurut pengamat Bumi. Jarak menurut astronaut $4{,}300/30{,}00 = 0{,}1433$ tahun cahaya, dan $v/c = \sqrt{1 - 1/30{,}00^2} = 0{,}99944$. Partikel 0,750c yang melintasi 2,50 km atmosfer menurut Bumi hanya melihat $2{,}50\sqrt{1 - 0{,}750^2} = 1{,}65$ km.

Contoh 4: transformasi Lorentz dan keserempakan. Pengamat di samping rel melihat lampu di kedua ujung gerbong 26 m menyala serempak saat gerbong melintas dengan c/2. Dari $0 = \gamma(\Delta t' + v\Delta x'/c^2)$, $\Delta t' = -26/(2 \times 3{,}00 \times 10^8) = -4{,}33 \times 10^{-8}$ s; tanda negatif berarti penumpang melihat lampu depan menyala lebih dulu. Untuk kereta 500 m yang melaju 50 m/s, $\Delta t' = -(50)(500)/(3{,}00 \times 10^8)^2 = -2{,}78 \times 10^{-13}$ s. Kilat di $x = 150$ km, $y = 15{,}0$ km, $z = 1{,}00$ km pada $t = 4{,}5 \times 10^{-4}$ s, dilihat dari kerangka 0,6c, terjadi pada $t' = (4{,}5 - 3{,}0) \times 10^{-4}/0{,}8 = 1{,}88 \times 10^{-4}$ s dan $x' = (150 - 81)/0{,}8 = 86$ km. Terhadap kejadian di titik asal pada $t = 0$, $\Delta s^2 = 4{,}5 \times 10^{9}$ m², positif, sehingga keduanya terpisah seperti ruang.

Contoh 5: tabung dari pesawat. Pesawat mendekati Bumi dengan 0,500c dan menembakkan tabung 0,750c relatif terhadap pesawat. Ke arah Bumi, $u = (0{,}500 + 0{,}750)/(1 + 0{,}375) = 0{,}909c$, bukan 1,250c; ke arah sebaliknya, $u = (0{,}500 - 0{,}750)/(1 - 0{,}375) = -0{,}400c$, bukan $-0{,}250c$. Sinyal laser dari pesawat itu tiba dengan $u = (0{,}500 + 1)/(1 + 0{,}500) = c$. Troli 1,5 m/s di bak truk 20 m/s mempunyai suku koreksi $vu'/c^2 = 3{,}3 \times 10^{-16}$, jadi jumlah biasa 21,5 m/s tepat.

Contoh 6: jam satelit GPS, bagian relativitas khusus. Dengan $r = 6.378 + 20.000 = 26.378$ km dari jari-jari Bumi dan ketinggian orbit di atas, $v_\text{orbit} = \sqrt{(6{,}674 \times 10^{-11})(5{,}97 \times 10^{24})/(2{,}6378 \times 10^{7})} = 3{,}89 \times 10^3$ m/s dan periodenya $2\pi r/v = 4{,}26 \times 10^4$ s, atau 11,8 jam. Maka $\gamma - 1 \approx (3{,}89 \times 10^3)^2/(2 \times (2{,}998 \times 10^8)^2) = 8{,}4 \times 10^{-11}$, dan jam satelit tertinggal $8{,}4 \times 10^{-11} \times 86.400 = 7{,}3 \times 10^{-6}$ s per hari, setara jarak tempuh cahaya $2{,}998 \times 10^8 \times 7{,}26 \times 10^{-6} = 2{,}2$ km. Efek gerak pada jam van di Contoh 1 sekitar 54.000 kali lebih kecil. Efek gravitasi dan koreksi totalnya dihitung di Bab 38 tentang relativitas umum.

Kondisi berhenti

Hentikan pekerjaan dan serahkan kepada pengelola sistem, penyedia layanan, pabrik, atau petugas berwenang bila:

1. Waktu dari server waktu atau pelacak menjadi bukti catatan medis, pemberian obat, rantai dingin, atau sterilisasi, lalu jamnya meloncat atau tidak pasti. Laporkan ke penanggung jawab sistem dan mutu sesuai Bab 12 · Data & Pengukuran tentang data deret waktu; jangan mengoreksi data diam-diam.
2. Pelacak armada atau penerima GPS terus-menerus meleset ratusan meter atau waktunya meloncat. Hubungi penyedia layanan atau pabrik; jangan mengubah firmware, antena, atau parameter koreksi sendiri.
3. Server waktu induk jaringan rumah sakit atau hotel perlu disetel ulang atau diganti sumbernya. Pekerjaan itu milik pengelola TI, karena kunci pintu, CCTV, dan catatan medis bergantung padanya (Bab 34 tentang teknologi kuantum dan jam atom).
4. Antena GPS server waktu di atap atau tiang perlu dipasang atau diperiksa. Pekerjaan di ketinggian dan dekat instalasi listrik memerlukan izin kerja sesuai prosedur gedung.
5. Pemasok menawarkan perangkat yang diklaim memakai "pelambatan waktu" atau "efek relativitas" untuk menghemat energi, mengawetkan makanan, atau menyembuhkan. Tunda pembelian dan nilai klaimnya dengan Bab 35 tentang produk berlabel kuantum dan Bab 42 tentang klaim populer kosmologi.

Salah tafsir yang sering terjadi

Hubungan dengan bab lain

Bab 2 tentang gerak dua dimensi dan Bab 3 tentang hukum Newton memberi kecepatan relatif dan kerangka inersia klasik sebagai batas kecepatan rendah, dan Bab 20 membahas cahaya. Bab 12 · Data & Pengukuran tentang data deret waktu menjelaskan geser jam kristal dan sinkronisasi, dan Bab 34 tentang teknologi kuantum menjelaskan jam atom serta hubungan galat waktu dengan posisi. Bab 37 melanjutkan ke momentum, energi diam, dan Doppler cahaya, Bab 38 ke efek gravitasi pada jam dan koreksi GPS gabungan, Bab 41 ke kosmologi, dan Bab 42 ke klaim populer tentang waktu.

Latihan dan pembahasan

Referensi