Gelombang materi dan dualitas gelombang-partikel: panjang gelombang de Broglie, difraksi elektron, mikroskop elektron, celah ganda satu partikel demi satu, dan prinsip ketidakpastian Heisenberg

Baut pengikat rumah bantalan sebuah washer-extractor di laundry rumah sakit patah setelah beberapa bulan bekerja. Mengikuti Bab 10 · Mekanikal & Mekatronika tentang membaca patahan, teknisi tidak mencocokkan kedua belah patahan dan tidak menyikatnya, lalu mengirim potongannya ke laboratorium uji kegagalan material. Laporannya memuat dua foto. Foto mikroskop optik hanya memperlihatkan daerah halus tanpa rincian. Foto mikroskop elektron pemindai pada perbesaran 5.000 kali dengan garis skala 2 µm memperlihatkan deretan garis halus berjarak sekitar 50 nm. Manajer teknik bertanya mengapa laboratorium tidak cukup memakai mikroskop optik yang lebih kuat, dan mengapa potongan baut harus dimasukkan ke ruang hampa.

Jawabannya: elektron yang dipercepat berperilaku sebagai gelombang yang puluhan ribu kali lebih pendek daripada cahaya tampak (Contoh 2), dan daya pisah mikroskop ditentukan panjang gelombang itu (Contoh 3). Ruang hampa mencegah elektron kehilangan energi karena menumbuk molekul udara.

Batas pembahasan

Bab ini membahas gelombang materi dan prinsip ketidakpastian.

Foton, efek fotolistrik, dan momentum foton dibahas di Bab 29 tentang cahaya sebagai partikel. Cahaya sebagai gelombang elektromagnetik dibahas di Bab 20 tentang cahaya, dan superposisi gelombang di Bab 14 tentang gelombang dan bunyi; rumus celah ganda dan daya pisah lubang bulat yang diperlukan di sini ditulis singkat. Fungsi gelombang, peluang, dan persamaan Schrödinger dibahas di Bab 31 tentang fungsi gelombang, model Bohr dan garis spektrum di Bab 32 tentang atom kuantum, dan radiasi pengion di Bab 33 tentang fisika nuklir dan radiasi pengion. Tafsir filosofis mekanika kuantum, seperti Kopenhagen, banyak dunia, dan peran kesadaran, tidak dibahas di sini; semuanya ada di Bab 35 tentang tafsir mekanika kuantum.

Hipotesis de Broglie: setiap partikel yang bergerak adalah gelombang

Efek Compton menunjukkan bahwa gelombang elektromagnetik dapat berperilaku sebagai partikel. Pada tahun 1924 Louis de Broglie mengusulkan kebalikannya: elektron dan partikel materi lain dapat berperilaku sebagai gelombang. Hipotesis gelombang materi de Broglie (de Broglie's hypothesis of matter waves) adalah usulan bahwa setiap partikel materi yang memiliki momentum linear juga merupakan gelombang. Hubungan yang berlaku untuk foton berlaku juga untuk partikel bermassa:

$E = hf, \qquad \lambda = \frac{h}{p}$

dengan $E$ energi relativistik partikel (J), $f$ frekuensi gelombang (Hz), $p$ momentum (kg·m/s), $h$ tetapan Planck, dan $\lambda$ panjang gelombang de Broglie (m). Panjang gelombang materi berbanding terbalik dengan momentum, dan gelombang itu merambat dengan kecepatan partikelnya. Pada tahun 1926 hipotesis ini, bersama teori kuantum awal Bohr, melahirkan mekanika kuantum gelombang.

Untuk partikel lambat, $p = mv = \sqrt{2mK}$, dengan $m$ massa, $v$ kecepatan, dan $K$ energi kinetik. Bila $K$ tidak jauh lebih kecil daripada energi diam $E_0 = mc^2$, dipakai:

$\lambda = \frac{hc}{\sqrt{K(K + 2E_0)}}$

dengan $hc = 1241$ eV·nm dan $E_0 = 511$ keV untuk elektron. Elektron yang dipercepat dari diam melewati beda potensial $\Delta V$ memperoleh $K = e\Delta V$, sehingga elektron yang dipercepat 54 V berenergi 54 eV. De Broglie juga memakai gelombang elektron untuk menjelaskan syarat kuantisasi momentum sudut pada model atom Bohr, yang diuraikan di Bab 32 tentang atom kuantum.

Mengapa bola dan troli tidak berdifraksi

Tetapan Planck sangat kecil, sehingga panjang gelombang benda sehari-hari jauh di bawah apa pun yang dapat diukur. Bola basket 0,65 kg yang dilempar 10 m/s mempunyai panjang gelombang sekitar $10^{-34}$ m, sedangkan ukuran inti atom beberapa femtometer, sehingga gelombang bola itu kira-kira $10^{-20}$ kali ukuran inti. Gelombang sekecil itu tidak terdeteksi dan tidak memengaruhi gerak benda makroskopis. Karena itu linen di konveyor dan troli di koridor bergerak tepat seperti ramalan mekanika Newton.

Elektron berbeda karena massanya sangat kecil: elektron puluhan elektronvolt mempunyai panjang gelombang sebesar jarak antaratom di kristal. Tabel berikut dihitung dengan rumus di atas.

Bukti: eksperimen Davisson-Germer dan difraksi partikel

Ramalan de Broglie teruji oleh eksperimen. Bukti pertama datang pada tahun 1927 dari C. Davisson dan L. Germer, yang menghamburkan elektron pada permukaan nikel dalam penelitian rutin permukaan logam, bukan untuk menguji de Broglie. Eksperimen Davisson-Germer (Davisson-Germer experiment) adalah eksperimen difraksi elektron pertama dalam sejarah yang memperlihatkan sifat gelombang elektron.

Sampel nikel dipanaskan khusus sehingga struktur polikristalnya berubah menjadi domain kristal tunggal yang besar. Elektron termal dari elemen pemanas, biasanya wolfram, dipercepat beda potensial yang dapat diatur, lalu ditembakkan tegak lurus ke permukaan nikel di dalam ruang hampa. Detektor mengukur intensitas elektron terhambur pada sudut $\varphi$ dari 0° sampai 90°. Pada nikel polikristal hamburannya merata ke segala arah, sedangkan pada nikel kristal tunggal intensitasnya memuncak pada sudut tertentu, membentuk pola difraksi.

Untuk difraksi permukaan, maksimum terjadi bila:

$n\lambda = a\sin\varphi$

dengan $a$ jarak antaratom permukaan (m) dan $n$ orde maksimum. Kristalografi sinar-X memberi $a = 2{,}15$ Å, dan maksimum orde pertama muncul pada $\varphi \approx 50^\circ$ dengan tegangan sekitar 54 V. Panjang gelombang dari pola difraksi dan panjang gelombang de Broglie elektron 54 eV hampir sama (Contoh 1), argumen yang meyakinkan bahwa gelombang materi ada. Kisi kristal nikel dan parameter kisinya dibahas di Bab 9 · Material tentang struktur kristal logam.

Sejak itu hipotesis de Broglie dikonfirmasi untuk banyak partikel. Neutron, yang tidak bermuatan, dipakai untuk menentukan struktur kristal dari pola interferensi gelombangnya, dan gelombang materi molekul sebesar karbon C60 sudah diukur. Semua benda fisik, kecil atau besar, memiliki gelombang materi selama bergerak. Neutron yang energinya setara molekul gas pada suhu ruang disebut neutron termal.

Celah ganda dengan elektron satu per satu

Seorang skeptis dapat bertanya apakah pola difraksi elektron bisa dijelaskan dengan elektron sebagai hujan bola pingpong. Untuk mengujinya cukup dua celah pada layar yang tidak tembus elektron: bila elektron gelombang, pola interferensi terbentuk walaupun elektron datang satu per satu; bila hanya partikel, pita interferensi tidak muncul. Pita terang orde $n$ pada interferensi Young muncul pada sudut $\theta$ yang memenuhi:

$d\sin\theta = n\lambda, \qquad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$

dengan $d$ jarak antarcelah (m). Prinsip penjumlahan gelombangnya sama dengan superposisi bunyi di Bab 14 tentang gelombang dan bunyi.

Claus Jönsson di Jerman pada tahun 1961 melakukan percobaan celah ganda pertama dengan berkas elektron dan memperoleh pola interferensi. Percobaan dengan elektron tunggal yang lewat satu per satu dilakukan Giulio Pozzi di Italia pada tahun 1974 dan Akira Tonomura di Jepang pada tahun 1989. Setiap elektron tercatat di satu tempat pada layar, tetapi dari banyak elektron pita terang dan gelap terbentuk bertahap, walaupun elektron lewat sendiri-sendiri. Pola difraksi elektron terbentuk karena sifat gelombang elektron.

Salah satu percobaan memakai dua celah selebar 62 nm berjarak 272 nm pada membran silikon berlapis emas, dengan elektron 600 eV. Pita terang pertamanya hanya sekitar 0,01° dari pusat (Contoh 4), sehingga perlu diperbesar dan dicatat detektor yang peka.

Dualitas gelombang-partikel

Dualitas gelombang-partikel (wave-particle duality) adalah sifat alam bahwa partikel dapat berperilaku sebagai gelombang dan radiasi dapat berperilaku sebagai partikel, bergantung pada kondisi percobaan. Contohnya berpasangan:

Pertanyaan tentang hakikat sebenarnya, gelombang atau partikel, belum punya jawaban tuntas; yang dapat dikatakan hanyalah bahwa dualitas itu ada. Mekanika kuantum yang dibangun Bohr, Schrödinger, Heisenberg, dan Dirac menganggap gelombang materi sebagai sifat dasar semua partikel dan memberinya tafsiran statistik: gelombang yang terkait dengan partikel membawa informasi tentang kemungkinan posisi partikel dan sifat lainnya. Matematika gelombang ini dan arti peluangnya dibahas di Bab 31 tentang fungsi gelombang.

Niels Bohr menyebut gagasan bahwa gambaran gelombang dan partikel saling melengkapi, tetapi tidak tampil sekaligus dalam satu susunan percobaan, sebagai prinsip komplementaritas. Pertanyaan apa yang "sebenarnya" dilakukan elektron di antara sumber dan layar adalah soal tafsir, yang dibahas di Bab 35 tentang tafsir mekanika kuantum.

Dualitas dipakai setiap hari: sensor gambar CCD di kamera digital dan sensor medis memanfaatkan sifat partikel foton dan elektron, sedangkan mikroskop elektron memanfaatkan sifat gelombangnya.

Mikroskop elektron dan daya pisahnya

Mikroskopi elektron (electron microscopy) adalah mikroskopi yang memakai gelombang elektron untuk melihat rincian halus benda berukuran nano. Ernst Ruska membuat purwarupa mikroskop elektron pertama pada tahun 1931, berdasarkan gagasan bahwa medan magnet dapat mengarahkan berkas elektron seperti lensa mengarahkan cahaya.

Daya pisah alat optik dibatasi difraksi. Sudut terkecil antara dua titik yang masih terpisah lewat bukaan bulat berdiameter $D$ (m):

$\Delta\theta = 1{,}22\,\frac{\lambda}{D}$

dengan $\Delta\theta$ dalam radian. Makin pendek panjang gelombang, makin kecil sudut itu dan makin halus rincian yang terpisah (Contoh 3). Ketiga jenis mikroskop dibandingkan di tabel berikut.

Pada TEM, elektron dari elemen wolfram panas dipercepat di senapan elektron, difokuskan lensa elektromagnetik, lalu menembus sampel; seluruh susunan berada di ruang hampa supaya berkas tidak kehilangan energi, dan daya pisahnya hanya dibatasi aberasi sferis. SEM, yang ditemukan Manfred von Ardenne pada tahun 1937, tidak menembuskan berkas tetapi menghamburkannya di permukaan; bentuk permukaan direkonstruksi dari elektron terhambur balik, elektron yang menembus, dan radiasi yang dipancarkan atom sampel. Pratibha L. Gai dan Edward D. Boyes menambahkan ruang bergas pada TEM sehingga reaksi dapat diamati, dan Gai menjadi orang pertama yang melihat atom satu per satu.

Artinya bagi teknisi: garis berjarak 50 nm pada kasus pembuka di bawah batas 97 nm mikroskop cahaya, tetapi jauh di atas batas 1 nm SEM. Virus berukuran sekitar 20 sampai 300 nm, menurut Bab 2 · Biologi & Mikrobiologi tentang bakteri, spora, dan virus, juga hanya terlihat dengan mikroskop elektron. Perbesaran saja tidak menambah rincian bila panjang gelombangnya terlalu panjang; yang menentukan adalah daya pisah.

Prinsip ketidakpastian Heisenberg: posisi dan momentum

Partikel yang digambarkan sebagai paket gelombang tidak memiliki posisi yang tepat, sama seperti letak paket gelombang pada senar gitar tidak dapat ditunjuk di satu titik. Paket gelombang (wave packet) adalah gabungan banyak gelombang datar yang dipakai untuk menggambarkan partikel yang terlokalisasi. Paket yang lebih sempit memerlukan lebih banyak panjang gelombang, yaitu lebih banyak nilai momentum. Heisenberg merumuskan batasnya:

$\Delta x\,\Delta p \geq \frac{\hbar}{2}$

dengan $\Delta x$ ketidakpastian posisi (m), $\Delta p$ ketidakpastian momentum (kg·m/s), dan $\hbar = h/2\pi = 1{,}055 \times 10^{-34}$ J·s. Prinsip ketidakpastian Heisenberg (Heisenberg's uncertainty principle) adalah batas alam atas ketelitian pengukuran serentak posisi dan momentum suatu partikel. Bila $\Delta x$ kecil, $\Delta p$ besar, dan sebaliknya.

Prinsip ini tidak ada hubungannya dengan ketelitian alat percobaan. Dengan alat ukur sempurna pun ketidakpastian ini tetap ada, karena berasal dari sifat gelombang materi. Hasil kali terkecil, tanda sama dengan, dicapai fungsi Gauss atau kurva lonceng, dan tidak dapat dilampaui bahkan dengan alat terbaik di masa depan. Dalam The Physical Principles of the Quantum Theory, Heisenberg menulis bahwa memakai kata "posisi" dan "kecepatan" lebih teliti daripada hubungan itu sama tak bermaknanya dengan memakai kata yang artinya tidak didefinisikan.

Karena $\hbar$ sangat kecil, batas ini tidak terasa pada benda makroskopis. Bola boling yang kecepatannya diketahui sampai 1 mm/s masih dapat ditentukan posisinya sampai sekitar $9 \times 10^{-33}$ m, sedangkan elektron dengan ketelitian kecepatan yang sama hanya sampai 5,8 cm. Pada elektron yang terkurung di ruang seukuran atom, ketidakpastian ini menentukan energi minimumnya, yang taksirannya sekitar 1 eV untuk atom hidrogen (Contoh 5).

Ketidakpastian energi dan waktu

Bentuk lain menghubungkan ketidakpastian energi suatu keadaan kuantum $\Delta E$ (J) dengan ketidakpastian umurnya $\Delta t$ (s):

$\Delta E\,\Delta t \geq \frac{\hbar}{2}$

Artinya, keadaan kuantum yang hanya ada sebentar tidak dapat memiliki energi yang pasti, karena untuk mengukur energi dengan teliti keadaan itu harus diamati selama banyak siklus. Keadaan tereksitasi atom berumur terbatas, sehingga foton yang dipancarkannya sedikit berbeda energinya setiap kali, dan setiap garis spektrum memiliki lebar. Keadaan berumur pendek menghasilkan garis lebar, keadaan berumur panjang garis sempit. Atom yang tereksitasi sekitar $10^{-8}$ s memancarkan foton dengan sebaran frekuensi sekitar sepersejuta persen, sehingga cahayanya praktis monokromatik (Contoh 6). Garis spektrum atom dan laser dibahas lebih lanjut di Bab 32 tentang atom kuantum dan laser.

Contoh kerja

Angka dalam kasus pembuka, angka troli dan elektron 20 keV di tabel panjang gelombang, dan angka dalam contoh di bawah adalah angka latihan, kecuali disebut asalnya.

Contoh 1: elektron 1 eV dan Davisson-Germer. Dengan $hc = 1241$ eV·nm, elektron 1,0 eV memberi $\lambda = 1241/\sqrt{1{,}0\,(1{,}0 + 1{,}022 \times 10^{6})} = 1{,}23$ nm. Elektron 54 eV memberi $\lambda = 1241/\sqrt{54\,(54 + 1{,}022 \times 10^{6})} = 0{,}167$ nm, atau 1,67 Å. Dari pola difraksi, $\lambda = a\sin\varphi = 2{,}15 \sin 50^\circ = 1{,}65$ Å. Selisih kurang dari 2 persen itu mendukung hipotesis de Broglie.

Contoh 2: elektron di SEM dan TEM. Elektron SEM yang dipercepat 20 kV (di bawah batas 40 keV SEM): $\lambda = 1241/\sqrt{(2{,}0 \times 10^{4})(1{,}042 \times 10^{6})} = 8{,}6 \times 10^{-3}$ nm, atau 8,6 pm. Rumus nonrelativistik memberi 8,68 pm, hanya 1 persen lebih besar. Elektron TEM 400 keV memberi $\lambda = 1241/\sqrt{(4{,}0 \times 10^{5})(1{,}422 \times 10^{6})} = 1{,}65 \times 10^{-3}$ nm, atau 1,65 pm, sedangkan rumus nonrelativistik memberi 1,94 pm, 18 persen terlalu besar. Cahaya 550 nm sekitar $6{,}4 \times 10^{4}$ kali lebih panjang daripada gelombang elektron 20 keV.

Contoh 3: daya pisah. Berkas elektron 1,0 pm melewati bukaan bulat 2,0 µm: $\Delta\theta = (1{,}22)(1{,}0 \times 10^{-12})/(2{,}0 \times 10^{-6}) = 6{,}1 \times 10^{-7}$ rad, atau $3{,}5 \times 10^{-5}$ derajat. Dengan cahaya 400 nm pada bukaan yang sama, $\Delta\theta = 0{,}244$ rad atau sekitar 14°, sehingga semua rincian kabur. Sudut untuk elektron 400.000 kali lebih kecil.

Contoh 4: celah ganda elektron. Elektron dipercepat 600 V, sehingga $K = 600$ eV dan $\lambda = hc/\sqrt{2E_0K} = 1241/\sqrt{2(5{,}11 \times 10^{5})(600)} = 0{,}050$ nm. Dengan jarak celah 272 nm, $\sin\theta = 0{,}050/272 = 1{,}84 \times 10^{-4}$, sehingga pita terang pertama berada pada $\theta = 0{,}0105^\circ$ dan pita kelima sekitar 0,053°. Pada layar berjarak 1,0 m, jarak antarpita hanya $1{,}0 \times \tan 0{,}0105^\circ = 1{,}8 \times 10^{-4}$ m, atau 0,18 mm.

Contoh 5: elektron terkurung seukuran atom. Elektron di daerah selebar 0,1 nm memiliki $\Delta p \geq \hbar/(2\Delta x) = 1{,}055 \times 10^{-34}/(2 \times 10^{-10}) = 5{,}3 \times 10^{-25}$ kg·m/s, setara ketidakpastian kecepatan $5{,}3 \times 10^{-25}/(9{,}109 \times 10^{-31}) = 5{,}8 \times 10^{5}$ m/s. Cara ini dipakai untuk menaksir energi keadaan dasar hidrogen dengan $\hbar c = 197{,}3$ eV·nm dan $mc^2 = 0{,}511 \times 10^{6}$ eV: $E_0 = (\hbar c)^2/(8mc^2L^2) = 197{,}3^2/(8 \times 0{,}511 \times 10^{6} \times 0{,}1^2) = 0{,}952$ eV. Taksiran kasar ini berada di rentang elektronvolt dan kira-kira terkonfirmasi oleh energi ionisasi sekitar 10 eV.

Contoh 6: lebar garis spektrum. Atom berada di keadaan tereksitasi sekitar $\Delta t = 10^{-8}$ s, lalu memancarkan foton berfrekuensi rata-rata $7{,}1 \times 10^{14}$ Hz. Dari $h\Delta f \approx \hbar/(2\Delta t)$ diperoleh $\Delta f \approx 1/(4\pi\Delta t) = 8{,}0 \times 10^{6}$ Hz, sehingga $\Delta f/f = 8{,}0 \times 10^{6}/(7{,}1 \times 10^{14}) = 1{,}1 \times 10^{-8}$. Ketidakpastian energinya $\Delta E = \hbar/(2\Delta t) = 5{,}3 \times 10^{-27}$ J, atau $3{,}3 \times 10^{-8}$ eV, sangat kecil dibanding energi foton 2,94 eV, sehingga cahayanya praktis monokromatik.

Kondisi berhenti

Hentikan dan serahkan kepada pabrik, laboratorium, atau petugas berwenang bila:

1. Teknisi diminta membuka atau memperbaiki senapan elektron, catu tegangan tinggi, atau sistem hampa mikroskop elektron. Berkas sampai ratusan kiloelektronvolt berarti tegangan sampai ratusan kilovolt di dalam alat; pekerjaan itu milik teknisi pabrik.
2. Pelindung alat difraksi sinar-X atau mikroskop elektron tampak rusak, kunci pengamannya dijembatani, atau ada dugaan kebocoran radiasi. Sinar-X adalah radiasi pengion yang berbahaya bagi jaringan hidup dan tidak terlihat mata; pengukurannya milik petugas proteksi radiasi, seperti di Bab 33 tentang radiasi pengion.
3. Potongan patahan untuk laboratorium perlu dipotong dari mesin dengan panas atau gerinda di dekat permukaan patahan. Mintalah petunjuk laboratorium lebih dulu, karena panas dan gesekan merusak jejak halus yang dicari, dan ikuti cara melindungi patahan di Bab 10 · Mekanikal & Mekatronika tentang membaca patahan.
4. Hasil laboratorium akan menjadi dasar klaim garansi, asuransi, atau sengketa; kesimpulan penyebab kegagalan milik insinyur atau ahli yang berwenang.
5. Pemasok menawarkan produk untuk air, linen, atau kesehatan yang diklaim bekerja dengan "gelombang kuantum" tanpa data uji. Tunda pembelian dan nilai klaimnya dengan panduan di Bab 35 tentang tafsir mekanika kuantum dan klaim populer.

Salah tafsir yang sering terjadi

Hubungan dengan bab lain

Bab 29 tentang cahaya sebagai partikel memberi momentum foton $p = h/\lambda$, yang di sini diperluas ke partikel bermassa. Bab 20 tentang cahaya dan Bab 14 tentang gelombang dan bunyi memberi dasar gelombang dan superposisi, Bab 9 · Material tentang struktur kristal logam memberi kisi kristal, Bab 10 · Mekanikal & Mekatronika tentang membaca patahan memberi cara melindungi patahan, Bab 2 · Biologi & Mikrobiologi tentang bakteri, spora, dan virus memberi ukuran mikroba, dan Bab 15 tentang gas ideal dan teori kinetik memberi energi kinetik gas. Bab 31 melanjutkan ke fungsi gelombang dan persamaan Schrödinger, Bab 32 ke atom Bohr, garis spektrum, dan laser, Bab 33 ke radiasi pengion, dan Bab 35 ke tafsir mekanika kuantum dan klaim populer.

Latihan dan pembahasan

Referensi