Fungsi gelombang dan persamaan Schrödinger: peluang dan normalisasi, nilai harap, partikel dalam kotak, osilator harmonik kuantum, efek terowongan, dan penerapannya pada memori flash dan mikroskop terowongan

Papan kendali mesin cuci-peras di laundry sebuah hotel menyimpan program cuci, penghitung siklus, dan riwayat kode galat di memori flash. Beberapa bulan setelah sistem pengelolaan gedung disambungkan dan mulai menulis ulang parameter suhu setiap beberapa menit, satu papan kendali menolak menyimpan setelan baru dan kembali ke program bawaan. Manual pabrik menyebut bahwa memori itu hanya tahan sejumlah siklus tulis-hapus dan meminta penulisan parameter dibatasi. Teknisi heran: apa yang dapat aus pada chip tanpa bagian bergerak? Memori flash menulis dan menghapus data dengan mendorong elektron menembus lapisan isolator tipis, sesuatu yang mustahil menurut fisika klasik, dan setiap lintasan seperti itu sedikit demi sedikit merusak isolatornya.

Penembusan itu, efek terowongan, adalah akibat cara mekanika kuantum menggambarkan partikel: dengan fungsi gelombang yang memberi peluang, bukan lintasan pasti. Bab ini membangun alat dasarnya dan menghitung akibatnya dengan angka.

Batas pembahasan

Bab ini membahas fungsi gelombang, normalisasi, nilai harap, persamaan Schrödinger, partikel dalam kotak, osilator harmonik kuantum, efek terowongan, dan penerapannya. Rumus disajikan tanpa turunan panjang, lalu dipakai dengan angka.

Foton dan hipotesis Planck dibahas di Bab 29 tentang cahaya sebagai partikel, gelombang de Broglie dan prinsip ketidakpastian di Bab 30 tentang gelombang materi, atom hidrogen dan laser di Bab 32 tentang atom kuantum, peluruhan alfa sebagai radiasi pengion di Bab 33 tentang fisika nuklir, dan qubit di Bab 34 tentang teknologi kuantum. Arti filosofis keruntuhan fungsi gelombang dibahas di Bab 35 tentang tafsir mekanika kuantum. Aturan dasar peluang ada di Bab 10 · Data & Pengukuran tentang peluang untuk teknisi, getaran klasik di Bab 13 tentang getaran harmonik, dan dioda di Bab 26 tentang semikonduktor.

Fungsi gelombang dan tafsir peluang Born

Fungsi gelombang (wave function) adalah fungsi matematis yang menyatakan keadaan kuantum sebuah partikel atau sistem kuantum. Untuk gerak pada satu garis, fungsi gelombang ditulis $\Psi(x,t)$. Maknanya dapat dijelaskan dengan interferensi celah ganda memakai cahaya sangat lemah: tumbukan foton muncul satu per satu sebagai titik di layar dan lama-kelamaan membentuk pola terang-gelap. Peluang foton mengenai suatu tempat sebanding dengan kuadrat medan listrik di sana, dan pola yang sama terbentuk untuk elektron.

Kerapatan peluang (probability density) adalah peluang menemukan partikel per satuan panjang di sekitar suatu posisi pada waktu tertentu. Tafsir Born (Born interpretation) adalah tafsir yang menyatakan bahwa kuadrat besar fungsi gelombang partikel memberi kerapatan peluang menemukan partikel. Peluang dalam selang sempit dan dalam selang lebar:

$P(x, x + dx) = |\Psi(x,t)|^2\,dx \qquad P(x_1 \le x \le x_2) = \int_{x_1}^{x_2} |\Psi(x,t)|^2\,dx$

Integral itu sama dengan luas di bawah kurva $|\Psi|^2$. Bila $\Psi$ hampir tetap di sepanjang $\Delta x$, peluangnya kira-kira $|\Psi|^2\Delta x$. Pengkuadratan menjamin peluang positif. Pada satu dimensi, $|\Psi|^2$ bersatuan per meter dan $\Psi$ per akar meter.

Fungsi gelombang umumnya kompleks, memuat $i = \sqrt{-1}$, padahal hasil ukur selalu real. Karena itu $|\Psi|^2 = \Psi^*\Psi$, dengan konjugat $\Psi^*$ yang diperoleh dengan mengganti setiap $i$ menjadi $-i$; hasil kalinya selalu real. Fungsi gelombang sendiri tidak sesuai dengan besaran terukur; fungsi itu adalah alat untuk meramalkan nilai besaran fisis.

Ketika partikel dideteksi, partikel ditemukan di satu tempat dengan peluang sesuai $|\Psi|^2$. Proses ini disebut keruntuhan fungsi gelombang, dan jawaban ini disebut tafsir Kopenhagen, pandangan yang paling umum diajarkan; tafsir lain dibahas di Bab 35 tentang tafsir mekanika kuantum.

Normalisasi dan nilai harap

Syarat normalisasi (normalization condition) adalah syarat bahwa kerapatan peluang yang diintegralkan atas seluruh ruang fisis menghasilkan angka satu. Untuk satu dimensi:

$\int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,t)|^2\,dx = 1$

Fungsi gelombang harus dinormalisasi sebelum dipakai meramalkan apa pun. Contohnya bola di dalam tabung sepanjang $L$ yang berpeluang sama ditemukan di mana saja: $\Psi = C$, normalisasi memberi $C = 1/\sqrt{L}$, dan peluang di separuh kiri 0,50. Bila bola lebih sering di tengah, $\Psi = \sqrt{2/L}\cos(\pi x/L)$ dengan pusat koordinat di tengah tabung, dan peluang di seperempat terakhir hanya 0,091. Kesalahan yang umum adalah lupa mengkuadratkan fungsi gelombang sebelum mengintegralkannya.

Nilai harap (expectation value) adalah nilai rata-rata suatu besaran fisis untuk sejumlah besar partikel yang memiliki fungsi gelombang yang sama. Untuk posisi:

$\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \Psi^*(x,t)\,x\,\Psi(x,t)\,dx$

Besaran lain memakai operator yang diapit $\Psi^*$ dan $\Psi$: operator momentum $-i\hbar\,d/dx$ dan operator energi kinetik $-(\hbar^2/2m)\,d^2/dx^2$, dengan $\hbar = h/2\pi$. Integral fungsi ganjil atas seluruh ruang bernilai nol, sehingga simetri sering memudahkan hitungan. Untuk partikel di antara 0 dan $L$ dengan $\psi = \sqrt{2/L}\sin(\pi x/L)$, hasilnya $\langle x \rangle = L/2$, $\langle p \rangle = 0$, dan $\langle K \rangle = h^2/(8mL^2)$: partikel berpeluang sama bergerak ke kanan atau ke kiri, tetapi tidak diam.

Persamaan Schrödinger

Persamaan gelombang partikel dibangun dari hubungan energi-momentum nonrelativistik, $E = p^2/2m + U$. Hasilnya persamaan Schrödinger bergantung waktu:

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} + U(x,t)\,\Psi(x,t) = i\hbar\,\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}$

dengan $m$ massa partikel dan $U$ energi potensial. Persamaan ini berperan seperti hukum kedua Newton: setelah energi potensial diketahui, persamaan diselesaikan untuk fungsi gelombang yang memberi tahu di mana partikel mungkin berada. Penyelesaiannya sering memerlukan komputer. Untuk persamaan yang tidak dapat dipecahkan secara aljabar, misalnya mencari lebar penghalang dari rumus transmisi eksak, cara bagi dua di Bab 12 · Satuan & Matematika tentang metode numerik lapangan dapat dipakai.

Untuk partikel bebas, $\Psi = Ae^{i(kx - \omega t)}$ adalah penyelesaian yang sah, sedangkan sinus atau kosinus real tidak. Bilangan imajiner itu menghapus anggapan bahwa fungsi gelombang dapat dilihat atau disentuh. Bila energi potensial tidak bergantung waktu, $\Psi(x,t) = \psi(x)\,e^{-iEt/\hbar}$, dengan $E$ energi total, dan bagian ruangnya memenuhi persamaan Schrödinger tidak bergantung waktu:

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + U(x)\,\psi(x) = E\,\psi(x)$

Keadaan stasioner (stationary state) adalah keadaan yang fungsi kerapatan peluangnya tidak berubah terhadap waktu. Partikel dalam keadaan stasioner tidak diam; yang tetap adalah ramalan peluangnya. Penyelesaian $\psi(x)$ harus kontinu, turunan pertamanya kontinu kecuali di tempat energi potensial tak berhingga, dan tidak membesar tanpa batas di $x = \pm\infty$ agar dapat dinormalisasi.

Partikel dalam kotak

Partikel bermassa $m$ terkurung di antara dinding keras pada $x = 0$ dan $x = L$, dengan energi potensial nol di dalam dan tak berhingga di luar; model ini disebut sumur persegi tak berhingga. Syarat batas $\psi(0) = \psi(L) = 0$ hanya dipenuhi gelombang berdiri dengan $kL = n\pi$, sehingga:

$E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2} \qquad \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\,\sin\frac{n\pi x}{L} \qquad n = 1, 2, 3, \ldots$

Nilai $n = 0$ dibuang karena fungsi gelombangnya nol di mana-mana. Energi keadaan dasar (ground state energy) adalah energi terendah dalam spektrum energi sebuah sistem. Untuk kotak, $E_1$ tidak nol, sehingga partikel terkurung tidak mungkin diam. Tingkat lain bernilai $E_n = n^2E_1$, dan selisih dua tingkat berdekatan $(2n + 1)E_1$ makin lebar untuk $n$ besar. Kuantisasi ini akibat syarat batas; partikel bebas punya energi malar.

Ukuran kotak dan massa menentukan besarnya energi:

Pada keadaan dasar, partikel paling mungkin ditemukan di tengah kotak; pada $n = 2$, kerapatan di tengah tepat nol. Untuk $n$ sangat besar, kerapatan berayun sangat cepat sehingga peluang di setiap selang praktis sama, seperti partikel klasik. Prinsip korespondensi (correspondence principle) adalah prinsip bahwa ramalan mekanika kuantum harus sama dengan ramalan mekanika klasik untuk sistem makroskopis atau bilangan kuantum yang sangat besar. Niels Bohr menyatakannya pada 1920. Model kotak diterapkan pada optoelektronika dan partikel nano yang terperangkap di antara penghalang potensial tinggi.

Osilator harmonik kuantum

Osilator klasik, misalnya massa pada pegas di Bab 13 tentang getaran harmonik, bergetar dengan $\omega = \sqrt{k/m}$, berenergi malar dengan nilai terendah nol, dan paling lama berada di dekat titik balik. Model kuantumnya memakai $U(x) = \tfrac{1}{2}m\omega^2x^2$, dan hasilnya ditulis di sini tanpa penurunan:

$E_n = \left(n + \tfrac{1}{2}\right)\hbar\omega \qquad n = 0, 1, 2, 3, \ldots$

Tingkatnya berjarak sama, $\Delta E = \hbar\omega = hf$, sehingga osilator hanya menyerap atau memancarkan energi dalam kelipatan $hf$, sesuai hipotesis Planck di Bab 29 tentang cahaya sebagai partikel.

Ada tiga perbedaan dari osilator klasik. Pertama, energi keadaan dasarnya $E_0 = \hbar\omega/2$. Energi titik nol (zero-point energy) adalah energi terendah yang tetap dimiliki sistem kuantum yang terkurung, bahkan pada keadaan dasarnya. Partikel yang diam di dasar sumur akan punya posisi dan momentum yang sama-sama pasti, sesuatu yang dilarang prinsip ketidakpastian di Bab 30 tentang gelombang materi. Kedua, partikel dapat ditemukan di luar titik balik klasik, dengan peluang sekitar 16 persen pada keadaan dasar. Ketiga, pada keadaan dasar partikel paling mungkin ditemukan di tengah sumur, tempat yang justru paling jarang ditempati osilator klasik. Untuk $n$ tinggi, sebarannya mendekati sebaran klasik.

Model ini dipakai untuk getaran molekul. Pada HCl, atom klor 35 kali lebih berat daripada hidrogen, sehingga hidrogen dapat dianggap bergetar terhadap klor yang diam; garis terendah spektrum getarannya berada pada $8{,}88 \times 10^{13}$ Hz di daerah inframerah (Contoh 3). Rentang inframerah dibahas di Bab 21 tentang radiasi elektromagnetik.

Efek terowongan

Bayangkan bola berenergi kinetik 100 J yang menuju bukit. Bila energi potensial di puncak 10 J, bola selalu lewat; bila 200 J, bola selalu kembali. Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang bola terdefinisi di seluruh ruang, sehingga selalu ada peluang bola ditemukan di balik bukit, dan peluang itu cukup besar bila paket gelombangnya lebih lebar daripada penghalang.

Efek terowongan kuantum (quantum tunneling) adalah gejala ketika partikel menembus penghalang energi potensial yang lebih tinggi daripada energi total partikel. Untuk penghalang persegi setinggi $U_0$ dan selebar $L$, fungsi gelombang berayun di luar penghalang dan meluruh secara eksponensial di dalamnya, dengan:

$\beta = \frac{\sqrt{2m(U_0 - E)}}{\hbar}$

Peluang transmisi (transmission probability) adalah peluang sebuah partikel dalam berkas yang datang untuk menerobos penghalang potensial. Peluang ini sama dengan nisbah kuadrat amplitudo gelombang yang diteruskan terhadap gelombang datang. Rumus eksaknya dan pendekatan untuk penghalang yang lebar dan tinggi:

$T = \frac{1}{\cosh^2\beta L + (\gamma/2)^2\sinh^2\beta L} \qquad T \approx 16\,\frac{E}{U_0}\left(1 - \frac{E}{U_0}\right)e^{-2\beta L}$

dengan $\gamma = \beta/k - k/\beta$ dan $k = \sqrt{2mE}/\hbar$. Untuk elektron, $2m/\hbar^2 = 26{,}254$ per eV per nm², sehingga $\beta$ dalam per nanometer sama dengan $\sqrt{26{,}254\,(U_0 - E)}$ dengan $U_0 - E$ dalam eV.

Tebal penghalang berada di eksponen, sehingga penambahan tebal yang kecil menurunkan peluang secara drastis. Tinggi penghalang di atas energi partikel dan massa partikel masuk lewat $\beta$, sebanding dengan akar keduanya. Peluang terowongan lebih dipengaruhi lebar penghalang daripada energi partikel, dan tinggi serta lebar penghalang dapat diatur untuk merancang divais nano (Contoh 4 dan 6). Penembusan penghalang pertama kali dianalisis Friedrich Hund pada 1927, George Gamow memakainya untuk menjelaskan peluruhan alfa setahun kemudian, dan dioda terowongan ditemukan pada 1957.

Penerapan efek terowongan

Peluruhan alfa. Partikel alfa terkurung di dalam inti oleh potensial nuklir, tetapi dinding kurungannya tidak tebal tak berhingga. Energi partikel alfa dari berbagai isotop hanya sekitar 4 sampai 9 MeV, sedangkan waktu paruhnya dari 160 µs untuk polonium-214 sampai 4,5 miliar tahun untuk uranium. Energi yang lebih tinggi berarti penghalang yang lebih sempit, dan karena kebergantungannya eksponensial, sedikit tambahan energi memperpendek waktu paruh secara tidak sebanding. Radiasi alfa dibahas di Bab 33 tentang fisika nuklir.

Emisi medan. Medan listrik kuat yang tegak lurus permukaan penghantar dapat melepaskan elektron melalui terowongan. Lebar penghalang $L = \phi/(eE_g)$, yaitu fungsi kerja $\phi$ dibagi muatan elektron dan kuat medan $E_g$, sehingga medan yang lebih kuat memperbesar arus terowongan secara eksponensial. Medan listrik dibahas di Bab 18 tentang medan dan potensial listrik.

Mikroskop terowongan. Mikroskop terowongan payar (scanning tunneling microscope, STM) adalah alat yang memakai efek terowongan di permukaan logam untuk membuat citra struktur berskala nano. Alat ini ditemukan Gerd Binnig dan Heinrich Rohrer pada 1981. Ujung jarum wolfram, platina-iridium, atau emas dijaga piezoelektrik sekitar 0,4 sampai 0,7 nm di atas permukaan, dan arus terowongan dicatat di setiap posisi. Resolusinya sekitar 0,001 nm, kira-kira 1 persen diameter atom (Contoh 5).

Dioda terowongan. Elektron menembus satu penghalang pada sambungan dua semikonduktor yang berbeda; arus berubah tidak linear dan dapat turun ketika tegangan dinaikkan, berbeda dari hukum Ohm, dan perilaku cepat ini berguna untuk divais berkecepatan tinggi. Dioda terowongan resonan memakai titik kuantum galium arsenida di dalam aluminium arsenida, dan arus hanya mengalir ketika energi elektron di luar sama dengan satu tingkat energi di dalam titik kuantum; susunan ini bekerja sebagai sakelar nano yang sangat cepat. Sambungan p-n biasa dibahas di Bab 26 tentang semikonduktor.

Memori flash. Setiap sel menyimpan bit sebagai muatan pada gerbang mengambang yang dikelilingi oksida tipis. Untuk menulis atau menghapus, rangkaian memberi medan kuat sehingga elektron menembus oksida, mirip emisi medan; tanpa medan itu, peluang terowongan sangat kecil dan muatan bertahan lama. Setiap siklus merusak oksida sedikit, sehingga jumlah siklusnya terbatas dan dicantumkan di lembar data pabrik.

Contoh kerja

Angka dalam contoh di bawah adalah angka latihan, kecuali disebut asalnya.

Contoh 1: tetapan normalisasi dan selang sempit. Kotak 1,0 nm: $A = \sqrt{2/(1{,}0 \times 10^{-9})} = 4{,}47 \times 10^{4}$ per akar meter. Di tengah kotak $|\psi|^2 = 2/L = 2{,}0 \times 10^{9}$ per meter, sehingga peluang dalam selang 0,010 nm adalah $2{,}0 \times 10^{9} \times 1{,}0 \times 10^{-11} = 0{,}020$. Contoh konjugat: $(3 + 4i)(3 - 4i) = 9 - 16i^2 = 25$.

Contoh 2: elektron dalam kotak nanometer. Kotak 1,00 nm, dengan $m_e = 9{,}109 \times 10^{-31}$ kg dan $\hbar = 1{,}055 \times 10^{-34}$ J·s dari tabel konstanta dasar: $E_1 = \pi^2\hbar^2/(2mL^2) = 6{,}02 \times 10^{-20}$ J $= 0{,}376$ eV, $E_2 = 1{,}50$ eV, $E_3 = 3{,}38$ eV. Transisi $n = 2$ ke $n = 1$ melepaskan $3E_1 = 1{,}13$ eV, foton $1240/1{,}13 \approx 1.100$ nm. Kotak 0,50 nm memberi $E_1 = 1{,}50$ eV, empat kali lebih besar.

Contoh 3: getaran HCl. Dari $f = 8{,}88 \times 10^{13}$ Hz diperoleh $\Delta E = hf = 0{,}368$ eV dan $k = m(2\pi f)^2 = 520$ N/m dengan $m = 1{,}67 \times 10^{-27}$ kg. Energi titik nolnya 0,184 eV dan foton transisinya $c/f = 3{,}38$ µm. Energi termal 300 K, $k_BT = 0{,}02585$ eV, hanya sekitar $1/14$ dari $\Delta E$; tumbukan termal suhu ruang jarang mengangkat getaran ke tingkat berikutnya.

Contoh 4: oksida di antara dua kawat nano tembaga. Penghalang 10,0 eV dan elektron 7,00 eV, sehingga $\beta = \sqrt{26{,}254 \times 3{,}00} = 8{,}875$ per nm dan prafaktor $16(0{,}7)(0{,}3) = 3{,}36$. Peluang transmisinya untuk beberapa tebal dan energi:

Menipiskan oksida dari 1,00 menjadi 0,50 nm menaikkan peluang sekitar 7.150 kali, dan rumus eksak memberi $6{,}6 \times 10^{-8}$ juga untuk 1,00 nm. Kesimpulannya: lebar penghalang paling menentukan.

Contoh 5: kepekaan STM. Arus sebanding $e^{-2\beta L}$ dengan $\beta = 10{,}0$ per nm. Nisbah arus pada 0,500 nm terhadap 0,515 nm adalah $e^{2 \times 10{,}0 \times 0{,}015} = e^{0{,}30} = 1{,}35$. Beda tinggi 0,001 nm mengubah arus $e^{0{,}02} - 1 = 2{,}02$ persen, masih terukur elektronik alat.

Contoh 6: elektron dan proton pada penghalang yang sama. Partikel 1,00 eV pada penghalang 10,00 eV. Untuk elektron $\beta = \sqrt{26{,}254 \times 9{,}00} = 15{,}37$ per nm; proton 1.836 kali lebih berat, sehingga $\beta = 15{,}37 \times 42{,}85 = 659$ per nm. Untuk penghalang 0,10 nm, $T_e \approx 1{,}44\,e^{-3{,}07} = 0{,}067$ dan $T_p \approx 1{,}44\,e^{-131{,}7} \approx 9 \times 10^{-58}$. Untuk peluang yang sama, penghalang proton harus hanya $\sqrt{m_e/m_p} = 2{,}3$ persen lebar penghalang elektron.

Kondisi berhenti

Hentikan pekerjaan dan serahkan kepada pihak berwenang bila:

1. Pengendali menampilkan galat memori, parameter berubah sendiri, atau kembali ke setelan bawaan pada mesin dengan fungsi keselamatan atau higiene, misalnya autoklaf, mesin cuci desinfeksi termal, ketel, atau pemanas. Hentikan pemakaian, catat gejala, dan laporkan ke pabrik; siklus sterilisasi tidak dijalankan sebelum parameter diverifikasi, sesuai Bab 22 · Biologi & Mikrobiologi tentang sterilisasi dan pembuktiannya.
2. Pemrograman ulang perangkat lunak tertanam, penggantian chip memori, atau pemindahan data antarpapan diminta tanpa berkas, alat, dan prosedur pabrik.
3. Papan kendali akan dibuka ketika masih bertegangan; isolasi listrik sesuai Bab 1 · Keselamatan tentang bahaya dan kondisi berhenti.
4. Sistem gedung akan diatur menulis parameter ke pengendali mesin secara otomatis tanpa persetujuan pabrik tentang frekuensi penulisan.
5. Model kuantum sederhana di bab ini akan dipakai menilai tebal isolasi kabel, jarak aman tegangan, atau umur memori; keputusan itu diambil dari lembar data, standar, dan manual pabrik.

Salah tafsir yang sering terjadi

Hubungan dengan bab lain

Hipotesis Planck di Bab 29 tentang cahaya sebagai partikel muncul kembali pada osilator, dan prinsip ketidakpastian di Bab 30 tentang gelombang materi menjelaskan energi titik nol. Bab 32 tentang atom kuantum memakai persamaan Schrödinger untuk hidrogen, Bab 33 tentang fisika nuklir membahas radiasi alfa, Bab 34 tentang teknologi kuantum membahas qubit, dan Bab 35 tentang tafsir mekanika kuantum membahas arti pengukuran.

Latihan dan pembahasan

Referensi