Peluang untuk teknisi: aturan dasar, kejadian bebas dan bersyarat, distribusi binomial dan Poisson, peluang gangguan dan stok suku cadang, teorema Bayes untuk alarm dan uji diagnosis, dan positif palsu

Sensor kebocoran gas di dapur utama sebuah hotel berbunyi tujuh kali dalam setahun. Setiap kali, dapur dikosongkan, katup gas ditutup, dan tim teknik memeriksa sambungan dengan detektor portabel; tidak satu pun kebocoran ditemukan. Juru masak mulai menggerutu setiap kali sirene menyala, dan seorang penyelia bertanya apakah sensornya rusak, karena menurut pemasok sensor itu "jarang salah". Keduanya bisa benar sekaligus. Bila kebocoran sungguhan hanya terjadi sekali dalam beberapa tahun, sensor yang diam pada 98 dari 100 hari normal tetap dapat menghasilkan jauh lebih banyak alarm palsu daripada alarm benar. Bab ini memberi alat hitung untuk keadaan seperti itu, dengan tujuan memperbaiki sistem dan keputusan, bukan mencari alasan untuk mengabaikan alarm.

Batas pembahasan

Bab ini membahas aturan peluang, binomial dan Poisson untuk gangguan dan stok suku cadang lambat, serta teorema Bayes untuk alarm dan uji diagnosis. Rata-rata, simpangan baku, dan distribusi dasar ada di Bab 2 tentang variasi dan ringkasan data. Distribusi eksponensial, keandalan sistem seri dan paralel, dan penyebab bersama ada di Bab 10 · Sistem, Diagram & Diagnosis tentang keandalan. Peluang menangkap gangguan berselang dengan pencatat data ada di Bab 12 · Sistem, Diagram & Diagnosis tentang diagnosis gangguan berselang. Peluang paling sedikit satu cacat dalam sampel, aturan tiga, dan sampling penerimaan ada di Bab 6 tentang sampling. Titik pesan ulang dan stok pengaman dengan anggapan pemakaian normal ada di Bab 5 · Kerja Lapangan & Serah Terima tentang suku cadang dan stok. Nilai p dan uji hipotesis ada di Bab 8 tentang uji perbandingan. Cara kerja detektor gas ada di Bab 11 · Kimia tentang gas berbahaya, dan alarm kebakaran di Bab 17 · Bangunan & Fasilitas tentang proteksi kebakaran. Semua angka contoh di bab ini bukan laju gangguan atau alarm palsu terukur.

Peluang sebagai frekuensi jangka panjang

Peluang (probability) adalah ukuran seberapa pasti suatu hasil terjadi, dinyatakan sebagai bilangan dari 0 sampai 1. Peluang sebuah hasil dapat dibaca sebagai frekuensi relatif jangka panjangnya; peluang 0 berarti hasil tidak pernah terjadi dan peluang 1 berarti hasil selalu terjadi. Hukum bilangan besar menyatakan bahwa makin banyak percobaan diulang, frekuensi relatif makin dekat ke peluang teoretis, sedangkan hasil jangka pendek boleh menyimpang.

Bagi teknisi, "peluang pompa rusak dalam sebulan 0,05" berarti sekitar 5 dari 100 pompa-bulan sejenis berakhir dengan kerusakan, tidak berarti pompa akan rusak pada bulan ke-20. Nilai harapan (expected value) adalah rata-rata jangka panjang suatu besaran acak bila percobaannya diulang terus. Nilai harapan 0,6 kerusakan per bulan tidak pernah terjadi tepat; yang terjadi 0, 1, atau 2 kerusakan.

Komplemen (complement) adalah kejadian yang berisi semua hasil di luar suatu kejadian yang dimaksud. Peluang suatu kejadian $A$ dan komplemennya $A'$ berjumlah satu:

$$P(A) + P(A') = 1$$

Komplemen adalah jalan pintas untuk "paling sedikit satu": satu dikurangi peluang tidak ada kejadian. Bab 6 tentang sampling memakainya untuk sampel, dan Bab 12 · Sistem, Diagram & Diagnosis tentang gangguan berselang memakainya untuk peluang menangkap gangguan.

Aturan penjumlahan dan perkalian

Dua aturan dasar menghitung peluang gabungan dua kejadian $A$ dan $B$:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B), \qquad P(A \cap B) = P(B)\,P(A \mid B)$$

dengan $A \cup B$ berarti "$A$ atau $B$ atau keduanya", $A \cap B$ berarti "$A$ dan $B$ bersamaan", dan $P(A \mid B)$ peluang $A$ bila $B$ sudah diketahui terjadi. Suku pengurang mencegah hasil yang termasuk keduanya terhitung dua kali.

Kejadian saling lepas (mutually exclusive events) adalah dua kejadian yang tidak dapat terjadi bersamaan, sehingga peluang keduanya terjadi bersama bernilai nol. Untuk kejadian saling lepas, aturan penjumlahan menjadi jumlah biasa.

Kejadian bebas dan peluang bersyarat

Peluang bersyarat (conditional probability) adalah peluang suatu kejadian bila kejadian lain diketahui sudah terjadi. Rumusnya ditulis sebagai berikut, dan syarat itu memperkecil ruang sampel menjadi kejadian $B$ saja:

$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Kejadian bebas (independent events) adalah dua kejadian yang terjadinya salah satu tidak mengubah peluang terjadinya yang lain. Dua kejadian bebas bila $P(A \mid B) = P(A)$, atau $P(B \mid A) = P(B)$, atau $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$; cukup satu syarat yang ditunjukkan. Ada tiga hal yang penting di lapangan: bebas dan saling lepas tidak berarti sama, pengambilan tanpa pengembalian membuat kejadian tidak bebas, dan bila tidak diketahui apakah dua kejadian bebas, keduanya dianggap tidak bebas sampai terbukti sebaliknya. Dua kejadian saling lepas yang masing-masing mungkin terjadi justru tidak bebas, karena bila satu terjadi, yang lain pasti tidak terjadi.

Di pekerjaan servis, ketergantungan muncul dari penyebab bersama yang dibahas di Bab 10 · Sistem, Diagram & Diagnosis tentang keandalan: dua pompa dengan satu pasokan listrik, dua sensor pada satu kabel, atau beberapa mesin yang dirawat dengan prosedur salah yang sama. Mengalikan peluang masing-masing hanya sah bila kebebasannya masuk akal. Mengambil suku cadang satu per satu dari lot kecil yang berisi beberapa unit cacat adalah pengambilan tanpa pengembalian.

Kebebasan data servis paling mudah diuji dengan tabel kontingensi, yaitu tabel data dua variabel yang memudahkan menghitung peluang bersyarat, seperti pada Latihan 1.

Distribusi binomial: berapa unit rusak dari sekelompok mesin

Distribusi binomial (binomial distribution) adalah distribusi jumlah sukses dalam sejumlah percobaan tetap bila setiap percobaan hanya mempunyai dua hasil, peluang suksesnya sama, dan percobaan saling bebas. "Sukses" hanya nama untuk hasil yang dihitung, misalnya unit yang rusak. Dengan $n$ jumlah percobaan, $p$ peluang sukses setiap percobaan, $q = 1 - p$, dan $x$ jumlah sukses:

$$P(x) = \frac{n!}{x!\,(n-x)!}\,p^x q^{\,n-x}, \qquad \mu = np, \qquad \sigma = \sqrt{npq}$$

$\mu$ dan $\sigma$ bersatuan sama dengan $x$, misalnya unit rusak per bulan. Binomial cocok untuk pertanyaan "dari 12 pengering, berapa peluang dua atau lebih rusak bulan ini". Dua syaratnya sering dilanggar: $p$ tidak sama bila sebagian mesin jauh lebih tua, dan kerusakan tidak bebas bila ada penyebab bersama, sehingga binomial meremehkan peluang beberapa mesin rusak bersamaan. Binomial boleh dipakai untuk mendekati pengambilan tanpa pengembalian bila sampel kurang dari 10 persen populasi. Pemakaian binomial untuk menerima atau menolak lot dibahas di Bab 6 tentang sampling.

Distribusi Poisson: gangguan per bulan dan stok suku cadang lambat

Distribusi Poisson (Poisson distribution) adalah distribusi jumlah kejadian dalam selang waktu atau ruang yang tetap bila kejadian terjadi dengan laju rata-rata yang diketahui dan bebas dari waktu sejak kejadian terakhir. Dengan $\mu$ rata-rata jumlah kejadian dalam selang yang ditanyakan dan $x$ jumlah kejadian:

$$P(x) = \frac{\mu^x e^{-\mu}}{x!}, \qquad \sigma = \sqrt{\mu}$$

Rata-rata harus diskalakan ke selang yang ditanyakan; 12 kejadian per 30 menit, misalnya, menjadi 2 kejadian per 5 menit. Poisson memerlukan laju tetap di dalam selang, tidak ada dua kejadian serentak, dan kejadian antarselang bebas, dan dipakai untuk menentukan jumlah kasir dan saluran telepon. Padanannya di bagian teknik adalah jumlah suku cadang yang disimpan dan teknisi yang disiagakan. Peluang tidak ada kejadian, $e^{-\mu}$, adalah dasar rumus menangkap kejadian di Bab 12 · Sistem, Diagram & Diagnosis tentang gangguan berselang.

Poisson juga mendekati binomial bila $n$ besar dan $p$ kecil, misalnya $p$ sekitar 0,01 dan $n$ sekitar 1.000. Aturan praktisnya berbeda antarpenulis ($np$ kurang dari 25, kurang dari 7, atau $p \le 0{,}01$ dan $n \ge 25$), dan tidak ada satu aturan yang diterima luas.

Bab 5 · Kerja Lapangan & Serah Terima tentang suku cadang dan stok menghitung stok pengaman dengan $SS = z\,\sigma_d\sqrt{L}$, yang menganggap pemakaian selama waktu tunggu tersebar normal. Untuk barang yang dipakai sekali atau dua kali dalam satu waktu tunggu, anggapan itu kasar. Bila pemakaian selama waktu tunggu mengikuti Poisson dengan rata-rata $\mu$, dan pesanan dikirim ketika stok tinggal $k$, peluang tidak kehabisan sebelum barang datang adalah $P(X \le k)$:

Tabel ini hanya berlaku bila lajunya tetap. Laju naik ketika mesin menua atau musim ramai, dan kejadian berkelompok ketika satu gangguan listrik mematikan beberapa mesin. Tandanya, ragam jumlah kejadian per bulan jauh lebih besar dari rata-ratanya, dan tabel menjadi terlalu optimistis.

Teorema Bayes: membalik arah peluang bersyarat

Pabrik dan laboratorium biasanya memberi peluang hasil bila keadaannya diketahui: berapa sering alarm berbunyi bila ada kebocoran dan bila tidak ada. Teknisi memerlukan arah sebaliknya: alarm sudah berbunyi, berapa peluang kebocoran memang ada. Teorema Bayes (Bayes' theorem) adalah aturan untuk menghitung peluang suatu keadaan setelah sebuah bukti diamati, dari peluang keadaan sebelum bukti dan peluang bukti pada setiap keadaan. Aturan ini diturunkan langsung dari aturan perkalian dan komplemen:

$$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A)\,P(A)}{P(B \mid A)\,P(A) + P(B \mid A')\,P(A')}$$

dengan $A$ keadaan yang dicari, misalnya kebocoran, dan $B$ bukti, misalnya alarm. Istilah berikut membuat rumus itu mudah dibaca.

Kepekaan (sensitivity) adalah peluang uji atau alarm memberi hasil positif bila keadaan yang dicari benar-benar ada. Kekhususan (specificity) adalah peluang uji atau alarm memberi hasil negatif bila keadaan yang dicari tidak ada. Prevalensi (prevalence) adalah bagian unit atau selang waktu yang benar-benar mengandung keadaan yang dicari sebelum uji dilakukan. Positif palsu (false positive) adalah hasil uji atau alarm yang menyatakan keadaan ada padahal keadaan tidak ada. Pada uji kanker, misalnya, positif palsu adalah hasil uji yang menyatakan kanker pada orang yang tidak mengidapnya, sehingga hasil positif saja belum cukup untuk menganggap orang itu sakit. Negatif palsu (false negative) adalah hasil uji atau alarm yang menyatakan keadaan tidak ada padahal keadaan ada.

Kepekaan dan kekhususan adalah sifat uji dan tidak bergantung pada prevalensi, sedangkan nilai duga bergantung kuat pada seberapa umum keadaan yang dicari. Nilai duga positif (positive predictive value) adalah peluang keadaan benar-benar ada bila uji atau alarm memberi hasil positif. Nilai duga negatif (negative predictive value) adalah peluang keadaan benar-benar tidak ada bila hasilnya negatif. Dengan $Se$ kepekaan, $Sp$ kekhususan, dan $p$ prevalensi, ketiganya tanpa satuan:

$$PPV = \frac{Se\,p}{Se\,p + (1 - Sp)(1 - p)}, \qquad NPV = \frac{Sp\,(1-p)}{Sp\,(1-p) + (1 - Se)\,p}$$

Hitungan paling aman dikerjakan dengan frekuensi alami: bayangkan 1.000 unit atau 10.000 hari, bagi menurut keadaan sebenarnya, lalu bagi lagi menurut hasil uji. Susunan ini sama dengan diagram pohon, tempat peluang ujung cabang adalah hasil kali peluang cabang-cabangnya.

Mengapa alarm yang jarang salah tetap lebih sering salah daripada benar

Kekhususan 98 persen terdengar tinggi, tetapi 2 persen dari ribuan hari normal tetap menghasilkan puluhan alarm palsu, sementara kebocoran sungguhan mungkin hanya beberapa. Nilai duga positif menjadi rendah walaupun sensor bekerja sesuai spesifikasi. Angka "akurasi" saja menyesatkan: uji yang selalu negatif pada prevalensi 1 persen benar pada 99 persen kasus tanpa pernah menemukan keadaan yang dicari.

Galat tipe I (type I error) adalah menolak hipotesis nol padahal hipotesis itu benar, dengan peluang $\alpha$, sedangkan galat tipe II adalah tidak menolak hipotesis nol padahal hipotesis itu salah, dengan peluang $\beta$. Bila hipotesis nolnya "tidak ada kebocoran", alarm palsu setara galat tipe I dan kebocoran yang lolos setara galat tipe II. Kerangka ini dipakai di Bab 8 tentang uji perbandingan.

Pengambil keputusan harus menanyakan berapa biaya dan peluangnya bila keputusan itu salah. Untuk alarm keselamatan, biaya dua kesalahan sangat timpang: mengosongkan dapur karena alarm palsu merepotkan, sedangkan kebocoran gas yang lolos dapat mematikan. Karena itu nilai duga positif tidak dinaikkan dengan menurunkan kepekaan. Jalan yang benar ada tiga:

1. Turunkan laju positif palsu dengan menghilangkan penyebabnya. Sensor gas mempunyai gangguan silang dari gas lain, seperti dicatat Bab 11 · Kimia tentang gas berbahaya. Panduan desain alarm kebakaran menyebut detektor multisensor optik dan panas mengurangi alarm palsu, dan detektor laju kenaikan suhu pun dapat alarm palsu di dapur dan ruang ketel. Panduan itu, yang menafsirkan standar BS 5839-1, membedakan alarm palsu peralatan, alarm tidak diinginkan dari lingkungan, alarm iseng, dan alarm palsu dengan niat baik, serta meminta semua alarm palsu dicatat di buku log. Buku log itulah sumber data laju positif palsu.
2. Pakai uji pada kelompok yang sudah dicurigai. Prevalensinya lebih tinggi, sehingga nilai duga positif naik.
3. Konfirmasi dengan uji kedua yang galatnya bebas dari uji pertama. Teorema Bayes boleh diterapkan berulang hanya bila galat kedua uji bebas; uji ulang dengan alat dan cara yang sama sering mengulang penyebab positif palsu yang sama.

Bab 14 · Mekanikal & Mekatronika tentang pemantauan kondisi mencatat pertukaran yang sama untuk batas alarm mesin: batas yang terlalu ketat menimbulkan banyak alarm palsu sehingga diabaikan, batas yang terlalu longgar tidak memberi peringatan. Bab 17 · Bangunan & Fasilitas tentang proteksi kebakaran menegaskan bahwa alarm palsu yang berulang adalah masalah keselamatan karena penghuni belajar mengabaikannya, sehingga penyebabnya dicari dan detektornya tidak ditutup.

Contoh kerja

Angka dalam contoh di bawah adalah angka latihan, kecuali disebut asalnya.

Contoh 1: rusak bersamaan di 12 pengering. Setiap pengering mempunyai peluang rusak 0,05 per bulan dan dianggap bebas. $P(0) = 0{,}95^{12} = 0{,}540$ dan $P(1) = 12 \times 0{,}05 \times 0{,}95^{11} = 0{,}341$, sehingga $P(\ge 2) = 1 - P(0) - P(1) = 0{,}118$. Rata-ratanya $\mu = 0{,}6$ unit per bulan dengan $\sigma = \sqrt{12 \times 0{,}05 \times 0{,}95} = 0{,}755$ unit. Sekitar satu bulan dari delapan melihat dua atau lebih pengering rusak, dan jadwal teknisi dapat disiapkan untuk itu.

Contoh 2: apakah bulan buruk itu luar biasa. Gangguan pemutus pengaman di laundry rata-rata 3 kali per bulan, atau 0,75 per minggu. Dengan Poisson $\mu = 3$, $P(X \le 6) = 0{,}966$, sehingga tujuh atau lebih gangguan terjadi dengan peluang 0,034, kira-kira sekali dalam 30 bulan bila laju tidak berubah. Delapan atau lebih mempunyai peluang 0,012, sekitar sekali dalam 84 bulan. Bulan dengan delapan gangguan adalah sinyal untuk menyelidiki apa yang berubah, bukan nasib buruk.

Contoh 3: stok sabuk pengering. Pemakaian sabuk selama waktu tunggu pemasok rata-rata 1,5 buah. Rumus Bab 5 · Kerja Lapangan & Serah Terima tentang stok pengaman dengan $\sigma_d\sqrt{L} = \sqrt{1{,}5} = 1{,}225$ dan $z = 1{,}65$ memberi titik pesan ulang $1{,}5 + 1{,}65 \times 1{,}225 = 3{,}52$. Poisson memberi peluang tidak kehabisan yang sebenarnya untuk setiap bilangan bulat: memesan saat stok tinggal 3 memberi 93,4 persen, saat tinggal 4 memberi 98,1 persen. Rumus normal menjanjikan sekitar 95 persen, padahal setelah dibulatkan hasilnya salah satu dari dua angka itu.

Contoh 4: papan pengendali dari Bab 5 · Kerja Lapangan & Serah Terima. Contoh 6 di Bab 5 · Kerja Lapangan & Serah Terima tentang suku cadang dan stok memakai sekitar 5 kerusakan papan per tahun untuk 10 mesin dan waktu tunggu 6 minggu, sehingga $\mu = 5 \times 6/52 = 0{,}577$ kerusakan per waktu tunggu. Satu papan dipesan setiap kali satu dipakai. Dengan stok satu, sisa stok setelah pemakaian nol, dan peluang kerusakan lagi sebelum pengganti datang $1 - e^{-0{,}577} = 0{,}438$. Dengan stok dua, peluang kehabisan $1 - P(X \le 1) = 0{,}114$; dengan stok tiga, 0,021. Pilihan akhirnya tetap membandingkan biaya berhenti dan biaya menyimpan.

Contoh 5: uji ultrasonik perangkap uap. Tim memeriksa 1.000 perangkap uap; 10 persen sebenarnya rusak, kepekaan uji 0,90, dan kekhususan 0,95. Dari 100 yang rusak, 90 terdeteksi; dari 900 yang baik, 45 dinyatakan rusak dan 855 baik. Nilai duga positif $90/(90 + 45) = 0{,}667$: satu dari tiga perangkap yang dinyatakan rusak sebenarnya baik. Nilai duga negatif $855/865 = 0{,}988$. Perangkap yang positif diperiksa ulang dengan cara lain sebelum dibongkar.

Contoh 6: sensor gas di kasus pembuka. Anggap kebocoran sungguhan terjadi pada 1 dari 1.000 hari, sensor mendeteksi 90 persen kebocoran, dan pada hari normal sensor berbunyi tanpa sebab dengan peluang 0,02. Dalam 10.000 hari terdapat 10 hari bocor dengan 9 alarm benar, dan 9.990 hari normal dengan sekitar 200 alarm palsu. Nilai duga positif $9/(9 + 199{,}8) = 0{,}043$: sekitar 1 dari 23 alarm benar, padahal sensor diam pada 98 persen hari normal. Laju 0,02 per hari setara sekitar 7 alarm palsu per tahun. Bila penyebab alarm palsu ditemukan dan lajunya turun menjadi 0,002 per hari, nilai duga positif naik ke 0,311 tanpa mengurangi kepekaan. Selama penyebabnya belum hilang, setiap alarm tetap ditangani sebagai kebocoran.

Kondisi berhenti

Hentikan analisis dan serahkan keputusan kepada pihak berwenang bila:

1. Alarm gas, asap, api, atau gas beracun berbunyi. Tangani sebagai kejadian nyata menurut prosedur tanggap darurat gedung sampai orang berwenang menyatakan aman; hitungan peluang tidak dipakai untuk memutuskan mengabaikan alarm.
2. Detektor perlu dipindah, ambangnya diubah, dimatikan, ditutup, atau diganti jenisnya. Pekerjaan itu milik pemilik sistem, pabrik, atau kontraktor berwenang.
3. Hasil uji higiene, uji mikrobiologi, atau uji keselamatan positif. Keputusan melepas produk, area, atau alat mengikuti prosedur tervalidasi dan laboratorium.
4. Stok minimum untuk suku cadang pengaman seperti sensor nyala, katup pengaman, atau detektor ditentukan peraturan, pabrik, atau pemilik aset; hitungan Poisson hanya bahan pertimbangan.
5. Data menunjukkan laju yang berubah atau kejadian yang berkelompok, dan keputusannya berbiaya besar. Minta analisis orang yang menguasai keandalan atau statistik.

Salah tafsir yang sering terjadi

Hubungan dengan bab lain

Bab 2 tentang variasi dan ringkasan data memberi ringkasan data dan distribusi, dan Bab 3 tentang tren dan kontrol proses membaca jumlah kejadian per bulan sebagai tren. Bab 10 · Sistem, Diagram & Diagnosis tentang keandalan memakai laju tetap, Bab 12 · Sistem, Diagram & Diagnosis tentang gangguan berselang memakai peluang tanpa kejadian untuk lama pemasangan pencatat, dan Bab 6 tentang sampling memakai binomial untuk sampling penerimaan. Keputusan stok diambil di Bab 5 · Kerja Lapangan & Serah Terima tentang suku cadang dan stok. Bab 8 tentang uji perbandingan memakai galat tipe I dan II. Detektor gas dijelaskan di Bab 11 · Kimia tentang gas berbahaya, dan alarm kebakaran di Bab 17 · Bangunan & Fasilitas tentang proteksi kebakaran. Bab 11 tentang kemampuan proses memakai distribusi normal untuk menghitung bagian di luar batas spesifikasi.

Latihan dan pembahasan

Referensi