Kemampuan proses: Cp, Cpk, Pp, dan Ppk, syarat proses stabil, hubungan dengan bagian di luar toleransi, ukuran data, dan menilai mesin, dispenser, atau alat ukur terhadap batas spesifikasi

Laporan bulanan dispenser deterjen di sebuah laundry hotel menunjukkan rata-rata dosis 100,4 mililiter per muatan, nyaris tepat di target 100 mililiter. Kepala laundry puas, tetapi keluhan noda pada sarung bantal tetap datang, dan muatan yang harus dicuci ulang selalu berasal dari hari-hari tertentu. Pemasok dispenser menunjukkan laporan "Cpk 1,6" yang dihitung dari 15 injeksi berturut-turut dalam satu jam di bengkelnya. Kedua angka itu benar, tetapi tidak menjawab pertanyaan yang sama. Rata-rata hanya menyatakan letak pusat, sedangkan noda muncul dari muatan yang dosisnya jauh dari pusat; laporan pemasok hanya melihat variasi satu jam, sedangkan dosis di laundry juga bergeser dari hari ke hari. Bab ini menjelaskan cara menghitung dan membaca indeks kemampuan proses supaya pertanyaan "apakah dispenser ini mampu" dijawab dengan data yang tepat.

Batas pembahasan

Bab ini membahas indeks kemampuan proses, syarat pemakaiannya, hubungannya dengan bagian di luar toleransi, ukuran data, dan penerapannya pada dispenser, suhu bilas, dimensi komponen, dan alat ukur. Rata-rata dan simpangan baku ada di Bab 2 tentang variasi dan ringkasan data. Stabilitas, penyebab umum dan khusus, dan grafik kendali ada di Bab 3 tentang tren dan kontrol proses, dan contoh kartu kendali nilai individual dengan rentang bergerak ada di Bab 20 · Laundry tentang konsistensi operasi laundry. Variasi alat ukur, studi alat ukur, dan salah terima atau salah tolak ada di Bab 4 tentang analisis sistem pengukuran. Kalibrasi dan verifikasi dosis dispenser ada di Bab 1 · Dispensing Kimia tentang dispenser peristaltik, dan sistem panas mesin pencuci piring di Bab 4 · Dishwashing. Distribusi normal dan peluang ekor dipakai seperti di Bab 10 tentang peluang.

Data dalam contoh dan latihan bab ini rekaan untuk berhitung. Batas spesifikasi sebenarnya untuk dosis, suhu, atau dimensi diambil dari manual pabrik, gambar, kontrak, atau peraturan.

Spesifikasi, sebaran, dan pemusatan

Batas spesifikasi (specification limits) adalah batas nilai suatu karakteristik yang dapat diterima, ditetapkan oleh desain, pelanggan, pabrik, atau peraturan. Batas atas ditulis USL dan batas bawah LSL; lebar di antaranya disebut toleransi. Batas spesifikasi berbeda dari batas kendali di grafik kendali: batas kendali menggambarkan apa yang biasa dihasilkan proses, sedangkan spesifikasi menyatakan apa yang boleh, seperti ditegaskan Bab 3 tentang tren dan kontrol proses dan Bab 20 · Laundry tentang konsistensi operasi laundry.

Kemampuan proses (process capability) adalah ukuran seberapa baik sebaran dan letak keluaran sebuah proses yang stabil muat di dalam batas spesifikasi. Bab 3 tentang tren dan kontrol proses sudah menyatakan bahwa tafsir kemampuan bergantung pada data yang tepat, spesifikasi yang benar, dan dasar untuk menganggap perilaku proses mewakili masa depan. Bab ini menambahkan angkanya.

Dua hal menentukan berapa banyak keluaran jatuh di luar batas: lebar sebaran dibandingkan lebar toleransi, dan letak pusat dibandingkan titik tengah toleransi. Rata-rata yang tepat di target dengan sebaran lebar tetap menghasilkan unit di luar batas di kedua sisi. Sebaran sempit dengan pusat yang bergeser menghasilkan unit di luar batas di satu sisi. Proses tidak sama satu dengan yang lain, tetapi keluaran setiap proses dapat diperiksa cacatnya.

Cp dan Cpk

Menurut buku pegangan statistik NIST, $C_p$ membandingkan lebar spesifikasi dengan sebaran proses, sedangkan $C_{pk}$ menambahkan hukuman untuk pemusatan, yaitu jarak terkecil dari rata-rata ke salah satu batas dibagi $3\sigma$:

$$C_p = \frac{USL - LSL}{6\sigma}, \qquad C_{pk} = \min\left(\frac{USL - \mu}{3\sigma},\; \frac{\mu - LSL}{3\sigma}\right)$$

dengan $\mu$ rata-rata proses dan $\sigma$ simpangan baku proses, keduanya dalam satuan karakteristik (mililiter, derajat Celsius, milimeter), sehingga indeksnya tanpa satuan. Dua suku di dalam $\min$ disebut $C_{pu}$ untuk sisi atas dan $C_{pl}$ untuk sisi bawah; untuk spesifikasi satu sisi, seperti suhu bilas minimum, hanya suku sisi itu yang dipakai. NIST juga menulis bentuk setara $C_{pk} = C_p(1-k)$, dengan $k = |m - \mu|/[(USL-LSL)/2]$ dan $m$ titik tengah spesifikasi, dan menyebut bahwa dari sampel, $\sigma$ diganti $s$ dan $\mu$ diganti $\bar x$.

$C_p$ tidak dapat mencerminkan pemusatan, sehingga $C_{pk}$ diperkenalkan, dan $C_{pk}$ menjadi negatif bila rata-rata berada di luar batas spesifikasi. $C_p$ menyatakan apa yang dapat dicapai bila pusat disetel tepat; $C_{pk}$ menyatakan apa yang sedang dicapai. Selisih keduanya adalah pekerjaan penyetelan, sedangkan $C_p$ yang rendah adalah pekerjaan mengurangi variasi.

Pp dan Ppk: variasi jangka pendek dan keseluruhan

Subgrup (subgroup) adalah kelompok kecil bacaan yang diambil berdekatan dalam waktu dan kondisi yang sama. Data studi kemampuan biasanya dikumpulkan dalam subgrup. Simpangan baku di dalam subgrup (within-subgroup standard deviation) adalah simpangan baku yang ditaksir hanya dari variasi di antara bacaan dalam subgrup yang sama. Simpangan baku keseluruhan (overall standard deviation) adalah simpangan baku semua data dalam periode studi, termasuk pergeseran dari subgrup ke subgrup.

Menurut blog sebuah vendor perangkat lunak statistik, $C_p$ dan $C_{pk}$ memakai simpangan baku di dalam subgrup, sedangkan $P_p$ dan $P_{pk}$ memakai simpangan baku keseluruhan dengan rumus yang sama. Blog yang sama menyebut bahwa pada proses yang benar-benar stabil $C_p$ hampir sama dengan $P_p$ dan $C_{pk}$ hampir sama dengan $P_{pk}$, bahwa $C_{pk}$ hampir selalu tidak lebih kecil dari $P_{pk}$, dan bahwa selisih yang besar menunjuk sumber variasi antarsubgrup seperti ganti lot bahan, operator, pemanasan mesin, atau lingkungan.

Simpangan baku di dalam subgrup ditaksir dari rata-rata rentang subgrup, $\hat\sigma = \bar R/d_2$, dengan $d_2 = 1{,}128$ untuk subgrup dua bacaan dan $2{,}326$ untuk subgrup lima bacaan. Untuk data satu per satu, rentang bergerak dua bacaan berurutan dipakai, $\hat\sigma = \overline{MR}/1{,}128$, cara yang sama dengan kartu kendali di Bab 20 · Laundry tentang konsistensi operasi laundry. Simpangan baku keseluruhan dihitung dengan rumus sampel biasa dari Bab 2 tentang variasi dan ringkasan data. Laporan kemampuan yang baik selalu menyebut penaksir yang dipakai, karena dua penaksir dapat memberi angka yang sangat berbeda, seperti ditunjukkan Contoh 3.

Laporan pemasok di kasus pembuka dihitung dari 15 injeksi dalam satu jam; angka itu paling dekat dengan $C_{pk}$ jangka pendek, karena tidak memuat variasi dari hari ke hari. Yang diperlukan laundry adalah $P_{pk}$ dari data beberapa minggu di tempat pemakaian, bersama $C_{pk}$ untuk melihat berapa yang dapat dicapai bila pergeseran antarhari dihilangkan.

Syarat: proses stabil dan sebaran mendekati normal

Menurut dokumentasi sebuah vendor perangkat lunak, bila proses tidak terkendali secara statistik, indeks kemampuan tidak bermakna walaupun angkanya tampak memenuhi; alat untuk memeriksanya adalah grafik kendali, histogram, dan uji kenormalan. Stabilitas diperiksa dengan cara Bab 3 tentang tren dan kontrol proses sebelum indeks dihitung. Indeks dari proses yang bergeser hanya menggambarkan campuran keadaan selama data diambil.

Pendapat tentang $P_{pk}$ berbeda. Blog vendor yang disebut di atas menyatakan bahwa $P_{pk}$ dapat dipakai terlepas dari stabilitas proses, sedangkan dokumentasi vendor lain menyatakan kemampuan tidak bermakna bila proses tidak terkendali. Bab ini memakai jalan tengah: $P_p$ dan $P_{pk}$ boleh dipakai untuk menggambarkan kinerja masa lalu dari data yang ada, misalnya "bulan lalu sekitar 4,6 persen muatan menerima dosis di luar batas", tetapi tanpa stabilitas angka itu tidak boleh dipakai untuk meramal bulan depan.

Hubungan indeks dengan bagian di luar batas juga menganggap sebaran mendekati normal. Kenormalan adalah anggapan penting, cara konvensional dapat menyesatkan untuk data yang tidak normal, indeks yang dimodifikasi dapat dihitung dari persentil distribusi lain yang cocok, dan bagian di dalam spesifikasi baru dapat disimpulkan dari indeks bila distribusinya normal. Histogram dilihat lebih dulu. Distribusi bimodal menunjukkan ada yang tidak sama di dalam proses; dua puncak biasanya berarti dua mesin, dua pompa, atau dua keadaan yang tercampur, dan masing-masing dinilai terpisah. Untuk proses dengan pergantian produk yang sering, tersedia teknik grafik kendali untuk produksi singkat.

Dari indeks ke bagian di luar toleransi

Aturan empiris distribusi normal menyatakan bahwa sekitar 68, 95, dan 99,7 persen nilai berada dalam satu, dua, dan tiga simpangan baku dari rata-rata, dan skor $z = (x - \mu)/\sigma$ menyatakan jarak sebuah nilai dari rata-rata dalam satuan simpangan baku. Jarak dari rata-rata ke batas terdekat adalah $3\,C_{pk}$ simpangan baku, jadi bagian di luar batas pada sisi itu adalah luas ekor normal di atas $z = 3\,C_{pk}$. Bagian per sejuta (parts per million, ppm) adalah jumlah unit yang diharapkan berada di luar batas dari setiap satu juta unit.

Tabel itu dihitung dari distribusi normal baku dan hanya berlaku bila proses stabil dan normal. Ekor data nyata jarang mengikuti normal sampai tingkat ppm, sehingga angka di bawah sekitar 100 ppm dibaca sebagai "sangat sedikit", bukan sebagai hitungan pasti. Angka 3,4 per sejuta yang sering dikaitkan dengan program mutu enam sigma sama dengan baris $C_{pk} = 1{,}50$; dasar konvensi itu belum dapat dipastikan dari sumber resmi per 18 Oktober 2026.

Ambang yang sering dipakai industri adalah $C_{pk}$ paling sedikit 1,33 untuk karakteristik biasa dan 1,67 untuk karakteristik kritis atau studi awal, tetapi angka itu dilaporkan berbeda antara industri dan pelanggan. Tidak ada ambang universal; persyaratan ditetapkan di kontrak, gambar, atau prosedur pelanggan.

Ukuran data dan selang kepercayaan

Indeks yang dihitung dari sampel adalah taksiran dan mempunyai ketidakpastian. Selang kepercayaan 95 persen untuk $C_p$ dihitung dengan sebaran khi-kuadrat, dan untuk $C_{pk}$ ada pendekatan Bissell:

$$\hat C_p\sqrt{\frac{\chi^2_{0{,}025;\,n-1}}{n-1}} \;\le\; C_p \;\le\; \hat C_p\sqrt{\frac{\chi^2_{0{,}975;\,n-1}}{n-1}}, \qquad C_{pk} \approx \hat C_{pk} \pm 1{,}96\sqrt{\frac{1}{9n} + \frac{\hat C_{pk}^2}{2(n-1)}}$$

dengan $n$ jumlah data dan $\chi^2_{q;\,n-1}$ kuantil khi-kuadrat dengan derajat kebebasan $n - 1$. Untuk taksiran 1,33, hasilnya:

Dengan 30 data, "$C_{pk}$ 1,33" belum membuktikan bahwa kemampuan sebenarnya di atas 1,0. Setiap ukuran harus didefinisikan jelas, dan rencana pengumpulan datanya disusun untuk masing-masing. Untuk studi kemampuan, rencana itu menyebut titik ukur, alat ukur, ukuran subgrup, jadwal yang mencakup variasi yang ingin dinilai (giliran, hari, lot bahan), dan jumlah data. Selang kepercayaan juga hanya menangkap galat sampling; data yang dikumpulkan dalam satu jam tidak mewakili hari lain berapa pun jumlahnya.

Menilai mesin, dispenser, dan alat ukur

Bab 4 tentang analisis sistem pengukuran menulis variasi teramati sebagai jumlah variasi proses dan variasi pengukuran, $\sigma_{obs}^2 = \sigma_p^2 + \sigma_{ms}^2$. Akibatnya, indeks yang dihitung dari data teramati selalu lebih rendah dari kemampuan proses sebenarnya. Bila alat ukurnya buruk, proses yang mampu dapat tampak tidak mampu; sebaliknya, memperbaiki alat ukur dapat menaikkan indeks tanpa mengubah proses sama sekali. Studi alat ukur dikerjakan lebih dulu, seperti di Bab 4, dan resolusinya cukup halus untuk melihat sebaran proses.

Penerapannya di lapangan:

Untuk dispenser, verifikasi volume dan penyimpangan perlahan karena selang yang lelah sudah dibahas di Bab 1 · Dispensing Kimia tentang dispenser peristaltik; studi kemampuan menambahkan pertanyaan berapa besar sebaran dari injeksi ke injeksi dan dari hari ke hari dibandingkan toleransi formula.

Contoh kerja

Angka dalam contoh di bawah adalah angka latihan, kecuali disebut asalnya.

Contoh 1: kasus pembuka. Spesifikasi dosis 90 sampai 110 mililiter. Data empat minggu di laundry memberi rata-rata 100,4 mililiter, simpangan baku di dalam subgrup harian 2,5 mililiter, dan simpangan baku keseluruhan 5,0 mililiter. $C_p = 20/(6 \times 2{,}5) = 1{,}33$, tetapi $P_p = 20/(6 \times 5{,}0) = 0{,}67$ dan $P_{pk} = \min(9{,}6;\,10{,}4)/15 = 0{,}64$. Dengan simpangan baku keseluruhan, bagian di bawah 90 mililiter $P(z < -2{,}08) = 1{,}9$ persen dan di atas 110 mililiter $P(z > 1{,}92) = 2{,}7$ persen, jumlahnya 4,6 persen atau sekitar satu dari 22 muatan. Dispenser mampu dalam jangka pendek; pergeseran antarharilah sumber masalahnya, dengan simpangan baku antarhari $\sqrt{5{,}0^2 - 2{,}5^2} = 4{,}3$ mililiter. Pemeriksaan berikutnya mencari apa yang berubah dari hari ke hari, misalnya selang, jeriken, atau kekentalan.

Contoh 2: pusat yang bergeser. Dispenser lain mempunyai rata-rata 103 mililiter dan simpangan baku 2,5 mililiter dengan spesifikasi yang sama. $C_p = 1{,}333$, $C_{pu} = 7/7{,}5 = 0{,}933$, $C_{pl} = 13/7{,}5 = 1{,}733$, sehingga $C_{pk} = 0{,}933$. Dengan $k = 3/10 = 0{,}3$, $C_p(1-k) = 0{,}933$, sama. Bagian di atas batas atas $P(z > 2{,}8) = 0{,}26$ persen, sedangkan di bawah batas bawah praktis nol. Lebar sebaran cukup; yang salah pemusatannya. Menyetel laju alir tersimpan sampai rata-rata 100 mililiter memberi $C_{pk} = 1{,}33$ dan sekitar 63 ppm di luar kedua batas.

Contoh 3: penaksir yang berbeda. Dua belas bacaan dosis berurutan: 101,8; 104,1; 102,6; 103,9; 100,7; 103,2; 105,0; 102,1; 103,6; 102,9; 104,4; 101,5 mililiter. Rata-ratanya 102,98, simpangan baku sampel $s = 1{,}291$, jumlah sebelas rentang bergerak 22,1 sehingga $\overline{MR} = 2{,}009$ dan $\hat\sigma = 2{,}009/1{,}128 = 1{,}781$. Terhadap batas atas 110, $C_{pk}$ dengan $s$ adalah $7{,}02/(3 \times 1{,}291) = 1{,}81$, sedangkan dengan rentang bergerak $7{,}02/(3 \times 1{,}781) = 1{,}31$. Di sini rentang bergerak lebih besar dari $s$ karena bacaan bergantian naik-turun. Laporan wajib menyebut penaksirnya, dan dua belas bacaan terlalu sedikit untuk keputusan.

Contoh 4: suhu bilas dengan batas satu sisi. Batas minimum suhu bilas 82 °C (bukan batas higiene), rata-rata 85 °C, simpangan baku 1,2 °C. $C_{pl} = 3/(3 \times 1{,}2) = 0{,}83$, dan bagian siklus di bawah batas $P(z < -2{,}5) = 0{,}62$ persen, sekitar 6 dari 1.000 siklus. Catatan harian 30 hari dengan satu bacaan per hari diharapkan hanya memuat $30 \times 0{,}0062 = 0{,}19$ bacaan di bawah batas, sehingga peluang semua catatan tampak lulus 0,83. "Semua catatan lulus" tidak membuktikan mampu. Untuk $C_{pl} = 1{,}33$ dengan sebaran yang sama, rata-rata perlu sekitar $82 + 4 \times 1{,}2 = 86{,}8$ °C, dalam batas atas yang diizinkan manual pabrik.

Contoh 5: laporan pemasok. Pemasok melaporkan $C_{pk}$ 1,6 dari 15 injeksi. Dengan pendekatan Bissell, setengah lebar selangnya $1{,}96\sqrt{1/135 + 1{,}6^2/28} = 0{,}62$, sehingga selang 95 persen 0,98 sampai 2,22. Data itu cocok dengan kemampuan sebenarnya serendah 1,0, dan karena diambil dalam satu jam, tidak memuat variasi antarhari sama sekali. Laundry meminta data di tempat dan menghitung $P_{pk}$-nya sendiri.

Contoh 6: merencanakan studi. Tim ingin menunjukkan bahwa batas bawah selang 95 persen untuk $C_{pk}$ paling sedikit 1,0 bila taksirannya sekitar 1,33. Dengan rumus Bissell, $n = 30$ memberi batas bawah 0,97, $n = 37$ memberi 1,005, dan $n = 50$ memberi 1,05. Rencananya lima injeksi per hari selama sepuluh hari kerja, mencakup dua lot deterjen, sehingga diperoleh 50 data dalam 10 subgrup: $C_{pk}$ dari variasi di dalam hari dan $P_{pk}$ dari semua data. Bila grafik kendali menunjukkan pergeseran, perbaikan dikerjakan dulu dan studi diulang.

Kondisi berhenti

Hentikan penilaian dan serahkan keputusan kepada pemilik proses, pabrik, atau pihak berwenang bila:

1. Karakteristik berhubungan dengan keselamatan atau higiene, misalnya suhu bilas sanitasi, kadar disinfektan, atau dimensi komponen pengaman, dan indeksnya di bawah ambang yang ditetapkan prosedur. Ikuti tindakan penahanan prosedur; jangan menunggu studi selesai.
2. Batas spesifikasi tidak diketahui atau hanya diperkirakan. Indeks tanpa spesifikasi resmi tidak bermakna; minta batasnya dari manual pabrik, gambar, atau kontrak.
3. Grafik kendali menunjukkan proses tidak stabil, tetapi pihak lain meminta angka kemampuan untuk penerimaan atau klaim.
4. Penyetelan pusat memerlukan perubahan parameter mesin atau dispenser yang dikunci pabrik atau memerlukan izin pemilik formula.
5. Kontrak atau audit mensyaratkan studi kemampuan dengan metode tertentu. Ikuti metode itu dan libatkan orang yang berwenang menandatangani.

Salah tafsir yang sering terjadi

Hubungan dengan bab lain

Bab 2 tentang variasi dan ringkasan data memberi simpangan baku dan histogram, Bab 3 tentang tren dan kontrol proses memberi syarat stabilitas dan beda batas kendali dengan spesifikasi, dan Bab 20 · Laundry tentang konsistensi operasi laundry memberi kartu kendali nilai individual untuk data laundry. Bab 4 tentang analisis sistem pengukuran memisahkan variasi alat ukur dari variasi proses. Bab 1 · Dispensing Kimia tentang dispenser peristaltik dan Bab 4 · Dishwashing tentang sistem panas mesin pencuci piring menjelaskan dispenser dan pemanas bilas yang dinilai di sini. Bab 10 tentang peluang menjelaskan peluang dan distribusi yang dipakai untuk menghitung bagian di luar batas. Bab 12 tentang data deret waktu menjelaskan cara data pencatat dikumpulkan sebelum dipakai untuk studi kemampuan.

Latihan dan pembahasan

Referensi