Peluang untuk teknisi: aturan dasar, kejadian bebas dan bersyarat, distribusi binomial dan Poisson, peluang gangguan dan stok suku cadang, teorema Bayes untuk alarm dan uji diagnosis, dan positif palsu

Sensor kebocoran gas di dapur utama sebuah hotel berbunyi tujuh kali dalam setahun. Setiap kali, dapur dikosongkan, katup gas ditutup, dan tim teknik memeriksa sambungan dengan detektor portabel; tidak satu pun kebocoran ditemukan. Juru masak mulai menggerutu setiap kali sirene menyala, dan seorang penyelia bertanya apakah sensornya rusak, karena menurut pemasok sensor itu "jarang salah". Keduanya bisa benar sekaligus. Bila kebocoran sungguhan hanya terjadi sekali dalam beberapa tahun, sensor yang diam pada 98 dari 100 hari normal tetap dapat menghasilkan jauh lebih banyak alarm palsu daripada alarm benar. Bab ini memberi alat hitung untuk keadaan seperti itu, dengan tujuan memperbaiki sistem dan keputusan, bukan mencari alasan untuk mengabaikan alarm.

Batas pembahasan

Bab ini membahas aturan peluang, binomial dan Poisson untuk gangguan dan stok suku cadang lambat, serta teorema Bayes untuk alarm dan uji diagnosis. Rata-rata, simpangan baku, dan distribusi dasar ada di Bab 2 tentang variasi dan ringkasan data. Distribusi eksponensial, keandalan sistem seri dan paralel, dan penyebab bersama ada di Bab 10 · Sistem, Diagram & Diagnosis tentang keandalan. Peluang menangkap gangguan berselang dengan pencatat data ada di Bab 12 · Sistem, Diagram & Diagnosis. Peluang paling sedikit satu cacat dalam sampel, aturan tiga, dan sampling penerimaan ada di Bab 6 tentang sampling. Titik pesan ulang dan stok pengaman dengan anggapan pemakaian normal ada di Bab 5 · Kerja Lapangan & Serah Terima tentang suku cadang dan stok. Nilai p dan uji hipotesis ada di Bab 8 tentang uji perbandingan. Cara kerja detektor gas ada di Bab 11 · Kimia tentang gas berbahaya, dan alarm kebakaran di Bab 17 · Bangunan & Fasilitas tentang proteksi kebakaran.

Sumbernya OpenStax Introductory Statistics 2e dan Introductory Business Statistics 2e, narasi Logika dan Sistem Teknis, dan sumber sekunder untuk kepekaan dan kekhususan. Teorema Bayes ditulis sebagai pengetahuan umum karena kedua buku OpenStax itu tidak memuatnya tersurat. Semua angka contoh adalah angka latihan, bukan laju gangguan atau alarm palsu terukur.

Peluang sebagai frekuensi jangka panjang

Peluang (probability) adalah ukuran seberapa pasti suatu hasil terjadi, dinyatakan sebagai bilangan dari 0 sampai 1. OpenStax menjelaskan peluang sebuah hasil sebagai frekuensi relatif jangka panjangnya; peluang 0 berarti hasil tidak pernah terjadi dan peluang 1 berarti hasil selalu terjadi. Buku yang sama menyebut hukum bilangan besar: makin banyak percobaan diulang, frekuensi relatif makin dekat ke peluang teoretis, sedangkan hasil jangka pendek boleh menyimpang.

Bagi teknisi, "peluang pompa rusak dalam sebulan 0,05" berarti sekitar 5 dari 100 pompa-bulan sejenis berakhir dengan kerusakan, tidak berarti pompa akan rusak pada bulan ke-20. Nilai harapan (expected value) adalah rata-rata jangka panjang suatu besaran acak bila percobaannya diulang terus. Nilai harapan 0,6 kerusakan per bulan tidak pernah terjadi tepat; yang terjadi 0, 1, atau 2 kerusakan.

Komplemen (complement) adalah kejadian yang berisi semua hasil di luar suatu kejadian yang dimaksud. Peluang suatu kejadian $A$ dan komplemennya $A'$ berjumlah satu:

$$P(A) + P(A') = 1$$

Komplemen adalah jalan pintas untuk "paling sedikit satu": satu dikurangi peluang tidak ada kejadian. Bab 6 memakainya untuk sampel, dan Bab 12 · Sistem, Diagram & Diagnosis untuk peluang menangkap gangguan.

Aturan penjumlahan dan perkalian

Dua aturan dasar menghitung peluang gabungan dua kejadian $A$ dan $B$:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B), \qquad P(A \cap B) = P(B)\,P(A \mid B)$$

dengan $A \cup B$ berarti "$A$ atau $B$ atau keduanya", $A \cap B$ berarti "$A$ dan $B$ bersamaan", dan $P(A \mid B)$ peluang $A$ bila $B$ sudah diketahui terjadi. Suku pengurang mencegah hasil yang termasuk keduanya terhitung dua kali.

Kejadian saling lepas (mutually exclusive events) adalah dua kejadian yang tidak dapat terjadi bersamaan, sehingga peluang keduanya terjadi bersama bernilai nol. Untuk kejadian saling lepas, aturan penjumlahan menjadi jumlah biasa.

Kejadian bebas dan peluang bersyarat

Peluang bersyarat (conditional probability) adalah peluang suatu kejadian bila kejadian lain diketahui sudah terjadi. OpenStax menulisnya sebagai berikut dan menjelaskan bahwa syarat memperkecil ruang sampel menjadi kejadian $B$ saja:

$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Kejadian bebas (independent events) adalah dua kejadian yang terjadinya salah satu tidak mengubah peluang terjadinya yang lain. Dua kejadian bebas bila $P(A \mid B) = P(A)$, atau $P(B \mid A) = P(B)$, atau $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$; menurut OpenStax, cukup satu syarat yang ditunjukkan. OpenStax juga menegaskan tiga hal yang penting di lapangan: bebas dan saling lepas tidak berarti sama, pengambilan tanpa pengembalian membuat kejadian tidak bebas, dan bila tidak diketahui apakah dua kejadian bebas, keduanya dianggap tidak bebas sampai terbukti sebaliknya. Dua kejadian saling lepas yang masing-masing mungkin terjadi justru tidak bebas, karena bila satu terjadi, yang lain pasti tidak terjadi (penalaran editorial).

Di pekerjaan servis, ketergantungan muncul dari penyebab bersama yang dibahas di Bab 10 · Sistem, Diagram & Diagnosis: dua pompa dengan satu pasokan listrik, dua sensor pada satu kabel, atau beberapa mesin yang dirawat dengan prosedur salah yang sama. Mengalikan peluang masing-masing hanya sah bila kebebasannya masuk akal. Mengambil suku cadang satu per satu dari lot kecil yang berisi beberapa unit cacat adalah pengambilan tanpa pengembalian.

Kebebasan data servis paling mudah diuji dengan tabel kontingensi, yaitu tabel data dua variabel yang memudahkan menghitung peluang bersyarat, seperti pada Contoh 1.

Distribusi binomial: berapa unit rusak dari sekelompok mesin

Distribusi binomial (binomial distribution) adalah distribusi jumlah sukses dalam sejumlah percobaan tetap bila setiap percobaan hanya mempunyai dua hasil, peluang suksesnya sama, dan percobaan saling bebas. "Sukses" hanya nama untuk hasil yang dihitung, misalnya unit yang rusak. Dengan $n$ jumlah percobaan, $p$ peluang sukses setiap percobaan, $q = 1 - p$, dan $x$ jumlah sukses:

$$P(x) = \frac{n!}{x!\,(n-x)!}\,p^x q^{\,n-x}, \qquad \mu = np, \qquad \sigma = \sqrt{npq}$$

$\mu$ dan $\sigma$ bersatuan sama dengan $x$, misalnya unit rusak per bulan. Binomial cocok untuk pertanyaan "dari 12 pengering, berapa peluang dua atau lebih rusak bulan ini". Dua syaratnya sering dilanggar: $p$ tidak sama bila sebagian mesin jauh lebih tua, dan kerusakan tidak bebas bila ada penyebab bersama, sehingga binomial meremehkan peluang beberapa mesin rusak bersamaan. Menurut OpenStax Introductory Business Statistics 2e, binomial boleh dipakai untuk mendekati pengambilan tanpa pengembalian bila sampel kurang dari 10 persen populasi. Pemakaian binomial untuk menerima atau menolak lot dibahas di Bab 6.

Distribusi Poisson: gangguan per bulan dan stok suku cadang lambat

Distribusi Poisson (Poisson distribution) adalah distribusi jumlah kejadian dalam selang waktu atau ruang yang tetap bila kejadian terjadi dengan laju rata-rata yang diketahui dan bebas dari waktu sejak kejadian terakhir. Dengan $\mu$ rata-rata jumlah kejadian dalam selang yang ditanyakan dan $x$ jumlah kejadian:

$$P(x) = \frac{\mu^x e^{-\mu}}{x!}, \qquad \sigma = \sqrt{\mu}$$

Rata-rata harus diskalakan ke selang yang ditanyakan; OpenStax mencontohkan 12 kejadian per 30 menit menjadi 2 kejadian per 5 menit. Menurut OpenStax Introductory Business Statistics 2e, Poisson memerlukan laju tetap di dalam selang, tidak ada dua kejadian serentak, dan kejadian antarselang bebas, dan dipakai untuk menentukan jumlah kasir dan saluran telepon. Padanannya di bagian teknik adalah jumlah suku cadang yang disimpan dan teknisi yang disiagakan (penalaran editorial). Peluang tidak ada kejadian, $e^{-\mu}$, adalah dasar rumus menangkap kejadian di Bab 12 · Sistem, Diagram & Diagnosis.

Poisson juga mendekati binomial bila $n$ besar dan $p$ kecil, misalnya $p$ sekitar 0,01 dan $n$ sekitar 1.000. Buku bisnis OpenStax mencatat bahwa aturan praktisnya berbeda antarpenulis ($np$ kurang dari 25, kurang dari 7, atau $p \le 0{,}01$ dan $n \ge 25$) dan tidak ada satu aturan yang diterima luas.

Bab 5 · Kerja Lapangan & Serah Terima menghitung stok pengaman dengan $SS = z\,\sigma_d\sqrt{L}$, yang menganggap pemakaian selama waktu tunggu tersebar normal. Untuk barang yang dipakai sekali atau dua kali dalam satu waktu tunggu, anggapan itu kasar. Bila pemakaian selama waktu tunggu mengikuti Poisson dengan rata-rata $\mu$, dan pesanan dikirim ketika stok tinggal $k$, peluang tidak kehabisan sebelum barang datang adalah $P(X \le k)$ (penalaran editorial):

Tabel ini hanya berlaku bila lajunya tetap. Laju naik ketika mesin menua atau musim ramai, dan kejadian berkelompok ketika satu gangguan listrik mematikan beberapa mesin. Tandanya, ragam jumlah kejadian per bulan jauh lebih besar dari rata-ratanya, dan tabel menjadi terlalu optimistis (penalaran editorial).

Teorema Bayes: membalik arah peluang bersyarat

Pabrik dan laboratorium biasanya memberi peluang hasil bila keadaannya diketahui: berapa sering alarm berbunyi bila ada kebocoran dan bila tidak ada. Teknisi memerlukan arah sebaliknya: alarm sudah berbunyi, berapa peluang kebocoran memang ada. Teorema Bayes (Bayes' theorem) adalah aturan untuk menghitung peluang suatu keadaan setelah sebuah bukti diamati, dari peluang keadaan sebelum bukti dan peluang bukti pada setiap keadaan. Aturan ini diturunkan langsung dari aturan perkalian dan komplemen (pengetahuan umum):

$$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A)\,P(A)}{P(B \mid A)\,P(A) + P(B \mid A')\,P(A')}$$

dengan $A$ keadaan yang dicari, misalnya kebocoran, dan $B$ bukti, misalnya alarm. Istilah berikut membuat rumus itu mudah dibaca.

Kepekaan (sensitivity) adalah peluang uji atau alarm memberi hasil positif bila keadaan yang dicari benar-benar ada. Kekhususan (specificity) adalah peluang uji atau alarm memberi hasil negatif bila keadaan yang dicari tidak ada. Prevalensi (prevalence) adalah bagian unit atau selang waktu yang benar-benar mengandung keadaan yang dicari sebelum uji dilakukan. Positif palsu (false positive) adalah hasil uji atau alarm yang menyatakan keadaan ada padahal keadaan tidak ada. OpenStax memakai istilah positif palsu untuk hasil uji yang menyatakan kanker pada orang yang tidak mengidapnya, dan menyimpulkan bahwa hasil positif saja belum cukup untuk menganggap orang itu sakit. Negatif palsu (false negative) adalah hasil uji atau alarm yang menyatakan keadaan tidak ada padahal keadaan ada.

Menurut sumber sekunder tentang uji diagnosis, kepekaan dan kekhususan adalah sifat uji dan tidak bergantung pada prevalensi, sedangkan nilai duga bergantung kuat pada seberapa umum keadaan yang dicari. Nilai duga positif (positive predictive value) adalah peluang keadaan benar-benar ada bila uji atau alarm memberi hasil positif. Nilai duga negatif (negative predictive value) adalah peluang keadaan benar-benar tidak ada bila hasilnya negatif. Dengan $Se$ kepekaan, $Sp$ kekhususan, dan $p$ prevalensi, ketiganya tanpa satuan:

$$PPV = \frac{Se\,p}{Se\,p + (1 - Sp)(1 - p)}, \qquad NPV = \frac{Sp\,(1-p)}{Sp\,(1-p) + (1 - Se)\,p}$$

Hitungan paling aman dikerjakan dengan frekuensi alami: bayangkan 1.000 unit atau 10.000 hari, bagi menurut keadaan sebenarnya, lalu bagi lagi menurut hasil uji. Susunan ini sama dengan diagram pohon OpenStax, tempat peluang ujung cabang adalah hasil kali peluang cabang-cabangnya.

Mengapa alarm yang jarang salah tetap lebih sering salah daripada benar

Kekhususan 98 persen terdengar tinggi, tetapi 2 persen dari ribuan hari normal tetap menghasilkan puluhan alarm palsu, sementara kebocoran sungguhan mungkin hanya beberapa. Nilai duga positif menjadi rendah walaupun sensor bekerja sesuai spesifikasi. Angka "akurasi" saja menyesatkan: uji yang selalu negatif pada prevalensi 1 persen benar pada 99 persen kasus tanpa pernah menemukan keadaan yang dicari (penalaran editorial).

OpenStax menyebut galat tipe I sebagai menolak hipotesis nol padahal benar, dengan peluang $\alpha$, dan galat tipe II sebagai tidak menolak hipotesis nol padahal salah, dengan peluang $\beta$. Bila hipotesis nolnya "tidak ada kebocoran", alarm palsu setara galat tipe I dan kebocoran yang lolos setara galat tipe II (penalaran editorial). Kerangka ini dipakai untuk uji perbandingan di Bab 8.

Narasi Logika dan Sistem Teknis mengutip buku pegangan teknik manufaktur yang meminta pengambil keputusan menanyakan biaya dan peluang bila keputusannya salah. Untuk alarm keselamatan, biaya dua kesalahan sangat timpang: mengosongkan dapur karena alarm palsu merepotkan, sedangkan kebocoran gas yang lolos dapat mematikan. Karena itu nilai duga positif tidak dinaikkan dengan menurunkan kepekaan. Jalan yang benar ada tiga (penalaran editorial):

1. Turunkan laju positif palsu dengan menghilangkan penyebabnya. Sensor gas mempunyai gangguan silang dari gas lain, seperti dicatat Bab 11 · Kimia. Panduan desain alarm kebakaran dalam dokumen sumber pemilik menyebut detektor multisensor optik dan panas mengurangi alarm palsu, dan detektor laju kenaikan suhu pun dapat alarm palsu di dapur dan ruang ketel. Panduan itu, yang menafsirkan standar BS 5839-1, membedakan alarm palsu peralatan, alarm tidak diinginkan dari lingkungan, alarm iseng, dan alarm palsu dengan niat baik, serta meminta semua alarm palsu dicatat di buku log. Buku log itulah sumber data laju positif palsu.
2. Pakai uji pada kelompok yang sudah dicurigai. Prevalensinya lebih tinggi, sehingga nilai duga positif naik.
3. Konfirmasi dengan uji kedua yang galatnya bebas dari uji pertama. Teorema Bayes boleh diterapkan berulang hanya bila galat kedua uji bebas; uji ulang dengan alat dan cara yang sama sering mengulang penyebab positif palsu yang sama (pengetahuan umum).

Bab 14 · Mekanikal & Mekatronika tentang pemantauan kondisi mencatat pertukaran yang sama untuk batas alarm mesin: batas yang terlalu ketat menimbulkan banyak alarm palsu sehingga diabaikan, batas yang terlalu longgar tidak memberi peringatan. Bab 17 · Bangunan & Fasilitas menegaskan bahwa alarm palsu yang berulang adalah masalah keselamatan karena penghuni belajar mengabaikannya, sehingga penyebabnya dicari dan detektornya tidak ditutup.

Contoh kerja

Contoh 1: apakah penyebab dan giliran bebas. Dari 200 panggilan servis pengering (angka latihan), 60 datang pada giliran malam, 50 disebabkan sabuk, dan 24 adalah sabuk pada giliran malam. $P(\text{sabuk}) = 50/200 = 0{,}25$ dan $P(\text{sabuk} \mid \text{malam}) = 24/60 = 0{,}40$. Karena kedua angka berbeda, sabuk dan giliran malam tidak bebas; pemeriksaan lain memberi $P(\text{sabuk} \cap \text{malam}) = 0{,}12$, tidak sama dengan $0{,}25 \times 0{,}30 = 0{,}075$. Peluang sabuk atau malam $0{,}25 + 0{,}30 - 0{,}12 = 0{,}43$. Temuan ini mengarahkan pemeriksaan ke beban giliran malam, tetapi belum membuktikan penyebab.

Contoh 2: rusak bersamaan di 12 pengering. Setiap pengering mempunyai peluang rusak 0,05 per bulan dan dianggap bebas (angka latihan). $P(0) = 0{,}95^{12} = 0{,}540$ dan $P(1) = 12 \times 0{,}05 \times 0{,}95^{11} = 0{,}341$, sehingga $P(\ge 2) = 1 - P(0) - P(1) = 0{,}118$. Rata-ratanya $\mu = 0{,}6$ unit per bulan dengan $\sigma = \sqrt{12 \times 0{,}05 \times 0{,}95} = 0{,}755$ unit. Sekitar satu bulan dari delapan melihat dua atau lebih pengering rusak, dan jadwal teknisi dapat disiapkan untuk itu.

Contoh 3: apakah bulan buruk itu luar biasa. Gangguan pemutus pengaman di laundry rata-rata 3 kali per bulan (angka latihan), atau 0,75 per minggu. Dengan Poisson $\mu = 3$, $P(X \le 6) = 0{,}966$, sehingga tujuh atau lebih gangguan terjadi dengan peluang 0,034, kira-kira sekali dalam 30 bulan bila laju tidak berubah. Delapan atau lebih mempunyai peluang 0,012, sekitar sekali dalam 84 bulan. Bulan dengan delapan gangguan adalah sinyal untuk menyelidiki apa yang berubah, bukan nasib buruk.

Contoh 4: stok sabuk pengering. Pemakaian sabuk selama waktu tunggu pemasok rata-rata 1,5 buah (angka latihan). Rumus Bab 5 · Kerja Lapangan & Serah Terima dengan $\sigma_d\sqrt{L} = \sqrt{1{,}5} = 1{,}22$ dan $z = 1{,}65$ memberi titik pesan ulang $1{,}5 + 1{,}65 \times 1{,}22 = 3{,}52$. Poisson memberi peluang tidak kehabisan yang sebenarnya untuk setiap bilangan bulat: memesan saat stok tinggal 3 memberi 93,4 persen, saat tinggal 4 memberi 98,1 persen. Rumus normal menjanjikan sekitar 95 persen, padahal setelah dibulatkan hasilnya salah satu dari dua angka itu.

Contoh 5: papan pengendali dari Bab 5 · Kerja Lapangan & Serah Terima. Bab 5 · Kerja Lapangan & Serah Terima Contoh 6 memakai sekitar 5 kerusakan papan per tahun untuk 10 mesin dan waktu tunggu 6 minggu, sehingga $\mu = 5 \times 6/52 = 0{,}577$ kerusakan per waktu tunggu. Satu papan dipesan setiap kali satu dipakai. Dengan stok satu, sisa stok setelah pemakaian nol, dan peluang kerusakan lagi sebelum pengganti datang $1 - e^{-0{,}577} = 0{,}438$. Dengan stok dua, peluang kehabisan $1 - P(X \le 1) = 0{,}114$; dengan stok tiga, 0,021. Pilihan akhirnya tetap membandingkan biaya berhenti dan biaya menyimpan.

Contoh 6: alarm palsu dari banyak detektor. Sebuah gedung mempunyai 50 detektor, masing-masing dengan peluang alarm palsu 0,02 per tahun dan dianggap bebas (angka latihan, bukan laju nyata). Harapannya $50 \times 0{,}02 = 1$ alarm palsu per tahun. Binomial memberi peluang paling sedikit satu $1 - 0{,}98^{50} = 0{,}636$; Poisson dengan $\mu = 1$ memberi $1 - e^{-1} = 0{,}632$. Untuk tiga atau lebih, binomial 0,078 dan Poisson 0,080; pendekatannya cukup untuk perencanaan.

Contoh 7: uji ultrasonik perangkap uap. Tim memeriksa 1.000 perangkap uap; 10 persen sebenarnya rusak, kepekaan uji 0,90, dan kekhususan 0,95 (angka latihan). Dari 100 yang rusak, 90 terdeteksi; dari 900 yang baik, 45 dinyatakan rusak dan 855 baik. Nilai duga positif $90/(90 + 45) = 0{,}667$: satu dari tiga perangkap yang dinyatakan rusak sebenarnya baik. Nilai duga negatif $855/865 = 0{,}988$. Perangkap yang positif diperiksa ulang dengan cara lain sebelum dibongkar.

Contoh 8: sensor gas di kasus pembuka. Anggap kebocoran sungguhan terjadi pada 1 dari 1.000 hari, sensor mendeteksi 90 persen kebocoran, dan pada hari normal sensor berbunyi tanpa sebab dengan peluang 0,02 (semua angka latihan). Dalam 10.000 hari terdapat 10 hari bocor dengan 9 alarm benar, dan 9.990 hari normal dengan sekitar 200 alarm palsu. Nilai duga positif $9/(9 + 199{,}8) = 0{,}043$: sekitar 1 dari 23 alarm benar, padahal sensor diam pada 98 persen hari normal. Laju 0,02 per hari setara sekitar 7 alarm palsu per tahun. Bila penyebab alarm palsu ditemukan dan lajunya turun menjadi 0,002 per hari, nilai duga positif naik ke 0,311 tanpa mengurangi kepekaan. Selama penyebabnya belum hilang, setiap alarm tetap ditangani sebagai kebocoran.

Contoh 9: uji ulang dan kelompok yang dicurigai. Uji cepat dengan kepekaan 0,99 dan kekhususan 0,95 dipakai pada prevalensi 1 persen (angka latihan). Dari 10.000 sampel, 100 positif dan 99 terdeteksi; dari 9.900 yang negatif, 495 dinyatakan positif. Nilai duga positif $99/594 = 0{,}167$, jadi lima dari enam hasil positif adalah palsu, sedangkan nilai duga negatif 0,9999. Bila uji kedua yang galatnya bebas juga positif, prevalensi 0,167 menjadi peluang awal dan nilai duga positif naik ke 0,798. Uji dengan kepekaan 0,90 dan kekhususan 0,95 yang hanya dipakai pada kelompok bergejala berprevalensi 50 persen memberi nilai duga positif 0,947.

Kondisi berhenti

Hentikan analisis dan serahkan keputusan kepada pihak berwenang bila:

1. Alarm gas, asap, api, atau gas beracun berbunyi. Tangani sebagai kejadian nyata menurut prosedur tanggap darurat gedung sampai orang berwenang menyatakan aman; hitungan peluang tidak dipakai untuk memutuskan mengabaikan alarm.
2. Detektor perlu dipindah, ambangnya diubah, dimatikan, ditutup, atau diganti jenisnya. Pekerjaan itu milik pemilik sistem, pabrik, atau kontraktor berwenang.
3. Hasil uji higiene, uji mikrobiologi, atau uji keselamatan positif. Keputusan melepas produk, area, atau alat mengikuti prosedur tervalidasi dan laboratorium.
4. Stok minimum untuk suku cadang pengaman seperti sensor nyala, katup pengaman, atau detektor ditentukan peraturan, pabrik, atau pemilik aset; hitungan Poisson hanya bahan pertimbangan.
5. Data menunjukkan laju yang berubah atau kejadian yang berkelompok, dan keputusannya berbiaya besar. Minta analisis orang yang menguasai keandalan atau statistik.

Salah tafsir yang sering terjadi

1. "Sensornya 98 persen benar, jadi alarmnya hampir pasti benar." Kekhususan menyatakan perilaku pada hari normal; peluang alarm benar bergantung juga pada seberapa jarang kebocoran, seperti pada Contoh 8.
2. "Dua kejadian yang tidak dapat terjadi bersamaan pasti bebas." Bebas dan saling lepas berbeda; kejadian saling lepas yang mungkin terjadi justru saling bergantung.
3. "Sudah tiga bulan tanpa gangguan, bulan depan pasti terjadi." Pada proses Poisson, peluang kejadian tidak bergantung pada waktu sejak kejadian terakhir; jeda panjang tidak menagih kejadian berikutnya.
4. "Rata-rata pemakaian 1,5 selama waktu tunggu, jadi stok 2 cukup." Dengan Poisson, memesan saat stok tinggal 2 hanya memberi peluang tidak kehabisan 0,809.
5. "Alarm sering palsu, turunkan saja kepekaannya." Menurunkan kepekaan menukar alarm palsu dengan kejadian yang lolos; untuk alarm keselamatan, penyebab alarm palsu yang dihilangkan.

Hubungan dengan bab lain

Bab 2 memberi ringkasan data dan distribusi, dan Bab 3 membaca jumlah kejadian per bulan sebagai tren. Bab 10 · Sistem, Diagram & Diagnosis memakai laju tetap untuk keandalan, Bab 12 · Sistem, Diagram & Diagnosis memakai peluang tanpa kejadian untuk lama pemasangan pencatat, dan Bab 6 memakai binomial untuk sampling penerimaan. Keputusan stok diambil di Bab 5 · Kerja Lapangan & Serah Terima. Bab 8 memakai galat tipe I dan II untuk uji perbandingan. Detektor gas dan alarm kebakaran dijelaskan di Bab 11 · Kimia dan Bab 17 · Bangunan & Fasilitas. Bab 11 tentang kemampuan proses memakai distribusi normal untuk menghitung bagian di luar batas spesifikasi.

Latihan dan pembahasan

1. Dari 120 panggilan servis, 45 datang malam hari, 30 disebabkan pompa, dan 18 adalah pompa pada malam hari. Apakah penyebab pompa dan malam hari bebas?
2. Sebuah hotel mempunyai 20 pemanas air kamar, masing-masing dengan peluang gangguan 0,1 per bulan dan dianggap bebas. Berapa peluang tiga atau lebih gangguan dalam sebulan?
3. Pemakaian sebuah sensor selama waktu tunggu rata-rata 2 buah. Saat stok tinggal berapa pesanan harus dikirim supaya peluang tidak kehabisan paling sedikit 95 persen?
4. Sebuah panel mencatat rata-rata 12 alarm gangguan per tahun dengan laju tetap. Berapa peluang satu bulan berlalu tanpa alarm, dan berapa peluang dua atau lebih alarm dalam sebulan?
5. Uji cepat dengan kepekaan 0,95 dan kekhususan 0,98 dipakai pada keadaan dengan prevalensi 2 persen. Hitung nilai duga positifnya dengan frekuensi alami 1.000 unit.
6. Pemasok menyatakan alat ujinya "akurat 99 persen". Mengapa angka itu belum cukup, dan angka apa yang diminta?

Kunci jawaban beralasan

1. $P(\text{pompa}) = 30/120 = 0{,}25$, sedangkan $P(\text{pompa} \mid \text{malam}) = 18/45 = 0{,}40$. Karena kedua angka berbeda, keduanya tidak bebas; pemeriksaan lain memberi $18/120 = 0{,}15$, tidak sama dengan $0{,}25 \times 0{,}375 = 0{,}094$.
2. Dengan binomial $n = 20$ dan $p = 0{,}1$: $P(0) = 0{,}122$, $P(1) = 0{,}270$, dan $P(2) = 0{,}285$, sehingga $P(X \le 2) = 0{,}677$. Peluang tiga atau lebih $1 - 0{,}677 = 0{,}323$, kira-kira satu bulan dari tiga, selama anggapan bebas dan peluang sama masuk akal.
3. Dengan Poisson $\mu = 2$, $P(X \le 3) = 0{,}857$, $P(X \le 4) = 0{,}947$, dan $P(X \le 5) = 0{,}983$. Stok 4 belum mencapai 95 persen, jadi pesanan dikirim saat stok tinggal 5.
4. Laju per bulan $\mu = 12/12 = 1$, sehingga peluang tanpa alarm $e^{-1} = 0{,}368$. Peluang dua atau lebih $1 - e^{-1} - e^{-1} = 1 - 0{,}736 = 0{,}264$, jadi bulan tanpa alarm cukup biasa dan belum membuktikan perbaikan.
5. Dari 1.000 unit, 20 benar-benar positif dan 19 terdeteksi; dari 980 yang negatif, $980 \times 0{,}02 = 19{,}6$ dinyatakan positif. Nilai duga positif $19/(19 + 19{,}6) = 0{,}492$, sehingga lebih dari separuh hasil positif adalah palsu walaupun kedua sifat ujinya tinggi.
6. Akurasi mencampur hasil benar pada keadaan ada dan tidak ada, sehingga pada prevalensi 1 persen uji yang selalu negatif pun akurat 99 persen tanpa pernah menemukan apa pun. Yang diminta adalah kepekaan dan kekhususan dengan cara ujinya, lalu prevalensi di tempat pemakaian dipakai untuk menghitung nilai duga positif dan negatif.

Referensi