Analisis dimensi, bilangan tak berdimensi, kesamaan model, dan pemodelan orde besaran

Seorang teknisi laundry menemukan rumus di sebuah forum daring untuk menghitung debit air keluar dari tangki: debit sama dengan luas lubang dikali kuadrat kecepatan. Ia memakai rumus itu untuk memperkirakan waktu pengisian mesin, dan hasilnya jauh dari kenyataan. Pada minggu yang sama, pemasok peralatan menunjukkan video uji model kecil tangki pencampur dengan air berwarna, lalu menyimpulkan bahwa tangki ukuran penuh akan bercampur sama baiknya dalam waktu yang sama. Dan di ruang lipat, tumpukan handuk yang baru keluar dari pengering masih terasa hangat di tengahnya keesokan harinya.

Ketiga hal itu dapat diperiksa dengan alat yang sama, tanpa perhitungan rinci. Rumus forum gagal karena dimensinya tidak cocok. Model kecil hanya mewakili mesin penuh bila bilangan tak berdimensi yang menentukan alirannya sama. Tumpukan handuk tetap hangat karena skala waktu pendinginannya sebanding dengan kuadrat tebalnya. Bab ini mengajarkan analisis dimensi dan pemodelan orde besaran sebagai cara berpikir yang dipakai sebelum, selama, dan sesudah perhitungan.

Batas pembahasan

Bab ini membahas dimensi dan besaran pokok, kehomogenan dimensi, penurunan bentuk rumus, teorema pi Buckingham, bilangan tak berdimensi, kesamaan dan model berskala, estimasi orde besaran, skala waktu karakteristik, hukum skala, dan batas analisis dimensi.

Estimasi dan pemeriksaan kewajaran tingkat dasar dibahas di Bab 4 · Satuan & Matematika tentang estimasi, skala, dan pemeriksaan kewajaran, dan besaran serta hubungan fungsi di Bab 2 · Satuan & Matematika tentang besaran, fungsi, dan cara membaca hubungan. Bilangan Reynolds dan rugi tekan pipa dibahas di Bab 2 · Fluida & Termal tentang Bernoulli, rugi tekan, dan sistem perpipaan, bilangan Nusselt dan tetapan waktu termal di Bab 24 tentang perpindahan panas kuantitatif, dan getaran serta frekuensi alami di Bab 13 tentang getaran harmonik. Sifat fluida di bab ini adalah nilai pendekatan. Analisis dimensi tidak menggantikan data uji atau korelasi yang sudah divalidasi; analisis ini menunjukkan bentuk hubungan dan memeriksa kewajarannya.

Dimensi, besaran pokok, dan kehomogenan dimensi

Dimensi (dimension) adalah jenis besaran, terlepas dari satuannya. Panjang 2 m dan 200 cm memiliki dimensi yang sama, yaitu panjang. Sistem SI memakai tujuh besaran pokok: massa [M], panjang [L], waktu [T], suhu [Θ], arus listrik [I], jumlah zat [N], dan intensitas cahaya [J]. Semua besaran lain adalah besaran turunan yang dimensinya merupakan hasil kali pangkat besaran pokok:

Besaran tak berdimensi (dimensionless quantity) adalah besaran yang semua pangkat dimensinya nol. Sudut dalam radian, efisiensi, dan perbandingan dua panjang adalah besaran tak berdimensi. Satuan tidak berarti dimensi: persen, ppm, dan desibel adalah cara menulis besaran tak berdimensi.

Kehomogenan dimensi (dimensional homogeneity) adalah syarat bahwa semua suku yang dijumlahkan atau dibandingkan dalam satu persamaan berdimensi sama, dan bahwa argumen fungsi seperti eksponensial, logaritma, dan sinus tak berdimensi. Setiap persamaan fisika yang benar harus homogen secara dimensi. Aturan ini adalah pemeriksaan pertama yang paling murah untuk rumus apa pun.

Rumus di kasus pembuka, debit sama dengan luas kali kuadrat kecepatan, memberi dimensi $\text{L}^2 \times \text{L}^2\,\text{T}^{-2} = \text{L}^4\,\text{T}^{-2}$, sedangkan debit berdimensi L³ T⁻¹. Rumus itu pasti salah, berapa pun angka yang dimasukkan. Rumus yang benar, debit sama dengan luas kali kecepatan, memberi L³ T⁻¹ (Contoh 1).

Pemeriksaan dimensi menangkap kesalahan bentuk, tetapi tidak menangkap kesalahan faktor tanpa dimensi. Rumus energi kinetik $mv^2$ tanpa faktor setengah tetap homogen tetapi salah dua kali. Karena itu pemeriksaan dimensi adalah syarat perlu, bukan bukti kebenaran. Pemeriksaan ini juga mencegah kesalahan konversi satuan: bila setiap angka ditulis lengkap dengan satuannya dan satuannya ikut dihitung, kesalahan seperti mencampur kPa dengan bar atau mm dengan m akan terlihat.

Menurunkan bentuk rumus dan teorema pi Buckingham

Analisis dimensi (dimensional analysis) adalah cara menurunkan bentuk hubungan antarbesaran dari dimensinya saja. Bila besaran yang memengaruhi suatu gejala diketahui, bentuk hubungannya sering dapat diturunkan dengan cara ini. Contohnya cepat rambat gelombang pada tali: bila hanya gaya tegang $F$ dan massa per panjang $\mu$ yang relevan, tidak ada kombinasi lain selain $\sqrt{F/\mu}$ yang dimensinya benar. Caranya: tulis besaran yang dicari sebagai hasil kali pangkat besaran yang memengaruhinya, lalu samakan pangkat setiap dimensi pokok di kedua ruas.

Untuk bandul sederhana, periode $T$ mungkin bergantung pada panjang tali $L$, percepatan gravitasi $g$, dan massa beban $m$. Dari $T = C\,L^a g^b m^c$, kesamaan pangkat memberi $c = 0$, $a + b = 0$, dan $-2b = 1$, sehingga $T = C\sqrt{L/g}$, dengan $T$ dalam sekon, $L$ dalam meter, dan $g$ dalam m/s². Analisis dimensi tidak memberi nilai tetapan $C$; nilai $2\pi$ hanya didapat dari teori atau percobaan. Tetapi hasilnya sudah sangat berguna: periode tidak bergantung pada massa, dan tali empat kali lebih panjang memberi periode dua kali lebih lama. Pola yang sama muncul pada frekuensi alami pegas dan massa di Bab 13 tentang getaran harmonik.

Untuk gejala dengan banyak besaran, teorema pi Buckingham (Buckingham pi theorem) memberi cara sistematis. Bila suatu gejala melibatkan $n$ besaran yang memuat $k$ dimensi pokok, hubungannya dapat ditulis ulang dengan $n - k$ kelompok tak berdimensi, yang disebut kelompok pi:

$f(q_1, q_2, \ldots, q_n) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad F(\Pi_1, \Pi_2, \ldots, \Pi_{n-k}) = 0$

dengan $q_1$ sampai $q_n$ besaran yang relevan beserta satuannya masing-masing dan $\Pi_1$ sampai $\Pi_{n-k}$ kelompok pi tanpa satuan. Hubungan seperti ini dapat disusun dalam bentuk deret dengan koefisien tanpa dimensi. Langkahnya: daftar semua besaran yang relevan, tentukan dimensinya, pilih $k$ besaran berulang yang bersama-sama memuat semua dimensi, lalu bentuk setiap kelompok pi dari satu besaran sisa dikali pangkat besaran berulang.

Manfaat praktisnya besar. Rugi tekan di pipa lurus bergantung pada tujuh besaran: beda tekanan, massa jenis, viskositas, kecepatan, diameter, panjang, dan kekasaran dinding. Dengan tiga dimensi pokok (M, L, T), hubungannya cukup ditulis dengan empat kelompok, yaitu koefisien tekanan $\Delta p/(\rho v^2)$, bilangan Reynolds, perbandingan $L/D$, dan kekasaran relatif $\varepsilon/D$. Percobaan yang semula memerlukan variasi tujuh besaran cukup memvariasikan tiga kelompok, dan hasilnya berlaku untuk fluida dan ukuran pipa apa pun. Karena rugi tekan pipa lurus sebanding dengan panjangnya, hubungan itu menjadi $\Delta p/(\rho v^2) = \tfrac{1}{2} f(\text{Re}, \varepsilon/D) \times L/D$, yaitu persamaan Darcy-Weisbach. Itulah asal diagram faktor gesekan di Bab 2 · Fluida & Termal tentang Bernoulli, rugi tekan, dan sistem perpipaan.

Bilangan tak berdimensi penting

Bilangan tak berdimensi menyatakan perbandingan dua pengaruh fisika. Nilainya menunjukkan pengaruh mana yang dominan:

Bilangan Reynolds dan Prandtl dipakai dalam korelasi perpindahan panas, dan satu korelasi semacam itu tidak berlaku untuk fluida dengan bilangan Prandtl kurang dari 0,1. Itu adalah pelajaran penting: setiap korelasi tak berdimensi hanya berlaku dalam rentang bilangan tempat korelasi itu diuji. Membandingkan bilangan Nusselt terukur dengan korelasi adalah cara yang tepat untuk memeriksa apakah sebuah korelasi cocok.

Bilangan tak berdimensi juga mengoreksi intuisi. Suatu aliran dapat tampak tenang padahal bilangan Reynolds-nya menunjukkan turbulen kuat, dan contoh hitungan untuk aliran di atas pelat memberi $\text{Re} = 12 \times 2/10^{-6} = 2{,}4 \times 10^7$. Aliran air dalam pipa rumah tangga hampir selalu turbulen walau tampak jernih dan tenang di keran (Contoh 2).

Kesamaan dan model berskala

Model berskala (scale model) adalah tiruan peralatan dalam ukuran lain yang dipakai untuk mempelajari gejala pada peralatan penuh. Model itu hanya mewakili peralatan penuh bila kedua sistem memenuhi kesamaan. Kesamaan geometri (geometric similarity) berarti semua perbandingan panjang sama. Kesamaan kinematik (kinematic similarity) berarti pola kecepatannya sebanding. Kesamaan dinamik (dynamic similarity) berarti semua bilangan tak berdimensi yang menentukan gejalanya bernilai sama. Bila syarat batasnya juga dinyatakan dalam besaran tak berdimensi, persamaan model dan persamaan sebenarnya menjadi sama.

Masalahnya, sering tidak mungkin menyamakan semua bilangan sekaligus. Pada tangki pencampur dengan permukaan bebas, gravitasi dan kekentalan sama-sama berperan. Menyamakan bilangan Froude dengan air pada model kecil memerlukan kecepatan yang lebih rendah, sedangkan menyamakan bilangan Reynolds memerlukan kecepatan yang jauh lebih tinggi (Contoh 3). Uji model pemasok di kasus pembuka memakai air pada ukuran kecil, sehingga paling banyak hanya satu bilangan yang sama. Kesimpulan "bercampur sama baiknya dalam waktu yang sama" juga keliru dari sisi waktu: waktu pencampuran pada pengadukan turbulen sebanding dengan kebalikan putaran pengaduk, dan putaran yang sesuai berubah dengan ukuran. Model tetap berguna untuk melihat pola, tetapi perpindahannya ke ukuran penuh memerlukan aturan skala yang jelas.

Pemodelan orde besaran dan estimasi Fermi

Orde besaran (order of magnitude) adalah pangkat sepuluh terdekat dari suatu nilai. Sebagai gambaran, waktu hidup laser komersial berorde $10^{-8}$ s, dan ukuran khas inti atom $10^{-15}$ m, yang disebut fermi. Mengetahui orde besaran sudah cukup untuk banyak keputusan: apakah suatu pengaruh perlu dihitung atau dapat diabaikan, apakah hasil perhitungan masuk akal, dan apakah sebuah usulan layak diteliti lebih lanjut.

Estimasi Fermi (Fermi estimate) adalah cara memecah besaran yang tidak diketahui menjadi rantai faktor yang masing-masing dapat diperkirakan, lalu mengalikannya. Kesalahan tiap faktor cenderung saling menutup, sehingga hasilnya sering berada dalam faktor dua atau tiga dari nilai sebenarnya. Kuncinya adalah menuliskan setiap anggapan dengan satuannya, agar anggapan yang paling meragukan dapat diperiksa kemudian. Bab 4 · Satuan & Matematika tentang estimasi, skala, dan pemeriksaan kewajaran membahas estimasi dasar dan pemeriksaan kewajaran; bab ini memakainya untuk model fisika (Contoh 6).

Skala waktu karakteristik

Skala waktu karakteristik (characteristic time scale) adalah satu besaran waktu yang dibentuk dari besaran yang relevan untuk memperkirakan berapa lama suatu gejala berlangsung. Banyak gejala dapat diperkirakan dengan cara itu:

1. Difusi panas: waktu agar panas merambat sejauh $L$ di bahan dengan difusivitas termal $\alpha$ berorde $L^2/\alpha$, dengan $L$ dalam meter dan $\alpha$ dalam m²/s sehingga hasilnya dalam sekon. Waktu itu sebanding dengan kuadrat jarak, sehingga tumpukan dua kali lebih tebal memerlukan waktu empat kali lebih lama (Contoh 5).
2. Tetapan waktu kapasitas tergumpal: $\tau = \rho c V/(hA)$, berlaku bila bilangan Biot kecil, seperti di Bab 24 tentang perpindahan panas kuantitatif.
3. Waktu tinggal: volume dibagi debit, misalnya waktu air berada di tangki atau di zona mesin konveyor.
4. Periode alami: $2\pi\sqrt{m/k}$ untuk getaran, seperti di Bab 13 tentang getaran harmonik.

Membandingkan dua skala waktu menghasilkan bilangan tak berdimensi baru. Bila waktu tinggal di zona bilas jauh lebih pendek daripada waktu yang diperlukan panas merambat ke dalam tumpukan piring, piring tidak akan mencapai suhu air bilas. Perbandingan seperti ini sering lebih bermanfaat daripada simulasi rinci.

Hukum skala: kesebangunan pompa dan kuadrat-kubus

Analisis dimensi pada pompa sentrifugal dan kipas menghasilkan hukum kesebangunan (affinity laws). Untuk mesin yang sama dengan putaran $n$ berubah, debit sebanding dengan $n$, tinggi tekan sebanding dengan $n^2$, dan daya sebanding dengan $n^3$:

$\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{n_2}{n_1} \qquad \frac{H_2}{H_1} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2 \qquad \frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^3$

dengan indeks 1 untuk keadaan awal dan indeks 2 untuk keadaan baru; $Q$ debit, $H$ tinggi tekan, dan $P$ daya boleh dalam satuan apa pun asalkan sama di kedua keadaan. Menurunkan putaran 20 persen dengan pengendali kecepatan menurunkan daya menjadi $0{,}8^3 = 0{,}51$, hampir separuh, selama sistem pipanya tidak memerlukan tinggi tekan statis besar. Hukum ini adalah alasan utama penghematan energi dengan inverter pada pompa dan kipas.

Hukum kuadrat-kubus (square-cube law) menyatakan bahwa bila semua ukuran benda diperbesar $s$ kali, luasnya bertambah $s^2$ kali dan volumenya $s^3$ kali. Perbandingan luas terhadap volume turun $1/s$. Akibatnya tangki besar kehilangan panas lebih lambat per liter, butir kecil larut dan bereaksi lebih cepat, dan rotor besar mengalami tegangan sentrifugal lebih besar pada putaran yang sama, karena kecepatan kelilingnya lebih besar, seperti dibahas di Bab 23 tentang dinamika rotor.

Batas analisis dimensi

Analisis dimensi hanya sebaik daftar besaran yang dimasukkan. Bila satu besaran penting terlupa, hasilnya salah tanpa peringatan; bila besaran yang tidak relevan dimasukkan, muncul kelompok pi yang tidak berguna. Analisis dimensi juga tidak memberi tetapan tanpa dimensi, tidak menunjukkan bentuk fungsi di antara kelompok pi, dan tidak memberi tahu rentang berlakunya. Semua itu memerlukan teori atau percobaan. Pemodelan orde besaran memiliki batas serupa: estimasi yang bagus untuk memilih arah tidak cukup untuk menetapkan batas keselamatan, menentukan ukuran komponen akhir, atau menggantikan pengukuran.

Contoh kerja

Angka dalam contoh di bawah adalah angka latihan, kecuali disebut asalnya.

Contoh 1: memeriksa rumus debit. $Q = Av^2$ memberi $\text{L}^2 \times \text{L}^2\,\text{T}^{-2} = \text{L}^4\,\text{T}^{-2}$, bukan L³ T⁻¹, sehingga salah. $Q = Av$ memberi L³ T⁻¹, benar. Bernoulli: $p$ berdimensi M L⁻¹ T⁻², dan $\tfrac{1}{2}\rho v^2$ berdimensi $\text{M}\,\text{L}^{-3} \times \text{L}^2\,\text{T}^{-2} = \text{M}\,\text{L}^{-1}\,\text{T}^{-2}$, sama, sehingga kedua suku boleh dijumlahkan.

Contoh 2: bilangan Reynolds air di pipa. Air 20 °C ($\nu = 1{,}0 \times 10^{-6}$ m²/s) pada 1,5 m/s di pipa 25 mm: $\text{Re} = 1{,}5 \times 0{,}025/10^{-6} = 37.500$, turbulen jauh di atas batas laminar sekitar 2.300. Air 80 °C ($\nu \approx 0{,}36 \times 10^{-6}$ m²/s) pada kecepatan yang sama: sekitar 104.000.

Contoh 3: model tangki skala 1 : 5. Kecepatan di tangki penuh 2,0 m/s. Kesamaan Froude dengan air: $v_m = v_p/\sqrt{5} = 0{,}89$ m/s. Kesamaan Reynolds dengan air: $v_m = 5\,v_p = 10$ m/s. Kedua syarat tidak dapat dipenuhi bersamaan dengan fluida yang sama, sehingga model hanya meniru salah satu pengaruh.

Contoh 4: bilangan Biot dua benda. Pelat baja tahan karat 2 mm di air ($h = 500$ W/(m²·K), panjang khas setengah tebal 1 mm, $k = 16$ W/(m·K)): $\text{Bi} = 500 \times 0{,}001/16 = 0{,}031$, di bawah 0,1, sehingga suhunya praktis merata. Wadah polipropilena 10 mm di udara ($h = 10$ W/(m²·K), panjang khas 5 mm, $k = 0{,}2$ W/(m·K)): $\text{Bi} = 10 \times 0{,}005/0{,}2 = 0{,}25$, sehingga suhu di dalam dindingnya tidak merata dan model tergumpal tidak berlaku. Batas 0,1 adalah pegangan baku.

Contoh 5: tumpukan handuk yang tetap hangat. Tumpukan setebal 0,5 m mendingin dari kedua sisi, sehingga jarak ke tengahnya 0,25 m. Dengan difusivitas termal tumpukan kain kering sekitar $1 \times 10^{-7}$ m²/s, skala waktunya $0{,}25^2/10^{-7} = 6{,}3 \times 10^5$ s, sekitar tujuh hari. Tumpukan setebal 0,1 m: $0{,}05^2/10^{-7} = 2{,}5 \times 10^4$ s, sekitar tujuh jam. Inilah alasan linen panas dari pengering tidak boleh ditumpuk tebal, karena panas di tengah bertahan lama dan, pada linen yang masih membawa sisa minyak, dapat memicu pemanasan spontan seperti dibahas di Bab 15 · Laundry tentang pengeringan dan finishing.

Contoh 6: estimasi Fermi air dan energi laundry. Laundry mencuci 500 kg linen per hari dengan sekitar 10 L air per kg: 5 m³ per hari, sekitar 1.800 m³ per tahun untuk 360 hari, berorde $10^3$ m³. Bila separuh air itu dipanaskan 40 K: $2{,}5 \times 1.000 \times 4{,}19 \times 40 = 419.000$ kJ, sekitar 116 kWh per hari, berorde $10^2$ kWh. Angka ini cukup untuk menilai apakah usulan pemulihan panas layak diteliti, tetapi tidak cukup untuk merancangnya.

Kondisi berhenti

Hentikan pekerjaan dan laporkan kepada pengawas atau penanggung jawab peralatan, yang memutuskan kapan pekerjaan boleh dilanjutkan, bila:

1. Rumus dari sumber yang tidak jelas akan dipakai untuk menentukan ukuran komponen yang menyangkut keselamatan, seperti katup pengaman, kabel, atau bejana tekan, padahal dimensinya belum diperiksa dan sumbernya belum diverifikasi.
2. Hasil uji model kecil akan dipakai langsung untuk menetapkan batas operasi peralatan penuh tanpa aturan skala dan verifikasi pada peralatan sebenarnya.
3. Estimasi orde besaran akan dipakai sebagai pengganti pengukuran untuk keputusan keselamatan, seperti kadar gas, suhu permukaan, atau tegangan.
4. Linen panas dari pengering ditumpuk tebal di ruang tertutup tanpa pendinginan, seperti diperingatkan Contoh 5 dan Bab 15 · Laundry tentang pengeringan dan finishing. Ikuti Bab 1 · Keselamatan tentang bahaya, risiko, energi tersimpan, dan kondisi berhenti bila tumpukan terasa makin panas atau berbau hangus.

Salah tafsir yang sering terjadi

Hubungan dengan bab lain

Bab 2 · Satuan & Matematika tentang besaran, fungsi, dan cara membaca hubungan dan Bab 4 · Satuan & Matematika tentang estimasi, skala, dan pemeriksaan kewajaran memberi besaran, fungsi, estimasi, dan pemeriksaan kewajaran tingkat dasar. Bab 2 · Fluida & Termal tentang Bernoulli, rugi tekan, dan sistem perpipaan memakai bilangan Reynolds dan faktor gesekan, Bab 24 tentang perpindahan panas kuantitatif memakai bilangan Nusselt dan tetapan waktu, dan Bab 13 tentang getaran harmonik memakai frekuensi alami. Bab 23 tentang dinamika rotor membahas tegangan sentrifugal yang menjadi salah satu akibat hukum kuadrat-kubus. Bab 15 · Laundry tentang pengeringan dan finishing membahas bahaya panas tumpukan linen, dan Bab 1 · Keselamatan tentang bahaya, risiko, energi tersimpan, dan kondisi berhenti membahas kondisi berhenti. Bab 28 tentang proyek integratif washer-extractor memakai analisis dimensi dan orde besaran untuk memeriksa hasil analisis satu peralatan.

Latihan dan pembahasan

Untuk setiap soal, tuliskan dimensi, rumus, hitungan, atau alasannya.