Analisis dimensi, bilangan tak berdimensi, kesamaan model, dan pemodelan orde besaran

Seorang teknisi laundry menemukan rumus di sebuah forum daring untuk menghitung debit air keluar dari tangki: debit sama dengan luas lubang dikali kuadrat kecepatan. Ia memakai rumus itu untuk memperkirakan waktu pengisian mesin, dan hasilnya jauh dari kenyataan. Pada minggu yang sama, pemasok peralatan menunjukkan video uji model kecil tangki pencampur dengan air berwarna, lalu menyimpulkan bahwa tangki ukuran penuh akan bercampur sama baiknya dalam waktu yang sama. Dan di ruang lipat, tumpukan handuk yang baru keluar dari pengering masih terasa hangat di tengahnya keesokan harinya.

Ketiga hal itu dapat diperiksa dengan alat yang sama, tanpa perhitungan rinci. Rumus forum gagal karena dimensinya tidak cocok. Model kecil hanya mewakili mesin penuh bila bilangan tak berdimensi yang menentukan alirannya sama. Tumpukan handuk tetap hangat karena skala waktu pendinginannya sebanding dengan kuadrat tebalnya. Bab ini mengajarkan analisis dimensi dan pemodelan orde besaran sebagai cara berpikir yang dipakai sebelum, selama, dan sesudah perhitungan.

Batas pembahasan

Bab ini membahas dimensi dan besaran pokok, kehomogenan dimensi, penurunan bentuk rumus, teorema pi Buckingham, bilangan tak berdimensi, kesamaan dan model berskala, estimasi orde besaran, skala waktu karakteristik, hukum skala, dan batas analisis dimensi. Narasi disiplin Fisika Teknik tipis untuk topik ini: narasi memuat bahwa hanya satu kombinasi gaya tegang dan massa per panjang yang benar dimensinya untuk cepat rambat gelombang pada tali dari buku teks fisika, serta waktu hidup laser yang berorde $10^{-8}$ s dan ukuran khas inti atom yang disebut fermi dari buku listrik, magnet, dan cahaya. Narasi Fluida & Termal menambah koefisien tanpa dimensi dan syarat batas tak berdimensi dari buku mekanika fluida dasar, bilangan Reynolds yang menunjukkan aliran sangat turbulen padahal tampak tenang dan contoh hitung bilangan Reynolds dari buku mekanika fluida, bilangan Reynolds dan Prandtl dalam korelasi panas dan batas berlakunya dari buku termodinamika untuk insinyur, serta simbol tak berdimensi dan bilangan Nusselt terukur dari buku perhitungan perpindahan panas.

Estimasi dan pemeriksaan kewajaran tingkat dasar dibahas di Bab 4 · Satuan & Matematika, dan besaran serta hubungan fungsi di Bab 2 · Satuan & Matematika. Bilangan Reynolds dan rugi tekan pipa dibahas di Bab 2 · Fluida & Termal, bilangan Nusselt dan tetapan waktu termal di bab perpindahan panas kuantitatif, dan getaran serta frekuensi alami di bab getaran harmonik. Sifat fluida di bab ini adalah nilai baku pendekatan. Analisis dimensi tidak menggantikan data uji atau korelasi yang sudah divalidasi; analisis ini menunjukkan bentuk hubungan dan memeriksa kewajarannya.

Dimensi dan besaran pokok

Dimensi adalah jenis besaran, terlepas dari satuannya. Panjang 2 m dan 200 cm memiliki dimensi yang sama, yaitu panjang. Sistem SI memakai tujuh besaran pokok: massa [M], panjang [L], waktu [T], suhu [Θ], arus listrik [I], jumlah zat [N], dan intensitas cahaya [J]. Semua besaran lain adalah besaran turunan yang dimensinya merupakan hasil kali pangkat besaran pokok:

Besaran yang semua pangkatnya nol disebut tak berdimensi. Sudut dalam radian, efisiensi, dan perbandingan dua panjang adalah besaran tak berdimensi. Satuan tidak berarti dimensi: persen, ppm, dan desibel adalah cara menulis besaran tak berdimensi.

Pemeriksaan kehomogenan dimensi

Setiap persamaan fisika yang benar harus homogen secara dimensi: semua suku yang dijumlahkan atau dibandingkan harus berdimensi sama, dan argumen fungsi seperti eksponensial, logaritma, dan sinus harus tak berdimensi. Aturan ini adalah pemeriksaan pertama yang paling murah untuk rumus apa pun.

Rumus di kasus pembuka, debit sama dengan luas kali kuadrat kecepatan, memberi dimensi L² × L² T⁻² = L⁴ T⁻², sedangkan debit berdimensi L³ T⁻¹. Rumus itu pasti salah, berapa pun angka yang dimasukkan. Rumus yang benar, debit sama dengan luas kali kecepatan, memberi L³ T⁻¹ (Contoh 1).

Pemeriksaan dimensi menangkap kesalahan bentuk, tetapi tidak menangkap kesalahan faktor tanpa dimensi. Rumus energi kinetik $mv^2$ tanpa faktor setengah tetap homogen tetapi salah dua kali. Karena itu pemeriksaan dimensi adalah syarat perlu, bukan bukti kebenaran. Pemeriksaan ini juga mencegah kesalahan konversi satuan: bila setiap angka ditulis lengkap dengan satuannya dan satuannya ikut dihitung, kesalahan seperti mencampur kPa dengan bar atau mm dengan m akan terlihat.

Menurunkan bentuk rumus dengan analisis dimensi

Bila besaran yang memengaruhi suatu gejala diketahui, bentuk hubungannya sering dapat diturunkan dari dimensi saja. Buku teks fisika dalam sumber menunjukkan cara ini untuk cepat rambat gelombang pada tali: bila hanya gaya tegang $F$ dan massa per panjang $\mu$ yang relevan, tidak ada kombinasi lain selain $\sqrt{F/\mu}$ yang dimensinya benar. Caranya: tulis besaran yang dicari sebagai hasil kali pangkat besaran yang memengaruhinya, lalu samakan pangkat setiap dimensi pokok di kedua ruas.

Untuk bandul sederhana, periode $T$ mungkin bergantung pada panjang tali $L$, percepatan gravitasi $g$, dan massa beban $m$. Dari $T = C\,L^a g^b m^c$, kesamaan pangkat memberi $c = 0$, $a + b = 0$, dan $-2b = 1$, sehingga $T = C\sqrt{L/g}$ (Contoh 2). Analisis dimensi tidak memberi nilai tetapan $C$; nilai $2\pi$ hanya didapat dari teori atau percobaan. Tetapi hasilnya sudah sangat berguna: periode tidak bergantung pada massa, dan tali empat kali lebih panjang memberi periode dua kali lebih lama. Pola yang sama muncul pada frekuensi alami pegas dan massa di bab getaran harmonik.

Teorema pi Buckingham

Untuk gejala dengan banyak besaran, teorema pi Buckingham memberi cara sistematis. Bila suatu gejala melibatkan $n$ besaran yang memuat $k$ dimensi pokok, hubungannya dapat ditulis ulang dengan $n - k$ kelompok tak berdimensi, yang disebut kelompok pi:

$f(q_1, q_2, \ldots, q_n) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad F(\Pi_1, \Pi_2, \ldots, \Pi_{n-k}) = 0$

Buku mekanika fluida dasar dalam sumber memakai bentuk deret dengan koefisien tanpa dimensi untuk menyusun hubungan seperti ini. Langkahnya: daftar semua besaran yang relevan, tentukan dimensinya, pilih $k$ besaran berulang yang bersama-sama memuat semua dimensi, lalu bentuk setiap kelompok pi dari satu besaran sisa dikali pangkat besaran berulang.

Manfaat praktisnya besar. Rugi tekan di pipa lurus bergantung pada tujuh besaran: beda tekanan, massa jenis, viskositas, kecepatan, diameter, panjang, dan kekasaran dinding. Dengan tiga dimensi pokok (M, L, T), hubungannya cukup ditulis dengan empat kelompok, yaitu koefisien tekanan $\Delta p/(\rho v^2)$, bilangan Reynolds, perbandingan $L/D$, dan kekasaran relatif $\varepsilon/D$ (Contoh 4). Percobaan yang semula memerlukan variasi tujuh besaran cukup memvariasikan tiga kelompok, dan hasilnya berlaku untuk fluida dan ukuran pipa apa pun. Itulah asal diagram faktor gesekan di Bab 2 · Fluida & Termal.

Bilangan tak berdimensi penting

Bilangan tak berdimensi menyatakan perbandingan dua pengaruh fisika. Nilainya menunjukkan pengaruh mana yang dominan:

Buku termodinamika untuk insinyur dalam sumber mencatat bilangan Reynolds dan Prandtl dalam korelasi perpindahan panas, dan juga mencatat bahwa satu korelasi tidak berlaku untuk fluida dengan bilangan Prandtl kurang dari 0,1. Itu adalah pelajaran penting: setiap korelasi tak berdimensi hanya berlaku dalam rentang bilangan tempat korelasi itu diuji. Buku perhitungan perpindahan panas dalam sumber membandingkan bilangan Nusselt terukur dengan korelasi, cara yang tepat untuk memeriksa apakah sebuah korelasi cocok.

Bilangan tak berdimensi juga mengoreksi intuisi. Buku mekanika fluida dalam sumber memuat contoh aliran yang bilangan Reynolds-nya menunjukkan turbulen kuat padahal alirannya tampak tenang, dan contoh hitung bilangan Reynolds $12 \times 2/10^{-6} = 2{,}4 \times 10^7$ untuk aliran di atas pelat. Aliran air dalam pipa rumah tangga hampir selalu turbulen walau tampak jernih dan tenang di keran (Contoh 5).

Kesamaan dan model berskala

Model berskala hanya mewakili peralatan penuh bila kedua sistem memenuhi kesamaan. Kesamaan geometri berarti semua perbandingan panjang sama. Kesamaan kinematik berarti pola kecepatannya sebanding. Kesamaan dinamik berarti semua bilangan tak berdimensi yang menentukan gejalanya bernilai sama. Buku mekanika fluida dasar dalam sumber mencatat bahwa bila syarat batasnya juga dinyatakan dalam besaran tak berdimensi, persamaan model dan persamaan sebenarnya menjadi sama.

Masalahnya, sering tidak mungkin menyamakan semua bilangan sekaligus. Pada tangki pencampur dengan permukaan bebas, gravitasi dan kekentalan sama-sama berperan. Menyamakan bilangan Froude dengan air pada model kecil memerlukan kecepatan yang lebih rendah, sedangkan menyamakan bilangan Reynolds memerlukan kecepatan yang jauh lebih tinggi (Contoh 6). Uji model pemasok di kasus pembuka memakai air pada ukuran kecil, sehingga paling banyak hanya satu bilangan yang sama. Kesimpulan "bercampur sama baiknya dalam waktu yang sama" juga keliru dari sisi waktu: waktu pencampuran pada pengadukan turbulen sebanding dengan kebalikan putaran pengaduk, dan putaran yang sesuai berubah dengan ukuran. Model tetap berguna untuk melihat pola, tetapi perpindahannya ke ukuran penuh memerlukan aturan skala yang jelas.

Pemodelan orde besaran dan estimasi Fermi

Orde besaran adalah pangkat sepuluh terdekat dari suatu nilai. Buku listrik, magnet, dan cahaya dalam sumber menyebut waktu hidup laser komersial berorde $10^{-8}$ s, dan ukuran khas inti atom $10^{-15}$ m, yang disebut fermi. Mengetahui orde besaran sudah cukup untuk banyak keputusan: apakah suatu pengaruh perlu dihitung atau dapat diabaikan, apakah hasil perhitungan masuk akal, dan apakah sebuah usulan layak diteliti lebih lanjut.

Estimasi Fermi memecah besaran yang tidak diketahui menjadi rantai faktor yang masing-masing dapat diperkirakan, lalu mengalikannya. Kesalahan tiap faktor cenderung saling menutup, sehingga hasilnya sering berada dalam faktor dua atau tiga dari nilai sebenarnya. Kuncinya adalah menuliskan setiap anggapan dengan satuannya, agar anggapan yang paling meragukan dapat diperiksa kemudian. Bab 4 · Satuan & Matematika membahas estimasi dasar dan pemeriksaan kewajaran; bab ini memakainya untuk model fisika (Contoh 9).

Skala waktu karakteristik

Banyak gejala dapat diperkirakan dengan satu skala waktu yang dibentuk dari besaran yang relevan:

1. Difusi panas: waktu agar panas merambat sejauh $L$ di bahan dengan difusivitas termal $\alpha$ berorde $L^2/\alpha$. Waktu itu sebanding dengan kuadrat jarak, sehingga tumpukan dua kali lebih tebal memerlukan waktu empat kali lebih lama (Contoh 8).
2. Tetapan waktu kapasitas tergumpal: $\tau = \rho c V/(hA)$, berlaku bila bilangan Biot kecil, seperti di bab perpindahan panas.
3. Waktu tinggal: volume dibagi debit, misalnya waktu air berada di tangki atau di zona mesin konveyor.
4. Periode alami: $2\pi\sqrt{m/k}$ untuk getaran, seperti di bab getaran harmonik.

Membandingkan dua skala waktu menghasilkan bilangan tak berdimensi baru. Bila waktu tinggal di zona bilas jauh lebih pendek daripada waktu yang diperlukan panas merambat ke dalam tumpukan piring, piring tidak akan mencapai suhu air bilas. Perbandingan seperti ini sering lebih bermanfaat daripada simulasi rinci.

Hukum skala: kesebangunan pompa dan kuadrat-kubus

Analisis dimensi pada pompa sentrifugal dan kipas menghasilkan hukum kesebangunan. Untuk mesin yang sama dengan putaran $n$ berubah, debit sebanding dengan $n$, tinggi tekan sebanding dengan $n^2$, dan daya sebanding dengan $n^3$:

$\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{n_2}{n_1} \qquad \frac{H_2}{H_1} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2 \qquad \frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^3$

Menurunkan putaran 20 persen dengan pengendali kecepatan menurunkan daya menjadi $0{,}8^3 = 0{,}51$, hampir separuh, selama sistem pipanya tidak memerlukan tinggi tekan statis besar. Hukum ini adalah alasan utama penghematan energi dengan inverter pada pompa dan kipas.

Hukum kuadrat-kubus menyatakan bahwa bila semua ukuran benda diperbesar $s$ kali, luasnya bertambah $s^2$ kali dan volumenya $s^3$ kali. Perbandingan luas terhadap volume turun $1/s$. Akibatnya tangki besar kehilangan panas lebih lambat per liter, butir kecil larut dan bereaksi lebih cepat, dan rotor besar mengalami tegangan sentrifugal lebih besar pada kecepatan keliling yang sama, seperti dibahas di bab dinamika rotor.

Batas analisis dimensi

Analisis dimensi hanya sebaik daftar besaran yang dimasukkan. Bila satu besaran penting terlupa, hasilnya salah tanpa peringatan; bila besaran yang tidak relevan dimasukkan, muncul kelompok pi yang tidak berguna. Analisis dimensi juga tidak memberi tetapan tanpa dimensi, tidak menunjukkan bentuk fungsi di antara kelompok pi, dan tidak memberi tahu rentang berlakunya. Semua itu memerlukan teori atau percobaan. Pemodelan orde besaran memiliki batas serupa: estimasi yang bagus untuk memilih arah tidak cukup untuk menetapkan batas keselamatan, menentukan ukuran komponen akhir, atau menggantikan pengukuran.

Contoh kerja

Contoh 1. Memeriksa rumus debit. $Q = Av^2$ memberi L² × L² T⁻² = L⁴ T⁻², bukan L³ T⁻¹, sehingga salah. $Q = Av$ memberi L³ T⁻¹, benar. Bernoulli: $p$ berdimensi M L⁻¹ T⁻², dan $\tfrac{1}{2}\rho v^2$ berdimensi M L⁻³ × L² T⁻² = M L⁻¹ T⁻², sama, sehingga kedua suku boleh dijumlahkan.

Contoh 2. Periode bandul. $T = C\sqrt{L/g}$ dengan $C = 2\pi$ dari teori. Untuk $L = 1{,}00$ m: $T = 2\pi\sqrt{1{,}00/9{,}81} = 2{,}01$ s. Untuk $L = 4{,}00$ m: 4,01 s, dua kali lipat, seperti diramalkan analisis dimensi tanpa mengetahui $C$.

Contoh 3. Cepat rambat gelombang pada tali. $\sqrt{F/\mu}$ berdimensi $\sqrt{\text{M L T}^{-2}/(\text{M L}^{-1})} = \text{L T}^{-1}$. Untuk $F = 100$ N dan $\mu = 0{,}010$ kg/m: $v = \sqrt{10.000} = 100$ m/s. Menaikkan tegangan empat kali hanya menggandakan cepat rambat.

Contoh 4. Kelompok pi rugi tekan pipa. Besaran: $\Delta p$, $\rho$, $\mu$, $v$, $D$, $L$, $\varepsilon$, jadi $n = 7$ dengan $k = 3$ (M, L, T). Kelompoknya $7 - 3 = 4$: $\Delta p/(\rho v^2)$, $\rho vD/\mu$, $L/D$, dan $\varepsilon/D$. Karena rugi tekan pipa lurus sebanding dengan panjangnya, hubungan ini menjadi $\Delta p/(\rho v^2) = \tfrac{1}{2} f(\text{Re}, \varepsilon/D) \times L/D$, yaitu persamaan Darcy-Weisbach di Bab 2 · Fluida & Termal.

Contoh 5. Bilangan Reynolds air di pipa. Air 20 °C ($\nu = 1{,}0 \times 10^{-6}$ m²/s) pada 1,5 m/s di pipa 25 mm: $\text{Re} = 1{,}5 \times 0{,}025/10^{-6} = 37.500$, turbulen jauh di atas batas laminar sekitar 2.300. Air 80 °C ($\nu \approx 0{,}36 \times 10^{-6}$ m²/s) pada kecepatan yang sama: sekitar 104.000.

Contoh 6. Model tangki skala 1 : 5. Kecepatan di tangki penuh 2,0 m/s. Kesamaan Froude dengan air: $v_m = v_p/\sqrt{5} = 0{,}89$ m/s. Kesamaan Reynolds dengan air: $v_m = 5\,v_p = 10$ m/s. Kedua syarat tidak dapat dipenuhi bersamaan dengan fluida yang sama, sehingga model hanya meniru salah satu pengaruh.

Contoh 7. Bilangan Biot dua benda. Pelat baja tahan karat 2 mm di air ($h = 500$ W/(m²·K), panjang khas setengah tebal 1 mm, $k = 16$ W/(m·K)): $\text{Bi} = 500 \times 0{,}001/16 = 0{,}031$, di bawah 0,1, sehingga suhunya praktis merata. Wadah polipropilena 10 mm di udara ($h = 10$, panjang khas 5 mm, $k = 0{,}2$): $\text{Bi} = 10 \times 0{,}005/0{,}2 = 0{,}25$, sehingga suhu di dalam dindingnya tidak merata dan model tergumpal tidak berlaku. Batas 0,1 adalah pegangan baku.

Contoh 8. Tumpukan handuk yang tetap hangat. Tumpukan setebal 0,5 m mendingin dari kedua sisi, sehingga jarak ke tengahnya 0,25 m. Dengan difusivitas termal tumpukan kain kering sekitar $1 \times 10^{-7}$ m²/s (angka latihan), skala waktunya $0{,}25^2/10^{-7} = 6{,}3 \times 10^5$ s, sekitar tujuh hari. Tumpukan setebal 0,1 m: $0{,}05^2/10^{-7} = 2{,}5 \times 10^4$ s, sekitar tujuh jam. Inilah alasan linen panas dari pengering tidak boleh ditumpuk tebal, karena panas di tengah bertahan lama dan, pada linen yang masih membawa sisa minyak, dapat memicu pemanasan spontan seperti dibahas di Bab 15 · Laundry.

Contoh 9. Estimasi Fermi air dan energi laundry. Laundry mencuci 500 kg linen per hari dengan sekitar 10 L air per kg (angka latihan): 5 m³ per hari, sekitar 1.800 m³ per tahun untuk 360 hari, berorde $10^3$ m³. Bila separuh air itu dipanaskan 40 K: $2{,}5 \times 1.000 \times 4{,}19 \times 40 = 419.000$ kJ, sekitar 116 kWh per hari, berorde $10^2$ kWh. Angka ini cukup untuk menilai apakah usulan pemulihan panas layak diteliti, tetapi tidak cukup untuk merancangnya.

Kondisi berhenti

Hentikan pekerjaan bila:

1. Rumus dari sumber yang tidak jelas akan dipakai untuk menentukan ukuran komponen yang menyangkut keselamatan, seperti katup pengaman, kabel, atau bejana tekan, padahal dimensinya belum diperiksa dan sumbernya belum diverifikasi.
2. Hasil uji model kecil akan dipakai langsung untuk menetapkan batas operasi peralatan penuh tanpa aturan skala dan verifikasi pada peralatan sebenarnya.
3. Estimasi orde besaran akan dipakai sebagai pengganti pengukuran untuk keputusan keselamatan, seperti kadar gas, suhu permukaan, atau tegangan.
4. Linen panas dari pengering ditumpuk tebal di ruang tertutup tanpa pendinginan, seperti diperingatkan Contoh 8 dan Bab 15 · Laundry. Ikuti Bab 1 · Keselamatan bila tumpukan terasa makin panas atau berbau hangus.

Salah tafsir yang sering terjadi

"Rumus yang dimensinya benar pasti benar." Kehomogenan dimensi adalah syarat perlu; faktor tanpa dimensi dan bentuk fungsi tetap dapat salah.

"Model kecil yang bekerja baik membuktikan mesin besar juga baik." Model hanya sama bila bilangan tak berdimensi yang menentukan gejalanya sama, dan sering tidak semua dapat disamakan.

"Aliran yang tampak tenang pasti laminar." Air di pipa rumah tangga umumnya turbulen; bilangan Reynolds yang menentukan, bukan tampilan.

"Tumpukan dua kali lebih tebal mendingin dua kali lebih lama." Skala waktu difusi sebanding dengan kuadrat jarak, sehingga menjadi sekitar empat kali.

"Estimasi kasar tidak berguna karena tidak tepat." Estimasi orde besaran cukup untuk memilih arah dan memeriksa kewajaran, walaupun tidak cukup untuk merancang.

"Korelasi tak berdimensi berlaku untuk semua kondisi." Setiap korelasi berlaku dalam rentang bilangan tempat korelasi itu diuji.

Hubungan dengan bab lain

Bab 2 · Satuan & Matematika dan Bab 4 · Satuan & Matematika memberi besaran, fungsi, estimasi, dan pemeriksaan kewajaran tingkat dasar. Bab 2 · Fluida & Termal memakai bilangan Reynolds dan faktor gesekan, bab perpindahan panas kuantitatif bilangan Nusselt dan tetapan waktu, bab getaran harmonik frekuensi alami, Bab 15 · Laundry bahaya panas tumpukan linen, dan Bab 1 · Keselamatan kondisi berhenti. Bab proyek integratif berikutnya memakai analisis dimensi dan orde besaran untuk memeriksa hasil analisis satu peralatan.

Latihan dan pembahasan

Untuk setiap soal, tuliskan dimensi, rumus, hitungan, atau alasannya.

1. Periksa dimensi rumus daya aliran $P = \tfrac{1}{2}\rho A v^3$.
2. Berapa bilangan Reynolds air ($\nu = 1{,}0 \times 10^{-6}$ m²/s) pada 2,0 m/s di pipa 50 mm?
3. Berapa periode bandul dengan panjang tali 0,25 m?
4. Suatu gejala melibatkan enam besaran dengan tiga dimensi pokok. Berapa kelompok tak berdimensi yang diperlukan?
5. Berapa persen daya pompa sentrifugal turun bila putarannya diturunkan 10 persen?
6. Mengapa model tangki berskala kecil dengan air tidak dapat sekaligus meniru pengaruh gravitasi dan kekentalan?

Kunci jawaban beralasan

1. M L⁻³ × L² × L³ T⁻³ = M L² T⁻³, sama dengan dimensi daya (watt), sehingga rumus itu homogen.
2. $\text{Re} = 2{,}0 \times 0{,}050/10^{-6} = 100.000$, sehingga alirannya turbulen jauh di atas batas laminar.
3. $T = 2\pi\sqrt{0{,}25/9{,}81} = 1{,}00$ s, separuh periode bandul 1 m karena periode sebanding dengan akar panjang.
4. $6 - 3 = 3$ kelompok tak berdimensi menurut teorema pi Buckingham.
5. Daya menjadi $0{,}9^3 = 0{,}729$ dari semula, sehingga turun sekitar 27 persen, karena daya sebanding dengan pangkat tiga putaran.
6. Kesamaan Froude memerlukan kecepatan model lebih rendah daripada aslinya, sedangkan kesamaan Reynolds dengan fluida yang sama memerlukan kecepatan jauh lebih tinggi; kedua syarat bertentangan.

Referensi