Sampling dan ukuran sampel: populasi dan sampel, cara memilih, sampel sesaat dan gabungan, ukuran sampel untuk rata-rata dan proporsi, dan sampling penerimaan dasar

Penyelia sebuah laundry hotel memeriksa mutu cucian setiap pagi dengan cara yang sama: mengambil lima lembar dari tumpukan teratas setiap troli yang siap dikirim. Selama tiga bulan hampir tidak ada noda yang ditemukan. Tetapi keluhan tamu tentang noda di sarung bantal naik setiap minggu, dan bagian tata graha mulai mengembalikan linen.

Ketika dicari sebabnya, ternyata tumpukan teratas setiap troli selalu berasal dari mesin yang terakhir dibongkar, yaitu mesin yang paling baru diperbaiki. Muatan dari mesin lama yang pompa dosisnya lemah selalu berada di bawah. Lima lembar juga terlalu sedikit: bila noda hanya ada pada dua lembar dari seratus, peluang lima lembar tidak memuat satu pun noda sekitar sembilan dari sepuluh. Pemeriksaan itu tidak salah dikerjakan; yang salah adalah cara memilih sampelnya. Bab ini menjelaskan cara memilih sampel dan menentukan jumlahnya supaya data servis benar-benar mewakili keadaan yang ingin diketahui.

Batas pembahasan

Bab ini membahas sampling untuk data servis: populasi dan sampel, cara memilih, sampel sesaat dan gabungan, data variabel dan atribut, ukuran sampel untuk rata-rata dan proporsi, peluang menemukan cacat yang jarang, sampling penerimaan dasar, dan stratifikasi. Topik yang berdekatan dibahas di bab lain:

• ringkasan data dan simpangan baku di Bab 2 tentang variasi, distribusi, dan ringkasan data;
• diagram kendali dan subgrup di Bab 3 tentang tren, kontrol proses, dan keputusan berbasis bukti;
• variasi sistem pengukuran di Bab 4 tentang analisis sistem pengukuran;
• ketidakpastian gabungan di Bab 5 tentang ketidakpastian gabungan dan anggaran ketidakpastian;
• teknik mengambil sampel air di Bab 6 · Biologi & Mikrobiologi tentang mikroba air dan pengujiannya;
• sampel permukaan dan rencana sampling higiene di Bab 8 · Biologi & Mikrobiologi tentang pengambilan sampel permukaan dan uji cepat;
• mutu cucian di Bab 18 · Laundry tentang mutu cucian, gejala, bukti, dan optimasi proses.

Prosedur pengambilan sampel yang diwajibkan peraturan atau laboratorium mengikuti dokumen itu. Rumus di bab ini adalah rumus baku statistik sampling.

Populasi, sampel, dan pertanyaan

Sampling dimulai dari pertanyaan. "Berapa bagian sarung bantal yang dikirim minggu ini bernoda?" menetapkan populasinya: semua sarung bantal yang dikirim minggu itu. Populasi (population) adalah seluruh unit yang ingin diketahui keadaannya, dan sampel (sample) adalah bagian populasi yang benar-benar diperiksa. Kesimpulan dari sampel hanya berlaku untuk populasi yang diwakilinya.

Tiga istilah yang perlu ditetapkan sebelum mengambil sampel:

1. Populasi sasaran (target population): semua unit yang ingin diketahui keadaannya, misalnya semua siklus mesin bulan ini, semua dispenser di satu kota, atau semua air yang keluar dari keran pelanggan.
2. Kerangka sampling (sampling frame): daftar atau cara untuk menjangkau populasi, misalnya daftar nomor dispenser, catatan siklus mesin, atau jadwal pengiriman troli. Unit yang tidak ada di kerangka tidak mungkin terpilih.
3. Unit sampel (sampling unit): benda atau kejadian yang diperiksa, misalnya satu lembar linen, satu siklus, satu botol air, atau satu kunjungan servis.

Dalam manufaktur, salah satu pertanyaan awal adalah apakah barang akan diproses dalam lot besar atau dalam kelompok kecil; cara produksi menentukan apa yang dimaksud dengan satu populasi dan seberapa sering sampel harus diambil.

Cara memilih sampel

Cara memilih sampel menentukan apakah sampel mewakili. Cara yang umum:

1. Acak sederhana (simple random sampling): setiap unit di kerangka mempunyai peluang terpilih yang sama, misalnya nomor dispenser diundi atau dipilih dengan bilangan acak.
2. Sistematis (systematic sampling): unit ke-$k$ diambil setelah titik awal acak, misalnya setiap lembar ke-20. Mudah dikerjakan, tetapi berbahaya bila proses mempunyai pola berulang yang selangnya sama dengan $k$.
3. Berlapis (stratified sampling): populasi dibagi menjadi lapisan yang diduga berbeda, seperti mesin, sif, atau lokasi, lalu sampel diambil dari setiap lapisan, biasanya sebanding dengan ukurannya.
4. Berkelompok (cluster sampling): kelompok utuh dipilih acak lalu semua unit di dalamnya diperiksa, misalnya beberapa troli dipilih lalu seluruh isinya diperiksa. Hemat, tetapi kurang teliti bila isi kelompok mirip satu sama lain.

Cara yang harus dihindari adalah mengambil yang paling mudah dijangkau: tumpukan teratas, mesin yang paling dekat, pelanggan yang paling ramah, atau jam yang paling longgar. Sampel seperti itu hampir selalu berat sebelah, dan menambah jumlahnya tidak menghilangkan berat sebelah itu. Sampel berat sebelah (biased sample) adalah sampel yang cara pemilihannya membuat sebagian unit lebih mungkin terpilih daripada yang lain, seperti tumpukan teratas troli pada kasus pembuka.

Sampel sesaat dan gabungan

Untuk benda yang mengalir, seperti air, air limbah, atau larutan, sampel dapat diambil dengan dua cara. Sampel sesaat (grab sample) adalah sampel tunggal yang diambil pada satu waktu dan satu lokasi. Sampel sesaat menunjukkan keadaan pada saat itu, cocok untuk besaran yang cepat berubah seperti klorin sisa, suhu, atau pH, dan untuk menangkap puncak.

Sampel gabungan (composite sample) adalah campuran beberapa sampel sesaat selama satu periode, untuk mendapatkan rata-rata. Gabungan berdasar waktu memakai volume sama setiap selang waktu. Gabungan sebanding aliran memakai volume yang sebanding dengan debit saat itu; untuk itu debit harus ditentukan pada saat sampel diambil. Untuk limbah laundry yang debitnya naik turun menurut siklus mesin, gabungan sebanding aliran lebih mewakili beban harian daripada gabungan berdasar waktu.

Sampel harus mewakili benda yang ingin diketahui. Untuk memastikan sampel mewakili air yang dialirkan, saluran layanan harus dibilas dua kali lebih dulu. Air yang diam di pipa tidak sama dengan air dari jaringan.

Data variabel dan data atribut

Pembeda utama alat pengendalian proses adalah jenis data ukur yang dikumpulkan. Hal yang sama berlaku untuk sampling:

1. Data variabel (variables data): angka pada skala, seperti suhu, waktu siklus, debit, tebal, atau konsentrasi. Setiap unit memberi banyak informasi, sehingga sampel yang diperlukan relatif kecil.
2. Data atribut (attributes data): lulus atau gagal, ada atau tidak ada, bernoda atau bersih. Setiap unit memberi sedikit informasi, sehingga sampel yang diperlukan jauh lebih besar, terutama untuk cacat yang jarang.

Bila suatu besaran dapat diukur sebagai variabel, misalnya derajat putih dengan alat ukur warna daripada "putih atau kusam", data variabel biasanya lebih hemat sampel.

Ukuran sampel untuk rata-rata dan proporsi

Batas galat (margin of error) $E$ adalah selisih terbesar yang masih diterima antara nilai dari sampel dan nilai populasi pada tingkat kepercayaan yang dipilih. Ukuran sampel dihitung dari batas galat itu, dari sebaran populasi, dan dari tingkat kepercayaan.

Ukuran sampel untuk rata-rata

Untuk memperkirakan rata-rata dengan batas galat $E$ pada tingkat kepercayaan sekitar 95%, ukuran sampel yang diperlukan:

dengan $z = 1{,}96$ untuk 95% dan $\sigma$ simpangan baku populasi, dalam satuan yang sama dengan $E$, sehingga $n$ tidak bersatuan. Karena $\sigma$ jarang diketahui, ia diperkirakan dari sampel awal yang kecil. Untuk menentukan jumlah siklus yang perlu diukur waktunya, sebuah sampel kecil diukur lebih dulu, lalu ukuran sampel dihitung; dalam satu contoh hitungan hasilnya sekitar 71 siklus. Hasil hitungan selalu dibulatkan ke atas.

Bila ukuran sampel yang dihasilkan kecil, misalnya di bawah sekitar tiga puluh, nilai $z$ sebaiknya diganti nilai $t$ dari distribusi t dengan derajat kebebasan $n - 1$, lalu hitungan diulang sekali atau dua kali sampai stabil. Untuk sampel sepuluh, $t$ untuk 95% sekitar 2,26, sehingga ukuran sampel naik sekitar sepertiga dibanding hitungan dengan $z$.

Rumus ini menunjukkan dua hal penting. Untuk mempersempit batas galat menjadi separuh, sampel harus empat kali lebih besar. Dan sampel yang diperlukan tidak bergantung pada besar populasi, selama populasi jauh lebih besar dari sampel.

Ukuran sampel untuk proporsi

Untuk memperkirakan proporsi $p$, misalnya bagian lembar bernoda, dengan batas galat $E$:

dengan $p$ dan $E$ ditulis sebagai pecahan, misalnya 0,05 untuk 5 poin persen. Bila $p$ belum diketahui sama sekali, $p = 0{,}5$ memberi ukuran terbesar dan paling aman. Bila populasi $N$ kecil, misalnya dua ratus dispenser milik satu pelanggan, ukuran sampel dapat dikoreksi:

dengan $n'$ ukuran sampel setelah koreksi. Rata-rata dan median dipakai untuk menilai sekelompok angka; proporsi adalah rata-rata dari data atribut yang diberi nilai 1 dan 0.

Peluang menemukan cacat yang jarang

Bila bagian cacat dalam populasi $p$ dan sampel berukuran $n$ diambil acak, peluang sampel memuat paling sedikit satu cacat:

dengan $P$ dan $p$ sebagai pecahan antara 0 dan 1. Sebaliknya, bila tidak ada cacat ditemukan dalam $n$ unit, batas atas proporsi cacat dengan kepercayaan sekitar 95% kira-kira $3/n$, yang dikenal sebagai aturan tiga (rule of three). Nol cacat dalam lima lembar hanya berarti proporsi cacat kemungkinan di bawah sekitar 60%, kesimpulan yang tidak berguna.

Sampling penerimaan dasar

Sampling penerimaan (acceptance sampling) dipakai untuk memutuskan menerima atau menolak sebuah lot, misalnya kiriman suku cadang atau satu troli linen, berdasarkan sampel. Rencana paling sederhana ditulis $(n, c)$: ambil $n$ unit acak, terima lot bila cacat yang ditemukan paling banyak $c$.

Peluang lot diterima untuk bagian cacat $p$ dihitung dengan distribusi binomial:

dengan $P_a$ peluang lot diterima dan $d$ banyaknya cacat dalam sampel. Grafik $P_a$ terhadap $p$ disebut kurva karakteristik operasi (operating characteristic curve). Kurva itu menunjukkan seberapa baik rencana membedakan lot baik dari lot buruk. Standar sampling penerimaan memuat tabel rencana menurut ukuran lot dan batas mutu yang dapat diterima, dan rencana untuk kontrak mengikuti yang tertulis di kontrak.

Dua titik pada kurva itu biasanya disepakati pemasok dan pembeli. Risiko pemasok (producer's risk) adalah peluang lot yang baik ditolak; risiko pembeli (consumer's risk) adalah peluang lot yang buruk diterima. Rencana dengan $n$ kecil membuat kedua risiko itu besar sekaligus, sehingga lot yang baik dan yang buruk sulit dibedakan. Memperbesar $n$ menajamkan kurva, dengan biaya pemeriksaan yang lebih besar.

Sampling penerimaan tidak memperbaiki mutu. Ia hanya menyaring lot. Bila lot sering ditolak, perbaikannya ada di proses, seperti dibahas di Bab 3 tentang tren, kontrol proses, dan keputusan berbasis bukti.

Stratifikasi dan distribusi bimodal

Distribusi bimodal, yaitu sebaran data dengan dua puncak, menunjukkan ada sesuatu dalam proses yang tidak sama. Data yang bercampur dari dua mesin, dua sif, atau dua pemasok sering membentuk dua puncak. Stratifikasi (stratification), yaitu mencatat dan memisahkan data menurut sumbernya, menunjukkan sumber mana yang berbeda.

Karena itu setiap sampel dicatat dengan label sumbernya: mesin, sif, operator, lot bahan kimia, tanggal, dan jam. Sampel tanpa label tidak dapat dipisahkan kemudian, dan perbedaan antarsumber hilang di dalam rata-rata.

Rencana sampling

Sampling yang hasilnya akan dipakai untuk keputusan ditulis dulu sebagai rencana sampling (sampling plan) singkat, supaya orang lain dapat mengulangnya dan memeriksa apakah sampelnya mewakili. Isi rencana:

1. Pertanyaan dan keputusan: apa yang ingin diketahui dan keputusan apa yang akan diambil dari hasilnya.
2. Populasi dan kerangka: unit apa, periode kapan, dan daftar yang dipakai untuk memilih.
3. Cara memilih: acak, sistematis dengan titik awal acak, atau berlapis, dan siapa yang memilih. Orang yang memilih sebaiknya tidak sama dengan orang yang hasil kerjanya dinilai.
4. Ukuran sampel dan dasar hitungannya: simpangan baku atau proporsi yang diperkirakan, batas galat, dan tingkat kepercayaan.
5. Cara mengambil dan mengukur: alat, wadah, volume, pengawetan, dan waktu paling lama sampai diperiksa, mengikuti prosedur laboratorium bila ada.
6. Label dan catatan: nomor sampel, sumber, tanggal, jam, nama pengambil, dan keadaan saat diambil, seperti debit, suhu, atau nomor siklus mesin.
7. Cara mengolah dan batas keputusan: rumus yang dipakai dan apa yang dilakukan bila hasil melewati batas.

Rencana yang ditulis lebih dulu juga mencegah godaan memilih sampel setelah melihat keadaan, misalnya melewati troli yang tampak buruk karena "itu pengecualian". Bila keadaan lapangan memaksa rencana diubah, perubahan itu dicatat bersama alasannya, karena perubahan cara memilih dapat mengubah arti hasil.

Contoh kerja

Angka dalam contoh di bawah adalah angka latihan, kecuali disebut asalnya.

Contoh 1: ukuran sampel untuk proporsi noda. Bagian lembar bernoda ingin diketahui dengan batas galat 5 poin persen pada 95%. Tanpa perkiraan, $n = 1{,}96^2 \times 0{,}25/0{,}05^2 = 384{,}2$, jadi 385 lembar. Bila data lama menunjukkan sekitar 10%, $n = 1{,}96^2 \times 0{,}09/0{,}0025 = 138{,}3$, jadi 139 lembar.

Contoh 2: populasi kecil. Seorang pelanggan mempunyai 200 dispenser, dan bagian dispenser yang dosisnya menyimpang ingin diperkirakan dengan $n = 139$ seperti di atas. Dengan koreksi, $n' = 139/(1 + 138/200) = 82{,}2$, jadi 83 dispenser diperiksa, dipilih acak dari daftar nomor dispenser.

Contoh 3: lima lembar tidak cukup. Bila 2% lembar bernoda, peluang lima lembar memuat paling sedikit satu noda $1 - 0{,}98^5 = 0{,}096$. Supaya peluang itu 0,95, $n = \ln 0{,}05/\ln 0{,}98 = 148{,}3$, jadi 149 lembar. Pemeriksaan harian yang realistis lebih kecil dari itu, sehingga data harian dikumpulkan sebagai tren mingguan.

Contoh 4: kurva karakteristik operasi. Rencana penerimaan suku cadang $n = 50$, $c = 1$. Untuk lot dengan 1% cacat, $P_a = 0{,}99^{50} + 50 \times 0{,}01 \times 0{,}99^{49} = 0{,}605 + 0{,}306 = 0{,}91$. Untuk lot dengan 5% cacat, $P_a = 0{,}95^{50} + 50 \times 0{,}05 \times 0{,}95^{49} = 0{,}077 + 0{,}202 = 0{,}28$. Lot yang buruk masih diterima sekitar sekali dari empat; bila itu tidak dapat diterima, $n$ diperbesar atau $c$ diturunkan.

Contoh 5: sampel berlapis. Tiga mesin cuci menghasilkan 50%, 30%, dan 20% linen harian. Untuk sampel 60 lembar, diambil 30, 18, dan 12 lembar dari muatan masing-masing mesin, dipilih acak dari troli yang dicatat nomor mesinnya. Pada kasus pembuka, cara ini menunjukkan noda terkumpul pada muatan satu mesin.

Contoh 6: sampel gabungan sebanding aliran. Debit limbah dari empat jam pengamatan 10, 20, 30, dan 40 m³ per jam. Untuk sampel gabungan 2 liter, volume setiap sampel sesaat sebanding debit: total debit 100, jadi 200, 400, 600, dan 800 mL. Gabungan berdasar waktu dengan 500 mL setiap jam akan memberi bobot terlalu besar pada jam yang debitnya kecil.

Kondisi berhenti

Hentikan penarikan kesimpulan dari sampel dan minta keputusan penyelia atau pihak berwenang bila:

1. Cara memilih sampel tidak acak dan ada alasan menduga berat sebelah, seperti pada kasus pembuka.
2. Sampel tidak diberi label sumber, sehingga lapisan tidak dapat dipisahkan.
3. Sampel menyangkut keselamatan, kesehatan, atau peraturan, seperti air minum, sanitasi, atau limbah, dan prosedur resmi pengambilan, pengawetan, dan pengiriman sampel tidak diikuti.
4. Ukuran sampel jauh lebih kecil dari yang diperlukan untuk pertanyaan yang diajukan, tetapi hasilnya akan dipakai untuk keputusan besar.
5. Rencana sampling penerimaan berbeda dari yang tertulis di kontrak.

Salah tafsir yang sering terjadi

Hubungan dengan bab lain

• Bab 2 tentang variasi, distribusi, dan ringkasan data memberi rata-rata, proporsi, dan simpangan baku.
• Bab 3 tentang tren, kontrol proses, dan keputusan berbasis bukti memberi subgrup dan diagram kendali.
• Bab 4 tentang analisis sistem pengukuran dan Bab 5 tentang ketidakpastian gabungan dan anggaran ketidakpastian membahas variasi dan ketidakpastian pengukuran yang ikut dalam setiap sampel.
• Bab 6 · Biologi & Mikrobiologi tentang mikroba air dan pengujiannya dan Bab 8 · Biologi & Mikrobiologi tentang pengambilan sampel permukaan dan uji cepat membahas teknik mengambil sampel air dan permukaan.
• Bab 18 · Laundry tentang mutu cucian, gejala, bukti, dan optimasi proses membahas bukti mutu cucian.
• Bab 7 tentang korelasi dan regresi melanjutkan rak ini dengan korelasi dan regresi.

Latihan dan pembahasan