Variasi, distribusi, dan ringkasan data

Di meja inspeksi bengkel teknik sebuah hotel, sepuluh pembacaan panjang komponen tampak rapat di sekitar 50 mm, tetapi satu hasil mencatat 78 mm. Apakah proses menghasilkan komponen yang makin panjang, apakah pencatatan keliru, ataukah alat bergeser? Satu angka rata-rata dapat menyamarkan perbedaan itu. Sebelum memilih penjelasan, teknisi perlu tahu bagaimana seluruh bacaan tersebar, bagaimana pengukuran diperoleh, dan ringkasan mana yang mempertahankan informasi penting.

Batas pembahasan

Bab ini membahas statistik deskriptif untuk hasil ukur dan catatan kerja: jenis variabel, sampel dan populasi, ukuran pusat, ukuran sebaran, bentuk distribusi, histogram, dan plot terhadap waktu. Tren dan kontrol proses dibahas di Bab 3, sampling dan ukuran sampel di Bab 6, korelasi dan regresi di Bab 7, serta mutu sistem pengukuran di Bab 1 dan Bab 4. Bab ini tidak membahas uji normalitas, ambang keputusan, atau aturan kapabilitas proses, dan contoh di dalamnya adalah cara berpikir analitis, bukan prosedur penerimaan produk.

Mulai dari pertanyaan dan cara data dikumpulkan

Data (data) adalah catatan hasil pengamatan atau pengukuran yang mewakili besaran, kategori, atau kejadian. Statistik deskriptif (descriptive statistics) merangkum data yang diamati, sedangkan analisisnya tetap bergantung pada konteks dan batas penggunaan data. Satu baris dalam catatan dapat mewakili satu benda, satu siklus, atau satu pengambilan sampel; kolom dapat berisi waktu, kondisi beban, lokasi, identitas alat, dan hasil. Sebelum menghitung, nyatakan unit pengamatan dan pertanyaan. "Bagaimana panjang benda pada lot ini bervariasi?" berbeda dari "Apakah rerata panjang berubah sejak pergantian alat?" Pertanyaan kedua memerlukan pembandingan waktu atau kelompok; satu ringkasan tunggal tidak cukup.

Variabel (variable) ialah karakteristik yang dicatat pada setiap unit. Panjang dalam milimeter adalah variabel numerik kontinu: secara konseptual ia dapat mengambil nilai di sepanjang suatu rentang, meski resolusi alat membatasi digit yang tercatat. Jumlah cacat adalah numerik diskret, sedangkan kode mesin atau jenis cacat merupakan kategori. Tipe variabel membatasi operasi yang masuk akal. Rerata kode mesin tidak memiliki makna fisik hanya karena perangkat lunak mengubah label menjadi angka.

Sampel (sample) adalah bagian unit yang diamati dari kelompok yang menjadi sasaran pembahasan. Populasi (population) ialah seluruh unit sasaran itu, yang dapat berupa semua produk dalam lot, semua siklus selama giliran kerja, atau semua hasil dari proses pada kondisi tertentu. Jika teknisi mengambil sepuluh komponen dari satu jam produksi, ringkasan itu langsung menggambarkan sepuluh komponen tersebut. Generalisasi ke jam lain memerlukan alasan bahwa cara memilih sampel dan kondisi proses memang mewakili jam lain. Sepuluh hasil yang dipilih karena mudah dijangkau belum tentu menggambarkan seluruh produksi.

Pengumpulan data dimulai dengan penetapan besaran yang diukur, titik ukur, instrumen, satuan, waktu, kondisi, dan aturan pencatatan. Dua angka hanya dapat dibandingkan jika maknanya sepadan. Bacaan suhu dari dua posisi atau dua keadaan beban dapat berbeda karena lokasi dan kondisi, bukan karena instrumen berubah. Catatan tanpa satuan membuat hasil sulit ditafsirkan, dan catatan tanpa waktu atau identitas alat menyulitkan penelusuran saat muncul nilai yang menyimpang. Observasi juga perlu dipisahkan dari interpretasi: "78 mm terbaca pada siklus 10" adalah catatan; "sensor bergeser" merupakan hipotesis yang perlu diuji.

Sebelum menghapus nilai, periksa jejak pencatatan, satuan, identitas sampel, dan keadaan pengukuran. Nilai yang jauh dari kelompok lain disebut nilai ekstrem atau outlier dalam uraian deskriptif, tetapi label itu tidak menjelaskan penyebabnya. Angka tersebut mungkin kesalahan transkripsi, kejadian nyata yang jarang, hasil dari kondisi berbeda, atau bukti perubahan. Menghapusnya hanya karena membuat ringkasan tampak rapi dapat menghilangkan petunjuk penting. Jika koreksi dilakukan berdasarkan catatan asli, simpan alasan dan versi data yang dipakai.

Pusat data menjawab pertanyaan yang berbeda

Ukuran pemusatan (measure of central tendency) merangkum lokasi sekumpulan nilai dengan satu angka. Rerata aritmetika (arithmetic mean) diperoleh dengan menjumlahkan semua nilai lalu membaginya dengan jumlah pengamatan. Untuk data $x_1, x_2, \ldots, x_n$, rerata sampel ditulis

Di sini $x_i$ adalah nilai ke-$i$ dengan satuan yang sama, $n$ adalah jumlah nilai tanpa satuan, dan $\bar{x}$ memakai satuan yang sama dengan data. Rumus ini menggambarkan rerata dari kumpulan yang dihitung; ia tidak dengan sendirinya membuktikan bahwa sampel mewakili populasi atau bahwa proses stabil.

Rerata menggunakan setiap angka. Akibatnya, nilai yang jauh dari kelompok dapat menariknya ke arah nilai itu. Sifat tersebut berguna ketika setiap penyimpangan memang relevan terhadap total, tetapi dapat menyesatkan ketika pembaca menganggap rerata sebagai hasil "tipikal" bagi data yang miring atau mengandung nilai ekstrem. Rerata juga tidak harus sama dengan nilai yang benar-benar pernah diamati.

Median (median) adalah nilai tengah setelah data diurutkan. Jika jumlah data ganjil, median ialah nilai pada posisi tengah; jika genap, median ialah rerata dari dua nilai tengah. Median mempertahankan satuan asli dan relatif tidak berubah oleh satu nilai ekstrem yang sangat tinggi atau rendah. Ia cocok untuk menjelaskan pusat kelompok ketika data menceng atau terdapat nilai ekstrem, dengan catatan median tidak meringkas besarnya penyimpangan di kedua sisi.

Modus (mode) adalah nilai atau kategori yang paling sering muncul. Modus berguna bagi data kategori, seperti jenis kegagalan paling sering tercatat. Untuk data kontinu yang dibulatkan, modus dapat berubah menurut ketelitian pencatatan; jika seluruh angka berbeda, tidak ada nilai yang dominan. Jadi, modus bukan pengganti otomatis untuk rerata atau median.

Tidak ada satu ukuran pusat yang selalu paling tepat. Rerata menjawab pertanyaan tentang titik keseimbangan aritmetis, median menunjukkan posisi tengah menurut urutan, dan modus menunjukkan nilai atau kategori paling sering. Bila bentuk data belum diketahui, laporan dapat mencatat dua ukuran, lalu memeriksa grafik dan catatan kondisi. Perbedaan besar antara rerata dan median memberi petunjuk bahwa distribusi mungkin tidak simetris atau mengandung nilai jauh, tetapi itu belum menentukan penyebabnya.

Sebaran mengukur lebar, bukan sebab

Dua himpunan bisa memiliki median sama tetapi tingkat penyebaran berbeda. Sebaran (dispersion) adalah tingkat keragaman nilai terhadap nilai lain atau terhadap pusat. Rentang (range) ialah selisih nilai maksimum dan minimum, ditulis $R=x_{\max}-x_{\min}$, dengan satuan yang sama dengan data. Rentang mudah dihitung, tetapi hanya bergantung pada dua pengamatan. Satu nilai ekstrem dapat mengubahnya secara tajam, dan rentang tidak mengungkap apakah sebagian besar nilai rapat atau tersebar di antara batas.

Ragam (variance) mengukur rerata kuadrat penyimpangan dari pusat. Untuk sampel dengan sedikitnya dua pengamatan, ragam sampel ditulis

Simbol $s^2$ menyatakan ragam sampel, $x_i$ adalah setiap nilai, $\bar{x}$ rerata sampel, dan $n$ jumlah pengamatan. Satuan ragam adalah kuadrat satuan data, misalnya mm$^2$. Pembagi $n-1$ dipakai ketika sampel hendak menjadi dasar estimasi ragam populasi. Tafsir tersebut memerlukan rencana sampling yang memadai bagi populasi sasaran; independensi dan keterwakilan pengamatan tidak lahir dari rumus. Jika seluruh populasi yang hendak diringkas telah diamati, ragam populasi deskriptif menggunakan pembagi $n$, bukan $n-1$. Keduanya menjawab pertanyaan berbeda, sehingga laporan harus menyebutkan pilihan yang dipakai.

Simpangan baku (standard deviation) adalah akar kuadrat ragam. Untuk sampel, $s=\sqrt{s^2}$. Karena akar kuadrat membatalkan pengkuadratan satuan, simpangan baku memakai satuan yang sama dengan data. Nilainya merangkum skala penyimpangan terhadap rerata dan sensitif terhadap nilai ekstrem karena penyimpangan dikuadratkan. Ia paling mudah ditafsirkan bersama rerata dan distribusi, bukan sebagai ukuran berdiri sendiri.

Rentang antarkuartil atau IQR (interquartile range) adalah selisih kuartil ketiga dan kuartil pertama, $IQR=Q_3-Q_1$. Kuartil (quartile) pertama, $Q_1$, menandai posisi sekitar seperempat data di bawahnya; kuartil ketiga, $Q_3$, menandai posisi sekitar tiga perempat data di bawahnya. IQR merangkum lebar separuh tengah data dan menggunakan satuan asli. Cara interpolasi kuartil dapat berbeda di antara perangkat atau konvensi, terutama pada sampel kecil, sehingga metode kuartil yang dipakai dinyatakan agar hasilnya dapat diperiksa. Ukuran ini lebih tahan terhadap nilai ekstrem daripada rentang, tetapi tidak menunjukkan bentuk distribusi di bagian lain.

Ragam dan simpangan baku tidak menilai sebab variasi. Penyebaran dapat timbul dari variasi alami proses, perubahan kondisi, perbedaan metode pengukuran, pembulatan, atau campuran beberapa kelompok. Ringkasan yang tinggi memberi tahu bahwa nilai lebih beragam menurut ukuran tersebut, bukan komponen mana yang menyebabkan keragaman. Untuk diagnosis, kaitkan pembacaan dengan urutan waktu, kondisi operasi, alat, lokasi, dan perubahan terakhir, lalu uji penjelasan dengan data pembeda.

Distribusi dan grafik memperlihatkan pola

Distribusi (distribution) menggambarkan bagaimana nilai atau kategori tersebar, termasuk frekuensi, lokasi, lebar, bentuk, dan kemungkinan kelompok terpisah. Rerata, median, dan simpangan baku mereduksi banyak pengamatan menjadi sedikit angka, sedangkan grafik membantu melihat pola yang tidak tampak pada angka ringkas itu. Histogram mengelompokkan nilai numerik ke interval dan menampilkan banyaknya data di tiap interval. Bentuknya dipengaruhi pilihan batas interval, terutama ketika jumlah data sedikit; grafik adalah tampilan ringkasan, bukan bukti penyebab.

Distribusi dapat tampak relatif simetris, memiliki ekor lebih panjang ke satu sisi, memiliki lebih dari satu puncak, atau menunjukkan satu titik yang terpisah. Distribusi menceng (skewed) ke kanan memiliki ekor nilai tinggi yang lebih panjang; dalam banyak contoh, rerata kemudian lebih tinggi daripada median. Menceng ke kiri menunjukkan ekor lebih panjang di sisi nilai rendah. Dua puncak dapat mengisyaratkan data berasal dari dua kelompok, misalnya dua mesin atau kondisi, tetapi grafik saja tidak mengidentifikasi kelompoknya. Periksa label dan catatan proses untuk menentukan apakah pemisahan itu nyata atau muncul dari cara pengukuran dan pengelompokan.

Distribusi normal (normal distribution) adalah model distribusi kontinu yang simetris dan berbentuk lonceng, ditentukan oleh pusat dan skala sebaran. Sebutan "normal" di sini nama model matematis, bukan penilaian bahwa proses sehat, aman, atau memenuhi spesifikasi. Distribusi pengukuran tidak otomatis normal hanya karena banyak proses menggunakan besaran kontinu. Sampel kecil dapat membuat bentuk sulit dinilai, dan penggabungan kondisi berlainan dapat menghasilkan bentuk yang menipu.

Urutan waktu juga penting. Histogram mengabaikan susunan pengamatan; dua proses dapat memiliki histogram yang sama meski satu berfluktuasi acak dan yang lain bergeser bertahap. Plot nilai terhadap waktu atau nomor urut mempertahankan informasi tersebut. Tandai perubahan setelan, pergantian alat, jeda, atau kondisi beban jika catatan memungkinkan. Plot waktu dapat menunjukkan kapan pola berubah, tetapi tidak membuktikan penyebab, sehingga kondisi yang setara dibandingkan lebih dulu sebelum perbedaan ditafsirkan.

Pilihan lebar interval histogram memengaruhi gambaran. Interval terlalu lebar dapat menyembunyikan dua kelompok; interval sempit dapat menghasilkan banyak batang kecil yang tampak bergerigi. Tampilkan jumlah pengamatan dan rentang nilai, dan bila keputusan bergantung pada bentuk, bandingkan beberapa tampilan yang masuk akal. Untuk data berpasangan atau beberapa kelompok, jangan buru-buru menggabungkannya: tampilkan kelompok secara terpisah dahulu. Gabungan dapat menyembunyikan pergeseran antarkelompok, sedangkan pemisahan tanpa alasan dapat membesar-besarkan pola kebetulan.

Membawa ringkasan ke keputusan teknis

Ringkasan data berguna ketika pertanyaan, definisi variabel, dan kondisi pengukuran konsisten. Dalam inspeksi, median dan rentang dapat membantu menggambarkan lot kecil yang memiliki bacaan ekstrem. Dalam pemantauan berulang, plot terhadap waktu menunjukkan perubahan urutan yang dihilangkan histogram. Dalam perbandingan dua alat, catat pula lokasi, operator, resolusi, dan keadaan ukur agar perbedaan tidak langsung dikaitkan dengan alat.

Sebelum melaporkan, tulis jumlah pengamatan, satuan, periode atau kelompok, cara pemilihan sampel, ringkasan yang digunakan, serta penanganan data hilang atau koreksi. Sebutkan apakah simpangan baku menggunakan rumus sampel atau populasi. Jika angka berasal dari kondisi berbeda, uraikan perbedaannya atau analisis kelompok secara terpisah. Catatan ringkas seperti "rerata 53 mm" pada Contoh 1 tanpa jumlah data dan sebaran mengundang pembaca membayangkan kepastian yang tidak didukung.

Ketika hasil berbeda dari baseline, mulailah dengan memeriksa keutuhan data dan kesetaraan kondisi. Tanyakan apakah ada perubahan alat, metode, satuan, lokasi, material, beban, atau urutan operasi. Baseline harus menyatakan kondisi yang menjadi pembanding, bukan angka generik yang dilepas dari proses. Sesudah itu, rumuskan hipotesis yang dapat dibedakan oleh pengamatan tambahan; satu korelasi atau nilai ekstrem saja belum cukup untuk menentukan sebab.

Angka ringkas tidak menetapkan batas teknis, dan statistik membantu membaca data tanpa menggantikan kriteria penerimaan. Data juga tidak cukup untuk menyimpulkan kinerja populasi jika cara sampling, rentang waktu, dan kondisi yang dicakup tidak diketahui. Nyatakan ketidakpastian dengan menyebut informasi yang hilang dan kesimpulan yang belum dapat ditarik.

Contoh kerja

Angka dalam contoh di bawah adalah angka latihan, kecuali disebut asalnya. Setiap ringkasan hanya merangkum data yang diamati; ia tidak menetapkan batas penerimaan atau penyebab variasi.

Contoh 1: sepuluh pembacaan panjang. Catatan panjang komponen di pembuka bab, dalam milimeter, adalah $48, 49, 49, 50, 50, 51, 51, 52, 52, 78$. Anggap setiap angka berasal dari metode dan kondisi ukur yang sebanding; asumsi tersebut harus diperiksa sebelum membandingkan produk. Data sudah berurutan, $n=10$, nilai terkecilnya 48 mm, dan terbesar 78 mm. Jumlah seluruh nilai 530 mm, sehingga $\bar{x}=530/10=53$ mm. Karena jumlah pengamatan genap, median adalah rerata nilai kelima dan keenam, $(50+51)/2=50{,}5$ mm. Rerata lebih tinggi 2,5 mm daripada median, terutama karena bacaan 78 mm menarik rerata ke atas.

Rentang bernilai $78-48=30$ mm. Untuk ragam sampel, kuadrat selisih tiap bacaan dari rerata 53 mm berjumlah $25+16+16+9+9+4+4+1+1+625=710$ mm$^2$, sehingga

setelah pembulatan. Bila sepuluh angka ini diperlakukan sebagai seluruh kelompok yang hendak dideskripsikan, ragam dengan pembagi $n$ adalah 71 mm$^2$ dan simpangan bakunya sekitar 8,43 mm; perbedaannya berasal dari definisi pembagi, bukan perubahan data. Dengan metode median dari masing-masing separuh data, lima nilai bawah $48, 49, 49, 50, 50$ memberi $Q_1=49$ mm dan lima nilai atas $51, 51, 52, 52, 78$ memberi $Q_3=52$ mm, sehingga $IQR=52-49=3$ mm. Nilai 78 mm memperlebar rentang dan simpangan baku, sedangkan IQR lebih menggambarkan separuh tengah data.

Sembilan bacaan berada antara 48 mm dan 52 mm, sedangkan satu bacaan 78 mm jauh dari kelompok itu. Median dan IQR tetap dihitung dari seluruh sepuluh bacaan; keduanya menunjukkan bagian tengah data terkonsentrasi, tetapi tidak membuat angka 78 mm boleh diabaikan. Langkah berikutnya adalah memeriksa catatan asli, urutan pengukuran, kondisi benda, posisi ukur, satuan, dan identitas instrumen. Jika bacaan terkonfirmasi, dokumentasikan sebagai pengamatan nyata dan cari tahu apakah ia terkait dengan waktu, kelompok, atau kondisi tertentu. Jika terjadi kesalahan pencatatan yang dapat dibuktikan, koreksi berdasarkan bukti dan simpan jejak perubahan.

Contoh 2: ragam dan simpangan baku arus pompa. Arus motor pompa sirkulasi air panas hotel dibaca enam kali pada beban yang sama: 5,8; 6,1; 6,0; 5,9; 6,2; dan 6,0 A. Reratanya $36{,}0/6=6{,}0$ A. Kuadrat selisihnya 0,04; 0,01; 0; 0,01; 0,04; dan 0 A², dengan jumlah 0,10 A², sehingga

Ragam bersatuan A², sedangkan simpangan baku kembali ke ampere. Angka 0,14 A meringkas sebaran enam bacaan itu. Ia tidak menyatakan apakah motor sehat, karena contoh ini tidak memuat baseline atau batas pabrik.

Contoh 3: modus pada data kategori gangguan. Log pemeliharaan sebuah rumah sakit selama satu bulan mencatat 50 laporan: 21 AC, 14 lampu, 9 keran, dan 6 pintu. Modusnya kategori AC. Bila kategori diberi kode 1 sampai 4 di lembar kerja, rerata kodenya 2,0, angka yang tidak bermakna karena kode hanya label. Modus menunjukkan kategori yang paling sering dilaporkan, bukan kategori yang paling berbahaya atau paling mahal; penilaian itu memerlukan data lain.

Contoh 4: pembagi $n$ dan $n-1$ pada konsumsi listrik. Meter ruang laundry mencatat konsumsi tujuh hari dalam satu minggu: 210, 220, 205, 215, 230, 225, dan 235 kWh. Reratanya $1540/7=220$ kWh dan jumlah kuadrat selisihnya 700 kWh². Bila minggu itu sendiri yang dideskripsikan, ragam populasi $700/7=100$ kWh² dan simpangan bakunya 10,0 kWh. Bila tujuh hari itu dipakai sebagai sampel untuk menaksir variasi hari lain, $s^2=700/6=116{,}67$ kWh² dan $s\approx10{,}8$ kWh. Laporan menyebut pembagi yang dipakai; taksiran untuk bulan lain juga memerlukan alasan bahwa minggu itu mewakili.

Contoh 5: dua kelompok dalam satu histogram. Suhu ruang setrika laundry dicatat lima kali pagi hari, yaitu 30, 31, 30, 32, dan 31 °C, dan lima kali sore hari, yaitu 36, 37, 35, 36, dan 37 °C. Tiap kelompok rapat: rerata 30,8 °C dan 36,2 °C, dengan simpangan baku masing-masing sekitar 0,84 °C. Gabungan sepuluh data memiliki rerata 33,5 °C dan simpangan baku sekitar 2,95 °C, dan histogramnya berpuncak dua. Rerata gabungan 33,5 °C tidak pernah terukur. Karena label waktu tercatat, sebaran besar itu dapat ditelusuri ke perbedaan pagi dan sore, sehingga laporan menampilkan kedua kelompok terpisah; penyebab fisiknya tetap perlu diperiksa.

Contoh 6: ringkasan sama, urutan berbeda. Delapan bacaan tekanan air di lantai teratas hotel, diambil tiap 15 menit, terdiri atas nilai 2,1; 2,2; 2,2; 2,3; 2,3; 2,4; 2,4; dan 2,5 bar. Pada hari pertama urutannya acak, sedangkan pada hari kedua nilai yang sama turun bertahap dari 2,5 ke 2,1 bar. Kedua hari memiliki rerata 2,3 bar, simpangan baku sekitar 0,13 bar, dan histogram yang sama. Hanya plot terhadap waktu yang memperlihatkan penurunan pada hari kedua. Penurunan itu menjadi bahan pemeriksaan pemakaian dan pompa, bukan kesimpulan tentang penyebabnya.

Kondisi berhenti

Berhenti menarik kesimpulan dari ringkasan dan serahkan keputusan kepada personel berwenang yang memegang kriteria dan dokumen proses bila salah satu keadaan berikut terjadi.

1. Nilai ekstrem akan dihapus atau dikoreksi hanya karena membuat ringkasan tampak rapi. Periksa dulu jejak pencatatan, satuan, identitas sampel, dan keadaan pengukuran; bila koreksi dilakukan berdasarkan catatan asli, simpan alasan dan versi data yang dipakai.
2. Ringkasan akan dipakai untuk menyatakan produk lolos atau gagal, proses normal atau buruk, atau alat sehat seperti motor pada Contoh 2, atau untuk menetapkan batas teknis. Periksa spesifikasi desain, kriteria penerimaan, ketidakpastian alat, dan klaim OEM pada dokumen yang berwenang untuk konfigurasi serta kondisi terkait.
3. Ringkasan sampel kecil atau satu periode akan dipakai untuk menyatakan kinerja seluruh populasi, padahal cara sampling, rentang waktu, dan kondisi yang dicakup tidak diketahui. Klaim itu memerlukan kriteria yang berwenang dan data yang relevan dengan cakupan waktu serta cara sampling yang jelas.
4. Data dari kondisi, lokasi, alat, atau kelompok yang berbeda akan digabung atau dibandingkan seolah-olah sepadan. Jangan buru-buru menggabungkannya: uraikan perbedaannya dan tampilkan kelompok secara terpisah dahulu.

Salah tafsir yang sering terjadi

Hubungan dengan bab lain

Satuan, angka penting, dan pembulatan yang dipakai di sini dibahas di Bab 3 · Satuan & Matematika, sedangkan resolusi, bias, dan keterulangan alat ukur di Bab 1 dan Bab 4. Pemisahan observasi dari hipotesis sebab dibahas di Bab 1 · Sistem, Diagram & Diagnosis tentang batas sistem dan sebab-akibat. Plot terhadap waktu dilanjutkan ke tren dan kontrol proses di Bab 3, cara memilih sampel yang mewakili populasi di Bab 6, dan hubungan dua variabel di Bab 7 tentang korelasi dan regresi.

Latihan dan pembahasan

Gunakan satuan yang disebut pada setiap soal. Untuk hitungan tangan, tampilkan langkah antara agar pembaca lain dapat memeriksa hasil.