Sampling dan ukuran sampel: populasi dan sampel, cara memilih, sampel sesaat dan gabungan, ukuran sampel untuk rata-rata dan proporsi, dan sampling penerimaan dasar

Penyelia sebuah laundry hotel memeriksa mutu cucian setiap pagi dengan cara yang sama: mengambil lima lembar dari tumpukan teratas setiap troli yang siap dikirim. Selama tiga bulan hampir tidak ada noda yang ditemukan. Tetapi keluhan tamu tentang noda di sarung bantal naik setiap minggu, dan bagian tata graha mulai mengembalikan linen.

Ketika dicari sebabnya, ternyata tumpukan teratas setiap troli selalu berasal dari mesin yang terakhir dibongkar, yaitu mesin yang paling baru diperbaiki. Muatan dari mesin lama yang pompa dosisnya lemah selalu berada di bawah. Lima lembar juga terlalu sedikit: bila noda hanya ada pada dua lembar dari seratus, peluang lima lembar tidak memuat satu pun noda sekitar sembilan dari sepuluh. Pemeriksaan itu tidak salah dikerjakan; yang salah adalah cara memilih sampelnya. Bab ini menjelaskan cara memilih sampel dan menentukan jumlahnya supaya data servis benar-benar mewakili keadaan yang ingin diketahui.

Batas pembahasan

Bab ini membahas sampling untuk data servis: populasi dan sampel, cara memilih, sampel sesaat dan gabungan, data variabel dan atribut, ukuran sampel untuk rata-rata dan proporsi, peluang menemukan cacat yang jarang, sampling penerimaan dasar, dan stratifikasi. Ringkasan data dan simpangan baku ada di Bab 2; diagram kendali dan subgrup di Bab 3; variasi sistem pengukuran di Bab 4; ketidakpastian gabungan di Bab 5; teknik mengambil sampel air di Bab 6 · Biologi & Mikrobiologi; sampel permukaan dan rencana sampling higiene di Bab 8 · Biologi & Mikrobiologi; mutu cucian di Bab 18 · Laundry. Prosedur pengambilan sampel yang diwajibkan peraturan atau laboratorium mengikuti dokumen itu. Sumbernya adalah narasi Statistik dan Data Teknis, narasi Logika dan Sistem Teknis, dan narasi Teknik Air dan Lingkungan, ditambah pengetahuan statistik umum yang ditandai di peta sumber. Rumus di bab ini adalah rumus baku (nilai literatur umum); angka dalam contoh adalah angka latihan.

Populasi, sampel, dan pertanyaan

Sampling dimulai dari pertanyaan. "Berapa bagian sarung bantal yang dikirim minggu ini bernoda?" menetapkan populasinya: semua sarung bantal yang dikirim minggu itu. Sampel adalah bagian populasi yang benar-benar diperiksa. Kesimpulan dari sampel hanya berlaku untuk populasi yang diwakilinya.

Tiga istilah yang perlu ditetapkan sebelum mengambil sampel:

1. Populasi sasaran: semua unit yang ingin diketahui keadaannya, misalnya semua siklus mesin bulan ini, semua dispenser di satu kota, atau semua air yang keluar dari keran pelanggan.
2. Kerangka sampling: daftar atau cara untuk menjangkau populasi, misalnya daftar nomor dispenser, catatan siklus mesin, atau jadwal pengiriman troli. Unit yang tidak ada di kerangka tidak mungkin terpilih.
3. Unit sampel: benda atau kejadian yang diperiksa, misalnya satu lembar linen, satu siklus, satu botol air, atau satu kunjungan servis.

Narasi Statistik dan Data Teknis mengutip buku pegangan teknik manufaktur yang bertanya apakah barang akan diproses dalam lot besar atau dalam kelompok kecil; cara produksi menentukan apa yang dimaksud dengan satu populasi dan seberapa sering sampel harus diambil.

Cara memilih sampel

Cara memilih sampel menentukan apakah sampel mewakili. Cara yang umum (nilai literatur umum):

1. Acak sederhana: setiap unit di kerangka mempunyai peluang terpilih yang sama, misalnya nomor dispenser diundi atau dipilih dengan bilangan acak.
2. Sistematis: unit ke-$k$ diambil setelah titik awal acak, misalnya setiap lembar ke-20. Mudah dikerjakan, tetapi berbahaya bila proses mempunyai pola berulang yang selangnya sama dengan $k$.
3. Berlapis: populasi dibagi menjadi lapisan yang diduga berbeda, seperti mesin, sif, atau lokasi, lalu sampel diambil dari setiap lapisan, biasanya sebanding dengan ukurannya.
4. Berkelompok: kelompok utuh dipilih acak lalu semua unit di dalamnya diperiksa, misalnya beberapa troli dipilih lalu seluruh isinya diperiksa. Hemat, tetapi kurang teliti bila isi kelompok mirip satu sama lain.

Cara yang harus dihindari adalah mengambil yang paling mudah dijangkau: tumpukan teratas, mesin yang paling dekat, pelanggan yang paling ramah, atau jam yang paling longgar. Sampel seperti itu hampir selalu berat sebelah, dan menambah jumlahnya tidak menghilangkan berat sebelah itu.

Sampel sesaat dan gabungan

Untuk benda yang mengalir, seperti air, air limbah, atau larutan, sampel dapat diambil dengan dua cara. Narasi Teknik Air dan Lingkungan mengutip manual matematika operator pengolahan air bahwa sampel sesaat adalah sampel tunggal yang diambil pada satu waktu dan satu lokasi. Sampel sesaat menunjukkan keadaan pada saat itu, cocok untuk besaran yang cepat berubah seperti klorin sisa, suhu, atau pH, dan untuk menangkap puncak.

Sampel gabungan adalah campuran beberapa sampel sesaat selama satu periode, untuk mendapatkan rata-rata. Gabungan berdasar waktu memakai volume sama setiap selang waktu. Gabungan sebanding aliran memakai volume yang sebanding dengan debit saat itu; manual yang sama dalam narasi meminta debit ditentukan pada saat sampel diambil. Untuk limbah laundry yang debitnya naik turun menurut siklus mesin, gabungan sebanding aliran lebih mewakili beban harian daripada gabungan berdasar waktu.

Sampel harus mewakili benda yang ingin diketahui. Manual yang sama mencatat bahwa untuk memastikan sampel mewakili air yang dialirkan, saluran layanan harus dibilas dua kali lebih dulu. Air yang diam di pipa tidak sama dengan air dari jaringan.

Data variabel dan data atribut

Narasi Statistik dan Data Teknis mengutip buku pegangan teknik manufaktur bahwa pembeda utama alat pengendalian proses adalah jenis data ukur yang dikumpulkan. Hal yang sama berlaku untuk sampling:

1. Data variabel: angka pada skala, seperti suhu, waktu siklus, debit, tebal, atau konsentrasi. Setiap unit memberi banyak informasi, sehingga sampel yang diperlukan relatif kecil.
2. Data atribut: lulus atau gagal, ada atau tidak ada, bernoda atau bersih. Setiap unit memberi sedikit informasi, sehingga sampel yang diperlukan jauh lebih besar, terutama untuk cacat yang jarang.

Bila suatu besaran dapat diukur sebagai variabel, misalnya derajat putih dengan alat ukur warna daripada "putih atau kusam", data variabel biasanya lebih hemat sampel.

Ukuran sampel untuk rata-rata

Untuk memperkirakan rata-rata dengan batas galat $E$ pada tingkat kepercayaan sekitar 95%, ukuran sampel yang diperlukan (nilai literatur umum):

dengan $z = 1{,}96$ untuk 95% dan $\sigma$ simpangan baku populasi. Karena $\sigma$ jarang diketahui, ia diperkirakan dari sampel awal yang kecil. Narasi Logika dan Sistem Teknis mengutip buku pegangan teknik manufaktur bahwa untuk menentukan jumlah siklus yang perlu diukur waktunya, sebuah sampel kecil diukur lebih dulu, lalu ukuran sampel dihitung, dalam contoh buku itu sekitar 71 siklus. Hasil hitungan selalu dibulatkan ke atas.

Bila ukuran sampel yang dihasilkan kecil, misalnya di bawah sekitar tiga puluh, nilai $z$ sebaiknya diganti nilai $t$ dari distribusi t dengan derajat kebebasan $n - 1$, lalu hitungan diulang sekali atau dua kali sampai stabil (nilai literatur umum). Untuk sampel sepuluh, $t$ untuk 95% sekitar 2,26, sehingga ukuran sampel naik sekitar sepertiga dibanding hitungan dengan $z$.

Rumus ini menunjukkan dua hal penting. Untuk mempersempit batas galat menjadi separuh, sampel harus empat kali lebih besar. Dan sampel yang diperlukan tidak bergantung pada besar populasi, selama populasi jauh lebih besar dari sampel.

Ukuran sampel untuk proporsi

Untuk memperkirakan proporsi $p$, misalnya bagian lembar bernoda, dengan batas galat $E$:

Bila $p$ belum diketahui sama sekali, $p = 0{,}5$ memberi ukuran terbesar dan paling aman. Bila populasi $N$ kecil, misalnya dua ratus dispenser milik satu pelanggan, ukuran sampel dapat dikoreksi (nilai literatur umum):

Narasi Teknik Air dan Lingkungan mengutip buku matematika operator pengolahan air limbah bahwa rata-rata dan median dipakai untuk menilai sekelompok angka; proporsi adalah rata-rata dari data atribut yang diberi nilai 1 dan 0.

Peluang menemukan cacat yang jarang

Bila bagian cacat dalam populasi $p$ dan sampel berukuran $n$ diambil acak, peluang sampel memuat paling sedikit satu cacat:

Sebaliknya, bila tidak ada cacat ditemukan dalam $n$ unit, batas atas proporsi cacat dengan kepercayaan sekitar 95% kira-kira $3/n$ (aturan tiga, nilai literatur umum). Nol cacat dalam lima lembar hanya berarti proporsi cacat kemungkinan di bawah sekitar 60%, kesimpulan yang tidak berguna.

Sampling penerimaan dasar

Sampling penerimaan dipakai untuk memutuskan menerima atau menolak sebuah lot, misalnya kiriman suku cadang atau satu troli linen, berdasarkan sampel. Rencana paling sederhana ditulis $(n, c)$: ambil $n$ unit acak, terima lot bila cacat yang ditemukan paling banyak $c$.

Peluang lot diterima untuk bagian cacat $p$ dihitung dengan distribusi binomial:

Grafik $P_a$ terhadap $p$ disebut kurva karakteristik operasi. Kurva itu menunjukkan seberapa baik rencana membedakan lot baik dari lot buruk. Standar sampling penerimaan memuat tabel rencana menurut ukuran lot dan batas mutu yang dapat diterima; nama dan cara pakainya boleh dirujuk, tabelnya tidak disalin di sini, dan rencana untuk kontrak mengikuti yang tertulis di kontrak.

Dua titik pada kurva itu biasanya disepakati pemasok dan pembeli. Risiko pemasok adalah peluang lot yang baik ditolak; risiko pembeli adalah peluang lot yang buruk diterima. Rencana dengan $n$ kecil membuat kedua risiko itu besar sekaligus, sehingga lot yang baik dan yang buruk sulit dibedakan. Memperbesar $n$ menajamkan kurva, dengan biaya pemeriksaan yang lebih besar.

Sampling penerimaan tidak memperbaiki mutu. Ia hanya menyaring lot. Bila lot sering ditolak, perbaikannya ada di proses, seperti dibahas di Bab 3.

Stratifikasi dan distribusi bimodal

Narasi Statistik dan Data Teknis mengutip buku pegangan teknik manufaktur bahwa distribusi bimodal menunjukkan ada sesuatu dalam proses yang tidak sama. Data yang bercampur dari dua mesin, dua sif, atau dua pemasok sering membentuk dua puncak. Stratifikasi, yaitu mencatat dan memisahkan data menurut sumbernya, menunjukkan sumber mana yang berbeda.

Karena itu setiap sampel dicatat dengan label sumbernya: mesin, sif, operator, lot bahan kimia, tanggal, dan jam. Sampel tanpa label tidak dapat dipisahkan kemudian, dan perbedaan antarsumber hilang di dalam rata-rata.

Rencana sampling

Sampling yang hasilnya akan dipakai untuk keputusan ditulis dulu sebagai rencana singkat, supaya orang lain dapat mengulangnya dan memeriksa apakah sampelnya mewakili. Isi rencana:

1. Pertanyaan dan keputusan: apa yang ingin diketahui dan keputusan apa yang akan diambil dari hasilnya.
2. Populasi dan kerangka: unit apa, periode kapan, dan daftar yang dipakai untuk memilih.
3. Cara memilih: acak, sistematis dengan titik awal acak, atau berlapis, dan siapa yang memilih. Orang yang memilih sebaiknya tidak sama dengan orang yang hasil kerjanya dinilai.
4. Ukuran sampel dan dasar hitungannya: simpangan baku atau proporsi yang diperkirakan, batas galat, dan tingkat kepercayaan.
5. Cara mengambil dan mengukur: alat, wadah, volume, pengawetan, dan waktu paling lama sampai diperiksa, mengikuti prosedur laboratorium bila ada.
6. Label dan catatan: nomor sampel, sumber, tanggal, jam, nama pengambil, dan keadaan saat diambil, seperti debit, suhu, atau nomor siklus mesin.
7. Cara mengolah dan batas keputusan: rumus yang dipakai dan apa yang dilakukan bila hasil melewati batas.

Rencana yang ditulis lebih dulu juga mencegah godaan memilih sampel setelah melihat keadaan, misalnya melewati troli yang tampak buruk karena "itu pengecualian". Bila keadaan lapangan memaksa rencana diubah, perubahan itu dicatat bersama alasannya, karena perubahan cara memilih dapat mengubah arti hasil.

Contoh kerja

Contoh 1: ukuran sampel untuk rata-rata waktu siklus. Sampel awal sepuluh siklus mesin cuci memberi simpangan baku 2,4 menit. Rata-rata waktu siklus ingin diketahui dengan batas galat 1 menit pada 95%. $n = (1{,}96 \times 2{,}4/1)^2 = 22{,}1$, dibulatkan ke atas menjadi 23 siklus. Karena sepuluh siklus sudah ada, diperlukan tambahan 13 siklus, dengan $\sigma$ diperiksa ulang setelah semua terkumpul.

Contoh 2: ukuran sampel untuk proporsi noda. Bagian lembar bernoda ingin diketahui dengan batas galat 5 poin persen pada 95%. Tanpa perkiraan, $n = 1{,}96^2 \times 0{,}25/0{,}05^2 = 384{,}2$, jadi 385 lembar. Bila data lama menunjukkan sekitar 10%, $n = 1{,}96^2 \times 0{,}09/0{,}0025 = 138{,}3$, jadi 139 lembar.

Contoh 3: populasi kecil. Seorang pelanggan mempunyai 200 dispenser, dan bagian dispenser yang dosisnya menyimpang ingin diperkirakan dengan $n = 139$ seperti di atas. Dengan koreksi, $n' = 139/(1 + 138/200) = 82{,}2$, jadi 83 dispenser diperiksa, dipilih acak dari daftar nomor dispenser.

Contoh 4: lima lembar tidak cukup. Bila 2% lembar bernoda, peluang lima lembar memuat paling sedikit satu noda $1 - 0{,}98^5 = 0{,}096$. Supaya peluang itu 0,95, $n = \ln 0{,}05/\ln 0{,}98 = 148{,}3$, jadi 149 lembar. Pemeriksaan harian yang realistis lebih kecil dari itu, sehingga data harian dikumpulkan sebagai tren mingguan.

Contoh 5: nol ditemukan. Pemeriksaan 60 sarung bantal yang dipilih acak tidak menemukan noda. Batas atas bagian bernoda dengan kepercayaan sekitar 95% kira-kira $3/60 = 0{,}05$ atau 5%. Hasil itu hanya berarti noda kemungkinan di bawah 5%, tidak berarti noda tidak ada.

Contoh 6: kurva karakteristik operasi. Rencana penerimaan suku cadang $n = 50$, $c = 1$. Untuk lot dengan 1% cacat, $P_a = 0{,}99^{50} + 50 \times 0{,}01 \times 0{,}99^{49} = 0{,}605 + 0{,}306 = 0{,}91$. Untuk lot dengan 5% cacat, $P_a = 0{,}95^{50} + 50 \times 0{,}05 \times 0{,}95^{49} = 0{,}077 + 0{,}202 = 0{,}28$. Lot yang buruk masih diterima sekitar sekali dari empat; bila itu tidak dapat diterima, $n$ diperbesar atau $c$ diturunkan.

Contoh 7: sampel berlapis. Tiga mesin cuci menghasilkan 50%, 30%, dan 20% linen harian. Untuk sampel 60 lembar, diambil 30, 18, dan 12 lembar dari muatan masing-masing mesin, dipilih acak dari troli yang dicatat nomor mesinnya. Pada kasus pembuka, cara ini menunjukkan noda terkumpul pada muatan satu mesin.

Contoh 8: sampel gabungan sebanding aliran. Debit limbah dari empat jam pengamatan 10, 20, 30, dan 40 m³ per jam. Untuk sampel gabungan 2 liter, volume setiap sampel sesaat sebanding debit: total debit 100, jadi 200, 400, 600, dan 800 mL. Gabungan berdasar waktu dengan 500 mL setiap jam akan memberi bobot terlalu besar pada jam yang debitnya kecil.

Contoh 9: sampling sistematis dan pola berulang. Mesin setrika rol mempunyai lima lajur masukan yang diisi bergiliran. Mengambil setiap lembar ke-10 selalu jatuh pada lajur yang sama, sehingga cacat pada lajur lain tidak pernah terlihat. Titik awal diacak setiap hari, atau selang diubah menjadi bilangan yang tidak berkelipatan lima, misalnya setiap lembar ke-11.

Kondisi berhenti

Hentikan penarikan kesimpulan dari sampel dan minta keputusan penyelia atau pihak berwenang bila:

1. Cara memilih sampel tidak acak dan ada alasan menduga berat sebelah, seperti pada kasus pembuka.
2. Sampel tidak diberi label sumber, sehingga lapisan tidak dapat dipisahkan.
3. Sampel menyangkut keselamatan, kesehatan, atau peraturan, seperti air minum, sanitasi, atau limbah, dan prosedur resmi pengambilan, pengawetan, dan pengiriman sampel tidak diikuti.
4. Ukuran sampel jauh lebih kecil dari yang diperlukan untuk pertanyaan yang diajukan, tetapi hasilnya akan dipakai untuk keputusan besar.
5. Rencana sampling penerimaan berbeda dari yang tertulis di kontrak.

Salah tafsir yang sering terjadi

1. "Sampel besar pasti mewakili." Sampel besar yang dipilih berat sebelah tetap berat sebelah.
2. "Populasi besar memerlukan sampel besar." Ukuran sampel terutama ditentukan sebaran dan batas galat yang diinginkan.
3. "Nol cacat berarti tidak ada cacat." Nol cacat dalam sampel kecil hampir tidak berarti apa-apa.
4. "Setiap lembar ke-10 sama dengan acak." Tidak bila proses mempunyai pola berulang.
5. "Satu botol air menggambarkan seluruh hari." Sampel sesaat hanya menggambarkan saat itu.
6. "Sampling penerimaan menjamin mutu." Ia hanya menyaring lot dengan peluang tertentu.

Hubungan dengan bab lain

Bab 2 memberi rata-rata, proporsi, dan simpangan baku, Bab 3 subgrup dan diagram kendali, Bab 4 dan Bab 5 variasi dan ketidakpastian pengukuran yang ikut dalam setiap sampel, Bab 6 · Biologi & Mikrobiologi dan Bab 8 · Biologi & Mikrobiologi teknik mengambil sampel air dan permukaan, dan Bab 18 · Laundry bukti mutu cucian. Bab berikutnya di rak ini membahas korelasi dan regresi.

Latihan dan pembahasan

1. Sebutkan populasi sasaran, kerangka sampling, dan unit sampel untuk pertanyaan "berapa bagian dispenser pelanggan A yang dosisnya menyimpang lebih dari 10%?".
2. Sampel awal suhu air panas memberi simpangan baku 0,8 °C. Berapa ukuran sampel untuk memperkirakan rata-rata dengan batas galat 0,25 °C pada 95%?
3. Bagian kunjungan servis yang memerlukan kunjungan ulang diperkirakan 20%. Berapa ukuran sampel untuk batas galat 4 poin persen pada 95%?
4. Bagian sambungan yang bocor 3%. Berapa peluang sampel 20 sambungan memuat paling sedikit satu yang bocor, dan berapa sampel untuk peluang 0,9?
5. Pemeriksaan 100 unit tidak menemukan cacat. Berapa batas atas bagian cacat dengan kepercayaan sekitar 95%?
6. Mengapa sampel gabungan sebanding aliran lebih mewakili beban limbah harian daripada gabungan berdasar waktu?

Kunci jawaban beralasan

1. Populasi: semua dispenser milik pelanggan A pada periode itu. Kerangka: daftar nomor dispenser dan lokasinya. Unit: satu dispenser yang diuji dosisnya dengan cara baku. Dispenser yang tidak ada di daftar tidak mungkin terpilih, jadi daftar diperiksa lebih dulu.
2. $n = (1{,}96 \times 0{,}8/0{,}25)^2 = 39{,}3$, jadi 40 pengukuran.
3. $n = 1{,}96^2 \times 0{,}2 \times 0{,}8/0{,}04^2 = 384{,}2$, jadi 385 kunjungan. Bila jumlah kunjungan per periode kecil, koreksi populasi kecil dipakai.
4. $P = 1 - 0{,}97^{20} = 0{,}46$. Untuk 0,9, $n = \ln 0{,}1/\ln 0{,}97 = 75{,}6$, jadi 76 sambungan.
5. Sekitar $3/100 = 0{,}03$ atau 3%. Cacat masih mungkin ada sampai sekitar 3%.
6. Beban limbah adalah konsentrasi dikali debit. Gabungan sebanding aliran memberi bobot lebih besar pada saat debit besar, yaitu saat sebagian besar beban dibuang. Gabungan berdasar waktu memberi bobot sama pada jam yang debitnya kecil, sehingga rata-ratanya dapat berbeda dari beban sebenarnya.

Referensi