Bab 18: Ketidaksamaan Segitiga dan Varian Lanjutnya

18.1 Teorema Ketidaksamaan Segitiga (Triangle Inequality)

Ketaksamaan segitiga $|a+b|\leq|a|+|b|$ adalah ketaksamaan terpenting dalam analisis. Hampir setiap estimasi pada bab-bab barisan, limit, dan kontinuitas memakainya. Teorema itu sudah dibuktikan pada Teorema 13.1.4, bersama kriteria kesamaannya, karena metrik standar Bab 13 memerlukannya. Bab 18 menjadikannya pokok bahasan: bentuk-bentuknya (unit ini), beberapa bukti dan makna geometrisnya (18.2), versi terbalik dan batas bawah (18.3), serta penerapannya untuk estimasi galat (18.4).

Contoh master: untuk $a=5$ dan $b=-3$, ruas kiri $|5+(-3)|=|2|=2$ dan ruas kanan $|5|+|-3|=5+3=8$, sehingga $2\leq8$. Kesamaan gagal karena $ab=-15<0$: kedua bilangan berlawanan tanda, sehingga sebagian besarnya saling meniadakan dalam jumlah.

Prasyarat: Teorema 13.1.4, Korolari 13.1.5–13.1.6, Lemma 13.1.1–13.1.2; Bab 17; induksi (Bab 7).

Pernyataan

Teorema 18.1.1 (Ketaksamaan Segitiga; Teorema 13.1.4)

Untuk semua $a,b\in\mathbb{R}$:

dengan kesamaan jika dan hanya jika $ab\geq0$.

Bukti singkat, diulang dari Teorema 13.1.4 karena unit ini adalah tempat utamanya. Dari $-|a|\leq a\leq|a|$ dan $-|b|\leq b\leq|b|$ diperoleh $-(|a|+|b|)\leq a+b\leq|a|+|b|$, lalu Lemma 13.1.2(a). Kriteria kesamaan: jika $a,b\geq0$ atau $a,b\leq0$, kedua ruas sama. Jika $ab<0$, misalnya $a>0>b$, maka $a+b$ dan $-(a+b)$ keduanya lebih kecil tegas dari $a-b=|a|+|b|$. $\square$

Ketaksamaan ini tajam: tidak ada konstanta $c<1$ yang membuat $|a+b|\leq c(|a|+|b|)$ untuk semua $a,b$, karena untuk $a=b=1$ diperlukan $2\leq2c$. Kriteria kesamaan menunjukkan dengan tepat kapan batas itu tercapai.

Bentuk-Bentuk Setara dan Turunan

Akibat 18.1.2 (Varian Langsung)

Untuk semua $a,b,c\in\mathbb{R}$:

(a) $|a-b|\leq|a|+|b|$, dengan kesamaan jika dan hanya jika $ab\leq0$;

(b) $|a-c|\leq|a-b|+|b-c|$ (bentuk metrik), dengan kesamaan jika dan hanya jika $b$ terletak di antara $a$ dan $c$;

(c) $|a|\leq|a-b|+|b|$, sehingga $|a|-|b|\leq|a-b|$;

(d) $|a+b+c|\leq|a|+|b|+|c|$.

Bukti. (a) Teorema 18.1.1 dengan $b$ diganti $-b$, memakai $|-b|=|b|$. Kesamaan terjadi jika dan hanya jika $a(-b)\geq0$, yaitu $ab\leq0$.

(b) Teorema 18.1.1 pada $a-c=(a-b)+(b-c)$. Kesamaan: Proposisi 13.1.11.

(c) Teorema 18.1.1 pada $a=(a-b)+b$.

(d) Kasus $k=3$ dari Teorema 18.1.3. $\square$

Bentuk (a) sering mengejutkan: selisih juga dibatasi oleh jumlah besarnya, bukan oleh selisih besarnya. Contoh: $|5-(-3)|=8=|5|+|-3|$, dan ini kasus kesamaan karena $5\cdot(-3)\leq0$.

Teorema 18.1.3 (Segitiga untuk $k$ Suku dengan Kesamaan)

Untuk $k\in\mathbb{N}_{+}$ dan $a_1,\ldots,a_k\in\mathbb{R}$:

dengan kesamaan jika dan hanya jika semua $a_i$ yang tak nol bertanda sama, yaitu semua $a_i\geq0$ atau semua $a_i\leq0$.

Bukti. Ketaksamaan: Korolari 13.1.5.

Kesamaan, arah ($\Leftarrow$): jika semua $a_i\geq0$, jumlahnya $\geq0$, sehingga $|\sum a_i|=\sum a_i=\sum|a_i|$. Kasus semua $a_i\leq0$ serupa, dengan $|\sum a_i|=-\sum a_i=\sum(-a_i)=\sum|a_i|$.

Kesamaan, arah ($\Rightarrow$): kontraposisi. Misalkan ada $a_j>0$ dan $a_l<0$. Tulis $S=\sum_ia_i$ dan $R=\sum_{i\ne j,l}a_i$, sehingga $S=R+(a_j+a_l)$. Maka

Ketaksamaan tegas di tengah adalah Teorema 18.1.1 dengan $a_ja_l<0$. Ketaksamaan pertama dan terakhir adalah Teorema 18.1.1 dan Korolari 13.1.5. Bila $k=2$, $R$ adalah jumlah kosong $0$. $\square$

Contoh 18.1.4

(a) $|2-5+1|=2$, sedangkan $|2|+|-5|+|1|=8$. Tegas, karena ada suku positif dan negatif.

(b) $|-1-\tfrac12-3|=\tfrac92=|-1|+|-\tfrac12|+|-3|$. Kesamaan, karena semuanya negatif.

(c) $|0+0|=0=|0|+|0|$. Kesamaan, karena tidak ada suku tak nol yang berlawanan tanda.

Ketaksamaan Segitiga untuk Maksimum dan Minimum

Proposisi 18.1.5

Untuk $a,b,a',b'\in\mathbb{R}$:

Bukti. Tulis $\delta=\max(|a-a'|,|b-b'|)$. Maka $a\leq a'+\delta\leq\max(a',b')+\delta$ dan $b\leq b'+\delta\leq\max(a',b')+\delta$, sehingga $\max(a,b)\leq\max(a',b')+\delta$. Dengan peran ditukar, $\max(a',b')\leq\max(a,b)+\delta$. Kedua ketaksamaan bersama Lemma 13.1.2(a) memberi kesimpulan. $\square$

Proposisi ini menyatakan bahwa operasi maksimum tidak memperbesar galat. Bila setiap masukan bergeser paling banyak $\delta$, maksimumnya bergeser paling banyak $\delta$. Bukti di atas memakai urutan langsung. Pendekatan lewat rumus $\max(a,b)=\tfrac{a+b+|a-b|}2$ dan segitiga terbalik hanya memberi batas yang lebih lemah, $|a-a'|+|b-b'|$. Latihan 18.3-7 membahas perbandingan keduanya.

Latihan

Latihan 18.1-1. Periksa Teorema 18.1.1 untuk $a=5$ dan $b=-3$, lalu untuk $a=-5$ dan $b=-3$. Pada masing-masing pasangan, tentukan apakah kesamaan berlaku dan jelaskan dengan kriteria $ab\geq0$.

Latihan 18.1-2. Buktikan bahwa tidak ada $c<1$ yang membuat $|a+b|\leq c(|a|+|b|)$ untuk semua $a,b$. Untuk $c$ berapa saja ketaksamaan itu berlaku untuk semua $a,b$?

Latihan 18.1-3. Buktikan $|a-b|\leq|a|+|b|$ dan tentukan kasus kesamaannya. Hitung untuk $a=5$ dan $b=-3$.

Latihan 18.1-4. Buktikan Teorema 18.1.3, termasuk kriteria kesamaan. Terapkan pada $1-2+3-4$.

Latihan 18.1-5. Buktikan bahwa jika $|x-1|<\tfrac13$ dan $|y-2|<\tfrac16$, maka $|(x+y)-3|<\tfrac12$.

Latihan 18.1-6. Buktikan bahwa untuk $x\in\mathbb{R}$, $|x-1|+|x+1|\geq2$, dan tentukan kapan kesamaan berlaku.

Latihan 18.1-7. Buktikan Proposisi 18.1.5, lalu periksa pada $(a,b)=(1,4)$ dan $(a',b')=(2,3)$.

Latihan 18.1-8. Untuk $a_1,\ldots,a_k$ dan $b_1,\ldots,b_k$ real, buktikan $\bigl|\sum a_i-\sum b_i\bigr|\leq\sum|a_i-b_i|$.

Solusi

Solusi 18.1-1. Untuk $(5,-3)$: $2\leq8$, tegas, karena $ab=-15<0$. Untuk $(-5,-3)$: $|-8|=8=5+3$, kesamaan, karena $ab=15\geq0$. $\square$

Solusi 18.1-2. Untuk $a=b=1$, ketaksamaan itu menjadi $2\leq2c$, yaitu $c\geq1$. Jadi setiap $c<1$ gagal. Untuk $c\geq1$, ketaksamaan berlaku: $|a+b|\leq|a|+|b|\leq c(|a|+|b|)$, karena $|a|+|b|\geq0$. Jadi himpunan konstanta yang sah adalah $[1,\infty)$. $\square$

Solusi 18.1-3. Akibat 18.1.2(a), dengan kesamaan tepat ketika $ab\leq0$. Untuk $(5,-3)$: $|5+3|=8=5+3$, kesamaan karena $-15\leq0$. $\square$

Solusi 18.1-4. Lihat bukti Teorema 18.1.3. Untuk $1-2+3-4=-2$: $|-2|=2<1+2+3+4=10$. Tegas, karena ada suku positif dan negatif. $\square$

Solusi 18.1-5. $|(x+y)-3|=|(x-1)+(y-2)|\leq|x-1|+|y-2|<\tfrac13+\tfrac16=\tfrac12$. Penjumlahan dua ketaksamaan tegas memberi ketaksamaan tegas (Teorema 10.2.5(i)). $\square$

Solusi 18.1-6. $2=|(x+1)-(x-1)|$. Akibat 18.1.2(a) dengan $a=x+1$ dan $b=x-1$ memberi $2\leq|x+1|+|x-1|$. Kesamaan terjadi jika dan hanya jika $(x+1)(x-1)\leq0$, yaitu $-1\leq x\leq1$. Secara geometris, jumlah jarak ke $-1$ dan $1$ paling sedikit $2$, dengan kesamaan tepat di antara keduanya (bandingkan Contoh 17.2.5). $\square$

Solusi 18.1-7. Bukti: Proposisi 18.1.5. Pemeriksaan: $\max(1,4)=4$ dan $\max(2,3)=3$, sehingga selisihnya $1$. $\max(|1-2|,|4-3|)=1$. Jadi $1\leq1$, dengan kesamaan. $\square$

Solusi 18.1-8. $\sum a_i-\sum b_i=\sum(a_i-b_i)$, berdasarkan asosiativitas dan komutativitas jumlah berhingga. Teorema 18.1.3 memberi kesimpulan. $\square$

Ringkasan

Ketaksamaan segitiga berlaku untuk dua suku dan untuk $k$ suku, dengan kesamaan tepat ketika semua suku tak nol bertanda sama. Bentuk turunannya: selisih dibatasi jumlah besarnya, bentuk metrik dengan kesamaan tepat ketika titik tengah berada di antara, dan estimasi galat jumlahan. Ketaksamaan itu tajam, dan operasi maksimum tidak memperbesar galat. Unit 18.2 membandingkan beberapa bukti dan menjelaskan nama "segitiga" lewat jarak di bidang.

18.2 Bukti Analitis dan Interpretasi Geometris

Satu teorema dapat dibuktikan dengan beberapa cara, dan setiap cara memperlihatkan alasan yang berbeda mengapa teorema itu benar. Unit ini membandingkan tiga bukti analitis ketaksamaan segitiga di $\mathbb{R}$ beserta prasyaratnya masing-masing. Setelah itu kita memberi dua interpretasi geometris: di garis bilangan, sebagai jalan memutar lewat titik nol; dan di bidang koordinat, sebagai sifat sisi-sisi segitiga, yang menjadi asal nama teorema itu. Versi bidang dibuktikan dengan ketaksamaan Cauchy–Schwarz dari Bab 10.

Prasyarat:

• Teorema 18.1.1;
• Lemma 13.1.1–13.1.2 dan Proposisi 13.1.11;
• Teorema 17.3.3 (perbandingan lewat kuadrat);
• Teorema 10.4.10 dan Akibat 10.4.11 (Cauchy–Schwarz);
• Teorema 16.4.1(f) (perbandingan akar).

Tiga Bukti Analitis

Bukti 1 (Urutan)

Dari $-|a|\leq a\leq|a|$ dan $-|b|\leq b\leq|b|$, penjumlahan memberi $-(|a|+|b|)\leq a+b\leq|a|+|b|$, lalu Lemma 13.1.2(a). Prasyarat: hukum urutan dan definisi nilai mutlak. Bukti ini berlaku di setiap lapangan terurut (Teorema 13.1.4).

Bukti 2 (Kuadrat)

Hitung

Langkah tengah memakai $ab\leq|ab|=|a||b|$ (Lemma 13.1.1 dan Proposisi 10.2.7b) serta $a^2=|a|^2$ dan $b^2=|b|^2$. Karena $|a|+|b|=\bigl||a|+|b|\bigr|$, Teorema 17.3.3 memberi $|a+b|\leq|a|+|b|$.

Kesamaan berlaku jika dan hanya jika $ab=|ab|$, yaitu $ab\geq0$. Ini sesuai dengan kriteria Teorema 18.1.1.

Prasyarat: perbandingan kuadrat bilangan taknegatif (Korolari 10.2.6, lewat Teorema 17.3.3). Tidak ada kelengkapan, sehingga bukti ini juga berlaku di setiap lapangan terurut.

Bukti 3 (Kasus Tanda)

• Jika $a,b\geq0$: $|a+b|=a+b=|a|+|b|$.
• Jika $a,b<0$: $|a+b|=-(a+b)=|a|+|b|$.
• Jika $a\geq0>b$: bila $a+b\geq0$, maka $|a+b|=a+b<a\leq|a|+|b|$; bila $a+b<0$, maka $|a+b|=-a-b\leq-b\leq|a|+|b|$, karena $-a\leq0$.
• Kasus $a<0\leq b$ simetris.

Prasyarat: definisi per kasus dan urutan.

Perbandingan ketiga bukti:

• Bukti 1 paling ringkas dan memperlihatkan bahwa ketaksamaan segitiga hanyalah penjumlahan dua pengapit.
• Bukti 2 menunjukkan bahwa satu-satunya kehilangan informasi ada pada suku silang, $2ab\leq2|ab|$. Inilah pola yang berlanjut ke vektor dan ke Cauchy–Schwarz.
• Bukti 3 paling mendasar, tetapi paling panjang dan paling rawan kasus terlewat.

Interpretasi di Garis Bilangan

Proposisi 18.2.1 (Jalan Memutar Lewat Nol)

Untuk $a,b\in\mathbb{R}$: $|a+b|=d(a,-b)$ dan $|a|+|b|=d(a,0)+d(0,-b)$. Ketaksamaan segitiga menyatakan bahwa jarak langsung dari $a$ ke $-b$ tidak melebihi jarak memutar lewat $0$. Kesamaan terjadi tepat ketika $0$ terletak di antara $a$ dan $-b$, yaitu ketika $ab\geq0$.

Bukti. $d(a,-b)=|a-(-b)|=|a+b|$, $d(a,0)=|a|$, dan $d(0,-b)=|b|$. Menurut Proposisi 13.1.11, kesamaan terjadi tepat ketika $\min(a,-b)\leq0\leq\max(a,-b)$. Syarat itu berarti $a$ dan $-b$ tidak berada tegas di sisi yang sama dari $0$, yaitu $a\cdot(-b)\leq0$, yaitu $ab\geq0$. $\square$

Interpretasi di Bidang: Asal Nama "Segitiga"

Di bidang koordinat $\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$, panjang ruas garis antara $P=(p_1,p_2)$ dan $Q=(q_1,q_2)$ diukur dengan jarak Euklides

Akar ini terdefinisi karena radikannya taknegatif (Teorema 11.3.8). Untuk vektor $u=(u_1,u_2)$, tulis $\|u\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$ dan $u\cdot v=u_1v_1+u_2v_2$. Maka $d_2(P,Q)=\|P-Q\|$, dengan pengurangan komponen demi komponen.

Buku ini tidak membangun geometri bidang secara aksiomatik. Bidang di sini adalah $\mathbb{R}^2$ dengan rumus koordinat, sehingga setiap klaim di bawah adalah klaim aljabar tentang pasangan bilangan real.

Teorema 18.2.2 (Ketaksamaan Segitiga di Bidang)

Untuk $u,v\in\mathbb{R}^2$: $\|u+v\|\leq\|u\|+\|v\|$. Kesamaan berlaku jika dan hanya jika $v=(0,0)$, atau $u=\lambda v$ untuk suatu $\lambda\geq0$.

Bukti. Dengan $n=2$, Teorema 10.4.10 memberi $(u\cdot v)^2\leq\|u\|^2\|v\|^2$, sehingga $u\cdot v\leq|u\cdot v|\leq\|u\|\,\|v\|$ (Akibat 10.4.11). Maka

Kedua bilangan $\|u+v\|$ dan $\|u\|+\|v\|$ taknegatif, sehingga Korolari 10.2.6a memberi $\|u+v\|\leq\|u\|+\|v\|$.

Kesamaan berlaku jika dan hanya jika $u\cdot v=\|u\|\|v\|$. Bila $v=(0,0)$, kedua ruas nol dan kesamaan berlaku. Bila $v\ne(0,0)$, maka $u\cdot v=\|u\|\|v\|$ berarti $(u\cdot v)^2=\|u\|^2\|v\|^2$ dan $u\cdot v\geq0$. Menurut kriteria kesamaan Teorema 10.4.10(ii), kondisi pertama berarti $u=\lambda v$ dengan $\lambda=\tfrac{u\cdot v}{\|v\|^2}$, dan kondisi kedua membuat $\lambda\geq0$. Sebaliknya, bila $u=\lambda v$ dengan $\lambda\geq0$, maka $u\cdot v=\lambda\|v\|^2$ dan $\|u\|\|v\|=|\lambda|\|v\|^2=\lambda\|v\|^2$. Di sini $\|\lambda v\|=|\lambda|\|v\|$, karena $\sqrt{\lambda^2(v_1^2+v_2^2)}=|\lambda|\sqrt{v_1^2+v_2^2}$ (Teorema 9.3B.8.1 dan 17.3.1). $\square$

Akibat 18.2.3 (Sisi-Sisi Segitiga)

Untuk titik $A,B,C\in\mathbb{R}^2$:

Kesamaan berlaku tepat ketika $B$ terletak pada ruas garis dari $A$ ke $C$, yaitu $B=A+t(C-A)$ untuk suatu $t\in[0,1]$.

Bukti. Ambil $u=A-B$ dan $v=B-C$, sehingga $u+v=A-C$, lalu gunakan Teorema 18.2.2.

Kesamaan: bila $B=C$, maka $v=(0,0)$, dan $B$ adalah ujung ruas ($t=1$). Bila $B\ne C$, kesamaan berlaku jika dan hanya jika $A-B=\lambda(B-C)$ dengan $\lambda\geq0$. Selesaikan untuk $B$: $A+\lambda C=(1+\lambda)B$, sehingga $B=\tfrac1{1+\lambda}A+\tfrac\lambda{1+\lambda}C=A+t(C-A)$ dengan $t=\tfrac\lambda{1+\lambda}\in[0,1)$. Sebaliknya, setiap $t\in[0,1)$ berasal dari $\lambda=\tfrac t{1-t}\geq0$, dan $t=1$ adalah kasus $B=C$. $\square$

Inilah ketaksamaan tentang sisi segitiga: panjang satu sisi tidak melebihi jumlah dua sisi lainnya, dengan kesamaan hanya ketika "segitiganya" gepeng, yaitu ketiga titik segaris dengan $B$ di antara $A$ dan $C$. Di garis bilangan, $\mathbb{R}^1$, rumus $\|a\|=\sqrt{a^2}=|a|$ mengembalikan Teorema 18.1.1, dan syarat "$u=\lambda v$ dengan $\lambda\geq0$" menjadi syarat tanda yang sama, $ab\geq0$.

Latihan

Latihan 18.2-1. Tuliskan Bukti 2 secara lengkap, sebutkan setiap hasil yang dipakai, dan tentukan kasus kesamaannya dari bukti itu.

Latihan 18.2-2. Tuliskan Bukti 3 secara lengkap untuk kasus $a<0\leq b$.

Latihan 18.2-3. Buktikan Proposisi 18.2.1 dan periksa pada $a=5$ dan $b=-3$: hitung $d(5,3)$, $d(5,0)$, dan $d(0,3)$.

Latihan 18.2-4. Untuk $A=(0,0)$, $B=(3,0)$, dan $C=(3,4)$, hitung ketiga sisi segitiga dan periksa ketiga bentuk ketaksamaan segitiga.

Latihan 18.2-5. Buktikan ketaksamaan segitiga di $\mathbb{R}^n$ untuk sebarang $n\in\mathbb{N}_{+}$, dengan $\|u\|=\sqrt{\sum_{i=1}^nu_i^2}$, memakai Teorema 10.4.10.

Latihan 18.2-6. Untuk $A=(0,0)$, $B=(1,2)$, dan $C=(2,4)$, periksa bahwa kesamaan $d_2(A,C)=d_2(A,B)+d_2(B,C)$ berlaku, dan tentukan $t$ dengan $B=A+t(C-A)$.

Latihan 18.2-7. Tunjukkan bahwa $|a+b|^2\leq|a|^2+|b|^2$ tidak berlaku umum. Tentukan tepat untuk pasangan $(a,b)$ mana ketaksamaan itu berlaku.

Latihan 18.2-8. Dari ketaksamaan segitiga, turunkan $|a+b|\geq|a|-|b|$ dan $|a+b|\geq|b|-|a|$. Simpulkan $|a+b|\geq\bigl||a|-|b|\bigr|$.

Solusi

Solusi 18.2-1. Lihat Bukti 2. Hasil yang dipakai: Proposisi 10.2.7a(iii), Lemma 13.1.1 ($ab\leq|ab|$), Proposisi 10.2.7b, dan Teorema 17.3.3. Kesamaan $|a+b|=|a|+|b|$ setara dengan kesamaan kuadrat (Teorema 17.3.3), yaitu dengan $2ab=2|ab|$, yaitu $ab\geq0$ (Proposisi 17.1.2). $\square$

Solusi 18.2-2. $a<0\leq b$ memberi $|a|=-a$ dan $|b|=b$. Bila $a+b\geq0$: $|a+b|=a+b<b\leq|a|+|b|$, karena $a<0$. Bila $a+b<0$: $|a+b|=-a-b\leq-a\leq|a|+|b|$, karena $-b\leq0$. $\square$

Solusi 18.2-3. Bukti: Proposisi 18.2.1. Untuk $a=5$, $b=-3$, dan $-b=3$: $d(5,3)=2$, $d(5,0)=5$, dan $d(0,3)=3$. Jadi $2\leq8$. Titik $0$ tidak terletak di antara $5$ dan $3$, sehingga kesamaan gagal, sesuai $ab=-15<0$. $\square$

Solusi 18.2-4. $d_2(A,B)=\sqrt9=3$, $d_2(B,C)=\sqrt{16}=4$, dan $d_2(A,C)=\sqrt{25}=5$. Ketiga bentuk: $5\leq3+4$, $3\leq4+5$, dan $4\leq3+5$. Semuanya tegas, karena ketiga titik tidak segaris. $\square$

Solusi 18.2-5. Sama dengan bukti Teorema 18.2.2, dengan $u\cdot v=\sum u_iv_i$: $\|u+v\|^2=\|u\|^2+2u\cdot v+\|v\|^2\leq(\|u\|+\|v\|)^2$, memakai Teorema 10.4.10 untuk $n$ suku, lalu Korolari 10.2.6a. $\square$

Solusi 18.2-6. $d_2(A,B)=\sqrt5$, $d_2(B,C)=\sqrt{1+4}=\sqrt5$, dan $d_2(A,C)=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt5$. Langkah terakhir: $(2\sqrt5)^2=20$ dan $2\sqrt5\geq0$, sehingga ketunggalan akar memberi kesamaan. Jadi $2\sqrt5=\sqrt5+\sqrt5$. Juga $B=(1,2)=A+\tfrac12(C-A)$, dengan $t=\tfrac12$. $\square$

Solusi 18.2-7. $|a+b|^2=a^2+2ab+b^2\leq a^2+b^2\iff ab\leq0$. Untuk $a=b=1$: $4\not\leq2$. Jadi ketaksamaan itu berlaku tepat ketika $a$ dan $b$ tidak bertanda sama secara tegas. $\square$

Solusi 18.2-8. $|a|=|(a+b)+(-b)|\leq|a+b|+|b|$, sehingga $|a+b|\geq|a|-|b|$. Dengan peran ditukar, $|a+b|\geq|b|-|a|$. Karena $|a+b|$ lebih besar atau sama dengan kedua bilangan $\pm(|a|-|b|)$, Proposisi 17.1.2 memberi $|a+b|\geq\max\bigl(|a|-|b|,\,-(|a|-|b|)\bigr)=\bigl||a|-|b|\bigr|$. $\square$

Ringkasan

Tiga bukti analitis ketaksamaan segitiga di $\mathbb{R}$ (urutan, kuadrat, kasus tanda) berlaku di setiap lapangan terurut. Bukti kuadrat menunjukkan bahwa satu-satunya kehilangan ada pada suku silang. Di garis bilangan, teorema itu menyatakan bahwa jalan memutar lewat nol tidak lebih pendek. Di bidang $\mathbb{R}^2$, lewat Cauchy–Schwarz, teorema itu menjadi sifat sisi segitiga, dengan kesamaan tepat ketika ketiga titik segaris dan titik tengahnya berada di antara. Unit 18.3 membahas versi terbalik, yang memberi batas bawah.

18.3 Ketidaksamaan Segitiga Terbalik (Reverse Triangle Inequality)

Ketaksamaan segitiga memberi batas atas: besar jumlah tidak melebihi jumlah besar. Banyak argumen analisis justru memerlukan batas bawah. Misalnya, sebelum membagi dengan $x$ kita perlu tahu bahwa $x$ tidak terlalu dekat dengan nol, dan sebelum memakai $\tfrac1x$ kita memerlukan batas atas bagi $\tfrac1{|x|}$, yaitu batas bawah bagi $|x|$. Ketaksamaan segitiga terbalik

adalah alat utamanya. Ketaksamaan ini sudah dibuktikan sebagai Korolari 13.1.6, dan kriteria kesamaannya pada Latihan 13.1-4. Unit ini menghimpun bentuk-bentuknya, menafsirkannya sebagai "nilai mutlak tidak memperbesar jarak", dan memakainya untuk menjauhkan suatu besaran dari nol.

Contoh master: $\bigl||5|-|-3|\bigr|=|5-3|=2$ dan $|5-(-3)|=|8|=8$, sehingga $2\leq8$. Ketaksamaannya tegas karena $5$ dan $-3$ berlawanan tanda.

Prasyarat: Unit 18.1–18.2; Korolari 13.1.6; Bab 17; Lemma 13.1.2.

Pernyataan dan Varian

Teorema 18.3.1 (Segitiga Terbalik; Korolari 13.1.6)

Untuk semua $a,b\in\mathbb{R}$:

dengan kesamaan jika dan hanya jika $ab\geq0$.

Bukti. Ketaksamaan: $|a|\leq|a-b|+|b|$ dan $|b|\leq|a-b|+|a|$ (Akibat 18.1.2(c)), sehingga $-|a-b|\leq|a|-|b|\leq|a-b|$. Lalu gunakan Lemma 13.1.2(a).

Kesamaan: Solusi 13.1-4(c). Jika $ab\geq0$, $|a|-|b|$ sama dengan $a-b$ atau $-(a-b)$. Jika $ab<0$, misalnya $a>0>b$, maka $|a-b|=|a|+|b|$, sedangkan $\bigl||a|-|b|\bigr|$ adalah selisih dua bilangan positif, sehingga lebih kecil tegas dari jumlahnya. $\square$

Akibat 18.3.2 (Bentuk-Bentuk Batas Bawah)

Untuk $a,b\in\mathbb{R}$:

(a) $\bigl||a|-|b|\bigr|\leq|a+b|$, dengan kesamaan jika dan hanya jika $ab\leq0$;

(b) $|a+b|\geq|a|-|b|$ dan $|a-b|\geq|a|-|b|$;

(c) untuk $k\geq2$ dan $a_1,\ldots,a_k$: $\bigl|\sum_{i=1}^ka_i\bigr|\geq|a_1|-\sum_{i=2}^k|a_i|$.

Bukti. (a) Teorema 18.3.1 dengan $b$ diganti $-b$.

(b) $|a|-|b|\leq\bigl||a|-|b|\bigr|$ (Proposisi 17.1.2), lalu gunakan (a) untuk $|a+b|$ dan Teorema 18.3.1 untuk $|a-b|$.

(c) $|a_1|=\bigl|\sum_ia_i-\sum_{i\geq2}a_i\bigr|\leq\bigl|\sum_ia_i\bigr|+\sum_{i\geq2}|a_i|$ (Teorema 18.1.3). Pindahkan suku. $\square$

Bentuk (c) menyatakan bahwa satu suku yang dominan tidak dapat dihapus oleh suku-suku kecil. Bila $|a_1|$ lebih besar daripada jumlah besar suku lainnya, jumlah keseluruhan tidak mungkin nol.

Nilai Mutlak Tidak Memperbesar Jarak

Proposisi 18.3.3

Untuk $x,y\in\mathbb{R}$: $d(|x|,|y|)\leq d(x,y)$. Dengan kata lain, fungsi $x\mapsto|x|$ adalah fungsi Lipschitz dengan konstanta $1$.

Bukti. Teorema 18.3.1, dengan $d(u,v)=|u-v|$. $\square$

Akibatnya, jika $x$ dekat $y$ dalam jarak kurang dari $\delta$, maka $|x|$ dekat $|y|$ dalam jarak kurang dari $\delta$. Kebalikannya salah: $|1|=|-1|$, tetapi $d(1,-1)=2$. Fungsi $|\cdot|$ dapat mengecilkan jarak, tetapi tidak pernah memperbesarnya.

Menjauhkan dari Nol

Teorema 18.3.4 (Batas Bawah di Sekitar Titik Tak Nol)

Misalkan $a\ne0$ dan $x\in\mathbb{R}$ dengan $|x-a|\leq\tfrac{|a|}2$. Maka:

(a) $|x|\geq\tfrac{|a|}2>0$, khususnya $x\ne0$;

(b) $\tfrac1{|x|}\leq\tfrac2{|a|}$;

(c) $x$ bertanda sama dengan $a$.

Bukti. (a) Akibat 18.3.2(b) dengan $x=a+(x-a)$: $|x|\geq|a|-|x-a|\geq|a|-\tfrac{|a|}2=\tfrac{|a|}2$.

(b) Dari (a) dan Teorema 10.2.4(i), karena $0<\tfrac{|a|}2\leq|x|$.

(c) Untuk $a>0$, $|x-a|\leq\tfrac a2$ memberi $x\geq a-\tfrac a2=\tfrac a2>0$ (Lemma 13.1.2). Untuk $a<0$, $x\leq a+\tfrac{|a|}2=\tfrac a2<0$. $\square$

Konstanta $\tfrac12$ hanya contoh. Untuk setiap $\theta$ dengan $0<\theta<1$, syarat $|x-a|\leq\theta|a|$ memberi $|x|\geq(1-\theta)|a|>0$. Untuk $\theta=1$, kesimpulannya gagal: $x=0$ memenuhi $|0-a|=|a|$.

Contoh 18.3.5 (Estimasi Kebalikan)

Untuk $a\ne0$ dan $|x-a|\leq\tfrac{|a|}2$:

Ini memakai Teorema 17.4.2 dan Teorema 18.3.4(b). Contoh 17.4.6 adalah kasus $a=2$ dengan syarat yang lebih kuat, $|x-2|<1$; batas yang diperoleh di sana, $\tfrac12|x-2|$, sama dengan $\tfrac2{|a|^2}|x-a|$ untuk $a=2$.

Latihan

Latihan 18.3-1. Periksa Teorema 18.3.1 untuk $(a,b)=(5,-3)$, $(5,3)$, $(-5,-3)$. Tentukan kasus kesamaan.

Latihan 18.3-2. Buktikan Akibat 18.3.2(a) beserta kriteria kesamaannya.

Latihan 18.3-3. Buktikan bahwa jika $|a_1|>\sum_{i=2}^k|a_i|$, maka $\sum_{i=1}^ka_i\ne0$. Terapkan untuk menunjukkan bahwa $x^3+x+10\ne0$ bila $|x|\geq3$.

Latihan 18.3-4. Buktikan Proposisi 18.3.3 dan tunjukkan bahwa kebalikannya, $d(x,y)\leq d(|x|,|y|)$, gagal.

Latihan 18.3-5. Misalkan $|x-4|\leq2$. Buktikan $|x|\geq2$, $\tfrac1{|x|}\leq\tfrac12$, dan $\bigl|\tfrac1x-\tfrac14\bigr|\leq\tfrac18|x-4|$.

Latihan 18.3-6. Tunjukkan bahwa Teorema 18.3.4 gagal bila syaratnya diganti $|x-a|\leq|a|$.

Latihan 18.3-7. Dengan rumus $\max(a,b)=\tfrac{a+b+|a-b|}2$ dan Teorema 18.3.1, buktikan $\bigl|\max(a,b)-\max(a',b')\bigr|\leq|a-a'|+|b-b'|$. Bandingkan dengan Proposisi 18.1.5, dan tunjukkan dengan contoh bahwa batas ini dapat lebih besar daripada $\max(|a-a'|,|b-b'|)$.

Latihan 18.3-8. Buktikan bahwa untuk $x,y\in\mathbb{R}$, $\bigl||x-1|-|y-1|\bigr|\leq|x-y|$.

Solusi

Solusi 18.3-1. $(5,-3)$: $2\leq8$, tegas. $(5,3)$: $2\leq2$, kesamaan, karena $15\geq0$. $(-5,-3)$: $|5-3|=2$ dan $|-5+3|=2$, kesamaan. $\square$

Solusi 18.3-2. Ganti $b$ dengan $-b$ dalam Teorema 18.3.1: $\bigl||a|-|-b|\bigr|\leq|a+b|$, dengan $|-b|=|b|$. Kesamaan terjadi jika dan hanya jika $a(-b)\geq0$, yaitu $ab\leq0$. $\square$

Solusi 18.3-3. Akibat 18.3.2(c): $|\sum a_i|\geq|a_1|-\sum_{i\geq2}|a_i|>0$.

Untuk $x^3+x+10$ dengan $|x|\geq3$: ambil $a_1=x^3$, $a_2=x$, dan $a_3=10$. Maka $|x^3|=|x|^3\geq9|x|$, karena $|x|^2\geq9$. Juga $|x|+10\leq|x|+\tfrac{10}3|x|=\tfrac{13}3|x|$, karena $1\leq\tfrac{|x|}3$. Karena $9>\tfrac{13}3$ dan $|x|>0$, berlaku $|x^3|>|x|+10$, dan polinomialnya tak nol. $\square$

Solusi 18.3-4. Proposisi 18.3.3 adalah Teorema 18.3.1 dalam bahasa jarak. Kebalikannya gagal: $x=1$ dan $y=-1$ memberi $d(x,y)=2$ dan $d(|x|,|y|)=0$. $\square$

Solusi 18.3-5. Teorema 18.3.4 dengan $a=4$, karena $\tfrac{|a|}2=2$: $|x|\geq2$ dan $\tfrac1{|x|}\leq\tfrac12$. Contoh 18.3.5 memberi $\bigl|\tfrac1x-\tfrac14\bigr|\leq\tfrac2{16}|x-4|=\tfrac18|x-4|$. $\square$

Solusi 18.3-6. Dengan $x=0$: $|0-a|=|a|\leq|a|$, tetapi $|x|=0<\tfrac{|a|}2$, dan $\tfrac1{|x|}$ tidak terdefinisi. $\square$

Solusi 18.3-7. $\max(a,b)-\max(a',b')=\tfrac12\bigl[(a-a')+(b-b')+(|a-b|-|a'-b'|)\bigr]$. Teorema 18.3.1 memberi $\bigl||a-b|-|a'-b'|\bigr|\leq|(a-b)-(a'-b')|\leq|a-a'|+|b-b'|$. Dengan segitiga, nilai mutlak ruas kanan paling banyak $\tfrac12\bigl[2|a-a'|+2|b-b'|\bigr]=|a-a'|+|b-b'|$.

Perbandingan: $\max(u,v)\leq u+v$ untuk $u,v\geq0$, sehingga Proposisi 18.1.5 memberi batas yang tidak lebih buruk. Contoh: $(a,b)=(0,0)$ dan $(a',b')=(1,1)$. Selisih maksimumnya $1$, Proposisi 18.1.5 memberi batas $1$ (tajam), dan rumus di sini memberi $2$. $\square$