Bab 17: Teori Nilai Mutlak (Absolute Value) Komprehensif

17.1 Definisi Aljabar dan Geometris Nilai Mutlak

Nilai mutlak sudah dipakai sejak Bab 10, dan sifat-sifat dasarnya tersebar di beberapa bab: definisi dan sifat aljabar pertama pada Bab 10, akar dari kuadrat pada Bab 9 dan 12, serta ketaksamaan segitiga dan metrik pada Bab 13. Bab 17 menghimpun teori itu menjadi satu, melengkapi celahnya, dan menyiapkannya untuk Bab 18–19. Untuk menghindari pengulangan, hasil yang sudah dibuktikan dirujuk dengan nomornya dan tidak dibuktikan ulang. Bukti baru hanya diberikan untuk hasil yang belum ada.

Unit ini membahas dua cara memandang $|x|$: secara aljabar sebagai fungsi yang didefinisikan per kasus, dan secara geometris sebagai jarak ke titik nol. Contoh master, $|-5|=-(-5)=5$, adalah penerapan langsung definisi aljabar.

Definisi Aljabar

Definisi 17.1.1 (Nilai Mutlak; Definisi 10.2.7)

Untuk $x\in\mathbb{R}$,

$$|x|=\begin{cases}x,&\text{jika }x\geq0,\\-x,&\text{jika }x<0.\end{cases}$$

Kedua kasus saling eksklusif dan mencakup semua $x$ (trikotomi), sehingga $|x|$ terdefinisi tunggal untuk setiap bilangan real. Definisi yang sama berlaku di setiap lapangan terurut, misalnya $\mathbb{Q}$, karena hanya memakai urutan dan negasi.

Contoh master: $-5<0$, sehingga kasus kedua berlaku dan $|-5|=-(-5)=5$. Untuk $x=3$, $|3|=3$. Untuk $x=0$, kasus pertama memberi $|0|=0$.

Kesalahan baca yang umum adalah mengira "$|x|=-x$" berarti $|x|$ negatif. Pada kasus kedua, $x$ sendiri negatif, sehingga $-x$ positif. Simbol $-x$ berarti lawan dari $x$, bukan bilangan negatif.

Daftar Hasil yang Sudah Terbukti

Hasil berikut dipakai bebas dalam Bab 17–19.

Karakterisasi Lain

Proposisi 17.1.2 (Nilai Mutlak sebagai Maksimum)

Untuk setiap $x\in\mathbb{R}$, $|x|=\max(x,-x)$. Secara khusus $x\leq|x|$ dan $-x\leq|x|$. Lebih lanjut, $|x|=x\iff x\geq0$, dan $|x|=-x\iff x\leq0$.

Bukti. Jika $x\geq0$, maka $-x\leq0\leq x$, sehingga $\max(x,-x)=x=|x|$. Jika $x<0$, maka $x<0<-x$, sehingga $\max(x,-x)=-x=|x|$.

Untuk kalimat terakhir: jika $|x|=x$, maka $x=|x|\geq0$. Sebaliknya, untuk $x\geq0$ definisinya memberi $|x|=x$. Jika $|x|=-x$, maka $-x\geq0$, yaitu $x\leq0$. Sebaliknya, untuk $x<0$ definisinya memberi $|x|=-x$, dan untuk $x=0$, $|0|=0=-0$. $\square$

Karakterisasi ini sering lebih praktis daripada definisi per kasus. Sebuah bilangan $M$ adalah batas atas $|x|$ jika dan hanya jika $M\geq x$ dan $M\geq-x$. Ini isi Lemma 13.1.2 dalam bentuk lain.

Proposisi 17.1.3 (Nilai Mutlak Sama)

Untuk $x,y\in\mathbb{R}$: $|x|=|y|\iff x=y\vee x=-y$.

Bukti. ($\Leftarrow$) Jika $x=y$, jelas. Jika $x=-y$, maka $|x|=|-y|=|y|$ (Proposisi 10.2.7a(iv)).

($\Rightarrow$) $|x|=|y|$ memberi $x^2=|x|^2=|y|^2=y^2$, sehingga $(x-y)(x+y)=x^2-y^2=0$. Karena tidak ada pembagi nol, $x=y$ atau $x=-y$. $\square$

Definisi Geometris

Proposisi 17.1.4 (Nilai Mutlak sebagai Jarak)

Untuk $x,a\in\mathbb{R}$, $|x|=d(x,0)$ dan $|x-a|=d(x,a)$, dengan $d$ metrik standar (Teorema 13.1.8). Jadi $|x|$ adalah jarak $x$ ke titik nol pada garis bilangan, dan $|x-a|$ adalah jarak antara $x$ dan $a$.

Bukti. $d(x,a)=|x-a|$ menurut definisi, dan $d(x,0)=|x-0|=|x|$. $\square$

Dari sudut pandang ini, sifat-sifat aljabar mempunyai makna langsung:

• $|x|\geq0$: jarak tak pernah negatif;
• $|x|=0\iff x=0$: hanya titik nol berjarak nol dari nol;
• $|-x|=|x|$: titik $x$ dan $-x$ berjarak sama dari nol karena simetri terhadap nol;
• $|x-a|=|a-x|$: jarak dari $x$ ke $a$ sama dengan jarak dari $a$ ke $x$.

Gambar garis bilangan membantu intuisi, tetapi semua klaim di atas dibuktikan dari definisi aljabar dan aksioma urutan, bukan dari gambar.

Proposisi 17.1.5 (Titik pada Jarak Tertentu)

Misalkan $a,r\in\mathbb{R}$. Himpunan penyelesaian $|x-a|=r$ adalah:

• $\emptyset$ bila $r<0$;
• $\{a\}$ bila $r=0$;
• $\{a-r,a+r\}$ bila $r>0$.

Bukti. Bila $r<0$, ruas kiri tak negatif dan ruas kanan negatif, sehingga mustahil. Bila $r\geq0$, Proposisi 17.1.3 dengan $|x-a|=|r|$ (karena $r=|r|$) memberi $x-a=r$ atau $x-a=-r$. Untuk $r=0$, kedua kemungkinan berimpit. $\square$

Secara geometris: titik-titik yang berjarak tepat $r>0$ dari $a$ adalah dua titik, satu di kiri dan satu di kanan $a$.

Persamaan Bernilai Mutlak

Teorema 17.1.6 (Bentuk Baku Persamaan)

Untuk bilangan real $A$ dan $B$:

(a) $|A|=B\iff B\geq0\wedge(A=B\vee A=-B)$;

(b) $|A|=|B|\iff A=B\vee A=-B$.

Bukti. (a) ($\Rightarrow$) $B=|A|\geq0$, dan $|A|=|B|$ karena $B\geq0$, sehingga Proposisi 17.1.3 memberi $A=\pm B$. ($\Leftarrow$) $B\geq0$ memberi $|B|=B$. Jika $A=\pm B$, maka $|A|=|B|=B$.

(b) Proposisi 17.1.3. $\square$

Syarat $B\geq0$ pada (a) adalah syarat yang paling sering dilupakan. Tanpa syarat itu, solusi palsu muncul (Contoh 17.1.7).

Contoh 17.1.7 (Persamaan dengan Ruas Kanan Bervariabel)

Selesaikan $|2x-1|=x+1$.

Penyelesaian. Teorema 17.1.6(a) memberi syarat $x+1\geq0$, ditambah $2x-1=x+1$ atau $2x-1=-(x+1)$.

• Kemungkinan pertama: $x=2$, dan $2+1\geq0$ terpenuhi.
• Kemungkinan kedua: $3x=0$, yaitu $x=0$, dan $0+1\geq0$ terpenuhi.

$\operatorname{HP}=\{0,2\}$. Pemeriksaan: $|-1|=1=0+1$ dan $|3|=3=2+1$. $\square$

Bandingkan dengan $|2x-1|=x-3$. Kemungkinannya $x=-2$ dan $x=\tfrac43$. Syarat $x-3\geq0$ gagal untuk keduanya, sehingga $\operatorname{HP}=\emptyset$. Tanpa syarat itu, $x=-2$ akan diterima, padahal $|-5|=5\ne-5$.

Contoh 17.1.8 (Dua Nilai Mutlak dan Titik Tengah)

Selesaikan $|x-1|=|x+3|$.

Penyelesaian. Teorema 17.1.6(b): $x-1=x+3$, yang mustahil ($-1=3$), atau $x-1=-(x+3)$, yaitu $2x=-2$, yaitu $x=-1$. $\operatorname{HP}=\{-1\}$.

Secara geometris, persamaan itu menanyakan titik yang berjarak sama ke $1$ dan ke $-3$, yaitu titik tengahnya $\tfrac{1+(-3)}2=-1$. $\square$

Latihan

Latihan 17.1-1. Hitung dengan definisi, dan sebutkan kasus yang dipakai: (a) $|-5|$, (b) $|3-7|$, (c) $|\sqrt2-2|$, (d) $|-\tfrac34|\cdot|8|$.

Latihan 17.1-2. Buktikan $|x|=\max(x,-x)$, lalu gunakan untuk membuktikan bahwa $|x|\leq M$ jika dan hanya jika $x\leq M$ dan $-x\leq M$.

Latihan 17.1-3. Buktikan $|x|=|y|\iff x=\pm y$ tanpa memakai kuadrat, yaitu dengan pemisahan kasus tanda.

Latihan 17.1-4. Selesaikan dan jelaskan secara geometris: (a) $|x-3|=5$, (b) $|x+2|=0$, (c) $|x|=-1$.

Latihan 17.1-5. Selesaikan $|2x-1|=x+1$ dan $|2x-1|=x-3$.

Latihan 17.1-6. Selesaikan $|x-1|=|x+3|$ secara aljabar dan secara geometris. Selesaikan juga $|x-a|=|x-b|$ untuk $a\ne b$.

Latihan 17.1-7. Selesaikan $|x^2-4|=3x$.

Latihan 17.1-8. Dengan Lemma 13.1.2, buktikan bahwa untuk $c\in\mathbb{R}$ dan $r>0$: $|x-c|<r\iff x\in(c-r,c+r)$, dan $|x-c|\leq r\iff x\in[c-r,c+r]$. Jelaskan makna geometrisnya.

Solusi

Solusi 17.1-1.

(a) $-5<0$, sehingga $|-5|=5$.

(b) $3-7=-4<0$, sehingga $|-4|=4$.

(c) $\sqrt2<2$, karena $(\sqrt2)^2=2<4=2^2$ dan kedua bilangan positif (Korolari 10.2.6b). Jadi $\sqrt2-2<0$, dan $|\sqrt2-2|=2-\sqrt2$.

(d) $|-\tfrac34|=\tfrac34$ dan $|8|=8$, sehingga hasil kalinya $6$. Ini sama dengan $|-\tfrac34\cdot8|=|-6|=6$ (Proposisi 10.2.7b). $\square$

Solusi 17.1-2. Proposisi 17.1.2. Lalu $|x|\leq M\iff\max(x,-x)\leq M\iff x\leq M\wedge-x\leq M$. Maksimum dua bilangan paling besar $M$ tepat ketika keduanya paling besar $M$, karena maksimum adalah salah satu dari keduanya dan keduanya tidak melebihi maksimum. $\square$

Solusi 17.1-3. ($\Leftarrow$) Seperti Proposisi 17.1.3. ($\Rightarrow$) Kasus tanda:

• $x,y\geq0$: $|x|=x$ dan $|y|=y$, sehingga $x=y$;
• $x\geq0>y$: $x=|x|=|y|=-y$;
• $x<0\leq y$: $-x=y$, sehingga $x=-y$;
• $x,y<0$: $-x=-y$, sehingga $x=y$.

Dalam setiap kasus $x=y$ atau $x=-y$. $\square$

Solusi 17.1-4. (a) Proposisi 17.1.5 dengan $a=3$ dan $r=5$: $\{-2,8\}$, yaitu dua titik berjarak $5$ dari $3$. (b) $r=0$: $\{-2\}$, karena hanya $-2$ yang berjarak $0$ dari $-2$. (c) $r<0$: $\emptyset$, karena jarak tak pernah negatif. $\square$

Solusi 17.1-5. Contoh 17.1.7 dan catatan sesudahnya: $\{0,2\}$ dan $\emptyset$. $\square$

Solusi 17.1-6. Bagian pertama: Contoh 17.1.8, $\{-1\}$. Umum: $x-a=x-b$ mustahil karena $a\ne b$; $x-a=-(x-b)$ memberi $x=\tfrac{a+b}2$. Jadi himpunan penyelesaiannya titik tengah $\{\tfrac{a+b}2\}$, yaitu satu-satunya titik yang berjarak sama ke $a$ dan $b$. $\square$

Solusi 17.1-7. Teorema 17.1.6(a): $3x\geq0$, yaitu $x\geq0$, dan $x^2-4=\pm3x$.

• $x^2-3x-4=0\iff(x-4)(x+1)=0\iff x\in\{4,-1\}$. Syarat $x\geq0$ menyisakan $4$.
• $x^2+3x-4=0\iff(x+4)(x-1)=0\iff x\in\{-4,1\}$. Syarat menyisakan $1$.

$\operatorname{HP}=\{1,4\}$. Pemeriksaan: $|1-4|=3=3\cdot1$ dan $|16-4|=12=3\cdot4$. Calon $-1$ dan $-4$ adalah solusi palsu: misalnya $|1-4|=3\ne-3$. $\square$

Solusi 17.1-8. Lemma 13.1.2(b) dengan $t=x-c$: $|x-c|<r\iff-r<x-c<r\iff c-r<x<c+r$. Versi $\leq$ dengan Lemma 13.1.2(a). Secara geometris, ini adalah himpunan titik yang berjarak kurang dari (paling banyak) $r$ dari $c$, yaitu bola terbuka $B(c,r)$ (bola tertutup $B[c,r]$) pada Unit 13.2. $\square$

Ringkasan

Nilai mutlak didefinisikan secara aljabar per kasus, dan secara geometris sebagai jarak ke nol. Kedua pandangan setara (Proposisi 17.1.4). Karakterisasi sebagai maksimum $\max(x,-x)$ dan kriteria kesamaan $|x|=|y|\iff x=\pm y$ melengkapi daftar sifat yang telah terbukti. Persamaan bernilai mutlak diselesaikan dengan bentuk baku. Syarat ruas kanan taknegatif wajib, dan melupakannya menghasilkan solusi palsu. Unit 17.2 memandang $x\mapsto|x|$ sebagai fungsi sepotong-sepotong dan mempelajari simetrinya.

17.2 Fungsi Piecewise dan Sifat Simetri Nilai Mutlak

Definisi nilai mutlak memakai dua rumus, $x$ dan $-x$, masing-masing pada bagian domainnya. Unit ini menjadikan pola itu objek kajian: fungsi sepotong-sepotong (piecewise). Kita menentukan kapan definisi semacam itu sah sebagai fungsi, bagaimana menulis ekspresi bernilai mutlak sebagai fungsi sepotong-sepotong, dan sifat simetri apa yang dimiliki $x\mapsto|x|$ beserta kerabatnya. Rumus maksimum dan minimum lewat nilai mutlak, serta bagian positif dan negatif suatu bilangan, ditambahkan sebagai alat yang dipakai di Bab 18–19.

Prasyarat: fungsi sebagai himpunan pasangan (Bab 5); Unit 17.1; Proposisi 10.2.7a; trikotomi.

Fungsi Sepotong-sepotong

Definisi 17.2.1 (Definisi Sepotong-sepotong)

Misalkan $D_1,\ldots,D_k\subseteq\mathbb{R}$ dengan $k\geq1$, dan $f_i:D_i\to\mathbb{R}$ untuk $i=1,\ldots,k$. Rumus

$$f(x)=f_i(x)\quad\text{bila }x\in D_i$$

disebut definisi sepotong-sepotong pada $D=D_1\cup\cdots\cup D_k$. Definisi itu sah (well-defined) jika $f_i(x)=f_j(x)$ untuk setiap $x\in D_i\cap D_j$ dan setiap pasangan $i,j$.

Proposisi 17.2.2 (Keabsahan sebagai Fungsi)

Definisi sepotong-sepotong menentukan fungsi $f:D\to\mathbb{R}$ jika dan hanya jika ia sah. Dalam kasus itu, grafik $f$ adalah gabungan grafik semua $f_i$.

Bukti. Tulis $G=\bigcup_iG_i$, dengan $G_i=\{(x,f_i(x)):x\in D_i\}$. Menurut Bab 5, $G$ adalah grafik fungsi pada $D$ jika setiap $x\in D$ muncul sebagai komponen pertama dari tepat satu pasangan di $G$. Setiap $x\in D$ termasuk suatu $D_i$, sehingga muncul paling sedikit sekali. Dua pasangan $(x,f_i(x))$ dan $(x,f_j(x))$ berimpit jika dan hanya jika $f_i(x)=f_j(x)$. Jadi "paling banyak sekali" setara dengan kesepakatan pada irisan. $\square$

Bila potongan-potongannya saling lepas, misalnya $x\geq0$ dan $x<0$ pada definisi nilai mutlak, syarat keabsahan berlaku secara hampa. Bila potongan bertemu di titik batas, misalnya $x\leq1$ dan $x\geq1$, rumus-rumusnya harus sepakat di titik itu.

Contoh 17.2.3 (Keabsahan)

$f(x)=x^2$ untuk $x\leq1$ dan $f(x)=2x-1$ untuk $x\geq1$ sah, karena di $x=1$ kedua rumus memberi $1$. Sebaliknya, $g(x)=x$ untuk $x\leq0$ dan $g(x)=x+1$ untuk $x\geq0$ tidak sah, karena di $0$ rumusnya memberi $0$ dan $1$.

Ekspresi Bernilai Mutlak sebagai Fungsi Sepotong-sepotong

Proposisi 17.2.4 (Nilai Mutlak Fungsi Linear)

Untuk $m\ne0$ dan $c\in\mathbb{R}$, dengan $x_0=-\tfrac cm$:

$$|mx+c|=\begin{cases}mx+c,&\text{bila }mx+c\geq0,\\-(mx+c),&\text{bila }mx+c<0.\end{cases}$$

Untuk $m>0$, kasus pertama adalah $x\geq x_0$; untuk $m<0$, kasus pertama adalah $x\leq x_0$.

Bukti. Definisi nilai mutlak dengan $t=mx+c$, dan Proposisi 15.2.6 untuk memecahkan $mx+c\geq0$. $\square$

Titik $x_0$, pembuat nol ekspresi di dalam nilai mutlak, adalah titik patah. Pada setiap sisinya, $|mx+c|$ adalah fungsi linear, dan grafiknya berbentuk huruf V dengan puncak di $(x_0,0)$.

Contoh 17.2.5 (Jumlah Dua Nilai Mutlak)

Untuk $h(x)=|x-1|+|x-3|$:

$$h(x)=\begin{cases}4-2x,&x<1,\\2,&1\leq x\leq3,\\2x-4,&x>3.\end{cases}$$

Bukti. Titik patah $1$ dan $3$ membagi garis menjadi tiga bagian.

• Untuk $x<1$: $x-1<0$ dan $x-3<0$, sehingga $h(x)=(1-x)+(3-x)=4-2x$.
• Untuk $1\leq x\leq3$: $x-1\geq0$ dan $x-3\leq0$, sehingga $h(x)=(x-1)+(3-x)=2$.
• Untuk $x>3$: $h(x)=(x-1)+(x-3)=2x-4$.

Di $x=1$, rumus pertama (dari kiri) memberi $2$, sama dengan nilai tengah. Di $x=3$, rumus ketiga memberi $2$. Jadi grafiknya tidak "melompat" di titik patah. $\square$

Akibat: $h(x)\geq2$ untuk semua $x$, dengan kesamaan tepat pada $[1,3]$. Untuk $x<1$, $4-2x>2$ karena $x<1$. Untuk $x>3$, $2x-4>2$. Secara geometris, $h(x)$ adalah jumlah jarak $x$ ke $1$ dan ke $3$. Jumlah itu paling kecil, yaitu sama dengan jarak $1$ ke $3$, tepat ketika $x$ di antara keduanya. Ini Proposisi 13.1.11. Bab 19.2 memakai pola tiga wilayah ini untuk pertaksamaan.

Simetri

Definisi 17.2.6 (Fungsi Genap dan Simetri terhadap Titik)

Fungsi $f$ dengan domain $D$ yang simetris ($x\in D\Rightarrow-x\in D$) disebut genap jika $f(-x)=f(x)$ untuk semua $x\in D$. Lebih umum, $f$ simetris terhadap garis $x=a$ jika $f(a+h)=f(a-h)$ untuk semua $h$ yang membuat kedua ruas terdefinisi.

Proposisi 17.2.7 (Simetri Nilai Mutlak)

(a) $x\mapsto|x|$ genap.

(b) Untuk setiap $a$, $x\mapsto|x-a|$ simetris terhadap $x=a$.

(c) Untuk setiap fungsi $g$ yang domainnya memuat $[0,\infty)$, fungsi $x\mapsto g(|x|)$ genap.

(d) Fungsi $h(x)=|x-1|+|x-3|$ simetris terhadap $x=2$.

Bukti. (a) Proposisi 10.2.7a(iv). (b) $|(a+h)-a|=|h|=|-h|=|(a-h)-a|$. (c) $g(|-x|)=g(|x|)$ menurut (a). (d) $h(2+t)=|1+t|+|t-1|$ dan $h(2-t)=|1-t|+|-1-t|=|t-1|+|t+1|$, sama. $\square$

Secara geometris, grafik fungsi genap simetris terhadap sumbu tegak: mencerminkan titik $(x,y)$ menjadi $(-x,y)$ mempertahankan grafik.

Proposisi 17.2.8 (Monotonisitas)

$x\mapsto|x|$ turun tegas pada $(-\infty,0]$ dan naik tegas pada $[0,\infty)$. Nilai minimumnya $0$, yang dicapai hanya di $x=0$.

Bukti. Pada $[0,\infty)$, $|x|=x$, sehingga naik tegas. Pada $(-\infty,0]$, $|x|=-x$; untuk $u<v\leq0$, $-u>-v$, sehingga turun tegas. Minimum: $|x|\geq0=|0|$, dan $|x|=0\iff x=0$. $\square$

Akibatnya, $|x|$ tidak monoton pada interval yang memuat titik dari kedua sisi $0$, misalnya $[-1,1]$. Karena itu, menerapkan $|\cdot|$ pada kedua ruas suatu pertaksamaan tidak mempertahankan arahnya tanpa syarat tanda. Contohnya, $-3<1$ tetapi $|-3|>|1|$. Ini sejajar dengan Jebakan 3 pada Unit 15.3 untuk pengkuadratan, sebab $|x|$ dan $x^2$ sama-sama tidak monoton pada $\mathbb{R}$.

Maksimum, Minimum, Bagian Positif dan Negatif

Proposisi 17.2.9 (Rumus Maksimum dan Minimum)

Untuk $a,b\in\mathbb{R}$:

$$\max(a,b)=\frac{a+b+|a-b|}2,\qquad\min(a,b)=\frac{a+b-|a-b|}2.$$

Bukti. Jika $a\geq b$, maka $|a-b|=a-b$, sehingga ruas kanan pertama $\tfrac{2a}2=a=\max(a,b)$ dan ruas kanan kedua $\tfrac{2b}2=b=\min(a,b)$. Jika $a<b$, maka $|a-b|=b-a$, dan ruas kanan masing-masing $b$ dan $a$. $\square$

Rumus ini menunjukkan bahwa maksimum dan minimum dapat dinyatakan dengan operasi lapangan dan nilai mutlak saja. Akibatnya, setiap sifat yang dibuktikan untuk nilai mutlak, misalnya ketaksamaan segitiga, langsung memberi sifat bagi maksimum dan minimum.

Definisi 17.2.10 (Bagian Positif dan Negatif)

Untuk $x\in\mathbb{R}$, tetapkan $x^+=\max(x,0)$ dan $x^-=\max(-x,0)$.

Proposisi 17.2.11

Untuk $x\in\mathbb{R}$:

(a) $x^+=\tfrac{x+|x|}2$ dan $x^-=\tfrac{|x|-x}2$;

(b) $x^+,x^-\geq0$ dan $x^+x^-=0$;

(c) $x=x^+-x^-$ dan $|x|=x^++x^-$.

Bukti. (a) Proposisi 17.2.9 dengan $b=0$, dan dengan $a=-x$, $b=0$, memakai $|-x|=|x|$. (b) Untuk $x\geq0$: $x^+=x$ dan $x^-=0$. Untuk $x<0$: $x^+=0$ dan $x^-=-x$. Dalam kedua kasus salah satunya nol. (c) Penjumlahan dan pengurangan rumus (a). $\square$

Proposisi 17.2.12 (Fungsi Tanda)

Dengan $\operatorname{sgn}$ dari Definisi 16.2.1: $x=\operatorname{sgn}(x)\,|x|$ dan $|x|=\operatorname{sgn}(x)\,x$ untuk semua $x\in\mathbb{R}$.

Bukti. Tiga kasus: $x>0$ memberi $1\cdot x$; $x=0$ memberi $0$; $x<0$ memberi $(-1)(-x)=x$ dan $(-1)x=-x=|x|$. $\square$

Latihan

Latihan 17.2-1. Tuliskan $|2x+3|$ dan $|3-x|$ sebagai fungsi sepotong-sepotong. Tentukan titik patahnya dan periksa kesepakatan di titik itu bila potongan ditulis tertutup di kedua sisi.

Latihan 17.2-2. Untuk $h(x)=|x-1|+|x-3|$, buktikan rumus sepotong-sepotong Contoh 17.2.5. Tentukan nilai minimum $h$ dan himpunan titik tempat minimum itu dicapai.

Latihan 17.2-3. Buktikan Proposisi 17.2.9, lalu hitung $\max(-2,5)$ dan $\min(-\tfrac12,-\tfrac13)$ dengan rumus itu.

Latihan 17.2-4. (a) Buktikan bahwa $x\mapsto g(|x|)$ genap untuk setiap $g$ yang terdefinisi pada $[0,\infty)$. (b) Untuk $g(t)=t^3-t$, tuliskan $g(|x|)$ secara sepotong-sepotong, dan bandingkan dengan $|g(x)|$.

Latihan 17.2-5. Tentukan keabsahan definisi berikut: (a) $f(x)=x^2$ untuk $x\leq1$ dan $2x-1$ untuk $x\geq1$; (b) $g(x)=x$ untuk $x\leq0$ dan $x+1$ untuk $x\geq0$; (c) $k(x)=|x|$ untuk $x\in\mathbb{Q}$ dan $x$ untuk $x\geq0$.

Latihan 17.2-6. Buktikan Proposisi 17.2.8, lalu tunjukkan dengan dua bilangan bahwa $|x|$ tidak monoton pada $[-1,1]$.

Latihan 17.2-7. Buktikan Proposisi 17.2.11. Hitung $x^+$ dan $x^-$ untuk $x=-\tfrac52$ dan $x=4$.

Latihan 17.2-8. Buktikan bahwa $|x-a|$ simetris terhadap $x=a$. Untuk $a<b$, buktikan bahwa $|x-a|+|x-b|$ simetris terhadap $x=\tfrac{a+b}2$.

Solusi

Solusi 17.2-1. $|2x+3|$: titik patah $-\tfrac32$; nilainya $2x+3$ untuk $x\geq-\tfrac32$ dan $-2x-3$ untuk $x\leq-\tfrac32$. Di $-\tfrac32$ kedua rumus memberi $0$. $|3-x|=|x-3|$: titik patah $3$; nilainya $x-3$ untuk $x\geq3$ dan $3-x$ untuk $x\leq3$. Di $3$ kedua rumus memberi $0$. $\square$

Solusi 17.2-2. Lihat Contoh 17.2.5. Minimum $2$, dicapai tepat pada $[1,3]$. Untuk $x<1$, $4-2x>4-2=2$. Untuk $x>3$, $2x-4>2$. $\square$

Solusi 17.2-3. Bukti: Proposisi 17.2.9. $\max(-2,5)=\tfrac{3+7}2=5$. $\min(-\tfrac12,-\tfrac13)=\tfrac{-\tfrac56-\tfrac16}2=\tfrac{-1}2=-\tfrac12$. Di sini $|-\tfrac12+\tfrac13|=\tfrac16$. $\square$

Solusi 17.2-4. (a) Proposisi 17.2.7(c).

(b) $g(|x|)=|x|^3-|x|$, yaitu $x^3-x$ untuk $x\geq0$ dan $-x^3+x$ untuk $x<0$, karena $|x|^3=(-x)^3=-x^3$ untuk $x<0$. Fungsi ini genap. Sebaliknya, $|g(x)|=|x^3-x|=|x|\,|x-1|\,|x+1|$ juga genap dalam contoh ini, tetapi berbeda. Di $x=\tfrac12$: $g(|x|)=\tfrac18-\tfrac12=-\tfrac38$, sedangkan $|g(x)|=\tfrac38$. $\square$

Solusi 17.2-5.

(a) Sah, karena di $1$ kedua rumus memberi $1$.

(b) Tidak sah, karena di $0$ rumusnya memberi $0$ dan $1$.

(c) Irisan potongannya $\mathbb{Q}\cap[0,\infty)$. Di sana $|x|=x$, sehingga sah. Domainnya $\mathbb{Q}\cup[0,\infty)$, dan fungsinya $|x|$ pada $\mathbb{Q}$ serta $x$ pada $[0,\infty)$. $\square$

Solusi 17.2-6. Bukti: Proposisi 17.2.8. Contoh: $-1<0$ dengan $|-1|=1>0=|0|$ (turun), sedangkan $0<1$ dengan $0<1$ (naik). Jadi $|x|$ tidak naik dan tidak turun pada $[-1,1]$. $\square$

Solusi 17.2-7. Bukti: Proposisi 17.2.11. Untuk $x=-\tfrac52$: $x^+=0$ dan $x^-=\tfrac52$; periksa $x^+-x^-=-\tfrac52$ dan $x^++x^-=\tfrac52=|x|$. Untuk $x=4$: $x^+=4$ dan $x^-=0$. $\square$

Solusi 17.2-8. $|x-a|$: Proposisi 17.2.7(b). Untuk $|x-a|+|x-b|$ dengan $m=\tfrac{a+b}2$ dan $\ell=\tfrac{b-a}2>0$, tulis $a=m-\ell$ dan $b=m+\ell$. Maka nilai di $m+t$ adalah $|t+\ell|+|t-\ell|$, dan nilai di $m-t$ adalah $|-t+\ell|+|-t-\ell|=|t-\ell|+|t+\ell|$, sama. $\square$

Ringkasan

Fungsi sepotong-sepotong sah tepat ketika rumus-rumusnya sepakat pada irisan potongan, dan grafiknya adalah gabungan grafik potongan. Nilai mutlak fungsi linear berpotongan di pembuat nol bagian dalamnya. Jumlah nilai mutlak ditulis per wilayah di antara titik patah. Nilai mutlak genap, monoton pada setiap setengah garis, dan mencapai minimum hanya di nol. Maksimum, minimum, bagian positif, dan bagian negatif dapat dinyatakan lewat nilai mutlak. Unit 17.3 membahas hubungan nilai mutlak dengan kuadrat dan akar.

17.3 Hubungan Kuadrat dan Akar: $\lvert x\rvert = \sqrt{x^2}$

Identitas $\sqrt{x^2}=|x|$ sudah dibuktikan dua kali di buku ini: sebagai Teorema 9.3B.8.3, dengan keberadaan akar sebagai pinjaman yang kemudian ditutup oleh Teorema 11.3.8, dan sebagai Korolari 12.3.5. Unit ini tidak sekadar mengulangnya. Fokusnya adalah apa yang dapat dilakukan dengan identitas itu:

• membandingkan nilai mutlak lewat kuadrat, yang menjadi dasar metode pengkuadratan pada Bab 19.3;
• akar ke-$n$ dari pangkat ke-$n$ untuk $n$ genap dan ganjil;
• penyelesaian persamaan kuadrat murni;
• jebakan ketika identitas itu dibaca terbalik atau dipadukan dengan hukum pangkat untuk basis negatif.

Contoh master, $|-3|=\sqrt{(-3)^2}=\sqrt9=3$, dikerjakan dengan alasan setiap langkah.

Prasyarat: Unit 17.1–17.2; Definisi 12.3.1 dan Teorema 12.3.3–12.3.4 (akar kuadrat taknegatif dan ketunggalannya); Korolari 10.2.6a–b (perbandingan kuadrat untuk bilangan taknegatif); Bab 9.3B (akar ke-$n$ dan konvensi pangkat rasional); Teorema 11.3.8.

Identitas Dasar

Teorema 17.3.1 (Akar dari Kuadrat)

Untuk setiap $x\in\mathbb{R}$, $\sqrt{x^2}=|x|$.

Bukti. Bukti ini ringkas dan berbeda dari dua bukti sebelumnya. Bilangan $x^2$ taknegatif, sehingga $\sqrt{x^2}$ adalah satu-satunya bilangan taknegatif yang kuadratnya $x^2$ (Definisi 12.3.1; ketunggalan dari Teorema 12.3.3 untuk $x\ne0$ dan Teorema 12.3.4(ii) untuk $x=0$). Bilangan $|x|$ taknegatif (Proposisi 10.2.7a(i)), dan kuadratnya $x^2$ (Proposisi 10.2.7a(iii)). Ketunggalan memberi kesamaannya. $\square$

Contoh master: untuk $x=-3$, $(-3)^2=9$, dan $\sqrt9=3$ karena $3\geq0$ dan $3^2=9$. Di sisi lain, $|-3|=3$. Jadi $|-3|=\sqrt{(-3)^2}=3$. Perhatikan bahwa $\sqrt{(-3)^2}\ne-3$: akar kuadrat selalu memilih nilai taknegatif.

Identitas ini sering dipakai sebagai definisi alternatif nilai mutlak. Buku ini tidak memakainya sebagai definisi, karena keberadaan $\sqrt{x^2}$ bergantung pada kelengkapan. Definisi per kasus (Definisi 17.1.1) tidak memerlukan kelengkapan dan berlaku di setiap lapangan terurut, termasuk $\mathbb{Q}$. Kebetulan $\sqrt{x^2}$ selalu ada di $\mathbb{Q}$ bila $x\in\mathbb{Q}$, tetapi kenyataan itu adalah akibat teorema di atas, bukan sesuatu yang dapat dipakai lebih dulu.

Proposisi 17.3.2 (Kebalikan yang Tidak Berlaku)

(a) $(\sqrt x)^2=x$ untuk setiap $x\geq0$, dan ruas kiri tidak terdefinisi untuk $x<0$.

(b) $\sqrt{x^2}=x$ jika dan hanya jika $x\geq0$.

Bukti. (a) Definisi akar. (b) $\sqrt{x^2}=|x|$, dan $|x|=x\iff x\geq0$ (Proposisi 17.1.2). $\square$

Jadi $\sqrt{x^2}$ dan $(\sqrt x)^2$ adalah dua ekspresi berbeda. Domainnya $\mathbb{R}$ dan $[0,\infty)$, dan pada domain bersama $[0,\infty)$ keduanya sama dengan $x$. Ini contoh perubahan domain oleh "penyederhanaan" pada Unit 15.4.

Membandingkan Lewat Kuadrat

Teorema 17.3.3 (Perbandingan Nilai Mutlak dan Kuadrat)

Untuk semua $x,y\in\mathbb{R}$:

$$|x|<|y|\iff x^2<y^2,\qquad|x|\leq|y|\iff x^2\leq y^2,\qquad|x|=|y|\iff x^2=y^2.$$

Bukti. $|x|$ dan $|y|$ taknegatif, dan kuadratnya $x^2$ dan $y^2$. Korolari 10.2.6b memberi versi $<$, dan Korolari 10.2.6a memberi versi $\leq$ dan $=$. $\square$

Teorema ini sah untuk semua bilangan real tanpa syarat tanda, karena nilai mutlak sudah membuat kedua ruas taknegatif. Bandingkan dengan Jebakan 3 (Unit 15.3): $x<y$ tidak setara dengan $x^2<y^2$, tetapi $|x|<|y|$ setara. Bab 19.3 memakai teorema ini untuk "mengkuadratkan kedua ruas" pertaksamaan nilai mutlak secara sah.

Akibat 17.3.4 (Pertaksamaan Kuadrat Murni)

Untuk $c\geq0$: $x^2\leq c\iff|x|\leq\sqrt c\iff-\sqrt c\leq x\leq\sqrt c$. Untuk $c>0$: $x^2<c\iff-\sqrt c<x<\sqrt c$, dan $x^2>c\iff x<-\sqrt c\vee x>\sqrt c$. Untuk $c<0$: $x^2\leq c$ mustahil, dan $x^2>c$ selalu benar.

Bukti. Untuk $c\geq0$, $c=(\sqrt c)^2=|\sqrt c|^2$, sehingga Teorema 17.3.3 memberi $x^2\leq c\iff|x|\leq\sqrt c$. Lemma 13.1.2 membuka nilai mutlak. Versi $>$ adalah komplemen versi $\leq$ (Teorema 15.1.3). Untuk $c<0$, $x^2\geq0>c$. $\square$

Contoh: $x^2<5\iff-\sqrt5<x<\sqrt5$, dan $x^2\geq2\iff x\leq-\sqrt2\vee x\geq\sqrt2$.

Akar ke-$n$ dari Pangkat ke-$n$

Teorema 17.3.5

Misalkan $n\in\mathbb{N}_{+}$ dan $x\in\mathbb{R}$.

(a) Jika $n$ genap, maka $\sqrt[n]{x^n}=|x|$.

(b) Jika $n$ ganjil, maka $\sqrt[n]{x^n}=x$.

(c) Untuk setiap $n$, $|x^n|=|x|^n$.

Bukti. (c) Induksi dengan Proposisi 10.2.7b: $|x^{k+1}|=|x^k\,x|=|x^k|\,|x|=|x|^k|x|$, dengan basis $|x^1|=|x|$.

(a) Untuk $n=2k$, $x^n=(x^k)^2\geq0$, sehingga akar genapnya terdefinisi. $|x|$ taknegatif, dan $|x|^n=|x^n|=x^n$ menurut (c) dan karena $x^n\geq0$. Ketunggalan akar ke-$n$ taknegatif (Teorema 9.3B.4.1 atau 11.3.8) memberi $\sqrt[n]{x^n}=|x|$.

(b) Untuk $n$ ganjil, akar ke-$n$ real dari $x^n$ adalah satu-satunya bilangan real yang pangkat ke-$n$-nya $x^n$ (Teorema 11.3.8, kasus khusus, dan 9.3B.4). Bilangan $x$ sendiri memenuhinya. $\square$

Contoh: $\sqrt[4]{(-2)^4}=\sqrt[4]{16}=2=|-2|$, sedangkan $\sqrt[3]{(-2)^3}=\sqrt[3]{-8}=-2$.

Jebakan Hukum Pangkat untuk Basis Negatif

Hukum $(a^p)^{1/q}=a^{p/q}$ dibuktikan pada Bab 9.3B hanya untuk basis $a>0$. Membaca $\sqrt{x^2}$ sebagai $(x^2)^{1/2}=x^{2\cdot\frac12}=x^1=x$ adalah penerapan hukum itu pada basis $x$ yang mungkin negatif. Untuk $x=-3$, hasilnya salah: $\sqrt{(-3)^2}=3\ne-3$.

Perhatikan bahwa ekspresi $(x^2)^{1/2}$ sendiri sah untuk $x\ne0$, karena basisnya $x^2>0$, dan nilainya $\sqrt{x^2}=|x|$. Yang tidak sah adalah langkah "$=x^{2\cdot\frac12}$", karena basis $x$ di langkah itu tidak dijamin positif. Untuk $x=0$, ekspresi pangkat $(0^2)^{1/2}=0^{1/2}$ tidak didefinisikan menurut konvensi Bab 9.3B (Latihan 9.3B-L5), meskipun $\sqrt{0^2}=0$.

Persamaan Kuadrat Murni

Proposisi 17.3.6

Untuk $a\in\mathbb{R}$: $x^2=a^2\iff|x|=|a|\iff x=\pm a$. Untuk $c\geq0$: $x^2=c\iff x=\pm\sqrt c$, dan untuk $c<0$ tidak ada solusi real.

Bukti. Teorema 17.3.3 (versi $=$) dan Proposisi 17.1.3. Untuk $c\geq0$, tulis $c=(\sqrt c)^2$. $\square$

Contoh: $(2x-1)^2=9\iff|2x-1|=3\iff2x-1=\pm3\iff x\in\{2,-1\}$.

Latihan

Latihan 17.3-1. Hitung dengan alasan lengkap: (a) $\sqrt{(-3)^2}$, (b) $\sqrt{(1-\sqrt2)^2}$, (c) $\sqrt[4]{(-5)^4}$, (d) $\sqrt[5]{(-2)^5}$.

Latihan 17.3-2. Buktikan Teorema 17.3.1 dengan tiga cara: (a) ketunggalan akar seperti di atas, (b) kasus tanda, (c) dari Teorema 9.3B.8.3. Bandingkan prasyarat masing-masing.

Latihan 17.3-3. Tentukan semua $x$ yang memenuhi $\sqrt{x^2}=x$, $\sqrt{x^2}=-x$, dan $(\sqrt x)^2=x$.

Latihan 17.3-4. Buktikan bahwa untuk semua $x,y\in\mathbb{R}$, $|x|<|y|\iff x^2<y^2$. Tunjukkan dengan contoh bahwa $x<y\iff x^2<y^2$ salah.

Latihan 17.3-5. Selesaikan $x^2\leq7$, $x^2>7$, dan $(x-1)^2<4$.

Latihan 17.3-6. Buktikan $|x^n|=|x|^n$ untuk semua $n\in\mathbb{N}$, termasuk $n=0$, lalu hitung $\sqrt[6]{x^6}$ dan $\sqrt[3]{x^3}$ untuk $x=-2$.

Latihan 17.3-7. Temukan kesalahan dalam rantai berikut, lalu perbaiki: "$\sqrt{x^2}=(x^2)^{1/2}=x^{2\cdot\frac12}=x$, sehingga $\sqrt{(-4)^2}=-4$."

Latihan 17.3-8. Selesaikan $(2x-1)^2=9$ dan $(x+3)^2=(2x)^2$.

Solusi

Solusi 17.3-1.

(a) $3$ (contoh master).

(b) $|1-\sqrt2|=\sqrt2-1$, karena $\sqrt2>1$.

(c) $|-5|=5$ (Teorema 17.3.5(a)).

(d) $-2$ (Teorema 17.3.5(b)). $\square$

Solusi 17.3-2. (a) Teorema 17.3.1: memakai keberadaan akar, ketunggalan akar taknegatif, dan Proposisi 10.2.7a.

(b) Untuk $x\geq0$, $x$ taknegatif dan $x^2=x^2$, sehingga $\sqrt{x^2}=x=|x|$ menurut ketunggalan. Untuk $x<0$, $-x>0$ dan $(-x)^2=x^2$, sehingga $\sqrt{x^2}=-x=|x|$.

(c) Teorema 9.3B.8.3 sama dengan (b), dengan keberadaan akar sebagai pinjaman yang kemudian ditutup oleh Teorema 11.3.8.

Ketiga bukti memerlukan keberadaan $\sqrt{x^2}$, yaitu kelengkapan, dan ketunggalan akar taknegatif. $\square$

Solusi 17.3-3. $\sqrt{x^2}=x\iff x\geq0$, dan $\sqrt{x^2}=-x\iff|x|=-x\iff x\leq0$ (Proposisi 17.1.2). $(\sqrt x)^2=x$ berlaku untuk setiap $x$ di domain $[0,\infty)$; untuk $x<0$ ruas kiri tidak bermakna. Jadi himpunan penyelesaiannya $[0,\infty)$, $(-\infty,0]$, dan $[0,\infty)$. $\square$

Solusi 17.3-4. Teorema 17.3.3. Contoh tandingan: $x=-3$ dan $y=1$ memberi $x<y$ tetapi $x^2=9>1=y^2$. $\square$

Solusi 17.3-5. $x^2\leq7\iff-\sqrt7\leq x\leq\sqrt7$. $x^2>7\iff x<-\sqrt7\vee x>\sqrt7$. $(x-1)^2<4\iff|x-1|<2\iff-1<x<3$. $\square$

Solusi 17.3-6. $n=0$: $|x^0|=|1|=1=|x|^0$. Untuk $n\geq1$: Teorema 17.3.5(c). Untuk $x=-2$: $\sqrt[6]{(-2)^6}=\sqrt[6]{64}=2=|-2|$, dan $\sqrt[3]{(-2)^3}=-2$. $\square$

Solusi 17.3-7. Langkah "$(x^2)^{1/2}=x^{2\cdot\frac12}$" memakai hukum pangkat berulang Teorema 9.3B.6.4 pada basis $x$, yang hanya dibuktikan untuk basis positif. Untuk $x=-4$, basisnya negatif. Yang benar: $\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4=|-4|$. Rantai yang sah adalah $\sqrt{x^2}=(x^2)^{1/2}=|x|$ untuk $x\ne0$, dengan $x^2>0$ sebagai basis. $\square$

Solusi 17.3-8. $(2x-1)^2=9\iff x\in\{2,-1\}$ (contoh setelah Proposisi 17.3.6). $(x+3)^2=(2x)^2\iff x+3=\pm2x$. Kemungkinan pertama memberi $x=3$, dan kemungkinan kedua memberi $3x=-3$, yaitu $x=-1$. Himpunan penyelesaiannya $\{-1,3\}$. Periksa: $2^2=(-2)^2$ dan $6^2=6^2$. $\square$

Ringkasan

Identitas $\sqrt{x^2}=|x|$ berlaku untuk semua bilangan real, sedangkan $\sqrt{x^2}=x$ hanya untuk $x\geq0$ dan $(\sqrt x)^2=x$ hanya pada domain $[0,\infty)$. Akibat terpentingnya: perbandingan nilai mutlak setara dengan perbandingan kuadrat tanpa syarat tanda. Dari sini diperoleh penyelesaian pertaksamaan kuadrat murni dan dasar metode pengkuadratan. Untuk akar ke-$n$ dari pangkat ke-$n$, $n$ genap memberi $|x|$ dan $n$ ganjil memberi $x$. Membaca $\sqrt{x^2}$ sebagai $x$ lewat hukum pangkat adalah penerapan hukum basis positif pada basis yang mungkin negatif. Unit 17.4 melengkapi sifat perkalian dan pembagian nilai mutlak.

17.4 Sifat Perkalian dan Pembagian Nilai Mutlak

Nilai mutlak menghormati perkalian: $|xy|=|x|\,|y|$ (Proposisi 10.2.7b). Contoh master, $|(-2)\cdot5|=|-10|=10=|-2|\cdot|5|$, memperlihatkannya. Unit ini melengkapi sifat itu dengan hasil bagi, invers, pangkat bulat, dan hasil kali berhingga. Unit ini juga menekankan bahwa nilai mutlak tidak menghormati penjumlahan, dan memperkenalkan cara memakai sifat perkalian untuk mengestimasi. Estimasi semacam itu menjadi bahan baku Bab 18.

Prasyarat: Unit 17.1–17.3; Proposisi 10.2.7a–b; Teorema 10.2.3 (invers mempertahankan tanda); Teorema 13.1.4 (segitiga); pangkat bulat (Bab 9.3A).

Perkalian

Teorema 17.4.1 (Sifat Perkalian)

(a) Untuk $x,y\in\mathbb{R}$: $|xy|=|x|\,|y|$ (Proposisi 10.2.7b).

(b) Untuk $k\in\mathbb{N}_{+}$ dan $x_1,\ldots,x_k\in\mathbb{R}$: $\bigl|\prod_{i=1}^kx_i\bigr|=\prod_{i=1}^k|x_i|$.

(c) Untuk $c,x\in\mathbb{R}$: $|cx|=|c|\,|x|$; khususnya $|-x|=|x|$ dan $|2x|=2|x|$.

Bukti. (a) dibuktikan pada Bab 10 lewat kuadrat. Bukti per kasus tanda, sebagai pembanding: jika $x,y\geq0$, kedua ruas $xy$. Jika $x\geq0>y$, maka $xy\leq0$, sehingga $|xy|=-xy=x(-y)=|x||y|$. Kasus $x<0\leq y$ simetris. Jika $x,y<0$, maka $xy>0$ dan $|xy|=xy=(-x)(-y)$.

(b) Induksi pada $k$: basis $k=1$ jelas, dan langkahnya memakai (a) pada $\bigl(\prod_{i\leq k}x_i\bigr)\cdot x_{k+1}$.

(c) Kasus khusus (a), dengan $|-1|=1$ dan $|2|=2$. $\square$

Contoh master: $(-2)\cdot5=-10<0$, sehingga $|-10|=10$. Juga $|-2|=2$ dan $|5|=5$, dengan hasil kali $10$. Kedua jalan memberi $10$, sesuai (a).

Pembagian dan Pangkat Bulat

Teorema 17.4.2 (Sifat Pembagian)

Untuk $x,y\in\mathbb{R}$ dengan $y\ne0$:

(a) $|y|\ne0$ dan $\bigl|\tfrac1y\bigr|=\tfrac1{|y|}$;

(b) $\bigl|\tfrac xy\bigr|=\tfrac{|x|}{|y|}$.

Bukti. (a) $|y|\ne0$ menurut Proposisi 10.2.7a(ii). Dari $y\cdot\tfrac1y=1$, Teorema 17.4.1(a) memberi $|y|\cdot\bigl|\tfrac1y\bigr|=|1|=1$. Jadi $\bigl|\tfrac1y\bigr|$ adalah invers kali $|y|$, yang tunggal (Bab 9.2).

(b) $\bigl|\tfrac xy\bigr|=\bigl|x\cdot\tfrac1y\bigr|=|x|\cdot\tfrac1{|y|}$. $\square$

Teorema 17.4.3 (Pangkat Bulat)

Untuk $x\in\mathbb{R}$ dan $n\in\mathbb{Z}$, dengan $x\ne0$ bila $n<0$: $|x^n|=|x|^n$.

Bukti. Untuk $n\geq0$: Teorema 17.3.5(c), dengan $n=0$ dibahas pada Latihan 17.3-6. Untuk $n=-k$ dengan $k\geq1$: $x^{-k}=\tfrac1{x^k}$, sehingga Teorema 17.4.2(a) dan kasus $k\geq1$ memberi $|x^{-k}|=\tfrac1{|x^k|}=\tfrac1{|x|^k}=|x|^{-k}$. $\square$

Proposisi 17.4.4 (Rasio Nilai Mutlak)

Untuk $x\ne0$: $\tfrac{|x|}x=\operatorname{sgn}(x)=\tfrac x{|x|}$.

Bukti. Proposisi 17.2.12 memberi $x=\operatorname{sgn}(x)|x|$ dan $|x|=\operatorname{sgn}(x)x$. Bagi masing-masing dengan $|x|\ne0$ dan $x\ne0$. $\square$

Penjumlahan Tidak Dihormati

Tidak ada rumus $|x+y|=|x|+|y|$ yang berlaku umum: $|1+(-1)|=0\ne2$. Yang benar adalah ketaksamaan segitiga $|x+y|\leq|x|+|y|$, dengan kesamaan tepat ketika $xy\geq0$ (Teorema 13.1.4). Demikian pula $|x-y|$ tidak sama dengan $|x|-|y|$; contohnya $x=1$ dan $y=-1$ memberi $2$ dan $0$. Yang benar adalah segitiga terbalik $\bigl||x|-|y|\bigr|\leq|x-y|$ (Korolari 13.1.6). Perbedaan antara perkalian (kesamaan) dan penjumlahan (hanya ketaksamaan) adalah alasan Bab 18 diperlukan.

Estimasi dengan Sifat Perkalian

Sifat perkalian adalah alat utama untuk mengestimasi galat yang diskalakan. Bila suatu besaran diketahui dekat dengan nilai acuan, hasil kalinya dengan konstanta juga dekat, dengan galat terskala.

Proposisi 17.4.5 (Galat Terskala)

(a) Jika $|x-a|<\delta$ dan $c\in\mathbb{R}$, maka $|cx-ca|\leq|c|\,\delta$, dengan ketaksamaan tegas bila $c\ne0$.

(b) Jika $|x-a|<\delta$ dan $|y|\leq M$, maka $|y(x-a)|\leq M\delta$.

Bukti. (a) $|cx-ca|=|c|\,|x-a|$. Bila $c\ne0$, perkalian $|x-a|<\delta$ dengan $|c|>0$ memberi ketaksamaan tegas. Bila $c=0$, ruas kiri $0=|c|\delta$.

(b) $|y(x-a)|=|y|\,|x-a|\leq M\,|x-a|\leq M\delta$. Ketaksamaan pertama memakai $|y|\leq M$ dan $|x-a|\geq0$. Ketaksamaan kedua memakai $|x-a|<\delta$ dan $M\geq0$; $M\geq0$ berlaku karena $M\geq|y|\geq0$. $\square$

Contoh 17.4.6 (Membatasi Kebalikan)

Jika $|x-2|<1$, maka $\bigl|\tfrac1x\bigr|<1$ dan $\bigl|\tfrac1x-\tfrac12\bigr|\leq\tfrac12|x-2|$, dengan ketaksamaan tegas bila $x\ne2$.

Bukti. $|x-2|<1$ memberi $1<x<3$ (Lemma 13.1.2), sehingga $x>1>0$ dan $|x|=x>1$. Teorema 17.4.2(a) dan Teorema 10.2.4(i) memberi $\bigl|\tfrac1x\bigr|=\tfrac1x<1$. Selanjutnya,

$$\Bigl|\frac1x-\frac12\Bigr|=\Bigl|\frac{2-x}{2x}\Bigr|=\frac{|x-2|}{2|x|}<\frac{|x-2|}2,$$

untuk $x\ne2$, karena $2|x|>2$ dan $|x-2|>0$: pembagian bilangan positif oleh bilangan yang lebih besar memberi hasil yang lebih kecil. Bila $x=2$, kedua ruas $0$, sehingga hanya $\leq$ yang berlaku. $\square$

Contoh ini menunjukkan pola estimasi yang berulang pada Bab 18 dan sesudahnya. Batasi faktor yang "mengganggu" ($\tfrac1{2|x|}$) dengan menyempitkan daerah $x$, lalu gunakan sifat perkalian.

Latihan

Latihan 17.4-1. Periksa sifat perkalian pada $x=-2$ dan $y=5$, serta pada $x=-\tfrac32$ dan $y=-\tfrac43$. Hitung kedua ruas.

Latihan 17.4-2. Buktikan $|xy|=|x||y|$ dengan pemisahan empat kasus tanda.

Latihan 17.4-3. Buktikan $\bigl|\tfrac xy\bigr|=\tfrac{|x|}{|y|}$ untuk $y\ne0$, lalu hitung $\bigl|\tfrac{-7}{3}\bigr|$ dan $\bigl|\tfrac{-6}{-4}\bigr|$.

Latihan 17.4-4. Buktikan $|x^{-3}|=|x|^{-3}$ untuk $x\ne0$, dan hitung untuk $x=-\tfrac12$.

Latihan 17.4-5. Berikan contoh $x,y$ dengan $|x+y|<|x|+|y|$, dan contoh dengan $|x-y|>|x|-|y|$. Kapan $|x+y|=|x|+|y|$?

Latihan 17.4-6. Buktikan bahwa jika $|x|<1$ dan $|y|<1$, maka $|xy|<1$. Apakah $|x+y|<1$ juga berlaku? Buktikan atau bantah.

Latihan 17.4-7. Jika $|x-3|<\tfrac12$, buktikan $|5x-15|<\tfrac52$ dan $|x^2-9|<\tfrac{13}4$.

Latihan 17.4-8. Jika $|x-2|<1$, buktikan $\bigl|\tfrac1x-\tfrac12\bigr|\leq\tfrac12|x-2|$. Tentukan kapan ketaksamaannya tegas.

Solusi

Solusi 17.4-1. $|(-2)5|=10=2\cdot5$. $\bigl|(-\tfrac32)(-\tfrac43)\bigr|=|2|=2=\tfrac32\cdot\tfrac43$. $\square$

Solusi 17.4-2. Lihat bukti Teorema 17.4.1(a), dengan empat kasus menurut tanda $x$ dan $y$. $\square$

Solusi 17.4-3. Teorema 17.4.2(b). $\bigl|\tfrac{-7}3\bigr|=\tfrac73$, dan $\bigl|\tfrac{-6}{-4}\bigr|=\tfrac64=\tfrac32$. $\square$

Solusi 17.4-4. Teorema 17.4.3 dengan $n=-3$. Untuk $x=-\tfrac12$: $x^{-3}=(-2)^3=-8$, sehingga $|x^{-3}|=8$. Di sisi lain $|x|^{-3}=(\tfrac12)^{-3}=8$. $\square$

Solusi 17.4-5. $x=3$ dan $y=-1$: $|x+y|=2<4$. $x=1$ dan $y=-1$: $|x-y|=2>0=|x|-|y|$. Kesamaan $|x+y|=|x|+|y|$ berlaku tepat ketika $xy\geq0$ (Teorema 13.1.4). $\square$

Solusi 17.4-6. $|xy|=|x||y|<1\cdot1=1$. Teorema 10.2.5(ii) dengan $0\leq|x|<1$ dan $0\leq|y|<1$ memberi $|x||y|\leq1$. Ketegasan: jika $|y|=0$, hasil kali $0<1$; jika $|y|>0$, maka $|x||y|<1\cdot|y|=|y|<1$.

$|x+y|<1$ tidak selalu berlaku. Untuk $x=y=\tfrac34$, $|x+y|=\tfrac32$. Yang benar adalah $|x+y|<2$. $\square$

Solusi 17.4-7. $|5x-15|=5|x-3|<\tfrac52$ (Proposisi 17.4.5(a)).

$|x^2-9|=|x-3|\,|x+3|$. Dari $|x-3|<\tfrac12$ diperoleh $\tfrac52<x<\tfrac72$, sehingga $\tfrac{11}2<x+3<\tfrac{13}2$ dan $|x+3|<\tfrac{13}2$. Jadi $|x^2-9|<\tfrac12\cdot\tfrac{13}2=\tfrac{13}4$. Perkalian dua ketaksamaan tegas taknegatif sah, dengan pemisahan kasus $|x-3|=0$ seperti pada Solusi 17.4-6. $\square$

Solusi 17.4-8. Contoh 17.4.6 memberi $\bigl|\tfrac1x-\tfrac12\bigr|=\tfrac{|x-2|}{2x}$ dengan $x>1$. Karena $\tfrac1{2x}<\tfrac12$ dan $|x-2|\geq0$, berlaku $\leq\tfrac12|x-2|$. Ketaksamaannya tegas tepat ketika $|x-2|>0$, yaitu $x\ne2$. $\square$

Ringkasan Unit 17.4 dan Penutup Bab 17

Nilai mutlak menghormati perkalian, hasil bagi, invers, pangkat bulat, dan hasil kali berhingga, tetapi tidak menghormati penjumlahan. Untuk penjumlahan, yang tersedia hanya ketaksamaan segitiga dan kebalikannya. Sifat perkalian adalah alat estimasi utama: galat terskala dan pembatasan faktor seperti $\tfrac1x$ pada lingkungan suatu titik.

Bab 17 secara keseluruhan:

• 17.1: definisi aljabar dan geometris, persamaan bernilai mutlak;
• 17.2: fungsi sepotong-sepotong, simetri, maksimum dan minimum;
• 17.3: kuadrat dan akar, serta perbandingan lewat kuadrat;
• 17.4: perkalian, pembagian, dan estimasi.

Hasil yang sudah terbukti di Bab 9, 10, 12, dan 13 dirujuk, bukan diulang. Bab 18 mengembangkan ketaksamaan segitiga dan variannya, lalu menerapkannya pada estimasi galat.