# Bab 18: Ketidaksamaan Segitiga dan Varian Lanjutnya

## 18.1 Teorema Ketidaksamaan Segitiga (Triangle Inequality)

Ketaksamaan segitiga $|a+b|\leq|a|+|b|$ adalah ketaksamaan terpenting dalam analisis. Hampir setiap estimasi pada bab-bab barisan, limit, dan kontinuitas memakainya. Teorema itu sudah dibuktikan pada Teorema 13.1.4, bersama kriteria kesamaannya, karena metrik standar Bab 13 memerlukannya. Bab 18 menjadikannya pokok bahasan: bentuk-bentuknya (unit ini), beberapa bukti dan makna geometrisnya (18.2), versi terbalik dan batas bawah (18.3), serta penerapannya untuk estimasi galat (18.4).

Contoh master: untuk $a=5$ dan $b=-3$, ruas kiri $|5+(-3)|=|2|=2$ dan ruas kanan $|5|+|-3|=5+3=8$, sehingga $2\leq8$. Kesamaan gagal karena $ab=-15<0$: kedua bilangan berlawanan tanda, sehingga sebagian besarnya saling meniadakan dalam jumlah.

Prasyarat: Teorema 13.1.4, Korolari 13.1.5–13.1.6, Lemma 13.1.1–13.1.2; Bab 17; induksi (Bab 7).

### Pernyataan

#### Teorema 18.1.1 (Ketaksamaan Segitiga; Teorema 13.1.4)

Untuk semua $a,b\in\mathbb{R}$:
$$|a+b|\leq|a|+|b|,$$
dengan kesamaan jika dan hanya jika $ab\geq0$.

Bukti singkat, diulang dari Teorema 13.1.4 karena unit ini adalah tempat utamanya. Dari $-|a|\leq a\leq|a|$ dan $-|b|\leq b\leq|b|$ diperoleh $-(|a|+|b|)\leq a+b\leq|a|+|b|$, lalu Lemma 13.1.2(a). Kriteria kesamaan: jika $a,b\geq0$ atau $a,b\leq0$, kedua ruas sama. Jika $ab<0$, misalnya $a>0>b$, maka $a+b$ dan $-(a+b)$ keduanya lebih kecil tegas dari $a-b=|a|+|b|$. $\square$

Ketaksamaan ini tajam: tidak ada konstanta $c<1$ yang membuat $|a+b|\leq c(|a|+|b|)$ untuk semua $a,b$, karena untuk $a=b=1$ diperlukan $2\leq2c$. Kriteria kesamaan menunjukkan dengan tepat kapan batas itu tercapai.

### Bentuk-Bentuk Setara dan Turunan

#### Akibat 18.1.2 (Varian Langsung)

Untuk semua $a,b,c\in\mathbb{R}$:

(a) $|a-b|\leq|a|+|b|$, dengan kesamaan jika dan hanya jika $ab\leq0$;

(b) $|a-c|\leq|a-b|+|b-c|$ (bentuk metrik), dengan kesamaan jika dan hanya jika $b$ terletak di antara $a$ dan $c$;

(c) $|a|\leq|a-b|+|b|$, sehingga $|a|-|b|\leq|a-b|$;

(d) $|a+b+c|\leq|a|+|b|+|c|$.

Bukti. (a) Teorema 18.1.1 dengan $b$ diganti $-b$, memakai $|-b|=|b|$. Kesamaan terjadi jika dan hanya jika $a(-b)\geq0$, yaitu $ab\leq0$.

(b) Teorema 18.1.1 pada $a-c=(a-b)+(b-c)$. Kesamaan: Proposisi 13.1.11.

(c) Teorema 18.1.1 pada $a=(a-b)+b$.

(d) Kasus $k=3$ dari Teorema 18.1.3. $\square$

Bentuk (a) sering mengejutkan: selisih juga dibatasi oleh jumlah besarnya, bukan oleh selisih besarnya. Contoh: $|5-(-3)|=8=|5|+|-3|$, dan ini kasus kesamaan karena $5\cdot(-3)\leq0$.

#### Teorema 18.1.3 (Segitiga untuk $k$ Suku dengan Kesamaan)

Untuk $k\in\mathbb{N}_{+}$ dan $a_1,\ldots,a_k\in\mathbb{R}$:
$$\Bigl|\sum_{i=1}^ka_i\Bigr|\leq\sum_{i=1}^k|a_i|,$$
dengan kesamaan jika dan hanya jika semua $a_i$ yang tak nol bertanda sama, yaitu semua $a_i\geq0$ atau semua $a_i\leq0$.

Bukti. Ketaksamaan: Korolari 13.1.5.

Kesamaan, arah ($\Leftarrow$): jika semua $a_i\geq0$, jumlahnya $\geq0$, sehingga $|\sum a_i|=\sum a_i=\sum|a_i|$. Kasus semua $a_i\leq0$ serupa, dengan $|\sum a_i|=-\sum a_i=\sum(-a_i)=\sum|a_i|$.

Kesamaan, arah ($\Rightarrow$): kontraposisi. Misalkan ada $a_j>0$ dan $a_l<0$. Tulis $S=\sum_ia_i$ dan $R=\sum_{i\ne j,l}a_i$, sehingga $S=R+(a_j+a_l)$. Maka
$$|S|\leq|R|+|a_j+a_l|<|R|+|a_j|+|a_l|\leq\sum_{i\ne j,l}|a_i|+|a_j|+|a_l|=\sum_i|a_i|.$$
Ketaksamaan tegas di tengah adalah Teorema 18.1.1 dengan $a_ja_l<0$. Ketaksamaan pertama dan terakhir adalah Teorema 18.1.1 dan Korolari 13.1.5. Bila $k=2$, $R$ adalah jumlah kosong $0$. $\square$

#### Contoh 18.1.4

(a) $|2-5+1|=2$, sedangkan $|2|+|-5|+|1|=8$. Tegas, karena ada suku positif dan negatif.

(b) $|-1-\tfrac12-3|=\tfrac92=|-1|+|-\tfrac12|+|-3|$. Kesamaan, karena semuanya negatif.

(c) $|0+0|=0=|0|+|0|$. Kesamaan, karena tidak ada suku tak nol yang berlawanan tanda.

### Ketaksamaan Segitiga untuk Maksimum dan Minimum

#### Proposisi 18.1.5

Untuk $a,b,a',b'\in\mathbb{R}$:
$$\bigl|\max(a,b)-\max(a',b')\bigr|\leq\max\bigl(|a-a'|,|b-b'|\bigr).$$

Bukti. Tulis $\delta=\max(|a-a'|,|b-b'|)$. Maka $a\leq a'+\delta\leq\max(a',b')+\delta$ dan $b\leq b'+\delta\leq\max(a',b')+\delta$, sehingga $\max(a,b)\leq\max(a',b')+\delta$. Dengan peran ditukar, $\max(a',b')\leq\max(a,b)+\delta$. Kedua ketaksamaan bersama Lemma 13.1.2(a) memberi kesimpulan. $\square$

Proposisi ini menyatakan bahwa operasi maksimum tidak memperbesar galat. Bila setiap masukan bergeser paling banyak $\delta$, maksimumnya bergeser paling banyak $\delta$. Bukti di atas memakai urutan langsung. Pendekatan lewat rumus $\max(a,b)=\tfrac{a+b+|a-b|}2$ dan segitiga terbalik hanya memberi batas yang lebih lemah, $|a-a'|+|b-b'|$. Latihan 18.3-7 membahas perbandingan keduanya.

### Latihan

Latihan 18.1-1. Periksa Teorema 18.1.1 untuk $a=5$ dan $b=-3$, lalu untuk $a=-5$ dan $b=-3$. Pada masing-masing pasangan, tentukan apakah kesamaan berlaku dan jelaskan dengan kriteria $ab\geq0$.

Latihan 18.1-2. Buktikan bahwa tidak ada $c<1$ yang membuat $|a+b|\leq c(|a|+|b|)$ untuk semua $a,b$. Untuk $c$ berapa saja ketaksamaan itu berlaku untuk semua $a,b$?

Latihan 18.1-3. Buktikan $|a-b|\leq|a|+|b|$ dan tentukan kasus kesamaannya. Hitung untuk $a=5$ dan $b=-3$.

Latihan 18.1-4. Buktikan Teorema 18.1.3, termasuk kriteria kesamaan. Terapkan pada $1-2+3-4$.

Latihan 18.1-5. Buktikan bahwa jika $|x-1|<\tfrac13$ dan $|y-2|<\tfrac16$, maka $|(x+y)-3|<\tfrac12$.

Latihan 18.1-6. Buktikan bahwa untuk $x\in\mathbb{R}$, $|x-1|+|x+1|\geq2$, dan tentukan kapan kesamaan berlaku.

Latihan 18.1-7. Buktikan Proposisi 18.1.5, lalu periksa pada $(a,b)=(1,4)$ dan $(a',b')=(2,3)$.

Latihan 18.1-8. Untuk $a_1,\ldots,a_k$ dan $b_1,\ldots,b_k$ real, buktikan $\bigl|\sum a_i-\sum b_i\bigr|\leq\sum|a_i-b_i|$.

### Solusi

Solusi 18.1-1. Untuk $(5,-3)$: $2\leq8$, tegas, karena $ab=-15<0$. Untuk $(-5,-3)$: $|-8|=8=5+3$, kesamaan, karena $ab=15\geq0$. $\square$

Solusi 18.1-2. Untuk $a=b=1$, ketaksamaan itu menjadi $2\leq2c$, yaitu $c\geq1$. Jadi setiap $c<1$ gagal. Untuk $c\geq1$, ketaksamaan berlaku: $|a+b|\leq|a|+|b|\leq c(|a|+|b|)$, karena $|a|+|b|\geq0$. Jadi himpunan konstanta yang sah adalah $[1,\infty)$. $\square$

Solusi 18.1-3. Akibat 18.1.2(a), dengan kesamaan tepat ketika $ab\leq0$. Untuk $(5,-3)$: $|5+3|=8=5+3$, kesamaan karena $-15\leq0$. $\square$

Solusi 18.1-4. Lihat bukti Teorema 18.1.3. Untuk $1-2+3-4=-2$: $|-2|=2<1+2+3+4=10$. Tegas, karena ada suku positif dan negatif. $\square$

Solusi 18.1-5. $|(x+y)-3|=|(x-1)+(y-2)|\leq|x-1|+|y-2|<\tfrac13+\tfrac16=\tfrac12$. Penjumlahan dua ketaksamaan tegas memberi ketaksamaan tegas (Teorema 10.2.5(i)). $\square$

Solusi 18.1-6. $2=|(x+1)-(x-1)|$. Akibat 18.1.2(a) dengan $a=x+1$ dan $b=x-1$ memberi $2\leq|x+1|+|x-1|$. Kesamaan terjadi jika dan hanya jika $(x+1)(x-1)\leq0$, yaitu $-1\leq x\leq1$. Secara geometris, jumlah jarak ke $-1$ dan $1$ paling sedikit $2$, dengan kesamaan tepat di antara keduanya (bandingkan Contoh 17.2.5). $\square$

Solusi 18.1-7. Bukti: Proposisi 18.1.5. Pemeriksaan: $\max(1,4)=4$ dan $\max(2,3)=3$, sehingga selisihnya $1$. $\max(|1-2|,|4-3|)=1$. Jadi $1\leq1$, dengan kesamaan. $\square$

Solusi 18.1-8. $\sum a_i-\sum b_i=\sum(a_i-b_i)$, berdasarkan asosiativitas dan komutativitas jumlah berhingga. Teorema 18.1.3 memberi kesimpulan. $\square$

### Ringkasan

Ketaksamaan segitiga berlaku untuk dua suku dan untuk $k$ suku, dengan kesamaan tepat ketika semua suku tak nol bertanda sama. Bentuk turunannya: selisih dibatasi jumlah besarnya, bentuk metrik dengan kesamaan tepat ketika titik tengah berada di antara, dan estimasi galat jumlahan. Ketaksamaan itu tajam, dan operasi maksimum tidak memperbesar galat. Unit 18.2 membandingkan beberapa bukti dan menjelaskan nama "segitiga" lewat jarak di bidang.

## 18.2 Bukti Analitis dan Interpretasi Geometris

Satu teorema dapat dibuktikan dengan beberapa cara, dan setiap cara memperlihatkan alasan yang berbeda mengapa teorema itu benar. Unit ini membandingkan tiga bukti analitis ketaksamaan segitiga di $\mathbb{R}$ beserta prasyaratnya masing-masing. Setelah itu kita memberi dua interpretasi geometris: di garis bilangan, sebagai jalan memutar lewat titik nol; dan di bidang koordinat, sebagai sifat sisi-sisi segitiga, yang menjadi asal nama teorema itu. Versi bidang dibuktikan dengan ketaksamaan Cauchy–Schwarz dari Bab 10.

Prasyarat:

- Teorema 18.1.1;
- Lemma 13.1.1–13.1.2 dan Proposisi 13.1.11;
- Teorema 17.3.3 (perbandingan lewat kuadrat);
- Teorema 10.4.10 dan Akibat 10.4.11 (Cauchy–Schwarz);
- Teorema 16.4.1(f) (perbandingan akar).

### Tiga Bukti Analitis

#### Bukti 1 (Urutan)

Dari $-|a|\leq a\leq|a|$ dan $-|b|\leq b\leq|b|$, penjumlahan memberi $-(|a|+|b|)\leq a+b\leq|a|+|b|$, lalu Lemma 13.1.2(a). Prasyarat: hukum urutan dan definisi nilai mutlak. Bukti ini berlaku di setiap lapangan terurut (Teorema 13.1.4).

#### Bukti 2 (Kuadrat)

Hitung
$$|a+b|^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\leq|a|^2+2|a||b|+|b|^2=(|a|+|b|)^2.$$
Langkah tengah memakai $ab\leq|ab|=|a||b|$ (Lemma 13.1.1 dan Proposisi 10.2.7b) serta $a^2=|a|^2$ dan $b^2=|b|^2$. Karena $|a|+|b|=\bigl||a|+|b|\bigr|$, Teorema 17.3.3 memberi $|a+b|\leq|a|+|b|$.

Kesamaan berlaku jika dan hanya jika $ab=|ab|$, yaitu $ab\geq0$. Ini sesuai dengan kriteria Teorema 18.1.1.

Prasyarat: perbandingan kuadrat bilangan taknegatif (Korolari 10.2.6, lewat Teorema 17.3.3). Tidak ada kelengkapan, sehingga bukti ini juga berlaku di setiap lapangan terurut.

#### Bukti 3 (Kasus Tanda)

- Jika $a,b\geq0$: $|a+b|=a+b=|a|+|b|$.
- Jika $a,b<0$: $|a+b|=-(a+b)=|a|+|b|$.
- Jika $a\geq0>b$: bila $a+b\geq0$, maka $|a+b|=a+b<a\leq|a|+|b|$; bila $a+b<0$, maka $|a+b|=-a-b\leq-b\leq|a|+|b|$, karena $-a\leq0$.
- Kasus $a<0\leq b$ simetris.

Prasyarat: definisi per kasus dan urutan.

Perbandingan ketiga bukti:

- Bukti 1 paling ringkas dan memperlihatkan bahwa ketaksamaan segitiga hanyalah penjumlahan dua pengapit.
- Bukti 2 menunjukkan bahwa satu-satunya kehilangan informasi ada pada suku silang, $2ab\leq2|ab|$. Inilah pola yang berlanjut ke vektor dan ke Cauchy–Schwarz.
- Bukti 3 paling mendasar, tetapi paling panjang dan paling rawan kasus terlewat.

### Interpretasi di Garis Bilangan

#### Proposisi 18.2.1 (Jalan Memutar Lewat Nol)

Untuk $a,b\in\mathbb{R}$: $|a+b|=d(a,-b)$ dan $|a|+|b|=d(a,0)+d(0,-b)$. Ketaksamaan segitiga menyatakan bahwa jarak langsung dari $a$ ke $-b$ tidak melebihi jarak memutar lewat $0$. Kesamaan terjadi tepat ketika $0$ terletak di antara $a$ dan $-b$, yaitu ketika $ab\geq0$.

Bukti. $d(a,-b)=|a-(-b)|=|a+b|$, $d(a,0)=|a|$, dan $d(0,-b)=|b|$. Menurut Proposisi 13.1.11, kesamaan terjadi tepat ketika $\min(a,-b)\leq0\leq\max(a,-b)$. Syarat itu berarti $a$ dan $-b$ tidak berada tegas di sisi yang sama dari $0$, yaitu $a\cdot(-b)\leq0$, yaitu $ab\geq0$. $\square$

### Interpretasi di Bidang: Asal Nama "Segitiga"

Di bidang koordinat $\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$, panjang ruas garis antara $P=(p_1,p_2)$ dan $Q=(q_1,q_2)$ diukur dengan jarak Euklides
$$d_2(P,Q)=\sqrt{(p_1-q_1)^2+(p_2-q_2)^2}.$$
Akar ini terdefinisi karena radikannya taknegatif (Teorema 11.3.8). Untuk vektor $u=(u_1,u_2)$, tulis $\|u\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$ dan $u\cdot v=u_1v_1+u_2v_2$. Maka $d_2(P,Q)=\|P-Q\|$, dengan pengurangan komponen demi komponen.

Buku ini tidak membangun geometri bidang secara aksiomatik. Bidang di sini adalah $\mathbb{R}^2$ dengan rumus koordinat, sehingga setiap klaim di bawah adalah klaim aljabar tentang pasangan bilangan real.

#### Teorema 18.2.2 (Ketaksamaan Segitiga di Bidang)

Untuk $u,v\in\mathbb{R}^2$: $\|u+v\|\leq\|u\|+\|v\|$. Kesamaan berlaku jika dan hanya jika $v=(0,0)$, atau $u=\lambda v$ untuk suatu $\lambda\geq0$.

Bukti. Dengan $n=2$, Teorema 10.4.10 memberi $(u\cdot v)^2\leq\|u\|^2\|v\|^2$, sehingga $u\cdot v\leq|u\cdot v|\leq\|u\|\,\|v\|$ (Akibat 10.4.11). Maka
$$\|u+v\|^2=(u_1+v_1)^2+(u_2+v_2)^2=\|u\|^2+2\,u\cdot v+\|v\|^2\leq\|u\|^2+2\|u\|\|v\|+\|v\|^2=(\|u\|+\|v\|)^2.$$
Kedua bilangan $\|u+v\|$ dan $\|u\|+\|v\|$ taknegatif, sehingga Korolari 10.2.6a memberi $\|u+v\|\leq\|u\|+\|v\|$.

Kesamaan berlaku jika dan hanya jika $u\cdot v=\|u\|\|v\|$. Bila $v=(0,0)$, kedua ruas nol dan kesamaan berlaku. Bila $v\ne(0,0)$, maka $u\cdot v=\|u\|\|v\|$ berarti $(u\cdot v)^2=\|u\|^2\|v\|^2$ dan $u\cdot v\geq0$. Menurut kriteria kesamaan Teorema 10.4.10(ii), kondisi pertama berarti $u=\lambda v$ dengan $\lambda=\tfrac{u\cdot v}{\|v\|^2}$, dan kondisi kedua membuat $\lambda\geq0$. Sebaliknya, bila $u=\lambda v$ dengan $\lambda\geq0$, maka $u\cdot v=\lambda\|v\|^2$ dan $\|u\|\|v\|=|\lambda|\|v\|^2=\lambda\|v\|^2$. Di sini $\|\lambda v\|=|\lambda|\|v\|$, karena $\sqrt{\lambda^2(v_1^2+v_2^2)}=|\lambda|\sqrt{v_1^2+v_2^2}$ (Teorema 9.3B.8.1 dan 17.3.1). $\square$

#### Akibat 18.2.3 (Sisi-Sisi Segitiga)

Untuk titik $A,B,C\in\mathbb{R}^2$:
$$d_2(A,C)\leq d_2(A,B)+d_2(B,C).$$
Kesamaan berlaku tepat ketika $B$ terletak pada ruas garis dari $A$ ke $C$, yaitu $B=A+t(C-A)$ untuk suatu $t\in[0,1]$.

Bukti. Ambil $u=A-B$ dan $v=B-C$, sehingga $u+v=A-C$, lalu gunakan Teorema 18.2.2.

Kesamaan: bila $B=C$, maka $v=(0,0)$, dan $B$ adalah ujung ruas ($t=1$). Bila $B\ne C$, kesamaan berlaku jika dan hanya jika $A-B=\lambda(B-C)$ dengan $\lambda\geq0$. Selesaikan untuk $B$: $A+\lambda C=(1+\lambda)B$, sehingga $B=\tfrac1{1+\lambda}A+\tfrac\lambda{1+\lambda}C=A+t(C-A)$ dengan $t=\tfrac\lambda{1+\lambda}\in[0,1)$. Sebaliknya, setiap $t\in[0,1)$ berasal dari $\lambda=\tfrac t{1-t}\geq0$, dan $t=1$ adalah kasus $B=C$. $\square$

Inilah ketaksamaan tentang sisi segitiga: panjang satu sisi tidak melebihi jumlah dua sisi lainnya, dengan kesamaan hanya ketika "segitiganya" gepeng, yaitu ketiga titik segaris dengan $B$ di antara $A$ dan $C$. Di garis bilangan, $\mathbb{R}^1$, rumus $\|a\|=\sqrt{a^2}=|a|$ mengembalikan Teorema 18.1.1, dan syarat "$u=\lambda v$ dengan $\lambda\geq0$" menjadi syarat tanda yang sama, $ab\geq0$.

### Latihan

Latihan 18.2-1. Tuliskan Bukti 2 secara lengkap, sebutkan setiap hasil yang dipakai, dan tentukan kasus kesamaannya dari bukti itu.

Latihan 18.2-2. Tuliskan Bukti 3 secara lengkap untuk kasus $a<0\leq b$.

Latihan 18.2-3. Buktikan Proposisi 18.2.1 dan periksa pada $a=5$ dan $b=-3$: hitung $d(5,3)$, $d(5,0)$, dan $d(0,3)$.

Latihan 18.2-4. Untuk $A=(0,0)$, $B=(3,0)$, dan $C=(3,4)$, hitung ketiga sisi segitiga dan periksa ketiga bentuk ketaksamaan segitiga.

Latihan 18.2-5. Buktikan ketaksamaan segitiga di $\mathbb{R}^n$ untuk sebarang $n\in\mathbb{N}_{+}$, dengan $\|u\|=\sqrt{\sum_{i=1}^nu_i^2}$, memakai Teorema 10.4.10.

Latihan 18.2-6. Untuk $A=(0,0)$, $B=(1,2)$, dan $C=(2,4)$, periksa bahwa kesamaan $d_2(A,C)=d_2(A,B)+d_2(B,C)$ berlaku, dan tentukan $t$ dengan $B=A+t(C-A)$.

Latihan 18.2-7. Tunjukkan bahwa $|a+b|^2\leq|a|^2+|b|^2$ tidak berlaku umum. Tentukan tepat untuk pasangan $(a,b)$ mana ketaksamaan itu berlaku.

Latihan 18.2-8. Dari ketaksamaan segitiga, turunkan $|a+b|\geq|a|-|b|$ dan $|a+b|\geq|b|-|a|$. Simpulkan $|a+b|\geq\bigl||a|-|b|\bigr|$.

### Solusi

Solusi 18.2-1. Lihat Bukti 2. Hasil yang dipakai: Proposisi 10.2.7a(iii), Lemma 13.1.1 ($ab\leq|ab|$), Proposisi 10.2.7b, dan Teorema 17.3.3. Kesamaan $|a+b|=|a|+|b|$ setara dengan kesamaan kuadrat (Teorema 17.3.3), yaitu dengan $2ab=2|ab|$, yaitu $ab\geq0$ (Proposisi 17.1.2). $\square$

Solusi 18.2-2. $a<0\leq b$ memberi $|a|=-a$ dan $|b|=b$. Bila $a+b\geq0$: $|a+b|=a+b<b\leq|a|+|b|$, karena $a<0$. Bila $a+b<0$: $|a+b|=-a-b\leq-a\leq|a|+|b|$, karena $-b\leq0$. $\square$

Solusi 18.2-3. Bukti: Proposisi 18.2.1. Untuk $a=5$, $b=-3$, dan $-b=3$: $d(5,3)=2$, $d(5,0)=5$, dan $d(0,3)=3$. Jadi $2\leq8$. Titik $0$ tidak terletak di antara $5$ dan $3$, sehingga kesamaan gagal, sesuai $ab=-15<0$. $\square$

Solusi 18.2-4. $d_2(A,B)=\sqrt9=3$, $d_2(B,C)=\sqrt{16}=4$, dan $d_2(A,C)=\sqrt{25}=5$. Ketiga bentuk: $5\leq3+4$, $3\leq4+5$, dan $4\leq3+5$. Semuanya tegas, karena ketiga titik tidak segaris. $\square$

Solusi 18.2-5. Sama dengan bukti Teorema 18.2.2, dengan $u\cdot v=\sum u_iv_i$: $\|u+v\|^2=\|u\|^2+2u\cdot v+\|v\|^2\leq(\|u\|+\|v\|)^2$, memakai Teorema 10.4.10 untuk $n$ suku, lalu Korolari 10.2.6a. $\square$

Solusi 18.2-6. $d_2(A,B)=\sqrt5$, $d_2(B,C)=\sqrt{1+4}=\sqrt5$, dan $d_2(A,C)=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt5$. Langkah terakhir: $(2\sqrt5)^2=20$ dan $2\sqrt5\geq0$, sehingga ketunggalan akar memberi kesamaan. Jadi $2\sqrt5=\sqrt5+\sqrt5$. Juga $B=(1,2)=A+\tfrac12(C-A)$, dengan $t=\tfrac12$. $\square$

Solusi 18.2-7. $|a+b|^2=a^2+2ab+b^2\leq a^2+b^2\iff ab\leq0$. Untuk $a=b=1$: $4\not\leq2$. Jadi ketaksamaan itu berlaku tepat ketika $a$ dan $b$ tidak bertanda sama secara tegas. $\square$

Solusi 18.2-8. $|a|=|(a+b)+(-b)|\leq|a+b|+|b|$, sehingga $|a+b|\geq|a|-|b|$. Dengan peran ditukar, $|a+b|\geq|b|-|a|$. Karena $|a+b|$ lebih besar atau sama dengan kedua bilangan $\pm(|a|-|b|)$, Proposisi 17.1.2 memberi $|a+b|\geq\max\bigl(|a|-|b|,\,-(|a|-|b|)\bigr)=\bigl||a|-|b|\bigr|$. $\square$

### Ringkasan

Tiga bukti analitis ketaksamaan segitiga di $\mathbb{R}$ (urutan, kuadrat, kasus tanda) berlaku di setiap lapangan terurut. Bukti kuadrat menunjukkan bahwa satu-satunya kehilangan ada pada suku silang. Di garis bilangan, teorema itu menyatakan bahwa jalan memutar lewat nol tidak lebih pendek. Di bidang $\mathbb{R}^2$, lewat Cauchy–Schwarz, teorema itu menjadi sifat sisi segitiga, dengan kesamaan tepat ketika ketiga titik segaris dan titik tengahnya berada di antara. Unit 18.3 membahas versi terbalik, yang memberi batas bawah.

## 18.3 Ketidaksamaan Segitiga Terbalik (Reverse Triangle Inequality)

Ketaksamaan segitiga memberi batas atas: besar jumlah tidak melebihi jumlah besar. Banyak argumen analisis justru memerlukan batas bawah. Misalnya, sebelum membagi dengan $x$ kita perlu tahu bahwa $x$ tidak terlalu dekat dengan nol, dan sebelum memakai $\tfrac1x$ kita memerlukan batas atas bagi $\tfrac1{|x|}$, yaitu batas bawah bagi $|x|$. Ketaksamaan segitiga terbalik
$$\bigl||a|-|b|\bigr|\leq|a-b|$$
adalah alat utamanya. Ketaksamaan ini sudah dibuktikan sebagai Korolari 13.1.6, dan kriteria kesamaannya pada Latihan 13.1-4. Unit ini menghimpun bentuk-bentuknya, menafsirkannya sebagai "nilai mutlak tidak memperbesar jarak", dan memakainya untuk menjauhkan suatu besaran dari nol.

Contoh master: $\bigl||5|-|-3|\bigr|=|5-3|=2$ dan $|5-(-3)|=|8|=8$, sehingga $2\leq8$. Ketaksamaannya tegas karena $5$ dan $-3$ berlawanan tanda.

Prasyarat: Unit 18.1–18.2; Korolari 13.1.6; Bab 17; Lemma 13.1.2.

### Pernyataan dan Varian

#### Teorema 18.3.1 (Segitiga Terbalik; Korolari 13.1.6)

Untuk semua $a,b\in\mathbb{R}$:
$$\bigl||a|-|b|\bigr|\leq|a-b|,$$
dengan kesamaan jika dan hanya jika $ab\geq0$.

Bukti. Ketaksamaan: $|a|\leq|a-b|+|b|$ dan $|b|\leq|a-b|+|a|$ (Akibat 18.1.2(c)), sehingga $-|a-b|\leq|a|-|b|\leq|a-b|$. Lalu gunakan Lemma 13.1.2(a).

Kesamaan: Solusi 13.1-4(c). Jika $ab\geq0$, $|a|-|b|$ sama dengan $a-b$ atau $-(a-b)$. Jika $ab<0$, misalnya $a>0>b$, maka $|a-b|=|a|+|b|$, sedangkan $\bigl||a|-|b|\bigr|$ adalah selisih dua bilangan positif, sehingga lebih kecil tegas dari jumlahnya. $\square$

#### Akibat 18.3.2 (Bentuk-Bentuk Batas Bawah)

Untuk $a,b\in\mathbb{R}$:

(a) $\bigl||a|-|b|\bigr|\leq|a+b|$, dengan kesamaan jika dan hanya jika $ab\leq0$;

(b) $|a+b|\geq|a|-|b|$ dan $|a-b|\geq|a|-|b|$;

(c) untuk $k\geq2$ dan $a_1,\ldots,a_k$: $\bigl|\sum_{i=1}^ka_i\bigr|\geq|a_1|-\sum_{i=2}^k|a_i|$.

Bukti. (a) Teorema 18.3.1 dengan $b$ diganti $-b$.

(b) $|a|-|b|\leq\bigl||a|-|b|\bigr|$ (Proposisi 17.1.2), lalu gunakan (a) untuk $|a+b|$ dan Teorema 18.3.1 untuk $|a-b|$.

(c) $|a_1|=\bigl|\sum_ia_i-\sum_{i\geq2}a_i\bigr|\leq\bigl|\sum_ia_i\bigr|+\sum_{i\geq2}|a_i|$ (Teorema 18.1.3). Pindahkan suku. $\square$

Bentuk (c) menyatakan bahwa satu suku yang dominan tidak dapat dihapus oleh suku-suku kecil. Bila $|a_1|$ lebih besar daripada jumlah besar suku lainnya, jumlah keseluruhan tidak mungkin nol.

### Nilai Mutlak Tidak Memperbesar Jarak

#### Proposisi 18.3.3

Untuk $x,y\in\mathbb{R}$: $d(|x|,|y|)\leq d(x,y)$. Dengan kata lain, fungsi $x\mapsto|x|$ adalah fungsi Lipschitz dengan konstanta $1$.

Bukti. Teorema 18.3.1, dengan $d(u,v)=|u-v|$. $\square$

Akibatnya, jika $x$ dekat $y$ dalam jarak kurang dari $\delta$, maka $|x|$ dekat $|y|$ dalam jarak kurang dari $\delta$. Kebalikannya salah: $|1|=|-1|$, tetapi $d(1,-1)=2$. Fungsi $|\cdot|$ dapat mengecilkan jarak, tetapi tidak pernah memperbesarnya.

### Menjauhkan dari Nol

#### Teorema 18.3.4 (Batas Bawah di Sekitar Titik Tak Nol)

Misalkan $a\ne0$ dan $x\in\mathbb{R}$ dengan $|x-a|\leq\tfrac{|a|}2$. Maka:

(a) $|x|\geq\tfrac{|a|}2>0$, khususnya $x\ne0$;

(b) $\tfrac1{|x|}\leq\tfrac2{|a|}$;

(c) $x$ bertanda sama dengan $a$.

Bukti. (a) Akibat 18.3.2(b) dengan $x=a+(x-a)$: $|x|\geq|a|-|x-a|\geq|a|-\tfrac{|a|}2=\tfrac{|a|}2$.

(b) Dari (a) dan Teorema 10.2.4(i), karena $0<\tfrac{|a|}2\leq|x|$.

(c) Untuk $a>0$, $|x-a|\leq\tfrac a2$ memberi $x\geq a-\tfrac a2=\tfrac a2>0$ (Lemma 13.1.2). Untuk $a<0$, $x\leq a+\tfrac{|a|}2=\tfrac a2<0$. $\square$

Konstanta $\tfrac12$ hanya contoh. Untuk setiap $\theta$ dengan $0<\theta<1$, syarat $|x-a|\leq\theta|a|$ memberi $|x|\geq(1-\theta)|a|>0$. Untuk $\theta=1$, kesimpulannya gagal: $x=0$ memenuhi $|0-a|=|a|$.

#### Contoh 18.3.5 (Estimasi Kebalikan)

Untuk $a\ne0$ dan $|x-a|\leq\tfrac{|a|}2$:
$$\Bigl|\frac1x-\frac1a\Bigr|=\frac{|x-a|}{|x|\,|a|}\leq\frac2{|a|^2}\,|x-a|.$$
Ini memakai Teorema 17.4.2 dan Teorema 18.3.4(b). Contoh 17.4.6 adalah kasus $a=2$ dengan syarat yang lebih kuat, $|x-2|<1$; batas yang diperoleh di sana, $\tfrac12|x-2|$, sama dengan $\tfrac2{|a|^2}|x-a|$ untuk $a=2$.

### Latihan

Latihan 18.3-1. Periksa Teorema 18.3.1 untuk $(a,b)=(5,-3)$, $(5,3)$, $(-5,-3)$. Tentukan kasus kesamaan.

Latihan 18.3-2. Buktikan Akibat 18.3.2(a) beserta kriteria kesamaannya.

Latihan 18.3-3. Buktikan bahwa jika $|a_1|>\sum_{i=2}^k|a_i|$, maka $\sum_{i=1}^ka_i\ne0$. Terapkan untuk menunjukkan bahwa $x^3+x+10\ne0$ bila $|x|\geq3$.

Latihan 18.3-4. Buktikan Proposisi 18.3.3 dan tunjukkan bahwa kebalikannya, $d(x,y)\leq d(|x|,|y|)$, gagal.

Latihan 18.3-5. Misalkan $|x-4|\leq2$. Buktikan $|x|\geq2$, $\tfrac1{|x|}\leq\tfrac12$, dan $\bigl|\tfrac1x-\tfrac14\bigr|\leq\tfrac18|x-4|$.

Latihan 18.3-6. Tunjukkan bahwa Teorema 18.3.4 gagal bila syaratnya diganti $|x-a|\leq|a|$.

Latihan 18.3-7. Dengan rumus $\max(a,b)=\tfrac{a+b+|a-b|}2$ dan Teorema 18.3.1, buktikan $\bigl|\max(a,b)-\max(a',b')\bigr|\leq|a-a'|+|b-b'|$. Bandingkan dengan Proposisi 18.1.5, dan tunjukkan dengan contoh bahwa batas ini dapat lebih besar daripada $\max(|a-a'|,|b-b'|)$.

Latihan 18.3-8. Buktikan bahwa untuk $x,y\in\mathbb{R}$, $\bigl||x-1|-|y-1|\bigr|\leq|x-y|$.

### Solusi

Solusi 18.3-1. $(5,-3)$: $2\leq8$, tegas. $(5,3)$: $2\leq2$, kesamaan, karena $15\geq0$. $(-5,-3)$: $|5-3|=2$ dan $|-5+3|=2$, kesamaan. $\square$

Solusi 18.3-2. Ganti $b$ dengan $-b$ dalam Teorema 18.3.1: $\bigl||a|-|-b|\bigr|\leq|a+b|$, dengan $|-b|=|b|$. Kesamaan terjadi jika dan hanya jika $a(-b)\geq0$, yaitu $ab\leq0$. $\square$

Solusi 18.3-3. Akibat 18.3.2(c): $|\sum a_i|\geq|a_1|-\sum_{i\geq2}|a_i|>0$.

Untuk $x^3+x+10$ dengan $|x|\geq3$: ambil $a_1=x^3$, $a_2=x$, dan $a_3=10$. Maka $|x^3|=|x|^3\geq9|x|$, karena $|x|^2\geq9$. Juga $|x|+10\leq|x|+\tfrac{10}3|x|=\tfrac{13}3|x|$, karena $1\leq\tfrac{|x|}3$. Karena $9>\tfrac{13}3$ dan $|x|>0$, berlaku $|x^3|>|x|+10$, dan polinomialnya tak nol. $\square$

Solusi 18.3-4. Proposisi 18.3.3 adalah Teorema 18.3.1 dalam bahasa jarak. Kebalikannya gagal: $x=1$ dan $y=-1$ memberi $d(x,y)=2$ dan $d(|x|,|y|)=0$. $\square$

Solusi 18.3-5. Teorema 18.3.4 dengan $a=4$, karena $\tfrac{|a|}2=2$: $|x|\geq2$ dan $\tfrac1{|x|}\leq\tfrac12$. Contoh 18.3.5 memberi $\bigl|\tfrac1x-\tfrac14\bigr|\leq\tfrac2{16}|x-4|=\tfrac18|x-4|$. $\square$

Solusi 18.3-6. Dengan $x=0$: $|0-a|=|a|\leq|a|$, tetapi $|x|=0<\tfrac{|a|}2$, dan $\tfrac1{|x|}$ tidak terdefinisi. $\square$

Solusi 18.3-7. $\max(a,b)-\max(a',b')=\tfrac12\bigl[(a-a')+(b-b')+(|a-b|-|a'-b'|)\bigr]$. Teorema 18.3.1 memberi $\bigl||a-b|-|a'-b'|\bigr|\leq|(a-b)-(a'-b')|\leq|a-a'|+|b-b'|$. Dengan segitiga, nilai mutlak ruas kanan paling banyak $\tfrac12\bigl[2|a-a'|+2|b-b'|\bigr]=|a-a'|+|b-b'|$.

Perbandingan: $\max(u,v)\leq u+v$ untuk $u,v\geq0$, sehingga Proposisi 18.1.5 memberi batas yang tidak lebih buruk. Contoh: $(a,b)=(0,0)$ dan $(a',b')=(1,1)$. Selisih maksimumnya $1$, Proposisi 18.1.5 memberi batas $1$ (tajam), dan rumus di sini memberi $2$. $\square$

Solusi 18.3-8. Teorema 18.3.1 dengan $a=x-1$ dan $b=y-1$: $\bigl||x-1|-|y-1|\bigr|\leq|(x-1)-(y-1)|=|x-y|$. $\square$

### Ringkasan

Ketaksamaan segitiga terbalik memberi batas bawah bagi besar jumlah dan selisih, dengan kesamaan pada syarat tanda yang dicerminkan. Nilai mutlak adalah fungsi Lipschitz-1: ia tidak memperbesar jarak. Akibat terpentingnya untuk analisis adalah penjauhan dari nol: dekat titik tak nol $a$, besaran $|x|$ dibatasi ke bawah oleh $\tfrac{|a|}2$, sehingga kebalikannya terbatas. Ini dasar estimasi pembagian. Unit 18.4 merangkai semua ini menjadi aturan estimasi galat.

## 18.4 Penerapan dalam Estimasi Galat (Error Bounds)

Setiap pengukuran dan setiap perhitungan berpresisi terbatas menghasilkan nilai hampiran, bukan nilai sebenarnya. Pertanyaan praktisnya: bila hampiran masukan diketahui paling jauh $\varepsilon$ dari nilai sebenarnya, seberapa jauh hampiran keluaran dapat menyimpang? Unit ini menjawab pertanyaan itu secara rigor untuk operasi dasar, yaitu jumlah, selisih, kelipatan, hasil kali, dan kebalikan, dengan memakai ketaksamaan segitiga (Unit 18.1), versi terbaliknya (Unit 18.3), dan sifat perkalian nilai mutlak (Unit 17.4). Batas yang dihasilkan adalah batas terburuk (worst case): batas itu menjamin, bukan memperkirakan rata-rata.

Penjelasan master menyebut penerapan pada kalibrasi sensor industri, untuk mengukur batas maksimum deviasi pembacaan alat ukur. Model pada unit ini bersifat hipotetis dan matematis. Angka-angkanya bukan spesifikasi alat, standar industri, atau rekomendasi rekayasa. Penerapan pada sistem nyata memerlukan data dan standar dari sistem itu sendiri.

Prasyarat: Unit 18.1–18.3; Bab 17; Teorema 10.2.5.

### Galat Absolut dan Relatif

#### Definisi 18.4.1

Misalkan $t\in\mathbb{R}$ nilai sebenarnya dan $x\in\mathbb{R}$ hampirannya.

(a) Galat absolut: $|x-t|$.

(b) Batas galat: bilangan $\varepsilon\geq0$ dengan $|x-t|\leq\varepsilon$. Ditulis juga $x=t\pm\varepsilon$, yang berarti $x\in[t-\varepsilon,t+\varepsilon]$ (Lemma 13.1.2), atau sebaliknya $t\in[x-\varepsilon,x+\varepsilon]$.

(c) Untuk $t\ne0$, galat relatif: $\dfrac{|x-t|}{|t|}$.

Batas galat tidak tunggal. Bila $\varepsilon$ suatu batas, setiap $\varepsilon'\geq\varepsilon$ juga batas. Yang bernilai adalah batas yang kecil dan terbukti. Galat relatif tidak bermakna untuk $t=0$, karena penyebutnya nol (Unit 15.4).

### Perambatan Galat

#### Teorema 18.4.2 (Aturan Perambatan)

Misalkan $|x-s|\leq\varepsilon$ dan $|y-t|\leq\eta$, dengan $s,t$ nilai sebenarnya dan $\varepsilon,\eta\geq0$.

(a) (Jumlah dan selisih) $|(x+y)-(s+t)|\leq\varepsilon+\eta$ dan $|(x-y)-(s-t)|\leq\varepsilon+\eta$.

(b) (Kelipatan) Untuk $c\in\mathbb{R}$: $|cx-cs|\leq|c|\,\varepsilon$.

(c) (Hasil kali) $|xy-st|\leq|s|\,\eta+|t|\,\varepsilon+\varepsilon\eta$.

(d) (Kebalikan) Jika $s\ne0$ dan $\varepsilon\leq\tfrac{|s|}2$, maka $x\ne0$ dan $\Bigl|\dfrac1x-\dfrac1s\Bigr|\leq\dfrac{2\varepsilon}{|s|^2}$.

(e) (Jumlah $k$ suku) Jika $|x_i-s_i|\leq\varepsilon_i$ untuk $i=1,\ldots,k$, maka $\bigl|\sum x_i-\sum s_i\bigr|\leq\sum\varepsilon_i$.

Bukti. (a) $(x+y)-(s+t)=(x-s)+(y-t)$, lalu segitiga. Selisih: $(x-y)-(s-t)=(x-s)-(y-t)$, lalu Akibat 18.1.2(a).

(b) Proposisi 17.4.5(a).

(c) Tulis $xy-st=s(y-t)+t(x-s)+(x-s)(y-t)$. Periksa dengan menguraikan: $sy-st+tx-ts+xy-xt-sy+st=xy-st$. Segitiga dan sifat perkalian memberi $|xy-st|\leq|s||y-t|+|t||x-s|+|x-s||y-t|\leq|s|\eta+|t|\varepsilon+\varepsilon\eta$. Langkah terakhir memakai Teorema 10.2.5(ii) untuk bilangan taknegatif.

(d) Teorema 18.3.4 dan Contoh 18.3.5.

(e) Teorema 18.1.3 pada $\sum(x_i-s_i)$. $\square$

Dua sifat batas-batas ini perlu dicatat.

Pertama, batas pada (a) dan (e) tajam. Untuk jumlah, galat bertanda sama dapat mencapai kesamaan dalam ketaksamaan segitiga (Teorema 18.1.3): $x=s+\varepsilon$ dan $y=t+\eta$ memberi galat jumlah tepat $\varepsilon+\eta$. Untuk selisih, tulis $e_x=x-s$ dan $e_y=y-t$. Galat aktualnya adalah $|e_x-e_y|\leq|e_x|+|e_y|\leq\varepsilon+\eta$, bukan selalu jumlah besar kedua galat. Batas selisih tajam: $e_x=\varepsilon$ dan $e_y=-\eta$ mencapainya. Sebaliknya, $e_x=e_y=0{,}1$ memberi galat selisih nol. Jadi pengurangan dapat membatalkan galat tertentu; tanpa informasi tambahan tentang hubungan kedua galat, batas terburuk yang dijamin tetap $\varepsilon+\eta$.

Kedua, suku $\varepsilon\eta$ pada (c) biasanya jauh lebih kecil daripada dua suku lainnya bila galat-galatnya kecil, tetapi suku itu tetap bagian dari batas yang terbukti. Membuangnya menghasilkan perkiraan, bukan jaminan.

#### Proposisi 18.4.3 (Galat Relatif Hasil Kali)

Misalkan $s,t\ne0$. Tulis $r_x=\tfrac{x-s}s$ dan $r_y=\tfrac{y-t}t$ (galat relatif bertanda). Maka
$$\frac{xy-st}{st}=r_x+r_y+r_xr_y,\qquad\Bigl|\frac{xy-st}{st}\Bigr|\leq|r_x|+|r_y|+|r_x||r_y|.$$

Bukti. $x=s(1+r_x)$ dan $y=t(1+r_y)$, sehingga $xy=st(1+r_x)(1+r_y)=st(1+r_x+r_y+r_xr_y)$. Bagi dengan $st$, kurangi $1$, lalu gunakan segitiga dan sifat perkalian. $\square$

Untuk galat relatif kecil, galat relatif hasil kali kira-kira sama dengan jumlah galat relatif faktornya. Kata "kira-kira" di sini menunjuk suku $r_xr_y$ yang dibuang. Batas yang terbukti tetap memuat suku itu.

#### Proposisi 18.4.4 (Kuadrat)

Jika $|x-a|\leq\varepsilon$, maka $|x^2-a^2|\leq(2|a|+\varepsilon)\,\varepsilon$.

Bukti. $|x^2-a^2|=|x-a|\,|x+a|$, dan $|x+a|=|(x-a)+2a|\leq\varepsilon+2|a|$. Kalikan, memakai Teorema 10.2.5(ii). $\square$

### Model Hipotetis: Kalibrasi Pembacaan

Misalkan sebuah alat ukur memberikan pembacaan menurut model
$$R=T+c+n,$$
dengan $T$ nilai sebenarnya, $c$ simpangan tetap alat (offset) yang tidak diketahui, dan $n$ gangguan yang hanya diketahui memenuhi $|n|\leq\nu$. Semua besaran real. Model ini disederhanakan untuk keperluan matematika; tidak diklaim mewakili alat tertentu.

Kalibrasi: alat diarahkan ke acuan dengan nilai sebenarnya diketahui, $T_0$, dan pembacaannya $R_0=T_0+c+n_0$ dengan $|n_0|\leq\nu$. Taksiran simpangan adalah $\hat c=R_0-T_0=c+n_0$, sehingga $|\hat c-c|=|n_0|\leq\nu$.

Pembacaan terkoreksi: untuk pengukuran baru $R$, taksirannya $\hat T=R-\hat c=T+n-n_0$. Galatnya
$$|\hat T-T|=|n-n_0|\leq|n|+|n_0|\leq2\nu.$$
Batas $2\nu$ adalah deviasi maksimum yang dijamin model, dan batas itu tajam: $n=\nu$ dan $n_0=-\nu$ mencapainya. Dengan angka hipotetis $\nu=0{,}5$ satuan, setiap pembacaan terkoreksi berada dalam $1$ satuan dari nilai sebenarnya.

Dua pelajaran matematis:

1. Kalibrasi menghapus simpangan tetap $c$ dalam model ini, tetapi menyisakan galat bertanda $n-n_0$. Galat aktualnya $|n-n_0|$ dapat bertambah atau berkurang bergantung pada kedua gangguan; jika $n=n_0$, keduanya saling membatalkan. Ketaksamaan segitiga menjamin batas atas $|n-n_0|\leq|n|+|n_0|\leq2\nu$, bukan bahwa galat aktual selalu bertambah.
2. Batas terburuk berbeda dari perilaku tipikal. Model yang memakai rata-rata banyak pembacaan atau sebaran statistik gangguan memerlukan teori lain yang tidak dibahas di sini. Batas pada unit ini tetap berlaku sebagai jaminan terburuk.

### Model Hipotetis: Akumulasi Toleransi

Lima komponen dirangkai berurutan. Panjang nominal masing-masing $20$ satuan dan toleransinya masing-masing $\pm0{,}1$, sehingga panjang sebenarnya $L_i$ memenuhi $|L_i-20|\leq0{,}1$. Teorema 18.4.2(e) memberi $|L_1+\cdots+L_5-100|\leq0{,}5$, sehingga total panjang berada di $[99{,}5;\,100{,}5]$. Batas ini tajam, misalnya bila semua $L_i=20{,}1$. Toleransi bertambah secara linear dengan banyaknya komponen dalam analisis terburuk.

### Latihan

Latihan 18.4-1. Diketahui $|x-3{,}2|\leq0{,}05$ dan $|y-1{,}7|\leq0{,}02$. Tentukan batas galat untuk $x+y$ dan $x-y$ terhadap $4{,}9$ dan $1{,}5$. Tunjukkan bahwa kedua batas tajam.

Latihan 18.4-2. Diketahui $|x-2|\leq0{,}01$ dan $|y-3|\leq0{,}02$. Buktikan $|xy-6|\leq0{,}0702$.

Latihan 18.4-3. Diketahui $|x-4|\leq0{,}1$. Buktikan $x\ne0$ dan $\bigl|\tfrac1x-\tfrac14\bigr|\leq0{,}0125$.

Latihan 18.4-4. Untuk lima komponen pada model akumulasi toleransi, tentukan batas galat bila toleransinya berbeda-beda: $0{,}1$; $0{,}05$; $0{,}2$; $0{,}1$; $0{,}05$. Berikan contoh panjang yang mencapai batas.

Latihan 18.4-5. Buktikan Proposisi 18.4.3. Untuk galat relatif $|r_x|\leq0{,}01$ dan $|r_y|\leq0{,}02$, tentukan batas galat relatif hasil kali.

Latihan 18.4-6. Pada model kalibrasi dengan $\nu=0{,}2$, tentukan batas galat pembacaan terkoreksi. Tunjukkan bahwa batas itu dicapai oleh suatu pilihan $n$ dan $n_0$.

Latihan 18.4-7. Tunjukkan bahwa batas Teorema 18.4.2(c) dapat dicapai bila $s,t>0$ dan galat positif. Berikan contoh dengan $s=t=1$ dan $\varepsilon=\eta=\tfrac1{10}$.

Latihan 18.4-8. Buktikan Proposisi 18.4.4. Jika $|x-3|\leq0{,}01$, berapa batas $|x^2-9|$?

### Solusi

Solusi 18.4-1. Jumlah: $|(x+y)-4{,}9|\leq0{,}07$. Selisih: $|(x-y)-1{,}5|\leq0{,}07$.

Ketajaman: untuk jumlah, $x=3{,}25$ dan $y=1{,}72$ memberi $x+y=4{,}97$, dengan galat $0{,}07$. Untuk selisih, $x=3{,}25$ dan $y=1{,}68$ memberi $x-y=1{,}57$, dengan galat $0{,}07$. $\square$

Solusi 18.4-2. Teorema 18.4.2(c) dengan $s=2$, $t=3$, $\varepsilon=0{,}01$, dan $\eta=0{,}02$ memberi $|xy-6|\leq2(0{,}02)+3(0{,}01)+(0{,}01)(0{,}02)=0{,}04+0{,}03+0{,}0002=0{,}0702$. $\square$

Solusi 18.4-3. $\varepsilon=0{,}1\leq\tfrac42=2$. Teorema 18.4.2(d) memberi $x\ne0$ dan $\bigl|\tfrac1x-\tfrac14\bigr|\leq\tfrac{2(0{,}1)}{16}=0{,}0125$. $\square$

Solusi 18.4-4. Batasnya $0{,}1+0{,}05+0{,}2+0{,}1+0{,}05=0{,}5$. Batas itu dicapai oleh panjang $20{,}1$; $20{,}05$; $20{,}2$; $20{,}1$; $20{,}05$, dengan total $100{,}5$. $\square$

Solusi 18.4-5. Bukti: Proposisi 18.4.3. Batasnya $0{,}01+0{,}02+0{,}0002=0{,}0302$. $\square$

Solusi 18.4-6. Batasnya $2\nu=0{,}4$, dicapai oleh $n=0{,}2$ dan $n_0=-0{,}2$: $\hat T-T=0{,}2-(-0{,}2)=0{,}4$. $\square$

Solusi 18.4-7. $x=1{,}1$ dan $y=1{,}1$ memberi $xy-1=0{,}21$. Batasnya $1(0{,}1)+1(0{,}1)+0{,}01=0{,}21$. Batas tercapai karena semua suku dalam $s(y-t)+t(x-s)+(x-s)(y-t)$ positif, sehingga ketaksamaan segitiga menjadi kesamaan (Teorema 18.1.3). $\square$

Solusi 18.4-8. Bukti: Proposisi 18.4.4. Dengan $a=3$ dan $\varepsilon=0{,}01$: $(6+0{,}01)(0{,}01)=0{,}0601$. $\square$

### Ringkasan Unit 18.4 dan Penutup Bab 18

Galat absolut dan relatif didefinisikan dengan nilai mutlak. Aturan perambatan galat untuk jumlah, selisih, kelipatan, hasil kali, kebalikan, dan jumlahan berhingga diturunkan dari ketaksamaan segitiga dan versi terbaliknya. Batas untuk jumlah dan selisih tajam, tetapi galat aktual selisih $|e_x-e_y|$ hanya dibatasi oleh jumlah besar galat dan dapat bernilai nol ketika kedua galat sama. Model hipotetis kalibrasi menghapus simpangan tetap sambil menyisakan selisih dua gangguan, sedangkan akumulasi toleransi menunjukkan pertumbuhan linear dalam analisis terburuk.

Bab 18 secara keseluruhan:

- 18.1: ketaksamaan segitiga dan bentuk-bentuknya, termasuk $k$ suku dengan kesamaan;
- 18.2: tiga bukti analitis dan makna geometris di garis dan di bidang lewat Cauchy–Schwarz;
- 18.3: versi terbalik dan penjauhan dari nol;
- 18.4: estimasi galat.

Bab 19 memakai semuanya untuk menyelesaikan pertaksamaan nilai mutlak.