Bab 15: Klasifikasi dan Anatomi Pertaksamaan

15.1 Persamaan vs Pertaksamaan Terbuka

Bab 13–14 mempelajari bentuk himpunan di garis riil: bola, interior, himpunan buka dan tutup. Bab 15 mengalihkan perhatian ke cara himpunan-himpunan itu muncul dalam praktik, yaitu sebagai himpunan penyelesaian persamaan dan pertaksamaan. Sebelum masuk ke teknik penyelesaian (Bab 16) dan nilai mutlak (Bab 17–19), bab ini menata fondasi logisnya:

• apa sebenarnya persamaan dan pertaksamaan;
• apa arti "menyelesaikan";
• langkah aljabar mana yang mempertahankan himpunan penyelesaian;
• bagaimana domain ekspresi membatasi semuanya.

Kata "terbuka" pada judul unit ini berarti kalimat terbuka: kalimat yang memuat variabel bebas, sehingga belum bernilai benar atau salah sebelum variabelnya diisi atau dikuantifikasi (Bab 2). Kata ini tidak merujuk pada himpunan buka Unit 13.4. Pertaksamaan $x\leq1$ adalah kalimat terbuka, padahal himpunan penyelesaiannya, $(-\infty,1]$, adalah himpunan tutup.

Prasyarat:

• fungsi proposisional dan kuantor (Bab 2);
• prinsip separasi dan operasi himpunan (Bab 3);
• fungsi sebagai himpunan pasangan dengan domain (Bab 5);
• aksioma urutan, trikotomi, dan hukum tanda (Bab 10, khususnya Teorema 10.1.5, Proposisi 10.1.9, Korolari 10.2.1a, Korolari 10.2.6b);
• notasi interval (Definisi 12.1.2–12.1.3);
• Lemma 13.1.2 untuk membuka nilai mutlak.

Kalimat Terbuka Perbandingan

Definisi 15.1.1 (Persamaan dan Pertaksamaan dalam Satu Variabel)

Misalkan $D\subseteq\mathbb{R}$ dan $f,g:D\to\mathbb{R}$ dua fungsi dengan domain $D$. Kalimat terbuka

• $f(x)=g(x)$ disebut persamaan;
• $f(x)<g(x)$, $f(x)\leq g(x)$, $f(x)>g(x)$, $f(x)\geq g(x)$ disebut pertaksamaan (tegas untuk $<$ dan $>$, lemah untuk $\leq$ dan $\geq$);
• $f(x)\ne g(x)$ disebut ketaksamaan sederhana.

Semuanya dibaca dengan variabel $x$ berjalan di semesta $D$. Untuk setiap $a\in D$, mengganti $x$ dengan $a$ menghasilkan proposisi yang benar atau salah.

Dalam praktik, $f$ dan $g$ diberikan sebagai ekspresi, misalnya $2x-4$ atau $\tfrac1{x-1}$, dan $D$ adalah himpunan semua bilangan tempat kedua ekspresi terdefinisi. Penentuan $D$ dibahas pada Unit 15.4. Di unit ini $D$ selalu diberikan.

Kalimat terbuka bukan proposisi. Pertanyaan "apakah $x^2<4$ benar?" tidak mempunyai jawaban sebelum $x$ ditentukan. Pertanyaan itu baru bermakna dalam bentuk seperti ini:

• "untuk $x=1$": benar;
• "untuk $x=3$": salah;
• "untuk setiap $x\in\mathbb{R}$": salah, saksi $x=3$;
• "untuk suatu $x\in\mathbb{R}$": benar, saksi $x=0$.

Menyelesaikan suatu kalimat terbuka berarti menentukan dengan tepat untuk anggota $D$ mana kalimat itu benar.

Definisi 15.1.2 (Himpunan Kebenaran)

Untuk kalimat terbuka $P(x)$ dengan semesta $D$, himpunan kebenarannya adalah

yang ada menurut prinsip separasi (Bab 3). Untuk persamaan dan pertaksamaan, himpunan ini disebut himpunan penyelesaian. Pembahasan lengkapnya pada Unit 15.2.

Untuk sepasang $f,g$ pada $D$, kita memakai singkatan

dan secara serupa $S_{\leq}$, $S_{\geq}$, $S_{\ne}$.

Trikotomi: Persamaan dan Pertaksamaan Saling Melengkapi

Teorema 15.1.3 (Partisi Trikotomi)

Untuk $f,g:D\to\mathbb{R}$:

(a) $S_<$, $S_=$, $S_>$ saling lepas dan gabungannya $D$;

(b) $S_{\leq}=S_<\cup S_=$, $S_{\geq}=S_>\cup S_=$, dan $S_{\ne}=S_<\cup S_>$;

(c) $D\setminus S_<=S_{\geq}$, $D\setminus S_>=S_{\leq}$, dan $D\setminus S_==S_{\ne}$.

Bukti. (a) Untuk setiap $x\in D$, $f(x)$ dan $g(x)$ bilangan real. Trikotomi urutan (Bab 10) menyatakan bahwa tepat satu dari $f(x)<g(x)$, $f(x)=g(x)$, $f(x)>g(x)$ berlaku. "Paling sedikit satu" memberi gabungan $D$; "paling banyak satu" memberi saling lepas.

(b) $f(x)\leq g(x)$ didefinisikan sebagai "$f(x)<g(x)$ atau $f(x)=g(x)$" (Definisi 10.1.4). Disjungsi kalimat sesuai dengan gabungan himpunan kebenarannya. Hal yang sama berlaku untuk $\geq$. Untuk $\ne$, negasi kesamaan dengan trikotomi berarti "$<$ atau $>$".

(c) Dari (a) dan (b): $D\setminus S_<=S_=\cup S_>=S_\geq$, dan dua kesamaan lainnya serupa. $\square$

Teorema ini memberi pandangan pertama tentang hubungan persamaan dan pertaksamaan. Persamaan $f(x)=g(x)$ menentukan "batas pemisah" $S_=$, dan dua pertaksamaan tegas menentukan dua sisi selebihnya. Menyelesaikan salah satu dari ketiganya, ditambah pengetahuan tentang dua lainnya, cukup untuk mengetahui semuanya. Negasi pertaksamaan tegas adalah pertaksamaan lemah dengan arah berlawanan: $\neg\bigl(f(x)<g(x)\bigr)$ setara dengan $f(x)\geq g(x)$, bukan dengan $f(x)>g(x)$.

Proposisi 15.1.4 (Reduksi ke Perbandingan dengan Nol)

Untuk $f,g:D\to\mathbb{R}$, tulis $h=f-g$, yaitu $h(x)=f(x)-g(x)$ pada $D$. Maka untuk setiap $x\in D$:

Bukti. Translasi oleh $-g(x)$ mempertahankan urutan dan kesamaan (Teorema 10.1.5), dan translasi oleh $+g(x)$ mengembalikannya. $\square$

Jadi setiap persamaan adalah soal pembuat nol $h$, dan setiap pertaksamaan adalah soal tanda $h$. Bab 16 membangun teknik tanda untuk $h$ polinomial dan rasional. Di sini cukup dicatat bahwa reduksi ini adalah ekuivalensi pada setiap titik $D$, bukan sekadar implikasi.

Titik Potong dan Wilayah: Slogan dan Batasnya

Penjelasan master merumuskan perbedaan dengan slogan: "persamaan mencari titik potong, sedangkan pertaksamaan mencari wilayah domain validitas". Dalam gambar grafik $y=f(x)$ dan $y=g(x)$ di atas $D$:

• $S_=$ adalah himpunan absis titik-titik potong kedua grafik;
• $S_<$ adalah himpunan absis tempat grafik $f$ berada di bawah grafik $g$.

Untuk banyak soal yang lazim, $S_=$ berupa beberapa titik dan $S_<$ berupa gabungan interval, sehingga slogan itu menolong intuisi.

Namun slogan itu heuristik, bukan teorema. Bentuk himpunan penyelesaian tidak ditentukan oleh simbol $=$ atau $<$, melainkan oleh fungsi-fungsinya. Contoh berikut membuktikannya.

Contoh 15.1.5 (Persamaan dan Pertaksamaan Kuadrat Sederhana)

Pada $D=\mathbb{R}$ dengan $f(x)=x^2$ dan $g(x)=4$:

Bukti. Proposisi 10.2.7a(iii) memberi $x^2=|x|^2$, dan $4=2^2$. Karena $|x|\geq0$ dan $2\geq0$, Korolari 10.2.6b memberi $x^2<4\iff|x|<2$. Lemma 13.1.2(b) memberi $|x|<2\iff-2<x<2$. Untuk kesamaan, Korolari 10.2.6a memberi $|x|^2=2^2\iff|x|=2$, yaitu $x=2$ atau $x=-2$ menurut definisi nilai mutlak. Bagian $S_>$ adalah sisanya, menurut Teorema 15.1.3(a). $\square$

Ini kasus yang sesuai slogan: persamaan memberi dua titik, dan pertaksamaan memberi interval.

Contoh 15.1.6 (Contoh Tandingan bagi Slogan)

(a) Pertaksamaan dengan himpunan penyelesaian satu titik: $x^2\leq0$ pada $\mathbb{R}$ mempunyai $S_\leq=\{0\}$. Teorema 10.2.2 memberi $x^2\geq0$, dengan kesamaan tepat ketika $x=0$.

(b) Persamaan dengan himpunan penyelesaian berupa sinar: $|x|=x$ pada $\mathbb{R}$ mempunyai $S_==[0,\infty)$. Untuk $x\geq0$, definisi memberi $|x|=x$. Untuk $x<0$, $|x|=-x>0>x$.

(c) Pertaksamaan tanpa penyelesaian: $x^2+1<0$ mempunyai $S_<=\emptyset$, karena $x^2+1\geq1>0$.

(d) Pertaksamaan yang selalu benar: $x^2+1>0$ mempunyai $S_>=\mathbb{R}$.

(e) Pertaksamaan dengan himpunan penyelesaian yang bukan gabungan interval nondegenerat: pada $D=\mathbb{Z}$, pertaksamaan $x^2<4$ mempunyai penyelesaian $\{-1,0,1\}$.

Pelajaran: untuk setiap soal, himpunan penyelesaian harus ditentukan, dan tidak boleh ditebak dari jenis tanda perbandingannya.

Identitas, Persamaan Bersyarat, dan Kuantor

Kalimat terbuka $P(x)$ dengan semesta $D$ mempunyai tiga kemungkinan status:

• Identitas: $P(x)$ benar untuk setiap $x\in D$. Pernyataan $\forall x\in D\,P(x)$ benar, dan himpunan penyelesaiannya $D$.
• Mustahil: $P(x)$ salah untuk setiap $x\in D$. Himpunan penyelesaiannya $\emptyset$.
• Bersyarat: $P(x)$ benar untuk sebagian dan salah untuk sebagian anggota $D$.

Contohnya:

• $(x+1)^2=x^2+2x+1$ adalah identitas pada $\mathbb{R}$ (distributivitas).
• $x^2+x+1>0$ adalah identitas pada $\mathbb{R}$, karena $x^2+x+1=(x+\tfrac12)^2+\tfrac34\geq\tfrac34>0$.
• $x^2-2x+1>0$ bersyarat: ruas kiri $(x-1)^2$, positif untuk $x\ne1$ dan nol untuk $x=1$.

Untuk membantah bahwa suatu kalimat adalah identitas, cukup satu saksi, misalnya $x=1$ di atas. Untuk membuktikan identitas, diperlukan argumen yang berlaku bagi setiap anggota $D$. Pemeriksaan pada beberapa nilai tidak membuktikan apa pun.

Kombinasi Logis dan Sistem

Proposisi 15.1.7 (Penghubung Logika dan Operasi Himpunan)

Untuk kalimat terbuka $P(x)$ dan $Q(x)$ pada semesta yang sama $D$, dengan himpunan kebenaran $S_P$ dan $S_Q$:

(a) himpunan kebenaran $P(x)\wedge Q(x)$ adalah $S_P\cap S_Q$;

(b) himpunan kebenaran $P(x)\vee Q(x)$ adalah $S_P\cup S_Q$;

(c) himpunan kebenaran $\neg P(x)$ adalah $D\setminus S_P$.

Bukti. Untuk setiap $x\in D$, keanggotaan $x$ di ruas kanan didefinisikan dengan penghubung yang sama (Bab 3). $\square$

Sistem pertaksamaan adalah konjungsi. Penulisan berantai $a<f(x)\leq b$ berarti $a<f(x)$ dan $f(x)\leq b$, sehingga penyelesaiannya irisan dua himpunan.

Contoh 15.1.8 (Pertaksamaan Berantai)

Selesaikan $-1<2x+1\leq5$ pada $\mathbb{R}$.

Penyelesaian. Konjungsi $-1<2x+1$ dan $2x+1\leq5$.

• Bagian pertama: translasi $-1$ memberi $-2<2x$, lalu perkalian dengan $\tfrac12>0$ memberi $-1<x$.
• Bagian kedua: $2x\leq4$, lalu $x\leq2$.

Setiap langkah adalah ekuivalensi, karena translasi dapat dibalik dan perkalian dengan bilangan positif dapat dibalik dengan perkalian oleh inversnya yang positif (Korolari 10.2.1a). Jadi himpunan penyelesaiannya $(-1,\infty)\cap(-\infty,2]=(-1,2]$. $\square$

Model Ilustratif: Batas Toleransi

Misalkan pembacaan $x$ dinyatakan "sesuai acuan" bila $|x-t|\leq\tau$, dengan acuan $t$ dan toleransi $\tau>0$ yang hipotetis. Kalimat terbuka ini adalah pertaksamaan. Himpunan penyelesaiannya $[t-\tau,t+\tau]$ (Lemma 13.1.2(a)), yaitu suatu wilayah. Persamaan $|x-t|=\tau$, yaitu "tepat di batas toleransi", mempunyai himpunan penyelesaian $\{t-\tau,t+\tau\}$, yaitu dua titik. Partisi trikotomi untuk $f(x)=|x-t|$ dan $g(x)=\tau$ membagi garis menjadi tiga bagian:

• di dalam pita: $(t-\tau,t+\tau)$;
• tepat di batas: dua titik;
• di luar pita: dua sinar.

Pilihan antara $<$ dan $\leq$ dalam suatu aturan menentukan apakah dua titik batas itu diterima. Pilihan itu keputusan aturan, bukan konsekuensi matematika, seperti dibahas pada Contoh 13.4.14.

Strategi

Strategi 1: Sebelum menyelesaikan, tuliskan semesta $D$ dan bentuk $f$, $g$.

Strategi 2: Gunakan trikotomi. Bila satu dari $S_<$, $S_=$, $S_>$ sudah diketahui, gunakan partisi untuk mendapatkan yang lain, dengan memperhatikan perbedaan tegas dan lemah.

Strategi 3: Reduksi ke nol. Pindahkan semua ke satu ruas dan pelajari tanda selisihnya.

Strategi 4: Jangan menebak bentuk himpunan penyelesaian dari tanda perbandingan; buktikan kedua inklusi.

Latihan

Latihan 15.1-1. Untuk masing-masing pernyataan berikut, tentukan apakah ia proposisi atau kalimat terbuka. Bila kalimat terbuka, tentukan nilai kebenaran setelah dikuantifikasi universal dan eksistensial atas $\mathbb{R}$. (a) $3^2<10$; (b) $x^2<10$; (c) $x^2\geq0$; (d) $x+1=x$.

Latihan 15.1-2. Untuk $f(x)=x^2$ dan $g(x)=9$, tentukan $S_<$, $S_=$, $S_>$ (a) pada $D=\mathbb{R}$, (b) pada $D=\mathbb{N}$. Bandingkan kedua jawaban.

Latihan 15.1-3. Buktikan dari trikotomi bahwa $D\setminus S_<=S_\geq$ dan $S_\leq=S_<\cup S_=$. Simpulkan bahwa negasi "$f(x)<g(x)$" adalah "$f(x)\geq g(x)$", bukan "$f(x)>g(x)$".

Latihan 15.1-4. Tentukan apakah setiap kalimat berikut identitas, mustahil, atau bersyarat pada $\mathbb{R}$, beserta bukti: (a) $(x-1)(x+1)=x^2-1$; (b) $x^2+x+1>0$; (c) $x^2-2x+1>0$; (d) $x^2+4x+5\leq0$.

Latihan 15.1-5. Berikan (a) persamaan dengan himpunan penyelesaian tak hingga yang memuat suatu interval nondegenerat, (b) pertaksamaan tegas pada $\mathbb{R}$ dengan himpunan penyelesaian $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, (c) pertaksamaan lemah pada $\mathbb{R}$ dengan himpunan penyelesaian satu titik. Buktikan setiap klaim.

Latihan 15.1-6. Selesaikan $-3\leq1-2x<5$ pada $\mathbb{R}$, dan jelaskan mengapa setiap langkah adalah ekuivalensi.

Latihan 15.1-7. Pada $\mathbb{R}$, tentukan himpunan kebenaran dari (a) $x<-1\vee x\geq2$, (b) negasi kalimat (a), (c) $-2<x\wedge x\leq1$, dan (d) negasi kalimat (c). Nyatakan semuanya dengan notasi interval.

Latihan 15.1-8. Misalkan $f(x)=x^2+3$ dan $g(x)=4x$ pada $\mathbb{R}$. (a) Tunjukkan bahwa $f(x)<g(x)\iff(x-1)(x-3)<0$. (b) Tentukan tanda $(x-1)(x-3)$ pada $x=0$, $x=2$, dan $x=4$. (c) Tentukan $S_<$ dengan bukti kedua inklusi.

Solusi

Solusi 15.1-1. (a) Proposisi yang benar ($9<10$). (b) Kalimat terbuka. $\forall$: salah, saksi $x=4$ ($16\geq10$). $\exists$: benar, saksi $x=0$. (c) Kalimat terbuka. $\forall$: benar (Teorema 10.2.2), sehingga $\exists$ juga benar. (d) Kalimat terbuka. $x+1=x$ memberi $1=0$ setelah translasi, yang mustahil, sehingga $\forall$ dan $\exists$ keduanya salah. $\square$

Solusi 15.1-2. (a) Seperti Contoh 15.1.5 dengan $3$ menggantikan $2$: $S_==\{-3,3\}$, $S_<=(-3,3)$, $S_>=(-\infty,-3)\cup(3,\infty)$.

(b) Pada $\mathbb{N}$, irisan dengan jawaban (a): $S_<=\{0,1,2\}$, $S_==\{3\}$, $S_>=\{n\in\mathbb{N}:n\geq4\}$.

Jawaban bergantung pada semesta. Kalimat yang sama, $x^2<9$, mempunyai himpunan penyelesaian berupa interval di $\mathbb{R}$ dan himpunan berhingga di $\mathbb{N}$. $\square$

Solusi 15.1-3. Teorema 15.1.3(a) dan (c). Untuk $x\in D$, $x\notin S_<$ berarti $f(x)<g(x)$ salah. Trikotomi menyisakan $f(x)=g(x)$ atau $f(x)>g(x)$, yaitu $f(x)\geq g(x)$. Negasi tidak sama dengan $f(x)>g(x)$, karena kemungkinan $f(x)=g(x)$ juga membuat $f(x)<g(x)$ salah. Contoh: $f(x)=x$ dan $g(x)=0$ di $x=0$. $\square$

Solusi 15.1-4. (a) Identitas: $(x-1)(x+1)=x^2+x-x-1=x^2-1$.

(b) Identitas: $x^2+x+1=(x+\tfrac12)^2+\tfrac34\geq\tfrac34>0$. Periksa: $(x+\tfrac12)^2=x^2+x+\tfrac14$.

(c) Bersyarat: $(x-1)^2>0$ untuk $x\ne1$ (kuadrat bilangan tak nol positif, Teorema 10.2.2), dan $=0$ untuk $x=1$. Himpunan penyelesaiannya $\mathbb{R}\setminus\{1\}$.

(d) Mustahil: $x^2+4x+5=(x+2)^2+1\geq1>0$. $\square$

Solusi 15.1-5. (a) $|x|=x$, dengan himpunan penyelesaian $[0,\infty)$ (Contoh 15.1.6(b)).

(b) $x^2>0$: kuadrat positif tepat ketika $x\ne0$ (Teorema 10.2.2).

(c) $x^2\leq0$, dengan himpunan penyelesaian $\{0\}$ (Contoh 15.1.6(a)). $\square$

Solusi 15.1-6. Konjungsi $-3\leq1-2x$ dan $1-2x<5$.

• Bagian pertama: translasi $-1$ memberi $-4\leq-2x$, lalu perkalian dengan $-\tfrac12<0$ membalik arah: $2\geq x$.
• Bagian kedua: $-2x<4$, lalu perkalian dengan $-\tfrac12$: $x>-2$.

Himpunan penyelesaiannya $(-2,2]$. Setiap langkah dapat dibalik: translasi oleh lawannya, dan perkalian dengan $-\tfrac12$ oleh perkalian dengan $-2$, yang juga membalik arah (Korolari 10.2.1a(ii)). Jadi setiap langkah ekuivalensi. $\square$

Solusi 15.1-7.

(a) $(-\infty,-1)\cup[2,\infty)$.

(b) Komplemennya, $[-1,2)$. Secara logika, $\neg(x<-1\vee x\geq2)\equiv x\geq-1\wedge x<2$.

(c) $(-2,1]$.

(d) $(-\infty,-2]\cup(1,\infty)$, yaitu $x\leq-2\vee x>1$. $\square$

Solusi 15.1-8. (a) Proposisi 15.1.4: $f(x)<g(x)\iff x^2-4x+3<0$, dan $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$.

(b) Di $x=0$: $(-1)(-3)=3>0$. Di $x=2$: $(1)(-1)=-1<0$. Di $x=4$: $(3)(1)=3>0$.

(c) $S_<=(1,3)$.

• Inklusi $\supseteq$: untuk $1<x<3$, $x-1>0$ dan $x-3<0$, sehingga hasil kalinya negatif (Proposisi 10.1.9).
• Inklusi $\subseteq$: jika $x\leq1$, kedua faktor $\leq0$, sehingga hasil kali $\geq0$. Jika $x\geq3$, kedua faktor $\geq0$, sehingga hasil kali $\geq0$. Dalam kedua kasus $x\notin S_<$.

Nilai di titik uji pada (b) hanya ilustrasi; buktinya adalah analisis tanda pada (c). $\square$

Ringkasan

Persamaan dan pertaksamaan adalah kalimat terbuka atas suatu semesta. Menyelesaikannya berarti menentukan himpunan kebenarannya. Untuk dua ekspresi pada semesta yang sama, persamaan dan kedua pertaksamaan tegas mempartisi semesta (trikotomi), dan semuanya dapat direduksi menjadi perbandingan selisih dengan nol. Slogan "persamaan = titik, pertaksamaan = wilayah" berguna sebagai intuisi tetapi salah sebagai aturan. Penghubung logika berpadanan dengan operasi himpunan, sehingga sistem pertaksamaan adalah irisan. Unit 15.2 merumuskan definisi solusi dan himpunan penyelesaian secara lengkap, termasuk ketergantungan pada semesta dan cara membuktikan bahwa suatu himpunan adalah himpunan penyelesaian.

15.2 Definisi Solusi dan Ruang Himpunan Penyelesaian

Unit 15.1 memandang persamaan dan pertaksamaan sebagai kalimat terbuka. Unit ini merumuskan secara tepat apa itu solusi dan himpunan penyelesaian, mengapa jawabannya bergantung pada ruang (semesta) tempat solusi dicari, dan apa yang sebenarnya harus dibuktikan ketika kita menyatakan "himpunan penyelesaiannya adalah $T$". Contoh master, $2x-4>2$ dengan penyelesaian $(3,\infty)$, dibuktikan lengkap dengan dua arah inklusi.

Prasyarat: Unit 15.1; hukum urutan Bab 10 (Teorema 10.1.5, Proposisi 10.1.9, Korolari 10.2.1a, Teorema 10.2.2, Korolari 10.2.6a); Teorema 8.4.7 dan 11.3.8 (akar dua); notasi interval Bab 12; Definisi 12.3.1 (akar kuadrat taknegatif).

Solusi dan Himpunan Penyelesaian

Definisi 15.2.1 (Solusi)

Misalkan $P(x)$ persamaan atau pertaksamaan dengan semesta $D$ (Definisi 15.1.1). Bilangan $a$ disebut solusi $P$ di $D$ jika $a\in D$ dan proposisi $P(a)$ benar.

Kedua syarat sama penting. Bilangan di luar $D$ bukan solusi, walaupun substitusi formalnya "tampak memenuhi". Pembahasan pada Unit 15.4 menunjukkan bahwa substitusi di luar domain sering kali bahkan tidak bermakna.

Definisi 15.2.2 (Himpunan Penyelesaian)

Himpunan penyelesaian $P$ di $D$ adalah

Bila semestanya jelas, cukup ditulis $\operatorname{HP}$. Kata "ruang" pada judul unit merujuk pada semesta $D$ ini: ruang tempat solusi dicari.

Menyelesaikan $P$ berarti menyajikan $\operatorname{HP}_D(P)$ dalam bentuk yang keanggotaannya mudah diperiksa, misalnya interval, gabungan interval, himpunan berhingga yang didaftar, $\emptyset$, atau $D$. Lalu dibuktikan bahwa bentuk itu sama dengan himpunan pada Definisi 15.2.2. Jawaban "$x>3$" adalah singkatan untuk himpunan $\{x\in D:x>3\}$; jawaban "$x=2$ atau $x=-2$" adalah singkatan untuk $\{-2,2\}$.

Ketergantungan pada Semesta

Proposisi 15.2.3 (Mempersempit Semesta)

Misalkan $E\subseteq D$, dan $P$ kalimat terbuka yang ekspresinya terdefinisi pada $D$. Maka $\operatorname{HP}_E(P)=\operatorname{HP}_D(P)\cap E$.

Bukti. $x\in\operatorname{HP}_E(P)$ jika dan hanya jika $x\in E$ dan $P(x)$. Karena $E\subseteq D$, syarat itu setara dengan $x\in D$, $P(x)$, dan $x\in E$. $\square$

Contoh 15.2.4 (Semesta Menentukan Jawaban)

(a) $2x=1$: di $\mathbb{Z}$, $\operatorname{HP}=\emptyset$; di $\mathbb{Q}$ dan di $\mathbb{R}$, $\operatorname{HP}=\{\tfrac12\}$. Di $\mathbb{R}$, $2x=1\iff x=\tfrac12$ (perkalian dengan $\tfrac12$ dan dengan $2$). Lalu $\tfrac12\in\mathbb{Q}$ tetapi $\tfrac12\notin\mathbb{Z}$, karena tidak ada bilangan bulat di antara $0$ dan $1$ (Bab 8). Proposisi 15.2.3 memberi kedua jawaban lain.

(b) $x^2=2$: di $\mathbb{Q}$, $\operatorname{HP}=\emptyset$ (Teorema 8.4.7); di $\mathbb{R}$, $\operatorname{HP}=\{\sqrt2,-\sqrt2\}$ (Teorema 12.3.4(iii), dengan keberadaan dari Teorema 11.3.8).

(c) $x^2<9$: di $\mathbb{R}$, $\operatorname{HP}=(-3,3)$; di $\mathbb{N}$, $\operatorname{HP}=\{0,1,2\}$ (Solusi 15.1-2).

Jadi pernyataan "persamaan ini tidak mempunyai solusi" selalu harus disertai semestanya. Dalam buku ini, bila semesta tidak disebut, semestanya adalah domain asal ekspresi di dalam $\mathbb{R}$ (Unit 15.4).

Apa yang Harus Dibuktikan

Klaim "$\operatorname{HP}_D(P)=T$" adalah kesamaan himpunan, sehingga memerlukan dua inklusi:

1. Setiap solusi termasuk $T$ ($\operatorname{HP}\subseteq T$). Ini biasanya diperoleh dengan menurunkan konsekuensi dari $P(x)$.
2. Setiap anggota $T$ adalah solusi ($T\subseteq\operatorname{HP}$). Ini biasanya diperoleh dengan membalik langkah-langkah, atau dengan substitusi langsung.

Bila setiap langkah dalam penurunan adalah ekuivalensi yang berlaku untuk setiap $x\in D$, kedua inklusi diperoleh sekaligus. Namun bila ada langkah yang hanya implikasi satu arah, misalnya mengkuadratkan kedua ruas, rantai itu hanya membuktikan inklusi (1). Kandidat yang dihasilkannya harus diperiksa satu per satu (Unit 15.3).

Sebaliknya, memeriksa beberapa bilangan di $T$ dan menemukan bahwa semuanya solusi tidak membuktikan inklusi (2) untuk seluruh $T$, dan sama sekali tidak menyentuh inklusi (1). Latihan 15.2-6 memberi contoh tebakan yang lolos pemeriksaan beberapa titik tetapi salah.

Contoh 15.2.5 (Contoh Master: $2x-4>2$)

Pada $D=\mathbb{R}$:

Bukti. Untuk setiap $x\in\mathbb{R}$:

• Langkah pertama adalah translasi oleh $+4$; arah sebaliknya adalah translasi oleh $-4$ (Teorema 10.1.5).
• Langkah kedua adalah perkalian dengan $\tfrac12>0$; arah sebaliknya adalah perkalian dengan $2>0$ (Korolari 10.2.1a(i)).

Karena kedua langkah ekuivalensi pada setiap $x$, kedua inklusi terbukti sekaligus. Notasi $(3,\infty)$ berarti $\{x\in\mathbb{R}:x>3\}$ menurut Definisi 12.1.3; simbol $\infty$ bukan bilangan real.

Pemeriksaan, sebagai ilustrasi dan bukan bukti: $x=4$ memberi $4>2$, benar; $x=3$ memberi $2>2$, salah, sehingga ujung $3$ tidak termasuk; $x=0$ memberi $-4>2$, salah. $\square$

Pada semesta lain, Proposisi 15.2.3 memberi: di $\mathbb{N}$, $\operatorname{HP}=\{4,5,6,\ldots\}$; di $\mathbb{Z}$, sama; di $\mathbb{Q}$, $\operatorname{HP}=\mathbb{Q}\cap(3,\infty)$.

Klasifikasi Lengkap Pertaksamaan Linear

Proposisi 15.2.6 (Pertaksamaan $ax+b>0$)

Misalkan $a,b\in\mathbb{R}$. Himpunan penyelesaian $ax+b>0$ di $\mathbb{R}$ adalah:

(i) $\bigl(-\tfrac ba,\infty\bigr)$ bila $a>0$;

(ii) $\bigl(-\infty,-\tfrac ba\bigr)$ bila $a<0$;

(iii) $\mathbb{R}$ bila $a=0$ dan $b>0$;

(iv) $\emptyset$ bila $a=0$ dan $b\leq0$.

Untuk $ax+b\geq0$, ganti interval buka pada (i)–(ii) dengan interval tutup di ujung $-\tfrac ba$, dan pada kasus $a=0$ syaratnya menjadi $b\geq0$ untuk $\mathbb{R}$ dan $b<0$ untuk $\emptyset$.

Bukti. (i) $ax+b>0\iff ax>-b\iff x>-\tfrac ba$. Langkah terakhir mengalikan dengan $a^{-1}>0$ (Teorema 10.2.3(i)), dan arah balik mengalikan dengan $a>0$.

(ii) Langkah yang sama, tetapi $a^{-1}<0$ (Teorema 10.2.3(ii)) membalik arah: $ax>-b\iff x<-\tfrac ba$. Arah balik: perkalian dengan $a<0$ membalik lagi.

(iii)–(iv) Bila $a=0$, kalimatnya menjadi $b>0$, yang tidak memuat $x$. Kalimat itu benar untuk semua $x$ atau salah untuk semua $x$.

Versi $\geq$ dibuktikan dengan cara yang sama, memakai bentuk lemah Korolari 10.2.1a. $\square$

Kasus $a=0$ sering terlewat. Bila koefisien $a$ diberikan sebagai parameter, misalnya $a=m-1$, pembagian dengan $a$ hanya sah setelah kasus $a=0$ dipisahkan. Latihan 15.2-4 membahas hal ini.

Contoh 15.2.7 (Himpunan Penyelesaian Berupa Gabungan)

Pada $\mathbb{R}$, $x^2\geq x$ mempunyai $\operatorname{HP}=(-\infty,0]\cup[1,\infty)$.

Bukti. $x^2\geq x\iff x(x-1)\geq0$ (Proposisi 15.1.4). Kita periksa tanda hasil kali dengan trikotomi pada kedua faktor.

• Jika $x\leq0$: $x\leq0$ dan $x-1<0$. Hasil kali bilangan tak positif dan bilangan negatif adalah tak negatif (Proposisi 10.1.9; bernilai $0$ bila $x=0$). Jadi solusi.
• Jika $0<x<1$: $x>0$ dan $x-1<0$, sehingga hasil kalinya negatif. Bukan solusi.
• Jika $x\geq1$: kedua faktor tak negatif, sehingga hasil kalinya tak negatif. Jadi solusi.

Ketiga kasus mencakup $\mathbb{R}$, sehingga kedua inklusi terbukti. $\square$

Bentuk jawaban ini, gabungan dua sinar tutup, menunjukkan bahwa himpunan penyelesaian pertaksamaan tidak harus satu interval. Bab 16 mensistematiskan analisis tanda semacam ini.

Strategi

Strategi 1: Tetapkan semesta sebelum menyelesaikan. Bila semesta berubah, gunakan Proposisi 15.2.3.

Strategi 2: Usahakan rantai ekuivalensi, dan sebutkan alasan dapat-dibaliknya setiap langkah.

Strategi 3: Bila ada langkah satu arah, perlakukan hasilnya sebagai kandidat (inklusi $\subseteq$), lalu periksa setiap kandidat.

Strategi 4: Pisahkan kasus parameter, terutama kasus koefisien nol, sebelum membagi.

Latihan

Latihan 15.2-1. (a) Buktikan bahwa himpunan penyelesaian $2x-4>2$ di $\mathbb{R}$ adalah $(3,\infty)$, dengan menyebut hukum urutan pada setiap langkah. (b) Selesaikan $2x-4\geq2$ di $\mathbb{R}$. (c) Selesaikan $2x-4>2$ di $\mathbb{Z}$ dan di $\{x\in\mathbb{R}:x<5\}$.

Latihan 15.2-2. Tentukan himpunan penyelesaian $x^2=2$ dan $2x=1$ masing-masing di $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, dan $\mathbb{R}$, dengan rujukan pada hasil yang dipakai.

Latihan 15.2-3. Nyatakan dan buktikan klasifikasi lengkap himpunan penyelesaian $ax+b\geq0$ di $\mathbb{R}$ untuk semua $a,b\in\mathbb{R}$.

Latihan 15.2-4. Untuk parameter $m\in\mathbb{R}$, selesaikan $(m-1)x>m-1$ di $\mathbb{R}$. Pisahkan semua kasus $m$.

Latihan 15.2-5. Selesaikan $x^2<x$ dan $x^2\geq x$ di $\mathbb{R}$. Periksa bahwa kedua jawaban saling komplemen seperti dijamin Teorema 15.1.3.

Latihan 15.2-6. Seseorang menebak bahwa himpunan penyelesaian $x^3-x>0$ di $\mathbb{R}$ adalah $(1,\infty)$, setelah memeriksa bahwa $x=2,3,10$ memenuhi dan $x=0,1$ tidak. (a) Tunjukkan bahwa tebakan itu salah dengan satu bilangan. (b) Tentukan himpunan penyelesaian yang benar dengan bukti. (c) Jelaskan inklusi mana yang tidak dibuktikan oleh pemeriksaan titik.

Latihan 15.2-7. Selesaikan $x-1=\sqrt{x+1}$ pada semesta $[-1,\infty)$. Mengkuadratkan kedua ruas menghasilkan kandidat; jelaskan inklusi mana yang dibuktikan oleh langkah itu, lalu periksa setiap kandidat.

Latihan 15.2-8. Di $\mathbb{R}$, selesaikan (a) sistem $x^2<9$ dan $2x+1\geq0$, dan (b) disjungsi $x^2<9$ atau $2x+1\geq0$.

Solusi

Solusi 15.2-1. (a) Contoh 15.2.5.

(b) $2x-4\geq2\iff2x\geq6\iff x\geq3$. Himpunan penyelesaiannya $[3,\infty)$.

(c) Proposisi 15.2.3. Di $\mathbb{Z}$: $\{4,5,6,\ldots\}$. Bilangan bulat yang lebih dari $3$ adalah yang $\geq4$, karena tidak ada bilangan bulat di antara $3$ dan $4$. Di $\{x<5\}$: $(3,\infty)\cap(-\infty,5)=(3,5)$. $\square$

Solusi 15.2-2.

• $2x=1$: di $\mathbb{R}$ dan $\mathbb{Q}$, $\{\tfrac12\}$; di $\mathbb{Z}$, $\emptyset$ (Contoh 15.2.4(a)).
• $x^2=2$: di $\mathbb{R}$, $\{\pm\sqrt2\}$ (Teorema 12.3.4(iii), 11.3.8). Di $\mathbb{Q}$ dan $\mathbb{Z}$, $\emptyset$ (Teorema 8.4.7, lalu Proposisi 15.2.3 dengan $\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}$).

$\square$

Solusi 15.2-3. Untuk $ax+b\geq0$ di $\mathbb{R}$:

• $a>0$: $\operatorname{HP}=[-\tfrac ba,\infty)$;
• $a<0$: $\operatorname{HP}=(-\infty,-\tfrac ba]$;
• $a=0$ dan $b\geq0$: $\operatorname{HP}=\mathbb{R}$;
• $a=0$ dan $b<0$: $\operatorname{HP}=\emptyset$.

Bukti seperti Proposisi 15.2.6: $ax\geq-b$, lalu kalikan dengan $a^{-1}$, yang mempertahankan arah bila $a>0$ dan membalik arah bila $a<0$. Untuk $a=0$, kalimatnya $b\geq0$, tanpa variabel. $\square$

Solusi 15.2-4. Tulis $a=m-1$. Kalimatnya $ax>a$, atau $ax-a>0$, yaitu $a(x-1)>0$.

• $m>1$ ($a>0$): $x-1>0$, sehingga $\operatorname{HP}=(1,\infty)$.
• $m<1$ ($a<0$): $x-1<0$, sehingga $\operatorname{HP}=(-\infty,1)$.
• $m=1$ ($a=0$): $0>0$ salah, sehingga $\operatorname{HP}=\emptyset$.

Membagi kedua ruas dengan $m-1$ tanpa memisahkan kasus akan salah pada dua kasus terakhir. Pada $m<1$ arahnya harus dibalik, dan pada $m=1$ pembagian tidak terdefinisi. $\square$

Solusi 15.2-5. $x^2<x\iff x(x-1)<0$. Analisis tanda Contoh 15.2.7 memberi $\operatorname{HP}=(0,1)$, dan $x^2\geq x$ mempunyai $\operatorname{HP}=(-\infty,0]\cup[1,\infty)$. Kedua himpunan saling lepas dan gabungannya $\mathbb{R}$, sesuai Teorema 15.1.3(c), karena $\neg(x^2<x)\equiv x^2\geq x$. $\square$

Solusi 15.2-6. (a) $x=-\tfrac12$: $(-\tfrac12)^3-(-\tfrac12)=-\tfrac18+\tfrac12=\tfrac38>0$, padahal $-\tfrac12\notin(1,\infty)$.

(b) $x^3-x=x(x-1)(x+1)$. Tanda hasil kali pada keempat daerah:

• $x<-1$: ketiga faktor negatif, hasil kali negatif;
• $-1<x<0$: tepat dua faktor negatif ($x$ dan $x-1$), hasil kali positif;
• $0<x<1$: tepat satu faktor negatif ($x-1$), hasil kali negatif;
• $x>1$: semua faktor positif, hasil kali positif.

Di titik $-1$, $0$, $1$ hasil kalinya nol. Jadi $\operatorname{HP}=(-1,0)\cup(1,\infty)$.

(c) Pemeriksaan $x=2,3,10$ hanya menunjukkan bahwa ketiga bilangan itu solusi. Itu tidak membuktikan $(1,\infty)\subseteq\operatorname{HP}$, dan sama sekali tidak menguji inklusi $\operatorname{HP}\subseteq(1,\infty)$. Inklusi kedua itulah yang salah. $\square$

Solusi 15.2-7. Akar kuadrat taknegatif $\sqrt{x+1}$ terdefinisi untuk $x\geq-1$ (Definisi 12.3.1). Jika $x$ solusi, maka $x-1=\sqrt{x+1}\geq0$, dan mengkuadratkan memberi $(x-1)^2=x+1$, yaitu $x^2-3x=0$, sehingga $x\in\{0,3\}$. Rantai ini hanya membuktikan $\operatorname{HP}\subseteq\{0,3\}$.

Pemeriksaan kandidat:

• $x=0$: ruas kiri $-1$, ruas kanan $\sqrt1=1$. Tidak sama, jadi bukan solusi.
• $x=3$: ruas kiri $2$, ruas kanan $\sqrt4=2$, karena $2\geq0$ dan $2^2=4$. Jadi solusi.

$\operatorname{HP}=\{3\}$. Kandidat $0$ muncul karena pengkuadratan juga menangkap solusi $-(x-1)=\sqrt{x+1}$. $\square$

Solusi 15.2-8. $x^2<9\iff-3<x<3$ (seperti Contoh 15.1.5), dan $2x+1\geq0\iff x\geq-\tfrac12$.

(a) Irisan: $(-3,3)\cap[-\tfrac12,\infty)=[-\tfrac12,3)$.

(b) Gabungan: $(-3,3)\cup[-\tfrac12,\infty)=(-3,\infty)$. $\square$

Ringkasan

Solusi adalah anggota semesta yang membuat kalimat benar, dan himpunan penyelesaian adalah himpunan semua solusi itu. Semesta (ruang solusi) mengubah jawaban, dan mempersempit semesta berarti mengiris himpunan penyelesaian. Menyatakan himpunan penyelesaian adalah klaim kesamaan himpunan yang menuntut dua inklusi. Rantai ekuivalensi memberi keduanya; langkah satu arah hanya menghasilkan kandidat; pemeriksaan titik tidak membuktikan apa pun tentang seluruh himpunan. Pertaksamaan linear diklasifikasikan lengkap, termasuk kasus koefisien nol. Unit 15.3 meneliti operasi aljabar mana yang mempertahankan himpunan penyelesaian, dan jebakan apa yang muncul ketika suatu operasi hanya satu arah.

15.3 Sifat Ekuivalensi dan Jebakan Operasi Aljabar

Menyelesaikan persamaan atau pertaksamaan berarti mengubahnya, langkah demi langkah, menjadi bentuk yang himpunan penyelesaiannya terbaca langsung. Unit 15.2 menegaskan bahwa hasil akhir sahih hanya bila setiap langkah mempertahankan himpunan penyelesaian, atau bila langkah satu arah diikuti pemeriksaan. Unit ini mengklasifikasikan langkah-langkah itu. Ada transformasi yang selalu aman, ada yang aman dengan syarat tanda, dan ada jebakan yang diam-diam menambah atau menghapus solusi. Penjelasan master menyoroti jebakan terpenting: mengalikan kedua ruas pertaksamaan dengan ekspresi bervariabel tanpa menguji tandanya. Unit 9.4 telah membahas jebakan aljabar pada persamaan, seperti pembagian oleh faktor nol, pengkuadratan, $\sqrt{x^2}$, akar jumlah, dan basis negatif. Unit ini memusatkan perhatian pada pertaksamaan, tempat tanda faktor menentukan arah, dan mengulang jebakan persamaan hanya sejauh diperlukan untuk himpunan penyelesaian.

Prasyarat: Unit 15.1–15.2; Teorema 10.1.5, Proposisi 10.1.9, Korolari 10.2.1a, Teorema 10.2.3–10.2.6 beserta korolarinya; Definisi 12.3.1 dan Korolari 12.3.5 ($\sqrt{x^2}=|x|$).

Ekuivalensi dan Konsekuensi

Definisi 15.3.1 (Kalimat Ekuivalen dan Konsekuensi)

Misalkan $P(x)$ dan $Q(x)$ kalimat terbuka pada semesta yang sama $D$.

(a) $P$ dan $Q$ ekuivalen pada $D$ jika $\forall x\in D\,\bigl(P(x)\Leftrightarrow Q(x)\bigr)$, yaitu $\operatorname{HP}_D(P)=\operatorname{HP}_D(Q)$.

(b) $Q$ adalah konsekuensi $P$ pada $D$ jika $\forall x\in D\,\bigl(P(x)\Rightarrow Q(x)\bigr)$, yaitu $\operatorname{HP}_D(P)\subseteq\operatorname{HP}_D(Q)$.

Langkah penyelesaian yang mengganti $P$ dengan $Q$ bersifat:

• ekuivalen bila (a) berlaku: tidak ada solusi yang hilang dan tidak ada yang bertambah;
• satu arah ke depan bila hanya (b) berlaku: solusi tidak hilang, tetapi bisa muncul solusi asing (extraneous), sehingga kandidat harus diperiksa;
• satu arah ke belakang bila hanya $Q\Rightarrow P$ berlaku: semua yang ditemukan memang solusi, tetapi sebagian solusi bisa hilang.

Ekuivalensi pada $D$ bergantung pada $D$. Langkah yang ekuivalen pada $(0,\infty)$ bisa gagal pada $\mathbb{R}$. Banyak jebakan berasal dari lupa bahwa suatu langkah sah hanya pada sebagian semesta.

Transformasi yang Aman

Definisi 15.3.2 (Fungsi Naik dan Turun Tegas)

Misalkan $I\subseteq\mathbb{R}$ dan $\varphi:I\to\mathbb{R}$. Fungsi $\varphi$ naik tegas pada $I$ jika untuk semua $u,v\in I$, $u<v$ mengakibatkan $\varphi(u)<\varphi(v)$. Fungsi $\varphi$ turun tegas jika $u<v$ mengakibatkan $\varphi(u)>\varphi(v)$.

Lemma 15.3.3 (Fungsi Monoton Tegas Mempertahankan Perbandingan)

Jika $\varphi$ naik tegas pada $I$, maka untuk semua $u,v\in I$:

Jika $\varphi$ turun tegas, ketiga ekuivalensi berlaku dengan arah ketaksamaan di ruas kanan dibalik.