# Bab 45: Teorema Dasar Kalkulus (Fundamental Theorem of Calculus)

## 45.1 Teorema Dasar Kalkulus Bagian Pertama

Penjelasan master untuk Bab 45: teorema dasar kalkulus menyatukan kalkulus diferensial dan kalkulus integral. Master menyebutnya penemuan terbesar dalam sejarah matematika. Penjelasan master untuk unit ini: turunan dari fungsi integral tentu adalah fungsi aslinya sendiri,
$$\frac d{dx}\int_a^xf(t)\,dt=f(x).$$

Bab 39–42 membangun turunan sebagai limit hasil bagi selisih. Bab 43–44 membangun integral sebagai supremum jumlah bawah dan infimum jumlah atas. Kedua konstruksi tidak saling menyebut. Unit ini membuktikan bahwa keduanya saling invers, dalam bentuk yang tepat: rumus master berlaku di setiap titik tempat $f$ kontinu, dan dapat gagal di titik ketidakkontinuan. Unit 45.2 membuktikan arah sebaliknya, yaitu evaluasi integral dengan antiturunan.

Prasyarat: Bab 43–44; Definisi 39.1.1 (turunan, termasuk turunan sepihak di ujung domain); aturan rantai (Teorema 40.1.2); Akibat 41.2.3.

### Fungsi Integral

#### Definisi 45.1.1 (Fungsi Integral)

Misalkan $f$ terintegralkan pada $[a,b]$. Fungsi integral $f$ dengan titik dasar $a$ adalah
$$F(x)=\int_a^xf(t)\,dt,\qquad x\in[a,b].$$

Definisi ini sah. $F(a)=0$ menurut Definisi 44.2.4. Untuk $a<x\leq b$, $f$ terintegralkan pada $[a,x]$ menurut Teorema 44.2.2, arah ($\Rightarrow$), dengan $c=x$. Untuk $x=b$, ini integral semula. Lebih umum, untuk $a\leq x<y\leq b$, aditivitas memberi
$$F(y)-F(x)=\int_x^yf(t)\,dt.\tag{$\ast$}$$
Rumus ini berlaku untuk sebarang urutan $x,y$ menurut konvensi orientasi.

#### Teorema 45.1.2 (Fungsi Integral Lipschitz)

Bila $f$ terintegralkan pada $[a,b]$ dan $|f|\leq K$, maka $|F(y)-F(x)|\leq K|y-x|$ untuk semua $x,y\in[a,b]$. Khususnya, $F$ kontinu seragam pada $[a,b]$.

Bukti. Misalkan $x<y$. Menurut $(\ast)$ dan Teorema 44.2.5(b), dengan $-K\leq f\leq K$ pada $[x,y]$:
$$-K(y-x)\leq F(y)-F(x)\leq K(y-x).$$
Kasus $x>y$ simetris, dan kasus $x=y$ trivial. Kontinuitas seragam mengikuti dengan $\delta=\tfrac\varepsilon K$ untuk $K>0$; bila $K=0$, $F$ konstan. $\square$

Jadi pengintegralan menghaluskan: $f$ boleh meloncat atau tidak kontinu di tak hingga banyak titik, tetapi $F$ selalu kontinu.

### Teorema Utama

#### Teorema 45.1.3 (Teorema Dasar Kalkulus I)

Misalkan $f$ terintegralkan pada $[a,b]$, $F(x)=\int_a^xf$, dan $f$ kontinu di $c\in[a,b]$. Maka $F$ terdiferensialkan di $c$, dan
$$F'(c)=f(c).$$
Di $c=a$ atau $c=b$, turunannya adalah turunan sepihak, sesuai Definisi 39.1.1 dengan domain $[a,b]$.

Bukti. Untuk $h\ne0$ dengan $c+h\in[a,b]$, $(\ast)$ dan Contoh 43.1.10 memberi
$$\frac{F(c+h)-F(c)}h-f(c)=\frac1h\int_c^{c+h}f(t)\,dt-\frac1h\int_c^{c+h}f(c)\,dt=\frac1h\int_c^{c+h}\bigl(f(t)-f(c)\bigr)\,dt.$$
Untuk $h<0$, kesamaan kedua juga benar, karena $\int_c^{c+h}f(c)\,dt=-f(c)(c-(c+h))=f(c)h$ menurut Definisi 44.2.4.

Misalkan $\varepsilon>0$. Kontinuitas $f$ di $c$ memberi $\delta>0$ sehingga $|f(t)-f(c)|\leq\varepsilon$ untuk setiap $t\in[a,b]$ dengan $|t-c|<\delta$. Bila $0<|h|<\delta$, setiap $t$ di antara $c$ dan $c+h$ memenuhi $|t-c|\leq|h|<\delta$. Teorema 44.2.5(b) dan (c), pada interval di antara $c$ dan $c+h$ yang panjangnya $|h|$, memberi
$$\Bigl|\int_c^{c+h}\bigl(f(t)-f(c)\bigr)\,dt\Bigr|\leq\varepsilon|h|.$$
Jadi
$$\Bigl|\frac{F(c+h)-F(c)}h-f(c)\Bigr|\leq\varepsilon\qquad\text{untuk }0<|h|<\delta,$$
yang tepat merupakan definisi $F'(c)=f(c)$. $\square$

Inti bukti: $\tfrac1h\int_c^{c+h}f$ adalah nilai rata-rata $f$ pada interval kecil di sekitar $c$, dan kontinuitas memaksa rata-rata itu mendekati $f(c)$. Bila $f$ kontinu pada seluruh $[a,b]$, Teorema 44.2.7 bahkan memberi $\xi_h$ di antara $c$ dan $c+h$ dengan $\tfrac{F(c+h)-F(c)}h=f(\xi_h)$, sehingga hasilnya langsung. Bukti di atas lebih umum, karena hanya memerlukan kontinuitas di satu titik $c$.

#### Akibat 45.1.4 (Keberadaan Antiturunan)

Misalkan $I$ interval tak merosot dan $f:I\to\mathbb{R}$ kontinu. Tetapkan $x_0\in I$ dan $F(x)=\int_{x_0}^xf$ untuk $x\in I$. Maka $F$ terdiferensialkan pada $I$ dengan $F'=f$. Setiap fungsi $G$ dengan $G'=f$ pada $I$ berbentuk $G=F+C$ untuk suatu konstanta $C$.

Bukti. $F$ terdefinisi, karena $f$ kontinu pada interval tertutup di antara $x_0$ dan $x$ (Teorema 44.1.1). Misalkan $c\in I$. Karena $I$ interval tak merosot, ada $\alpha<\beta$ di $I$ sehingga $[\alpha,\beta]$ memuat $x_0$ dan $c$, dan $c$ titik dalam $[\alpha,\beta]$ kecuali bila $c$ ujung $I$ yang termuat di $I$. Dalam kasus terakhir, $c$ juga ujung $[\alpha,\beta]$ yang sepihak sama. Jadi $[\alpha,\beta]$ dan $I$ memuat titik-titik yang sama di sekitar $c$. Pada $[\alpha,\beta]$, $F(x)=\int_\alpha^xf-\int_\alpha^{x_0}f$ menurut konvensi orientasi. Teorema 45.1.3 pada $[\alpha,\beta]$ memberi $F'(c)=f(c)$, karena hasil bagi selisih di $c$ hanya memakai nilai di sekitar $c$. Bagian terakhir adalah Akibat 41.2.4. $\square$

Akibat ini menjawab pertanyaan yang belum terjawab sejak Bab 40: setiap fungsi kontinu mempunyai antiturunan. Contohnya, $\exp(-x^2)$ mempunyai antiturunan $\int_0^x\exp(-t^2)\,dt$, walaupun antiturunan itu tidak dapat dituliskan dengan fungsi dasar. Fakta terakhir ini dicatat tanpa bukti dan tidak dipakai.

### Contoh

#### Contoh 45.1.5 (Contoh Master)

(a) $f(t)=t^2$ kontinu. Solusi 44.2-2 memberi $F(x)=\int_0^xt^2\,dt=\tfrac{x^3}3$ untuk $x>0$, sehingga $F'(x)=x^2=f(x)$, sesuai rumus master. Di sini rumus master diperiksa dengan dua perhitungan yang terpisah: integral dihitung dengan jumlah Darboux, dan turunan dengan Proposisi 39.1.3.

(b) $\tfrac d{dx}\int_1^x\tfrac{dt}t=\tfrac1x$ untuk $x>0$, menurut Akibat 45.1.4 pada $I=(0,\infty)$. Fungsi $\ln$ mempunyai turunan yang sama (Teorema 40.2.6(a)) dan bernilai $0$ di $1$. Akibat 45.1.4 memberi $\ln x=\int_1^x\tfrac{dt}t$. Hasil ini dicatat ulang sebagai Teorema 45.2.4.

(c) Batas atas berupa fungsi. Misalkan $G(x)=\int_0^{x^2}\exp(t^2)\,dt$. Dengan $F(u)=\int_0^u\exp(t^2)\,dt$, $G=F\circ s$ untuk $s(x)=x^2$. Aturan rantai dan Akibat 45.1.4 memberi
$$G'(x)=F'(x^2)\cdot2x=2x\exp(x^4).$$
Kesalahan umum adalah menulis $G'(x)=\exp(x^4)$, yang melupakan faktor $2x$.

#### Contoh 45.1.6 (Ketidakkontinuan: Rumus Master Gagal)

(a) Loncatan. Misalkan $f(t)=0$ untuk $t<0$ dan $f(t)=1$ untuk $t\geq0$, pada $[-1,1]$. Maka $F(x)=\int_{-1}^xf$ sama dengan $0$ untuk $x\leq0$ dan $x$ untuk $x>0$ (aditivitas, Contoh 43.1.10, dan Latihan 43.1-5). Turunan kiri $F$ di $0$ adalah $0$, sedangkan turunan kanannya $1$. Jadi $F$ tidak terdiferensialkan di $0$. Rumus master gagal tepat di titik tempat $f$ tidak kontinu.

(b) Titik terisolasi. Misalkan $f(0)=1$ dan $f(t)=0$ untuk $t\ne0$, pada $[-1,1]$. Maka $F\equiv0$ (Latihan 43.1-5), sehingga $F'(0)=0\ne1=f(0)$. Di sini $F$ terdiferensialkan di $0$, tetapi turunannya bukan $f(0)$. Integral tidak "melihat" nilai di satu titik.

(c) Fungsi Thomae pada $[0,1]$, yang di sini ditulis $\tau$ agar tidak bentrok dengan variabel integrasi $t$ (Contoh 43.2.9 menulisnya $t$). Untuk $0<x\leq1$: $0\leq\int_0^x\tau\leq\int_0^1\tau=0$, karena $\tau\geq0$ dan $\int_x^1\tau\geq0$ (aditivitas dan Teorema 44.2.5(a)), serta Contoh 43.2.9. Jadi $F\equiv0$ dan $F'(x)=0$ untuk setiap $x$. Kesamaan $F'(x)=\tau(x)$ berlaku tepat di setiap irasional, yaitu di titik tempat $\tau$ kontinu, dan gagal di setiap rasional dalam $[0,1]$, termasuk $0=\tfrac01$ dengan $\tau(0)=1$. Ini konsisten dengan Teorema 45.1.3: teorema itu menjamin kesamaan di titik kontinuitas, dan tidak menjamin apa pun di titik lain.

### Latihan

Latihan 45.1-1. Untuk $x\in[0,2]$, hitung $F(x)=\int_0^x|t-1|\,dt$ secara eksplisit, dengan Latihan 43.1-7, kelinearan, dan aditivitas. Periksa bahwa $F'(x)=|x-1|$ di setiap titik, termasuk di $x=1$.

Latihan 45.1-2. Untuk $x>0$, misalkan $G(x)=\int_x^{2x}\tfrac{dt}t$. Buktikan bahwa $G$ konstan, tanpa menghitung integralnya, dan berikan batas bawah dan atas untuk nilai konstanta itu.

Latihan 45.1-3. Untuk $x\in[0,3]$, hitung $F(x)=\int_0^x\lfloor t\rfloor\,dt$. Tentukan di titik mana $F$ terdiferensialkan, hitung turunan sepihak di titik lain, dan bandingkan $F'(3)$ dengan $\lfloor3\rfloor$.

Latihan 45.1-4. Misalkan $f$ kontinu pada $[a,b]$ dan $\int_a^xf=\int_x^bf$ untuk setiap $x\in[a,b]$. Buktikan bahwa $f\equiv0$.

Latihan 45.1-5. Tentukan semua pasangan $(f,c)$, dengan $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ kontinu dan $c\in\mathbb{R}$, yang memenuhi $\int_c^xf(t)\,dt=x^2-4$ untuk semua $x$.

Latihan 45.1-6. Buktikan bahwa $\lim_{x\to0}\tfrac1x\int_0^x\exp(t^2)\,dt=1$. Untuk $0<x\leq1$, buktikan juga $1\leq\tfrac1x\int_0^x\exp(t^2)\,dt\leq\exp(x^2)$.

Latihan 45.1-7. Hitung $G'(x)$ untuk $G(x)=\int_x^{x^3}\exp(t^2)\,dt$, dan nilai $G'(1)$.

Latihan 45.1-8. Misalkan $f$ naik pada $[a,b]$. Buktikan bahwa $F(x)=\int_a^xf$ cekung ke atas pada $[a,b]$, walaupun $F$ tidak harus terdiferensialkan.

### Solusi

Solusi 45.1-1. Untuk $0\leq a<b$, Latihan 43.1-7 dan Contoh 43.1.10 memberi $\int_a^b(1-t)\,dt=(b-a)-\tfrac{b^2-a^2}2$ dan $\int_a^b(t-1)\,dt=\tfrac{b^2-a^2}2-(b-a)$. Untuk $0\leq x\leq1$, $|t-1|=1-t$ pada $[0,x]$, sehingga $F(x)=x-\tfrac{x^2}2$. Untuk $1<x\leq2$, aditivitas memberi
$$F(x)=F(1)+\int_1^x(t-1)\,dt=\tfrac12+\tfrac{x^2-1}2-(x-1)=\tfrac12+\tfrac{(x-1)^2}2.$$
Turunannya $1-x=|x-1|$ pada $[0,1)$ dan $x-1=|x-1|$ pada $(1,2]$. Di $x=1$, turunan kiri $1-1=0$ dan turunan kanan $0$, sehingga $F'(1)=0=|1-1|$. Ini sesuai Teorema 45.1.3, karena $|t-1|$ kontinu di mana-mana. Juga $F(2)=1$. $\square$

Solusi 45.1-2. $\tfrac1t$ kontinu pada $(0,\infty)$. Misalkan $F(x)=\int_1^x\tfrac{dt}t$. Akibat 45.1.4 memberi $F'(x)=\tfrac1x$. Konvensi orientasi memberi $G(x)=F(2x)-F(x)$. Aturan rantai memberi $G'(x)=2\cdot\tfrac1{2x}-\tfrac1x=0$ pada interval $(0,\infty)$. Akibat 41.2.3 memberi bahwa $G$ konstan, yaitu $G(x)=G(1)=\int_1^2\tfrac{dt}t$. Pada $[1,2]$, $\tfrac12\leq\tfrac1t\leq1$, sehingga Teorema 44.2.5(b) memberi $\tfrac12\leq G(1)\leq1$. Unit 45.2 memberi nilainya, $\ln2$. $\square$

Solusi 45.1-3. Pada $[k,x]$ dengan $k\leq x\leq k+1$, $\lfloor t\rfloor=k$ kecuali mungkin di $t=k+1$, sehingga $\int_k^x\lfloor t\rfloor\,dt=k(x-k)$ (Latihan 43.1-5). Dengan aditivitas:
$$F(x)=\begin{cases}0,&0\leq x\leq1,\\x-1,&1\leq x\leq2,\\1+2(x-2)=2x-3,&2\leq x\leq3.\end{cases}$$
Kasus-kasus itu cocok di $x=1$ ($F=0$) dan $x=2$ ($F=1$), sesuai Teorema 45.1.2. $F$ terdiferensialkan dengan $F'(x)=\lfloor x\rfloor$ pada $(0,1)$, $(1,2)$, dan $(2,3)$, serta di $0$ dengan turunan kanan $0$. Di $1$, turunan kiri $0$ dan turunan kanan $1$. Di $2$, turunan kiri $1$ dan turunan kanan $2$. Di kedua titik itu $F$ tidak terdiferensialkan. Di $3$, turunannya, yang hanya sepihak, adalah $2$, sedangkan $\lfloor3\rfloor=3$. Ini tidak bertentangan dengan Teorema 45.1.3, karena $\lfloor\cdot\rfloor$ tidak kontinu di $3$: limit kirinya $2$. $\square$

Solusi 45.1-4. Misalkan $F(x)=\int_a^xf$. Hipotesis menyatakan $F(x)=F(b)-F(x)$, yaitu $F(x)=\tfrac{F(b)}2$ untuk semua $x$. Jadi $F$ konstan. Teorema 45.1.3 memberi $f(x)=F'(x)=0$ untuk setiap $x\in[a,b]$, dengan turunan sepihak di ujung. $\square$

Solusi 45.1-5. Misalkan $(f,c)$ memenuhi syarat. Turunkan kedua ruas. Akibat 45.1.4 memberi $f(x)=2x$ untuk semua $x$. Substitusi $x=c$ memberi $0=c^2-4$, sehingga $c=2$ atau $c=-2$. Sebaliknya, untuk $f(t)=2t$ dan $c=\pm2$, fungsi $H(x)=\int_c^x2t\,dt-(x^2-4)$ memenuhi $H'(x)=2x-2x=0$ dan $H(c)=0-(c^2-4)=0$. Akibat 41.2.3 memberi $H\equiv0$. Jadi tepat ada dua pasangan, yaitu $(2t,2)$ dan $(2t,-2)$. $\square$

Solusi 45.1-6. Misalkan $F(x)=\int_0^x\exp(t^2)\,dt$, dengan integran kontinu. Maka $\tfrac1xF(x)=\tfrac{F(x)-F(0)}{x-0}\to F'(0)=\exp(0)=1$, menurut Akibat 45.1.4. Untuk $0<x\leq1$ dan $t\in[0,x]$: $0\leq t^2\leq x^2$, sehingga $1\leq\exp(t^2)\leq\exp(x^2)$, karena $\exp$ naik. Teorema 44.2.5(b) memberi $x\leq F(x)\leq x\exp(x^2)$. Bagi dengan $x$. Contohnya, untuk $x=0{,}1$, rata-ratanya terletak di antara $1$ dan $\exp(0{,}01)<1{,}0101$. $\square$

Solusi 45.1-7. Misalkan $F(u)=\int_0^u\exp(t^2)\,dt$. Konvensi orientasi memberi $G(x)=F(x^3)-F(x)$. Aturan rantai dan Akibat 45.1.4 memberi
$$G'(x)=\exp(x^6)\cdot3x^2-\exp(x^2).$$
Jadi $G'(1)=3e-e=2e$. $\square$

Solusi 45.1-8. Misalkan $x<z<y$ di $[a,b]$. Pada $[x,z]$, $f\leq f(z)$, sehingga Teorema 44.2.5(b) dan $(\ast)$ memberi $\tfrac{F(z)-F(x)}{z-x}\leq f(z)$. Pada $[z,y]$, $f\geq f(z)$, sehingga $\tfrac{F(y)-F(z)}{y-z}\geq f(z)$. Jadi kemiringan kiri $\leq$ kemiringan kanan. Kemiringan $\tfrac{F(y)-F(x)}{y-x}$ adalah rata-rata berbobot kedua kemiringan itu, dengan bobot $\tfrac{z-x}{y-x}$ dan $\tfrac{y-z}{y-x}$, sehingga terletak di antara keduanya. Lemma 42.1.5 memberi bahwa $F$ cekung ke atas. Teorema 42.1.6 tidak dapat dipakai langsung, karena $F$ tidak harus terdiferensialkan. Contohnya, $F$ pada Latihan 45.1-3 tidak terdiferensialkan di $1$ dan $2$, walaupun $\lfloor t\rfloor$ naik. $\square$

### Ringkasan

Untuk $f$ terintegralkan pada $[a,b]$, fungsi integral $F(x)=\int_a^xf$ selalu Lipschitz, sehingga kontinu, walaupun $f$ meloncat. Teorema dasar kalkulus bagian pertama menyatakan bahwa $F'(c)=f(c)$ di setiap titik $c$ tempat $f$ kontinu. Buktinya: $\tfrac{F(c+h)-F(c)}h$ adalah rata-rata $f$ pada interval kecil di sekitar $c$, dan kontinuitas memaksa rata-rata itu mendekati $f(c)$. Akibatnya, setiap fungsi kontinu pada interval mempunyai antiturunan, dan semua antiturunannya hanya berbeda konstanta. Rumus master $\tfrac d{dx}\int_a^xf=f(x)$ diperiksa untuk $t^2$. Di titik ketidakkontinuan, rumus itu dapat gagal dalam dua cara: $F$ tidak terdiferensialkan (loncatan), atau $F$ terdiferensialkan dengan turunan yang bukan $f(c)$ (titik terisolasi, fungsi Thomae di rasional).

## 45.2 Teorema Dasar Kalkulus Bagian Kedua (Evaluasi Integral)

Rumus master:
$$\int_1^3x^2\,dx=\left[\frac{x^3}3\right]_1^3=\frac{27}3-\frac13=\frac{26}3.$$

Unit 45.1 menurunkan fungsi integral. Unit ini mengintegralkan turunan: bila $G'=f$ dan $f$ terintegralkan, maka $\int_a^bf=G(b)-G(a)$. Dengan teorema ini, perhitungan integral, yang sebelumnya memerlukan jumlah Darboux dan rumus jumlah khusus seperti $\sum i^2$, menjadi pencarian antiturunan. Buktinya hanya memakai teorema nilai rata-rata pada setiap subinterval partisi. Teorema ini tidak memerlukan kontinuitas $f$, dan juga tidak memerlukan Unit 45.1. Unit ini juga menutup pinjaman terakhir P32-LN dari Unit 32.2, dan membuktikan nilai $\ln2$ untuk deret harmonik berganti tanda (Contoh 33.1.2).

Prasyarat: Bab 43–44; Teorema 41.2.1 (nilai rata-rata); Unit 45.1; Teorema 40.2.6.

### Teorema

#### Teorema 45.2.1 (Teorema Dasar Kalkulus II)

Misalkan $a<b$, $G$ kontinu pada $[a,b]$ dan terdiferensialkan pada $(a,b)$, dan $f$ terintegralkan pada $[a,b]$ dengan $f(x)=G'(x)$ untuk setiap $x\in(a,b)$. Maka
$$\int_a^bf=G(b)-G(a).$$
Ruas kanan ditulis $\bigl[G(x)\bigr]_a^b$.

Bukti. Misalkan $P=\{x_0<x_1<\cdots<x_n\}$ sebarang partisi $[a,b]$. Pada setiap $[x_{i-1},x_i]$, $G$ kontinu, dan terdiferensialkan di titik dalam. Teorema 41.2.1 memberi $\xi_i\in(x_{i-1},x_i)$ dengan
$$G(x_i)-G(x_{i-1})=G'(\xi_i)\,\Delta x_i=f(\xi_i)\,\Delta x_i.$$
Karena $m_i\leq f(\xi_i)\leq M_i$, penjumlahan teleskopik memberi
$$L(f,P)\leq\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i=G(b)-G(a)\leq U(f,P).$$
Jadi $G(b)-G(a)$ adalah batas atas semua jumlah bawah dan batas bawah semua jumlah atas, sehingga
$$\underline{\int_a^b}f\leq G(b)-G(a)\leq\overline{\int_a^b}f.$$
Karena $f$ terintegralkan, kedua ujung sama dengan $\int_a^bf$ (Definisi 43.1.9). $\square$

Perhatikan apa yang tidak diperlukan. Nilai $f$ di $a$ dan $b$ tidak berperan. $f$ tidak harus kontinu. Titik $\xi_i$ tidak perlu dipilih secara konstruktif: bukti hanya memakai keberadaan satu $\xi_i$ untuk setiap $i$ dari $1$ sampai $n$, berhingga banyaknya, sehingga tidak ada pemakaian aksioma pilihan (Unit 23.3). Yang mutlak diperlukan adalah bahwa $f$ terintegralkan. Contoh 45.2.6 menunjukkan bahwa tanpa hipotesis itu, rumusnya bahkan tidak bermakna.

#### Akibat 45.2.2 (Bentuk Gabungan)

Bila $f$ kontinu pada $[a,b]$ dan $G$ sebarang antiturunan $f$ pada $[a,b]$, maka $\int_a^bf=G(b)-G(a)$. Antiturunan selalu ada (Akibat 45.1.4), dan nilai $G(b)-G(a)$ tidak bergantung pada pilihan antiturunan, karena dua antiturunan berbeda konstanta.

Bukti. $f$ terintegralkan (Teorema 44.1.1), dan $G$ kontinu karena terdiferensialkan (Teorema 39.2.1). Gunakan Teorema 45.2.1. $\square$

### Contoh

#### Contoh 45.2.3 (Contoh Master dan Evaluasi Lain)

(a) $G(x)=\tfrac{x^3}3$ memenuhi $G'(x)=x^2$, dan $x^2$ kontinu. Jadi $\int_1^3x^2\,dx=\tfrac{27}3-\tfrac13=\tfrac{26}3$, sesuai rumus master. Pemeriksaan silang dengan Bab 44: Solusi 44.2-2 memberi $\int_0^bx^2=\tfrac{b^3}3$, dan aditivitas memberi $\int_1^3=9-\tfrac13=\tfrac{26}3$. Pemeriksaan dengan jumlah Darboux: untuk partisi seragam $\{1,\tfrac32,2,\tfrac52,3\}$, $L=\tfrac12(1+\tfrac94+4+\tfrac{25}4)=\tfrac{27}4=6{,}75$ dan $U=\tfrac12(\tfrac94+4+\tfrac{25}4+9)=\tfrac{43}4=10{,}75$. Nilai $\tfrac{26}3\approx8{,}667$ terletak di antaranya, dan $U-L=4=(9-1)\cdot\tfrac24$, sesuai Teorema 44.1.3.

(b) $\int_0^1\exp(x)\,dx=\exp(1)-\exp(0)=e-1$, karena $\exp'=\exp$ (Teorema 40.2.5). Bandingkan dengan Contoh 44.1.2, yang memerlukan deret geometri hingga dan limit.

(c) $\int_1^4\sqrt x\,dx=\bigl[\tfrac23x^{3/2}\bigr]_1^4=\tfrac{16}3-\tfrac23=\tfrac{14}3$, dengan Teorema 40.2.8(d) untuk $r=\tfrac32$ pada $(0,\infty)$. $G$ kontinu di $1$ dan $4$.

(d) $\int_{-1}^2(3x^2-2x)\,dx=\bigl[x^3-x^2\bigr]_{-1}^2=(8-4)-(-1-1)=6$.

(e) $\int_0^x\cos t\,dt=\sin x-\sin0=\sin x$ untuk $x>0$, menurut Teorema 40.2.13.

### Logaritma sebagai Integral

#### Teorema 45.2.4 (Penutupan P32-LN)

Untuk setiap $t>0$:
$$\ln t=\int_1^t\frac{dx}x,$$
dengan konvensi orientasi untuk $t<1$.

Bukti. Untuk $t>1$, terapkan Teorema 45.2.1 pada $[1,t]$ dengan $G=\ln$, yang terdiferensialkan pada $(0,\infty)$ dengan $\ln'(x)=\tfrac1x$ (Teorema 40.2.6(a)). Integran $\tfrac1x$ kontinu pada $[1,t]$. Hasilnya $\int_1^t\tfrac{dx}x=\ln t-\ln1=\ln t$. Untuk $0<t<1$: $\int_1^t\tfrac{dx}x=-\int_t^1\tfrac{dx}x=-(\ln1-\ln t)=\ln t$. Untuk $t=1$, kedua ruas $0$. $\square$

Teorema ini menutup sisa pinjaman P32-LN. Bersama penutupan (I1) dan (I2) di Bab 44, hasil-hasil Unit 32.2 berikut kini terbukti penuh:

- Ketaksamaan $\ln(n+1)\leq H_n\leq1+\ln n$. Teorema 32.2.1, dengan $G_k=\ln k=\int_1^k\tfrac{dx}x$, memerlukan $(\ast)$ di sana, yaitu $\tfrac1{k+1}\leq\ln(k+1)-\ln k\leq\tfrac1k$. Ini adalah (I2) untuk $f(x)=\tfrac1x$.
- Konstanta Euler–Mascheroni $\gamma=\lim(H_n-\ln n)\in[0,1]$ (Latihan 32.2-5).

Yang masih bergantung pada pinjaman hanyalah pernyataan "jika dan hanya jika integral tak wajar konvergen" pada Teorema 32.2.4, yaitu (I3), yang ditutup di Bab 46.

Pemeriksaan numerik: Solusi 44.1-2 memberi $\tfrac{533}{840}\leq\int_1^2\tfrac{dx}x\leq\tfrac{319}{420}$, sehingga $0{,}634<\ln2<0{,}760$. Ini konsisten dengan Contoh 41.2.6(b),(c), yang memberi $\tfrac12<\ln2<1$, dan dengan nilai $\ln2\approx0{,}693$.

#### Contoh 45.2.5 (Deret Harmonik Berganti Tanda)

Misalkan $S_m=\sum_{j=1}^m\tfrac{(-1)^{j+1}}j$. Maka $S_m\to\ln2$.

Bukti. Untuk $n\geq1$:
$$S_{2n}=\sum_{j=1}^{2n}\frac1j-2\sum_{i=1}^n\frac1{2i}=H_{2n}-H_n=\sum_{k=1}^n\frac1{n+k}=\frac1n\sum_{k=1}^n\frac1{1+\tfrac kn}.$$
Misalkan $f(x)=\tfrac1{1+x}$ pada $[0,1]$. $f$ turun, sehingga pada subinterval $[\tfrac{k-1}n,\tfrac kn]$ partisi seragam $P_n$, infimumnya $f(\tfrac kn)$. Jadi $S_{2n}=L(f,P_n)$. Teorema 44.1.3 memberi $U(f,P_n)-L(f,P_n)=\tfrac{f(0)-f(1)}n=\tfrac1{2n}\to0$, sehingga
$$S_{2n}\to\int_0^1\frac{dx}{1+x}=\bigl[\ln(1+x)\bigr]_0^1=\ln2,$$
menurut Akibat 43.2.2, Teorema 45.2.1, dan aturan rantai: $\tfrac d{dx}\ln(1+x)=\tfrac1{1+x}$. Terakhir, $S_{2n+1}=S_{2n}+\tfrac1{2n+1}\to\ln2$. Barisan yang subbarisan genap dan ganjilnya menuju limit yang sama juga menuju limit itu (Latihan 25.2-5). $\square$

Nilai ini dijanjikan di Contoh 33.1.2 untuk Bab 49. Kini nilai itu terbukti lebih awal, tanpa deret Taylor. Akibatnya, nilai $\tfrac32\ln2$ untuk penataan ulang di Contoh 33.2.6 juga terbukti, karena unit itu sudah membuktikan bahwa jumlah barunya adalah $\tfrac32S$. Numerik: $S_{10}=\tfrac{1627}{2520}\approx0{,}6456$, dan $|S_{10}-\ln2|\leq\tfrac1{11}$ menurut taksiran Leibniz (Unit 33.1).

### Batas Teorema

#### Contoh 45.2.6 (Turunan yang Tidak Terintegralkan)

Misalkan $F(x)=x^2\sin\tfrac1{x^2}$ untuk $x\ne0$ dan $F(0)=0$. Maka $F$ terdiferensialkan di setiap titik $[0,1]$, tetapi $F'$ tidak terbatas pada $[0,1]$. Jadi $F'$ tidak terintegralkan Riemann, dan Teorema 45.2.1 tidak dapat diterapkan pada $[0,1]$.

Bukti. Di $0$: $\bigl|\tfrac{F(h)}h\bigr|=\bigl|h\sin\tfrac1{h^2}\bigr|\leq|h|\to0$ (Akibat 40.2.12(a)), sehingga $F'(0)=0$. Untuk $x\ne0$, aturan hasil kali dan aturan rantai memberi
$$F'(x)=2x\sin\frac1{x^2}-\frac2x\cos\frac1{x^2}.$$
Ketakterbatasan tanpa $\pi$: untuk setiap $s$, bila $|\cos s|<\tfrac12$, maka $\cos2s=2\cos^2s-1<-\tfrac12$ (Akibat 40.2.12). Jadi $|\cos s|\geq\tfrac12$ atau $|\cos2s|>\tfrac12$. Untuk $k\in\mathbb{N}_+$, tetapkan $s_k=k$ bila $|\cos k|\geq\tfrac12$, dan $s_k=2k$ bila tidak. Pilihan ini deterministik, dan $|\cos s_k|\geq\tfrac12$. Untuk $x_k=\tfrac1{\sqrt{s_k}}\in(0,1]$:
$$|F'(x_k)|\geq\frac2{x_k}\cdot\frac12-2x_k=\sqrt{s_k}-\frac2{\sqrt{s_k}}\geq\sqrt k-2,$$
karena $y\mapsto y-\tfrac2y$ naik pada $(0,\infty)$ dan $\sqrt{s_k}\geq\sqrt k\geq1$. Ruas kanan tak terbatas. Fungsi terintegralkan Riemann harus terbatas (Bab 43). $\square$

Jadi tidak setiap turunan terintegralkan, dan hipotesis keterintegralan pada Teorema 45.2.1 tidak dapat dibuang. Untuk contoh ini, nilai $F(1)-F(0)=\sin1$ tetap dapat dipulihkan sebagai integral tak wajar, yaitu limit $\int_\varepsilon^1F'$ untuk $\varepsilon\to0^+$ (Bab 46). Juga diketahui bahwa ada turunan yang terbatas tetapi tidak terintegralkan Riemann (fungsi Volterra). Fakta ini dicatat tanpa bukti dan tidak dipakai.

Sebaliknya, fungsi terintegralkan tidak harus mempunyai antiturunan. Fungsi tangga terintegralkan, tetapi bukan turunan apa pun, karena turunan mempunyai sifat nilai antara (Teorema 41.1.6). Jadi dua kelas fungsi, yaitu turunan dan fungsi terintegralkan, saling beririsan tetapi tidak saling memuat. Irisannya, bersama hipotesis Teorema 45.2.1, adalah tempat rumus $\int_a^bG'=G(b)-G(a)$ berlaku.

### Latihan

Latihan 45.2-1. Hitung, dengan menyebut antiturunan dan alasan keterintegralannya: (a) $\int_0^2(x^3-3x)\,dx$; (b) $\int_1^e\tfrac{dx}x$; (c) $\int_1^8x^{-1/3}\,dx$; (d) $\int_0^1\exp(2x)\,dx$.

Latihan 45.2-2. Untuk partisi seragam $[1,3]$ dengan $n=6$, hitung $L(x^2,P_6)$ dan $U(x^2,P_6)$ sebagai pecahan, lalu periksa bahwa $\tfrac{26}3$ terletak di antaranya.

Latihan 45.2-3. Dengan Teorema 45.2.4 dan Teorema 44.2.5(b), buktikan bahwa $1-\tfrac1x\leq\ln x\leq x-1$ untuk setiap $x>0$.

Latihan 45.2-4. Jelaskan kesalahan dalam "perhitungan" $\int_{-1}^1\tfrac{dx}{x^2}=\bigl[-\tfrac1x\bigr]_{-1}^1=-2$.

Latihan 45.2-5. Hitung $\int_0^2|x-1|\,dx$ dengan aditivitas dan Teorema 45.2.1, lalu bandingkan dengan Latihan 45.1-1.

Latihan 45.2-6. Misalkan $G(x)=x^2\sin\tfrac1x$ untuk $x\ne0$ dan $G(0)=0$. Buktikan bahwa $G'$ ada di setiap titik $[0,1]$, terbatas, tidak kontinu di $0$, tetapi terintegralkan, dan $\int_0^1G'=\sin1$.

Latihan 45.2-7. Buktikan bahwa $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\tfrac n{(n+k)^2}=\tfrac12$.

Latihan 45.2-8. Misalkan $H(x)=0$ untuk $x<0$ dan $H(x)=1$ untuk $x\geq0$. Buktikan bahwa $H$ terintegralkan pada $[-1,1]$ dengan $\int_{-1}^1H=1$, tetapi tidak ada $G$ dengan $G'=H$ pada $[-1,1]$.

### Solusi

Solusi 45.2-1. Semua integran kontinu pada intervalnya (Teorema 44.1.1), sehingga Akibat 45.2.2 berlaku.

(a) $G=\tfrac{x^4}4-\tfrac{3x^2}2$: $G(2)-G(0)=4-6=-2$. Nilai negatif ini wajar, karena integrannya negatif pada $(0,\sqrt3)$.

(b) $G=\ln$: $\ln e-\ln1=1$.

(c) $G=\tfrac32x^{2/3}$, dengan Teorema 40.2.8(d): $\tfrac32(4-1)=\tfrac92$.

(d) $G=\tfrac12\exp(2x)$, dengan aturan rantai: $\tfrac{e^2-1}2$. $\square$

Solusi 45.2-2. $h=\tfrac13$, dan titik partisinya $\tfrac33,\tfrac43,\ldots,\tfrac93$, dengan kuadrat $\tfrac9{9},\tfrac{16}9,\tfrac{25}9,\tfrac{36}9,\tfrac{49}9,\tfrac{64}9,\tfrac{81}9$. $x^2$ naik pada $[1,3]$, sehingga
$$L=\tfrac13\cdot\tfrac{9+16+25+36+49+64}9=\tfrac{199}{27},\qquad U=\tfrac13\cdot\tfrac{16+25+36+49+64+81}9=\tfrac{271}{27}.$$
$\tfrac{26}3=\tfrac{234}{27}$ terletak di antaranya. $U-L=\tfrac{72}{27}=\tfrac83=(9-1)\cdot\tfrac26$, sesuai Teorema 44.1.3. $\square$

Solusi 45.2-3. Untuk $x>1$: pada $[1,x]$, $\tfrac1x\leq\tfrac1t\leq1$, sehingga $\tfrac{x-1}x\leq\ln x\leq x-1$, dan $\tfrac{x-1}x=1-\tfrac1x$. Untuk $0<x<1$: $\ln x=-\int_x^1\tfrac{dt}t$, dan pada $[x,1]$, $1\leq\tfrac1t\leq\tfrac1x$. Jadi $1-x\leq\int_x^1\tfrac{dt}t\leq\tfrac{1-x}x$, sehingga $-\tfrac{1-x}x\leq\ln x\leq-(1-x)$, yaitu $1-\tfrac1x\leq\ln x\leq x-1$. Untuk $x=1$, ketiga ruas $0$. $\square$

Solusi 45.2-4. $\tfrac1{x^2}$ tidak terdefinisi di $0$ dan tidak terbatas di dekat $0$, sehingga integral Riemann pada $[-1,1]$ tidak terdefinisi. $G(x)=-\tfrac1x$ juga tidak terdefinisi di $0$, sehingga tidak kontinu pada $[-1,1]$, dan hipotesis Teorema 45.2.1 gagal. Gejala kesalahannya: integran positif, tetapi hasilnya negatif, bertentangan dengan Teorema 44.2.5(a) bila integral itu ada. Di Bab 46, $\int_0^1\tfrac{dx}{x^2}$ akan terbukti divergen. $\square$

Solusi 45.2-5. Pada $[0,1]$, $|x-1|=1-x$, dengan antiturunan $x-\tfrac{x^2}2$, sehingga integralnya $\tfrac12$. Pada $[1,2]$, $|x-1|=x-1$, dengan antiturunan $\tfrac{x^2}2-x$, sehingga integralnya $0-(-\tfrac12)=\tfrac12$. Totalnya $1$, sama dengan $F(2)=1$ di Solusi 45.1-1. $\square$

Solusi 45.2-6. Di $0$: $\bigl|\tfrac{G(h)}h\bigr|\leq|h|$, sehingga $G'(0)=0$. Untuk $x\ne0$: $G'(x)=2x\sin\tfrac1x-\cos\tfrac1x$, sehingga $|G'|\leq3$ pada $[0,1]$. Tidak kontinu di $0$: dengan argumen Contoh 45.2.6, untuk setiap $k\in\mathbb{N}_+$ ada $s_k\in\{k,2k\}$ dengan $|\cos s_k|\geq\tfrac12$. Untuk $x_k=\tfrac1{s_k}\to0$: $|G'(x_k)|\geq\tfrac12-\tfrac2{s_k}\geq\tfrac12-\tfrac2k$, yang $\geq\tfrac14$ untuk $k\geq8$. Jadi $G'(x_k)\not\to0=G'(0)$. $G'$ terbatas dan kontinu kecuali di $0$, sehingga terintegralkan (Latihan 44.1-4). Teorema 45.2.1 memberi $\int_0^1G'=G(1)-G(0)=\sin1$. Teorema itu berlaku walaupun $G'$ tidak kontinu. $\square$

Solusi 45.2-7. $\sum_{k=1}^n\tfrac n{(n+k)^2}=\tfrac1n\sum_{k=1}^n\tfrac1{(1+k/n)^2}=L(f,P_n)$ untuk $f(x)=\tfrac1{(1+x)^2}$ pada $[0,1]$, karena $f$ turun. $U-L=\tfrac{f(0)-f(1)}n=\tfrac3{4n}\to0$. Jadi limitnya $\int_0^1f=\bigl[-\tfrac1{1+x}\bigr]_0^1=-\tfrac12+1=\tfrac12$ (Akibat 43.2.2 dan Teorema 45.2.1). Untuk $n=2$: $\tfrac29+\tfrac2{16}=\tfrac{25}{72}\approx0{,}347$, dan $U=\tfrac12(1+\tfrac49)=\tfrac{13}{18}\approx0{,}722$. Nilai $\tfrac12$ terletak di antaranya. $\square$

Solusi 45.2-8. $H$ naik, sehingga terintegralkan (Teorema 44.1.3). $\int_{-1}^0H=0$, karena $H=0$ kecuali di $0$ (Latihan 43.1-5), dan $\int_0^1H=1$. Aditivitas memberi $1$. Andaikan $G'=H$ pada $[-1,1]$, dengan turunan sepihak di ujung. Maka $G'(-1)=0<\tfrac12<1=G'(1)$, dan Teorema 41.1.6 memberi $c$ dengan $G'(c)=\tfrac12$, padahal $H$ hanya bernilai $0$ dan $1$. Kontradiksi. Jadi integral ada, tetapi Teorema 45.2.1 tidak dapat dipakai untuk menghitungnya, karena tidak ada antiturunan pada $[-1,1]$. $\square$

### Ringkasan

Teorema dasar kalkulus bagian kedua: bila $G$ kontinu pada $[a,b]$, terdiferensialkan di dalamnya, dan $G'=f$ terintegralkan, maka $\int_a^bf=G(b)-G(a)$. Buktinya: teorema nilai rata-rata pada setiap subinterval menempatkan $G(b)-G(a)$ di antara setiap jumlah bawah dan jumlah atas. Contoh master $\int_1^3x^2=\tfrac{26}3$ diperiksa dengan tiga cara. Teorema ini menutup pinjaman P32-LN, $\ln t=\int_1^t\tfrac{dx}x$, dan membuktikan bahwa deret harmonik berganti tanda berjumlah $\ln2$, lewat jumlah Darboux untuk $\tfrac1{1+x}$. Hipotesis keterintegralan perlu: $x^2\sin\tfrac1{x^2}$ mempunyai turunan yang tidak terbatas. Sebaliknya, fungsi tangga terintegralkan tetapi tidak mempunyai antiturunan.

## 45.3 Teknik Substitusi dan Integrasi Parsial Rigor

Kalkulus elementer mengajarkan dua teknik integrasi utama, yaitu integrasi parsial dan substitusi. Keduanya biasanya ditulis sebagai manipulasi lambang: "$u\,dv=d(uv)-v\,du$" dan "$du=\varphi'(t)\,dt$". Unit ini menyatakan keduanya sebagai teorema dengan hipotesis yang eksplisit, dan menurunkannya dari aturan hasil kali dan aturan rantai lewat teorema dasar kalkulus. Hipotesis itu bukan formalitas. Contoh 45.3.8 menunjukkan substitusi "lambang" yang menghasilkan jawaban salah, dan tempat hipotesisnya gagal.

Prasyarat: Unit 45.1–45.2; Teorema 40.1.1 dan 40.1.2; Teorema 44.2.1 dan 44.2.6.

### Integrasi Parsial

#### Teorema 45.3.1 (Integrasi Parsial)

Misalkan $u,v$ terdiferensialkan pada $[a,b]$, dengan turunan sepihak di ujung, dan $u',v'$ terintegralkan pada $[a,b]$. Maka
$$\int_a^bu\,v'=\bigl[u\,v\bigr]_a^b-\int_a^bu'\,v.$$

Bukti. $u$ dan $v$ kontinu (Teorema 39.2.1), sehingga terintegralkan (Teorema 44.1.1). Hasil kali $uv'$ dan $u'v$ terintegralkan (Teorema 44.2.6). Aturan hasil kali (Teorema 40.1.1(b)) memberi $(uv)'=u'v+uv'$ pada $[a,b]$, dan ruas kanan terintegralkan (Teorema 44.2.1). Teorema 45.2.1 dengan $G=uv$ memberi
$$\int_a^b(u'v+uv')=u(b)v(b)-u(a)v(a).$$
Kelinearan memisahkan ruas kiri. $\square$

Rumus ini hanya memindahkan turunan dari satu faktor ke faktor lain. Rumus ini berguna bila $u'v$ lebih mudah diintegralkan daripada $uv'$.

#### Contoh 45.3.2

(a) $\int_0^1x\exp(x)\,dx$: ambil $u=x$ dan $v=\exp$. Hasilnya $\bigl[x\exp(x)\bigr]_0^1-\int_0^1\exp=e-(e-1)=1$.

(b) $\int_1^e\ln x\,dx$: ambil $u=\ln$ dan $v=x$, sehingga $v'=1$. Hasilnya $\bigl[x\ln x\bigr]_1^e-\int_1^ex\cdot\tfrac1x\,dx=e-(e-1)=1$. Ini contoh "faktor $1$ tersembunyi": turunan $\ln$ lebih sederhana daripada $\ln$ sendiri.

(c) Pemeriksaan (a) tanpa integrasi parsial: $G(x)=(x-1)\exp(x)$ memenuhi $G'(x)=\exp(x)+(x-1)\exp(x)=x\exp(x)$, sehingga integralnya $G(1)-G(0)=0-(-1)=1$.

#### Contoh 45.3.3 (Rumus Rekursi)

Untuk $n\in\mathbb{N}$, misalkan $I_n=\int_0^1x^n\exp(x)\,dx$. Maka $I_0=e-1$, dan untuk $n\geq1$, integrasi parsial dengan $u=x^n$ dan $v=\exp$ memberi
$$I_n=\bigl[x^n\exp(x)\bigr]_0^1-n\int_0^1x^{n-1}\exp(x)\,dx=e-nI_{n-1},$$
karena $0^n=0$ untuk $n\geq1$. Jadi $I_1=1$, $I_2=e-2\approx0{,}7183$, dan $I_3=e-3(e-2)=6-2e\approx0{,}5634$.

Pemeriksaan kewajaran: pada $[0,1]$, $x^n\leq x^n\exp(x)\leq ex^n$. Teorema 44.2.5(a) dan $\int_0^1x^n=\tfrac1{n+1}$ memberi $\tfrac1{n+1}\leq I_n\leq\tfrac e{n+1}$. Untuk $n=3$: $0{,}25\leq0{,}5634\leq0{,}680$. Rumus rekursi ini secara aljabar tepat, tetapi tidak stabil secara numerik bila nilai $e$ dibulatkan (Latihan 45.3-7).

### Substitusi

#### Teorema 45.3.4 (Substitusi)

Misalkan $\alpha<\beta$, $\varphi:[\alpha,\beta]\to\mathbb{R}$ terdiferensialkan, dengan turunan sepihak di ujung, $\varphi'$ terintegralkan pada $[\alpha,\beta]$, dan $f$ kontinu pada interval tertutup $[c,d]$, dengan $c<d$, yang memuat $\varphi([\alpha,\beta])$. Maka
$$\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\,\varphi'(t)\,dt=\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}f(x)\,dx,$$
dengan konvensi orientasi bila $\varphi(\beta)\leq\varphi(\alpha)$.

Bukti. Misalkan $F(x)=\int_c^xf$ untuk $x\in[c,d]$. Teorema 45.1.3 memberi $F'=f$ di setiap titik $[c,d]$, dengan turunan sepihak di $c$ dan $d$. Misalkan $H=F\circ\varphi$ pada $[\alpha,\beta]$. Aturan rantai (Teorema 40.1.2, dengan $D=[\alpha,\beta]$ dan $E=[c,d]$; setiap titik $E$ adalah titik limit $E$) memberi
$$H'(t)=F'(\varphi(t))\,\varphi'(t)=f(\varphi(t))\,\varphi'(t),\qquad t\in[\alpha,\beta].$$
Ruas kanan terintegralkan: $f\circ\varphi$ kontinu, karena $\varphi$ kontinu (Teorema 39.2.1), sehingga terintegralkan, dan $\varphi'$ terintegralkan menurut hipotesis. Gunakan Teorema 44.2.6. $H$ kontinu karena terdiferensialkan. Teorema 45.2.1 memberi
$$\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt=H(\beta)-H(\alpha)=F(\varphi(\beta))-F(\varphi(\alpha))=\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}f,$$
dengan langkah terakhir menurut $(\ast)$ Unit 45.1 dan konvensi orientasi. $\square$

Teorema ini tidak mensyaratkan bahwa $\varphi$ monoton atau injektif. Bila $\varphi$ bolak-balik, sumbangan bagian yang bolak-balik saling menghapus (Contoh 45.3.6). Yang diperlukan adalah $f$ kontinu pada seluruh interval yang dilalui $\varphi$, agar $F'=f$ di setiap titik $\varphi(t)$.

#### Contoh 45.3.5 (Substitusi Langsung)

(a) $\int_0^12t\exp(t^2)\,dt$: dengan $\varphi(t)=t^2$ pada $[0,1]$, $f=\exp$, dan $[c,d]=[0,1]$, hasilnya $\int_0^1\exp=e-1$.

(b) $\int_0^2\tfrac t{1+t^2}\,dt$: integrannya $\tfrac12f(\varphi(t))\varphi'(t)$ dengan $\varphi(t)=1+t^2$ dan $f(x)=\tfrac1x$ pada $[1,5]$. Hasilnya $\tfrac12\int_1^5\tfrac{dx}x=\tfrac12\ln5\approx0{,}805$, menurut Teorema 45.2.4.

(c) $\int_1^e\tfrac{\ln t}t\,dt$: dengan $\varphi=\ln$ pada $[1,e]$, $\varphi'(t)=\tfrac1t$, $f(x)=x$, dan $[c,d]=[0,1]$, hasilnya $\int_0^1x\,dx=\tfrac12$.

#### Contoh 45.3.6 ($\varphi$ Tidak Injektif)

$\int_{-1}^22t\cos(t^2)\,dt$, dengan $\varphi(t)=t^2$ pada $[-1,2]$. $\varphi$ turun dari $1$ ke $0$, lalu naik ke $4$. $f=\cos$ kontinu pada $[c,d]=[0,4]$. Teorema 45.3.4 memberi
$$\int_{-1}^22t\cos(t^2)\,dt=\int_1^4\cos x\,dx=\sin4-\sin1.$$
Pemeriksaan dengan aditivitas: bagian $[-1,0]$ memberi $\int_1^0\cos$, bagian $[0,1]$ memberi $\int_0^1\cos$, dan keduanya saling menghapus. Bagian $[1,2]$ memberi $\int_1^4\cos$. Hasilnya sama.

#### Contoh 45.3.7 (Substitusi Arah Balik)

$\int_0^4\tfrac{dx}{1+\sqrt x}$. Di sini integralnya ditulis dalam $x$, dan kita ingin mengganti $x=t^2$. Teorema 45.3.4 dibaca dari kanan ke kiri, dengan $\varphi(t)=t^2$ pada $[0,2]$, $\varphi(0)=0$, $\varphi(2)=4$, dan $f(x)=\tfrac1{1+\sqrt x}$ kontinu pada $[0,4]$:
$$\int_0^4\frac{dx}{1+\sqrt x}=\int_0^2\frac{2t}{1+t}\,dt=\int_0^2\Bigl(2-\frac2{1+t}\Bigr)dt=4-2\ln3\approx1{,}803.$$
Langkah pertama memakai $\sqrt{t^2}=t$ untuk $t\geq0$. Pemeriksaan kewajaran: pada $[0,4]$, $\tfrac13\leq f\leq1$, sehingga integralnya di antara $\tfrac43$ dan $4$.

#### Contoh 45.3.8 (Substitusi Lambang yang Salah)

$\int_{-1}^1x^2\,dx=\tfrac23$. "Perhitungan" berikut salah: "ganti $u=x^2$, $dx=\tfrac{du}{2\sqrt u}$; batasnya $u=1$ dan $u=1$; jadi integralnya $0$."

Diagnosis.

- Arah langsung Teorema 45.3.4 dengan $\varphi(x)=x^2$ memerlukan integran berbentuk $f(x^2)\cdot2x$ dengan $f$ kontinu. Untuk $x\ne0$, $x^2=f(x^2)\cdot2x$ berarti $f(x^2)=\tfrac x2$. Ini mustahil: $x$ dan $-x$ memberi $x^2$ yang sama, tetapi $\tfrac x2$ yang berbeda.
- Arah balik memerlukan $x=\psi(u)$ dengan $\psi$ memetakan suatu interval parameter ke seluruh $[-1,1]$. $\psi(u)=\sqrt u$ hanya mencapai $[0,1]$.

Perbaikannya: pisahkan $[-1,0]$ dan $[0,1]$. Dengan $\varphi(t)=-t$ (Latihan 45.3-3), $\int_{-1}^0x^2=\int_0^1x^2$, sehingga totalnya $2\cdot\tfrac13$. Bahkan pada $[0,1]$, substitusi $\psi(u)=\sqrt u$ tidak memenuhi hipotesis secara langsung, karena $\psi'(u)=\tfrac1{2\sqrt u}$ tidak terbatas di dekat $0$. Untuk $0<\delta<1$, teorema dapat diterapkan dengan $\psi(u)=\sqrt u$ pada $[\delta,1]$, dengan $\psi'$ kontinu di sana, dan $f(x)=x^2$. Hasilnya $\int_\delta^1\tfrac u{2\sqrt u}\,du=\int_{\sqrt\delta}^1x^2\,dx$, yaitu $\int_\delta^1\tfrac{\sqrt u}2\,du=\int_{\sqrt\delta}^1x^2\,dx$. Lalu ambil $\delta\to0^+$. Kedua ruas menuju integral pada $[0,1]$, karena fungsi integral kontinu (Teorema 45.1.2) dan $\sqrt\delta\to0$. Jadi $\int_0^1x^2\,dx=\int_0^1\tfrac{\sqrt u}2\,du=\tfrac13$.

### Latihan

Latihan 45.3-1. Hitung $\int_1^ex\ln x\,dx$ dengan integrasi parsial.

Latihan 45.3-2. Hitung $\int_0^1x(1-x)^5\,dx$ dengan dua cara: integrasi parsial, dan substitusi $\varphi(t)=1-t$.

Latihan 45.3-3. Misalkan $f$ kontinu pada $[-a,a]$, $a>0$. Buktikan bahwa $\int_{-a}^af=0$ bila $f$ ganjil, dan $\int_{-a}^af=2\int_0^af$ bila $f$ genap. Buktikan juga $\int_a^bf(x)\,dx=\int_{a+k}^{b+k}f(x-k)\,dx$ untuk $f$ kontinu pada $[a,b]$ dan $k\in\mathbb{R}$.

Latihan 45.3-4. Buktikan $\ln(xy)=\ln x+\ln y$ untuk $x,y>0$ hanya dari $\ln t=\int_1^t\tfrac{ds}s$, dengan substitusi $\varphi(s)=xs$, tanpa memakai $\exp$.

Latihan 45.3-5. Misalkan $J_n=\int_0^1(1-x^2)^n\,dx$ untuk $n\in\mathbb{N}$. Buktikan bahwa $(2n+1)J_n=2nJ_{n-1}$ untuk $n\geq1$. Hitung $J_1$, $J_2$, dan $J_3$, lalu periksa $J_3$ dengan ekspansi binomial.

Latihan 45.3-6. Dengan Contoh 45.3.3, hitung $I_4$ dan $I_5$ dalam bentuk $pe+q$ dengan $p,q$ bilangan bulat, periksa keduanya dengan batas $\tfrac1{n+1}\leq I_n\leq\tfrac e{n+1}$, dan buktikan bahwa $I_n\to0$.

Latihan 45.3-7. Misalkan rekursi $\tilde I_n=\tilde e-n\tilde I_{n-1}$, dengan $\tilde I_0=\tilde e-1$, dijalankan dengan nilai hampiran $\tilde e=e+\delta$. Buktikan bahwa $d_n=\tilde I_n-I_n$ memenuhi $d_0=\delta$ dan $d_n=\delta-nd_{n-1}$. Hitung $\tfrac{d_n}\delta$ untuk $n\leq6$, dan perkirakan galat $\tilde I_6$ untuk $\tilde e=2{,}718$.

Latihan 45.3-8. Hitung $\int_0^2(t-1)\exp\bigl((t-1)^2\bigr)\,dt$ dengan dua cara: Teorema 45.3.4 dengan $\varphi(t)=(t-1)^2$, yang tidak injektif, dan kesimetrian.

### Solusi

Solusi 45.3-1. $u=\ln x$ dan $v=\tfrac{x^2}2$: $\bigl[\tfrac{x^2}2\ln x\bigr]_1^e-\int_1^e\tfrac x2\,dx=\tfrac{e^2}2-\tfrac{e^2-1}4=\tfrac{e^2+1}4\approx2{,}097$. Kewajaran: pada $[1,e]$, $0\leq x\ln x\leq e$, sehingga integralnya di antara $0$ dan $e(e-1)\approx4{,}67$. $\square$

Solusi 45.3-2. Parsial: $u=x$ dan $v=-\tfrac{(1-x)^6}6$, sehingga $v'=(1-x)^5$, menurut aturan rantai. Hasilnya $\bigl[-\tfrac{x(1-x)^6}6\bigr]_0^1+\tfrac16\int_0^1(1-x)^6\,dx=0+\tfrac16\cdot\tfrac17=\tfrac1{42}$, dengan antiturunan $-\tfrac{(1-x)^7}7$.

Substitusi: untuk $g$ kontinu pada $[0,1]$, Teorema 45.3.4 dengan $\varphi(t)=1-t$ dan $\varphi'=-1$ memberi $-\int_0^1g(1-t)\,dt=\int_1^0g=-\int_0^1g$, sehingga $\int_0^1g(1-t)\,dt=\int_0^1g$. Dengan $g(x)=(1-x)x^5$, diperoleh $g(1-t)=t(1-t)^5$, sehingga
$$\int_0^1t(1-t)^5\,dt=\int_0^1(1-x)x^5\,dx=\tfrac16-\tfrac17=\tfrac1{42}.\ \square$$

Solusi 45.3-3. Dengan $\varphi(t)=-t$ pada $[0,a]$, nilainya di $[-a,0]$, Teorema 45.3.4 memberi $\int_0^af(-t)(-1)\,dt=\int_0^{-a}f$, sehingga $\int_{-a}^0f=\int_0^af(-t)\,dt$. Untuk $f$ ganjil, ini $-\int_0^af$, sehingga totalnya $0$. Untuk $f$ genap, ini $\int_0^af$, sehingga totalnya $2\int_0^af$. Translasi: $\varphi(t)=t-k$ pada $[a+k,b+k]$, dengan $\varphi'=1$, memberi $\int_{a+k}^{b+k}f(t-k)\,dt=\int_a^bf$. $\square$

Solusi 45.3-4. Aditivitas dengan konvensi orientasi memberi $\ln(xy)=\int_1^x\tfrac{dt}t+\int_x^{xy}\tfrac{dt}t$. Bila $y=1$, integral kedua bernilai $0=\ln1$. Misalkan $y\ne1$. Untuk integral kedua, $\varphi(s)=xs$ pada interval tertutup di antara $1$ dan $y$ memenuhi $\varphi(1)=x$, $\varphi(y)=xy$, dan $\varphi'=x$. Fungsi $f(t)=\tfrac1t$ kontinu pada interval tertutup di antara $x$ dan $xy$. Teorema 45.3.4, dengan konvensi orientasi bila $y<1$, memberi
$$\int_x^{xy}\frac{dt}t=\int_1^y\frac1{xs}\,x\,ds=\int_1^y\frac{ds}s=\ln y.$$
Jadi $\ln(xy)=\ln x+\ln y$. Ini memberi jalan kedua menuju logaritma, yang mendefinisikan $\ln$ sebagai integral, dan $\exp$ sebagai inversnya. Buku ini memilih jalan deret di Bab 40. Teorema 45.2.4 menyatakan bahwa kedua jalan memberi fungsi yang sama. $\square$

Solusi 45.3-5. Integrasi parsial dengan $u=(1-x^2)^n$ dan $v=x$, dengan $u'=-2nx(1-x^2)^{n-1}$:
$$J_n=\bigl[x(1-x^2)^n\bigr]_0^1+2n\int_0^1x^2(1-x^2)^{n-1}\,dx=0+2n\int_0^1\bigl(1-(1-x^2)\bigr)(1-x^2)^{n-1}\,dx=2n(J_{n-1}-J_n).$$
Jadi $(2n+1)J_n=2nJ_{n-1}$. Dengan $J_0=1$: $J_1=\tfrac23$, $J_2=\tfrac45\cdot\tfrac23=\tfrac8{15}$, dan $J_3=\tfrac67\cdot\tfrac8{15}=\tfrac{16}{35}$. Ekspansi: $\int_0^1(1-3x^2+3x^4-x^6)\,dx=1-1+\tfrac35-\tfrac17=\tfrac{16}{35}$. $\square$

Solusi 45.3-6. $I_4=e-4(6-2e)=9e-24\approx0{,}4645$, dengan $\tfrac15=0{,}2\leq0{,}4645\leq\tfrac e5\approx0{,}544$. $I_5=e-5(9e-24)=120-44e\approx0{,}3956$, dengan $\tfrac16\approx0{,}167\leq0{,}3956\leq\tfrac e6\approx0{,}453$. Batas atas $\tfrac e{n+1}\to0$ dan $I_n\geq0$, sehingga $I_n\to0$ menurut teorema apit. $\square$

Solusi 45.3-7. Kurangkan $I_n=e-nI_{n-1}$ dari $\tilde I_n=\tilde e-n\tilde I_{n-1}$: $d_n=\delta-nd_{n-1}$, dan $d_0=(\tilde e-1)-(e-1)=\delta$. Jadi $\tfrac{d_n}\delta$ untuk $n=0,\ldots,6$ adalah $1,0,1,-2,9,-44,265$. Sebagai contoh, $1-2\cdot0=1$, $1-3\cdot1=-2$, $1-4\cdot(-2)=9$, $1-5\cdot9=-44$, dan $1-6\cdot(-44)=265$. Untuk $\tilde e=2{,}718$, $\delta=2{,}718-e\approx-0{,}000282$, sehingga $d_6\approx265\delta\approx-0{,}075$. Nilai sebenarnya $I_6=e-6I_5=265e-720\approx0{,}3447$, sedangkan $\tilde I_6=265\cdot2{,}718-720=0{,}27$. Galat relatifnya lebih dari $20\%$, walaupun $\tilde e$ benar sampai tiga desimal. Dari $|d_n|\geq n|d_{n-1}|-|\delta|$, faktor $|d_n/\delta|$ tumbuh hampir secepat faktorial. Contohnya, $|d_n|\geq(n-1)|d_{n-1}|$ bila $|d_{n-1}|\geq|\delta|$. Jadi untuk $n$ besar, rekursi maju tidak dapat dipakai dengan $e$ yang dibulatkan. $\square$

Solusi 45.3-8. Integrannya $\tfrac12\exp(\varphi(t))\varphi'(t)$, dengan $\varphi(t)=(t-1)^2$ dan $\varphi'(t)=2(t-1)$. $\exp$ kontinu pada $[0,1]\supseteq\varphi([0,2])$. Teorema 45.3.4 memberi $\tfrac12\int_{\varphi(0)}^{\varphi(2)}\exp=\tfrac12\int_1^1\exp=0$. Kesimetrian: translasi $x=t-1$ (Latihan 45.3-3) memberi $\int_{-1}^1x\exp(x^2)\,dx$, dan integrannya ganjil, sehingga nilainya $0$. $\square$

### Ringkasan

Integrasi parsial, $\int_a^buv'=[uv]_a^b-\int_a^bu'v$, adalah aturan hasil kali yang diintegralkan dengan teorema dasar kalkulus bagian kedua. Hipotesisnya: $u,v$ terdiferensialkan dengan turunan terintegralkan. Substitusi, $\int_\alpha^\beta f(\varphi)\varphi'=\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}f$, adalah aturan rantai yang diintegralkan, dengan $F(x)=\int_c^xf$ dari bagian pertama. Hipotesisnya: $\varphi'$ terintegralkan dan $f$ kontinu pada seluruh interval yang dilalui $\varphi$. $\varphi$ tidak harus injektif. Contoh yang dikerjakan meliputi $\int x\exp$, $\int\ln$, rekursi $I_n=e-nI_{n-1}$ dengan ketakstabilan numeriknya, rekursi Wallis $J_n$, substitusi arah balik, dan substitusi lambang yang salah pada $\int_{-1}^1x^2$ beserta diagnosisnya.