# Bab 44: Sifat-Sifat Integral Riemann

## 44.1 Keterintegralan Fungsi Kontinu dan Monoton

Penjelasan master untuk Bab 44: hukum aljabar dan batasan operasional integral tertentu. Sebelum hukum-hukum itu dapat dipakai, kita perlu tahu fungsi mana yang terintegralkan. Bab 43 memberi kriteria Riemann dan beberapa contoh, yaitu fungsi tangga, fungsi Thomae, dan Dirichlet sebagai contoh gagal. Unit ini membuktikan dua teorema keterintegralan yang paling sering dipakai: fungsi kontinu pada interval tertutup terintegralkan, dan fungsi monoton terintegralkan. Kedua teorema itu tidak saling mencakup. Fungsi monoton boleh mempunyai tak hingga banyak loncatan, dan fungsi kontinu boleh berosilasi tanpa monoton. Unit ini juga membuktikan bahwa komposisi dengan fungsi kontinu mempertahankan keterintegralan, yang dipakai di Unit 44.2 untuk $|f|$ dan hasil kali.

Prasyarat: Bab 43; Teorema Heine dan Akibat 38.2.3; Teorema 35.1.4 dan 36.2.7 (fungsi monoton).

Dalam unit ini $a<b$.

### Fungsi Kontinu

#### Teorema 44.1.1

Setiap fungsi kontinu $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ terintegralkan pada $[a,b]$.

Bukti. $f$ terbatas (Lemma 37.1.1), sehingga jumlah Darboux terdefinisi. Misalkan $\varepsilon>0$. Akibat 38.2.3, yang bersandar pada Teorema Heine, memberi $\delta>0$ sehingga setiap partisi $P$ dengan $\|P\|<\delta$ memenuhi $M_i-m_i<\tfrac\varepsilon{b-a}$ pada setiap subinterval. Untuk partisi seperti itu,
$$U(f,P)-L(f,P)=\sum_i(M_i-m_i)\Delta x_i<\frac\varepsilon{b-a}\sum_i\Delta x_i=\varepsilon.$$
Teorema 43.2.1 menyelesaikan bukti. $\square$

Kontinuitas seragam adalah inti bukti ini. Kontinuitas di setiap titik saja memberi $\delta$ yang bergantung pada titik, sehingga satu partisi belum tentu cukup halus di semua tempat. Pada interval terbuka atau tak terbatas, fungsi kontinu dapat tak terbatas, seperti $\tfrac1x$ pada $(0,1]$, dan definisi Bab 43 tidak berlaku. Kasus itu ditangani Bab 46.

#### Contoh 44.1.2 ($\int_0^1\exp$ dengan Jumlah Darboux)

$\exp$ kontinu dan naik. Untuk partisi seragam $P_n$ pada $[0,1]$, dengan $h=\tfrac1n$ dan $q=\exp(h)>1$:
$$U(\exp,P_n)=h\sum_{i=1}^nq^i=hq\frac{q^n-1}{q-1}=\frac{h}{\exp(h)-1}\,\exp(h)\,(e-1),$$
memakai Lemma 31.2.1 dan $q^n=\exp(1)=e$. Karena $\tfrac{\exp(h)-1}h\to1$ (Latihan 40.2-5) dan $\exp(h)\to1$ untuk $h=\tfrac1n\to0$, $U(\exp,P_n)\to e-1$. Selisih $U-L$ akan dihitung pada Teorema 44.1.3, dan sama dengan $\tfrac{e-1}n\to0$. Akibat 43.2.2 memberi $\int_0^1\exp(x)\,dx=e-1$. Bab 45 memberi jalan yang lebih pendek, karena $\exp'=\exp$.

### Fungsi Monoton

#### Teorema 44.1.3

Setiap fungsi monoton $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ terintegralkan. Untuk $f$ naik dan partisi seragam $P_n$,
$$U(f,P_n)-L(f,P_n)=\bigl(f(b)-f(a)\bigr)\frac{b-a}n.$$

Bukti. Misalkan $f$ naik. Kasus turun memakai $-f$, dengan $U(-f,P)=-L(f,P)$. $f$ terbatas oleh $f(a)$ dan $f(b)$. Pada $[x_{i-1},x_i]$, kemonotonan memberi $M_i=f(x_i)$ dan $m_i=f(x_{i-1})$. Untuk $P_n$, $\Delta x_i=\tfrac{b-a}n$, sehingga
$$U-L=\frac{b-a}n\sum_{i=1}^n\bigl(f(x_i)-f(x_{i-1})\bigr)=\frac{b-a}n\bigl(f(b)-f(a)\bigr),$$
karena jumlahnya teleskopik. Ruas kanan menuju $0$. Teorema 43.2.1 menyelesaikan bukti. $\square$

Teorema ini menutup bagian (I1) dari pinjaman P32-INT (Unit 32.2): fungsi positif dan turun pada $[1,t]$ terintegralkan untuk setiap $t$.

Bukti ini tidak memakai kontinuitas sama sekali. Fungsi monoton dapat tidak kontinu di tak hingga banyak titik, walaupun himpunan titik itu terhitung (Teorema 36.2.7).

#### Contoh 44.1.4 (Fungsi Monoton dengan Tak Hingga Banyak Loncatan)

Tetapkan $f(0)=0$, dan $f(x)=\tfrac1k$ untuk $x\in(\tfrac1{k+1},\tfrac1k]$, $k\in\mathbb{N}_{+}$. Setiap $x\in(0,1]$ termuat di tepat satu interval itu, yaitu dengan $k=\lfloor\tfrac1x\rfloor$. $f$ naik pada $[0,1]$: untuk $x<y$, indeksnya $k_x\geq k_y$, sehingga $f(x)\leq f(y)$. $f$ meloncat di setiap $\tfrac1{k+1}$, tak hingga banyaknya. Teorema 44.1.3 memberi bahwa $f$ terintegralkan. Dengan $n=100$, $U-L=\tfrac{1-0}{100}=0{,}01$, sehingga satu jumlah Darboux sudah menentukan integralnya sampai $0{,}01$.

### Komposisi dengan Fungsi Kontinu

#### Teorema 44.1.5

Misalkan $f$ terintegralkan pada $[a,b]$ dengan nilai di $[c,d]$, dan $\varphi:[c,d]\to\mathbb{R}$ kontinu. Maka $\varphi\circ f$ terintegralkan pada $[a,b]$.

Bukti. $\varphi$ terbatas, misalnya $|\varphi|\leq K$, dan kontinu seragam (Teorema 38.2.1). Misalkan $\varepsilon>0$. Ambil $\delta\in(0,\varepsilon)$ dengan $|\varphi(s)-\varphi(t)|<\varepsilon$ untuk $|s-t|<\delta$. Teorema 43.2.1 memberi partisi $P$ dengan $U(f,P)-L(f,P)<\delta^2$. Pisahkan indeks subinterval:

- $i$ "baik" bila $M_i(f)-m_i(f)<\delta$. Untuk dua titik $x,y$ di subinterval itu, $|f(x)-f(y)|\leq M_i-m_i<\delta$, sehingga $|\varphi(f(x))-\varphi(f(y))|<\varepsilon$, dan $M_i(\varphi\circ f)-m_i(\varphi\circ f)\leq\varepsilon$.
- $i$ "buruk" bila $M_i(f)-m_i(f)\geq\delta$. Maka $\delta\sum_{\text{buruk}}\Delta x_i\leq\sum_i(M_i-m_i)\Delta x_i<\delta^2$, sehingga total panjang subinterval buruk $<\delta<\varepsilon$. Di sana $M_i(\varphi\circ f)-m_i(\varphi\circ f)\leq2K$.

Jadi $U(\varphi\circ f,P)-L(\varphi\circ f,P)\leq\varepsilon(b-a)+2K\varepsilon=\varepsilon(b-a+2K)$. Teorema 43.2.1, dalam bentuk konstanta, menyelesaikan bukti. $\square$

#### Contoh 44.1.6 (Kontinuitas $\varphi$ Diperlukan)

Fungsi Thomae $t$ terintegralkan pada $[0,1]$ (Contoh 43.2.9), dengan nilai di $[0,1]$. Fungsi $\varphi$ dengan $\varphi(0)=0$ dan $\varphi(s)=1$ untuk $s\in(0,1]$ terintegralkan, karena monoton, tetapi tidak kontinu. Komposisi $\varphi\circ t$ bernilai $1$ di setiap rasional dan $0$ di setiap irasional, yaitu fungsi Dirichlet. Fungsi itu tidak terintegralkan (Contoh 43.1.13). Jadi komposisi dua fungsi terintegralkan tidak harus terintegralkan.

### Latihan

Latihan 44.1-1. Tentukan apakah fungsi berikut terintegralkan pada interval yang diberikan, dengan menyebut teorema yang dipakai: (a) $\sqrt{1-x^2}$ pada $[-1,1]$; (b) $\lfloor x\rfloor$ pada $[0,5]$; (c) $\tfrac1x$ pada $[1,10]$; (d) $\sin\tfrac1x$ untuk $x\ne0$ dan $0$ untuk $x=0$, pada $[0,1]$.

Latihan 44.1-2. Untuk $f(x)=\tfrac1x$ pada $[1,2]$, hitung $U(f,P_4)$ dan $L(f,P_4)$ sebagai pecahan, lalu periksa $U-L$ dengan rumus Teorema 44.1.3.

Latihan 44.1-3. Berapa $n$ yang menjamin $U(f,P_n)-L(f,P_n)<10^{-3}$ untuk $f(x)=x^3$ pada $[0,2]$?

Latihan 44.1-4. Buktikan bahwa fungsi terbatas yang kontinu kecuali di berhingga banyak titik terintegralkan, tanpa anggapan, memakai Teorema 44.1.1.

Latihan 44.1-5. Dengan Teorema 44.1.5, buktikan bahwa bila $f$ terintegralkan, maka $f^2$, $|f|$, dan $\exp\circ f$ terintegralkan.

Latihan 44.1-6. Hitung $\int_0^1f$ untuk fungsi Contoh 44.1.4 sebagai jumlah deret, dengan menganggap aditivitas atas interval (Unit 44.2) dan limit $\int_{1/N}^1f\to\int_0^1f$.

Latihan 44.1-7. Misalkan $g:[0,1]\to\mathbb{R}$ naik dan $h:[0,1]\to\mathbb{R}$ turun. Buktikan bahwa $g-h$ naik, sehingga terintegralkan. Beri contoh dua fungsi naik yang selisihnya tidak monoton.

Latihan 44.1-8. Buktikan bahwa $\int_0^2x^2\,dx=\tfrac83$ dengan Teorema 44.1.3 dan jumlah Darboux partisi seragam.

### Solusi

Solusi 44.1-1. (a) Ya: kontinu, sebagai komposisi polinomial dengan akar pada $[0,\infty)$ (Teorema 44.1.1). (b) Ya: naik (Teorema 44.1.3). (c) Ya: kontinu dan turun. (d) Ya. Fungsi ini terbatas dan kontinu kecuali di $0$, dengan sinus menurut Definisi 40.2.9. Gunakan Latihan 44.1-4. $\square$

Solusi 44.1-2. $x_i=1+\tfrac i4$. $f$ turun, sehingga $M_i=f(x_{i-1})$ dan $m_i=f(x_i)$. $U=\tfrac14\bigl(1+\tfrac45+\tfrac46+\tfrac47\bigr)=\tfrac14\cdot\tfrac{319}{105}=\tfrac{319}{420}$. $L=\tfrac14\bigl(\tfrac45+\tfrac46+\tfrac47+\tfrac12\bigr)=\tfrac14\cdot\tfrac{533}{210}=\tfrac{533}{840}$. $U-L=\tfrac{638-533}{840}=\tfrac{105}{840}=\tfrac18$. Rumusnya memberi $|f(2)-f(1)|\cdot\tfrac14=\tfrac12\cdot\tfrac14=\tfrac18$. Nilai sebenarnya, $\ln2\approx0{,}693$ (Bab 45), terletak di antara $L\approx0{,}635$ dan $U\approx0{,}760$. $\square$

Solusi 44.1-3. $U-L=(8-0)\cdot\tfrac2n=\tfrac{16}n<10^{-3}$, sehingga $n>16000$, yaitu $n=16001$. $\square$

Solusi 44.1-4. Misalkan $|f|\leq K$ dan titik ketidakkontinuannya $c_1<\cdots<c_r$. Misalkan $\varepsilon>0$, dan pilih $\eta>0$ sehingga interval $[c_j-\eta,c_j+\eta]$, dipotong dengan $[a,b]$, saling lepas, dan $4K\eta r<\tfrac\varepsilon2$. Komplemen gabungan interval-interval itu di $[a,b]$ adalah gabungan berhingga banyak interval tertutup, dan $f$ kontinu pada masing-masing. Teorema 44.1.1 memberi partisi pada setiap interval itu dengan jumlah $U-L$ total $<\tfrac\varepsilon2$. Gabungkan semua titik partisi dan ujung $c_j\pm\eta$. Sumbangan interval kecil paling banyak $2K\cdot2\eta\cdot r<\tfrac\varepsilon2$. Totalnya $<\varepsilon$. $\square$

Solusi 44.1-5. $f$ terbatas, sehingga bernilai di suatu $[c,d]$. $\varphi(s)=s^2$, $|s|$, dan $\exp(s)$ kontinu pada $[c,d]$. Teorema 44.1.5 berlaku. $\square$

Solusi 44.1-6. Pada $[\tfrac1{k+1},\tfrac1k]$, $f=\tfrac1k$ kecuali di satu titik, sehingga integralnya $\tfrac1k\bigl(\tfrac1k-\tfrac1{k+1}\bigr)=\tfrac1{k^2(k+1)}$ (Latihan 43.1-5). Aditivitas memberi $\int_{1/N}^1f=\sum_{k=1}^{N-1}\tfrac1{k^2(k+1)}$. Pada $[0,\tfrac1N]$, setiap $x>0$ termuat di suatu $(\tfrac1{k+1},\tfrac1k]$ dengan $k\geq N$, sehingga $0\leq f(x)=\tfrac1k\leq\tfrac1N$. Juga $f(0)=0$. Lemma 43.1.4 memberi $0\leq\int_0^{1/N}f\leq\tfrac1N\cdot\tfrac1N\to0$. Aditivitas memberi $\int_0^1f=\int_0^{1/N}f+\int_{1/N}^1f$ untuk setiap $N$. Jadi $\int_0^1f=\sum_{k=1}^\infty\tfrac1{k^2(k+1)}$, deret yang konvergen menurut perbandingan dengan $\tfrac1{k^2}$. $\square$

Solusi 44.1-7. Untuk $x<y$: $g(x)\leq g(y)$ dan $-h(x)\leq-h(y)$, sehingga $g(x)-h(x)\leq g(y)-h(y)$. Jadi $g-h$ naik, dan Teorema 44.1.3 memberi keterintegralan. Contoh dua fungsi naik dengan selisih tak monoton: $g_1(x)=2x$ dan $g_2(x)=x^2$ pada $[0,2]$, dengan $g_1-g_2=2x-x^2=1-(x-1)^2$, yang naik pada $[0,1]$ dan turun pada $[1,2]$. Selisih seperti itu tetap terintegralkan menurut kelinearan (Teorema 44.2.1). $\square$

Solusi 44.1-8. $f$ naik pada $[0,2]$. Dengan $h=\tfrac2n$: $U=\sum_{i=1}^n(ih)^2h=h^3\tfrac{n(n+1)(2n+1)}6=\tfrac{8(n+1)(2n+1)}{6n^2}\to\tfrac{16}6=\tfrac83$. $U-L=4\cdot\tfrac2n\to0$ (Teorema 44.1.3). Akibat 43.2.2 memberi $\tfrac83$. $\square$

### Ringkasan

Fungsi kontinu pada interval tertutup terintegralkan, karena kontinuitas seragam membuat osilasinya kecil pada setiap subinterval yang cukup pendek. Fungsi monoton terintegralkan, karena untuk partisi seragam $U-L=(f(b)-f(a))\tfrac{b-a}n$ secara teleskopik, bahkan bila fungsi itu mempunyai tak hingga banyak loncatan. Komposisi $\varphi\circ f$ dengan $\varphi$ kontinu mempertahankan keterintegralan. Tanpa kontinuitas $\varphi$, komposisi dapat gagal: Thomae diikuti fungsi tangga memberi fungsi Dirichlet. Contoh: $\int_0^1\exp=e-1$ lewat jumlah Darboux dan deret geometri hingga. Bagian (I1) pinjaman P32-INT ditutup.

## 44.2 Kelinearan dan Aditivitas Interval Integral

Rumus master:
$$\int_1^4f(x)\,dx=\int_1^2f(x)\,dx+\int_2^4f(x)\,dx.$$

Unit ini membuktikan hukum-hukum operasional integral: kelinearan terhadap fungsi, aditivitas terhadap interval (rumus master), sifat urutan, ketaksamaan nilai mutlak, keterintegralan hasil kali, dan teorema nilai rata-rata untuk integral. Semua hukum itu diturunkan langsung dari jumlah Darboux dan kriteria Riemann (Teorema 43.2.1). Tidak ada yang diambil dari intuisi luas. Bersama Unit 44.1, unit ini menutup bagian (I2) pinjaman P32-INT dari Unit 32.2.

Prasyarat: Bab 43; Unit 44.1; Bab 11 (supremum jumlah).

### Kelinearan

#### Lemma 44.2.0 (Supremum Jumlah)

Untuk himpunan tak kosong $J$ dan fungsi terbatas $f,g$ pada $J$:
$$\sup_J(f+g)\leq\sup_Jf+\sup_Jg,\qquad\inf_J(f+g)\geq\inf_Jf+\inf_Jg.$$

Bukti. Untuk $x\in J$, $f(x)+g(x)\leq\sup f+\sup g$, sehingga ruas kanan adalah batas atas. Bagian infimum serupa. $\square$

Kesamaan tidak harus berlaku. Untuk $f(x)=x$ dan $g(x)=-x$ pada $[0,1]$: $\sup(f+g)=0<1+0$.

#### Teorema 44.2.1 (Kelinearan)

Bila $f,g$ terintegralkan pada $[a,b]$ dan $c\in\mathbb{R}$, maka $f+g$ dan $cf$ terintegralkan, dan
$$\int_a^b(f+g)=\int_a^bf+\int_a^bg,\qquad\int_a^bcf=c\int_a^bf.$$

Bukti. Jumlah. Lemma 44.2.0 pada setiap subinterval memberi, untuk setiap partisi $P$,
$$L(f,P)+L(g,P)\leq L(f+g,P)\leq U(f+g,P)\leq U(f,P)+U(g,P).$$
Misalkan $\varepsilon>0$. Ambil $P_1$ dan $P_2$ dengan $U-L<\tfrac\varepsilon2$ untuk $f$ dan untuk $g$ masing-masing, dan $P=P_1\cup P_2$ (Lemma 43.1.5). Maka $U(f+g,P)-L(f+g,P)<\varepsilon$, sehingga $f+g$ terintegralkan. Selain itu, $\int(f+g)$ dan $\int f+\int g$ keduanya terletak di $[L(f,P)+L(g,P),\,U(f,P)+U(g,P)]$, interval yang panjangnya $<\varepsilon$. Jadi keduanya sama.

Kelipatan. Untuk $c\geq0$, $\sup(cf)=c\sup f$ dan $\inf(cf)=c\inf f$ pada setiap subinterval, sehingga $U(cf,P)=cU(f,P)$ dan $L(cf,P)=cL(f,P)$. Untuk $c=-1$, $\sup(-f)=-\inf f$, sehingga $U(-f,P)=-L(f,P)$ dan $L(-f,P)=-U(f,P)$. Dalam kedua kasus $U-L$ hanya dikalikan dengan $|c|$, dan nilai integralnya mengikuti. Kasus $c<0$ umum: $cf=(-1)(|c|f)$. $\square$

### Aditivitas Interval

#### Teorema 44.2.2 (Aditivitas)

Misalkan $a<c<b$ dan $f$ terbatas pada $[a,b]$. Maka $f$ terintegralkan pada $[a,b]$ jika dan hanya jika $f$ terintegralkan pada $[a,c]$ dan pada $[c,b]$. Dalam hal itu,
$$\int_a^bf=\int_a^cf+\int_c^bf.$$

Bukti. Kunci bukti: bila partisi $P$ dari $[a,b]$ memuat $c$, maka $P$ terbelah menjadi partisi $P'=P\cap[a,c]$ dari $[a,c]$ dan $P''=P\cap[c,b]$ dari $[c,b]$. Subintervalnya sama, sehingga
$$U(f,P)=U(f,P')+U(f,P''),\qquad L(f,P)=L(f,P')+L(f,P'').\tag{$\ast$}$$

($\Rightarrow$) Misalkan $\varepsilon>0$, dan $P$ partisi $[a,b]$ dengan $U-L<\varepsilon$. Penghalusan $P\cup\{c\}$ juga memenuhinya (Lemma 43.1.5). Menurut $(\ast)$, $[U-L](P')+[U-L](P'')<\varepsilon$, dan kedua suku taknegatif, sehingga masing-masing $<\varepsilon$. Teorema 43.2.1 memberi keterintegralan pada kedua bagian.

($\Leftarrow$) Ambil $P'$ dan $P''$ dengan $U-L<\tfrac\varepsilon2$ pada bagian masing-masing. $P=P'\cup P''$ adalah partisi $[a,b]$ yang memuat $c$, dan $(\ast)$ memberi $U-L<\varepsilon$.

Nilai. Untuk $P$ yang memuat $c$, $(\ast)$ menyatakan bahwa $\int_a^cf+\int_c^bf$ dan $\int_a^bf$ keduanya terletak di antara $L(f,P)$ dan $U(f,P)$. Karena $U-L$ dapat dibuat sekecil apa pun, keduanya sama. $\square$

#### Contoh 44.2.3 (Contoh Master)

(a) Untuk $f(x)=x$, Latihan 43.1-7 memberi $\int_a^bx\,dx=\tfrac{b^2-a^2}2$ untuk $0\leq a<b$. Jadi $\int_1^2x\,dx=\tfrac{4-1}2=\tfrac32$, $\int_2^4x\,dx=\tfrac{16-4}2=6$, dan jumlahnya $\tfrac{15}2=\tfrac{16-1}2=\int_1^4x\,dx$, sesuai rumus master.

(b) Aditivitas berguna untuk fungsi yang didefinisikan sepotong-sepotong. Misalkan $f(x)=x$ pada $[1,2]$ dan $f(x)=5$ pada $(2,4]$. $f$ terintegralkan pada $[1,2]$, karena kontinu, dan pada $[2,4]$, karena hanya satu nilai yang berbeda dari konstanta $5$ (Latihan 43.1-5). Jadi
$$\int_1^4f=\int_1^2x\,dx+\int_2^45\,dx=\tfrac32+10=\tfrac{23}2,$$
walaupun $f$ meloncat di $2$.

#### Definisi 44.2.4 (Konvensi Orientasi)

$\int_a^af=0$, dan untuk $a<b$, $\int_b^af=-\int_a^bf$.

Dengan konvensi ini, $\int_p^rf=\int_p^qf+\int_q^rf$ untuk sebarang urutan $p,q,r$ dalam interval tempat $f$ terintegralkan. Contohnya, untuk $q<p<r$: $\int_q^r=\int_q^p+\int_p^r$ menurut Teorema 44.2.2, sehingga $\int_p^r=\int_q^r-\int_q^p=\int_q^r+\int_p^q$. Kasus-kasus lain diperiksa dengan cara yang sama (Latihan 44.2-3).

### Sifat Urutan

#### Teorema 44.2.5

Misalkan $f,g$ terintegralkan pada $[a,b]$.

(a) Bila $f\leq g$, maka $\int_a^bf\leq\int_a^bg$. Khususnya, $f\geq0$ mengakibatkan $\int_a^bf\geq0$.

(b) Bila $m\leq f\leq M$, maka $m(b-a)\leq\int_a^bf\leq M(b-a)$.

(c) $|f|$ terintegralkan, dan $\bigl|\int_a^bf\bigr|\leq\int_a^b|f|$.

Bukti. (a) Latihan 43.1-6, atau: $g-f\geq0$ terintegralkan (Teorema 44.2.1), dengan $L(g-f,P)\geq0$, sehingga $\int(g-f)\geq0$. (b) Lemma 43.1.4. (c) $|f|=\varphi\circ f$ dengan $\varphi(s)=|s|$ kontinu, sehingga terintegralkan (Teorema 44.1.5). Karena $-|f|\leq f\leq|f|$, (a) memberi $-\int|f|\leq\int f\leq\int|f|$. $\square$

Kebalikan (c) salah. $f=2\chi_{\mathbb{Q}}-1$ bernilai $\pm1$, sehingga $|f|=1$ terintegralkan, tetapi $f$ sendiri tidak (Contoh 43.1.13 dan Teorema 44.2.1).

Teorema 44.2.5(b), dengan aditivitas, menutup bagian (I2) pinjaman P32-INT. Untuk $f$ positif dan turun pada $[k,k+1]$: $f(k+1)\leq f\leq f(k)$ di sana, sehingga $f(k+1)\leq\int_k^{k+1}f\leq f(k)$. Untuk $F(t)=\int_1^tf$, Teorema 44.2.2 memberi $F(k+1)-F(k)=\int_k^{k+1}f$. Jadi Teorema 32.2.4 (uji integral) kini hanya bergantung pada bagian (I3), integral tak wajar, yang ditutup di Bab 46.

#### Teorema 44.2.6 (Hasil Kali)

Bila $f,g$ terintegralkan pada $[a,b]$, maka $fg$ terintegralkan.

Bukti. $f^2$ terintegralkan, menurut Teorema 44.1.5 dengan $\varphi(s)=s^2$. Identitas $fg=\tfrac14\bigl((f+g)^2-(f-g)^2\bigr)$ dan Teorema 44.2.1 menyelesaikan bukti. $\square$

Tidak ada rumus $\int fg=\int f\cdot\int g$. Contohnya, $\int_0^1x\cdot x\,dx=\tfrac13\ne\tfrac14=\bigl(\int_0^1x\,dx\bigr)^2$.

#### Teorema 44.2.7 (Nilai Rata-Rata untuk Integral)

Bila $f$ kontinu pada $[a,b]$, ada $\xi\in[a,b]$ dengan
$$\int_a^bf=f(\xi)\,(b-a).$$

Bukti. Misalkan $m$ dan $M$ nilai minimum dan maksimum $f$ (Teorema 37.1.2). Teorema 44.2.5(b) memberi $m\leq\tfrac1{b-a}\int_a^bf\leq M$. Nilai antara (Akibat 37.2.3) memberi $\xi$ dengan $f(\xi)$ sama dengan rata-rata itu. $\square$

Bilangan $\tfrac1{b-a}\int_a^bf$ disebut nilai rata-rata $f$ pada $[a,b]$. Untuk $x^2$ pada $[0,1]$, rata-ratanya $\tfrac13$, dicapai di $\xi=\tfrac1{\sqrt3}$. Kontinuitas diperlukan. Fungsi tangga pada Contoh 43.2.3 mempunyai rata-rata $\tfrac12$ pada $[0,2]$, tetapi hanya bernilai $0$ dan $1$.

### Latihan

Latihan 44.2-1. Dengan $\int_0^1x\,dx=\tfrac12$ dan $\int_0^1x^2\,dx=\tfrac13$, hitung $\int_0^1(3x^2-4x+5)\,dx$, dan sebutkan sifat yang dipakai.

Latihan 44.2-2. Buktikan $\int_1^4x^2\,dx=21$ dari $\int_0^bx^2\,dx=\tfrac{b^3}3$ (Latihan 44.1-8 dengan $b$ umum) dan aditivitas, lalu periksa $\int_1^2+\int_2^4=\tfrac73+\tfrac{56}3$.

Latihan 44.2-3. Buktikan konvensi orientasi untuk keenam urutan $p,q,r$.

Latihan 44.2-4. Buktikan bahwa bila $f$ kontinu, $f\geq0$ pada $[a,b]$, dan $\int_a^bf=0$, maka $f=0$ pada $[a,b]$. Tunjukkan bahwa syarat kontinuitas diperlukan.

Latihan 44.2-5. Buktikan bahwa $\int_0^1x^n\,dx\to0$ untuk $n\to\infty$, tanpa menghitung integralnya. (Petunjuk: pisahkan $[0,1-\delta]$ dan $[1-\delta,1]$.)

Latihan 44.2-6. Buktikan ketaksamaan Cauchy–Schwarz untuk integral: $\bigl(\int_a^bfg\bigr)^2\leq\int_a^bf^2\int_a^bg^2$.

Latihan 44.2-7. Tentukan nilai rata-rata $f(x)=x$ pada $[1,4]$ dan titik $\xi$ pada Teorema 44.2.7.

Latihan 44.2-8. Beri contoh $f$ yang tidak terintegralkan pada $[0,2]$, tetapi $f^2$ terintegralkan.

### Solusi

Solusi 44.2-1. Kelinearan: $3\cdot\tfrac13-4\cdot\tfrac12+5\cdot1=1-2+5=4$. Integral konstanta memakai Contoh 43.1.10. $\square$

Solusi 44.2-2. Untuk $b>0$, dengan $h=\tfrac bn$: $U=h^3\tfrac{n(n+1)(2n+1)}6\to\tfrac{b^3}3$, dan $U-L=b^2\cdot\tfrac bn\to0$. Jadi $\int_0^bx^2=\tfrac{b^3}3$. Aditivitas memberi $\int_1^4=\tfrac{64}3-\tfrac13=21$, $\int_1^2=\tfrac83-\tfrac13=\tfrac73$, dan $\int_2^4=\tfrac{64}3-\tfrac83=\tfrac{56}3$. Jumlahnya $\tfrac{63}3=21$. $\square$

Solusi 44.2-3. Untuk $p<q<r$: Teorema 44.2.2. Untuk urutan lain, mulai dari urutan naik $u<v<w$ dari $\{p,q,r\}$, yang memenuhi $\int_u^w=\int_u^v+\int_v^w$, lalu tulis ulang dengan $\int_y^x=-\int_x^y$. Contohnya, untuk $r<p<q$, ingin dibuktikan $\int_p^r=\int_p^q+\int_q^r$, yaitu $-\int_r^p=\int_p^q-\int_r^q$. Ini setara dengan $\int_r^q=\int_r^p+\int_p^q$, yaitu aditivitas pada $r<p<q$. Kasus dengan dua titik sama memakai $\int_x^x=0$. $\square$

Solusi 44.2-4. Andaikan $f(c)>0$ untuk suatu $c$. Kontinuitas memberi interval $[\alpha,\beta]\ni c$ dengan $\alpha<\beta$ dan $f\geq\tfrac{f(c)}2$ di sana (Solusi 36.1-5). Maka $\int_a^bf\geq\int_\alpha^\beta f\geq\tfrac{f(c)}2(\beta-\alpha)>0$, memakai aditivitas dan $f\geq0$ di bagian lain. Kontradiksi. Tanpa kontinuitas: $f(x)=0$ kecuali $f(\tfrac12)=1$ pada $[0,1]$ memberi integral $0$ (Latihan 43.1-5). $\square$

Solusi 44.2-5. Misalkan $\varepsilon>0$. Ambil $\delta=\min\{\tfrac\varepsilon2,\tfrac12\}$, sehingga $0<1-\delta<1$. Pada $[1-\delta,1]$, $0\leq x^n\leq1$, sehingga integralnya $\leq\delta$. Pada $[0,1-\delta]$, $x^n\leq(1-\delta)^n$, sehingga integralnya $\leq(1-\delta)^n<\tfrac\varepsilon2$ untuk $n$ besar (Contoh 25.3.6). Jumlahnya $<\varepsilon$. $\square$

Solusi 44.2-6. Untuk $\lambda\in\mathbb{R}$: $0\leq\int(\lambda f+g)^2=\lambda^2A+2\lambda B+C$, dengan $A=\int f^2$, $B=\int fg$, dan $C=\int g^2$, menurut Teorema 44.2.5(a) dan kelinearan. Bila $A>0$, ambil $\lambda=-\tfrac BA$: $0\leq C-\tfrac{B^2}A$, sehingga $B^2\leq AC$. Bila $A=0$, maka $2\lambda B+C\geq0$ untuk semua $\lambda$, sehingga $B=0$. Bandingkan dengan Teorema 10.4.10. $\square$

Solusi 44.2-7. $\int_1^4x\,dx=\tfrac{15}2$, sehingga rata-ratanya $\tfrac{15/2}3=\tfrac52$, dicapai di $\xi=\tfrac52$. $\square$

Solusi 44.2-8. $f=2\chi_{\mathbb{Q}}-1$ pada $[0,2]$: $f^2=1$ terintegralkan, sedangkan $f$ tidak, karena setiap $U(f,P)=2$ dan $L(f,P)=-2$. $\square$

### Ringkasan

Integral bersifat linear. Bila $f,g$ terintegralkan, $f+g$ dan $cf$ terintegralkan dengan integral yang sesuai, karena supremum jumlah tidak melebihi jumlah supremum. Integral aditif terhadap interval, $\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b$, karena partisi yang memuat $c$ terbelah menjadi dua. Ini rumus master, yang diperiksa dengan $f(x)=x$ pada $[1,4]$ dan dengan fungsi sepotong-sepotong. Dengan konvensi orientasi, aditivitas berlaku untuk semua urutan. Integral mempertahankan urutan, memenuhi $|\int f|\leq\int|f|$, terintegralkan untuk hasil kali, dan untuk fungsi kontinu mencapai nilai rata-ratanya. Bagian (I2) pinjaman P32-INT ditutup.