# Bab 43: Integral Riemann dan Jumlah Darboux

## 43.1 Partisi Interval dan Jumlah Darboux Atas/Bawah

Bagian IX membangun integral Riemann. Penjelasan master untuk Bab 43: integral didefinisikan secara formal sebagai luas di bawah kurva, memakai partisi dan batas supremum/infimum. Penjelasan master untuk unit ini: luas dihampiri dengan persegi panjang luar (jumlah atas, *upper sum*) dan persegi panjang dalam (jumlah bawah, *lower sum*).

Kata "luas" di sini adalah motivasi, bukan definisi. Untuk daerah lengkung, luas belum mempunyai arti matematis. Pendekatan Darboux justru memberi arti itu. Luas daerah di bawah grafik $f$ didefinisikan sebagai bilangan yang terjepit di antara semua jumlah bawah dan semua jumlah atas, asalkan bilangan seperti itu tunggal. Bila tidak tunggal, misalnya untuk fungsi Dirichlet, integral Riemann tidak ada. Unit ini menyusun alat-alatnya: partisi, penghalusan, jumlah atas dan bawah, serta integral atas dan bawah. Unit 43.2 memberi kriteria praktis kapan keduanya sama.

Prasyarat: supremum dan infimum (Bab 11); himpunan hingga (Bab 20); fungsi terbatas (Bab 24). Dalam seluruh Bab 43–45, fungsi yang diintegralkan diandaikan terbatas. Fungsi tak terbatas ditangani dengan integral tak wajar (Bab 46).

### Partisi

#### Definisi 43.1.1 (Partisi dan Kehalusan)

Misalkan $a<b$. Partisi $[a,b]$ adalah himpunan hingga $P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ dengan
$$a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b,\qquad n\geq1.$$
Interval $[x_{i-1},x_i]$ disebut subinterval ke-$i$, dengan panjang $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}>0$. Bilangan $\|P\|=\max_i\Delta x_i$ disebut kehalusan (mesh) $P$. Partisi $Q$ adalah penghalusan $P$ bila $P\subseteq Q$.

Karena $P$ himpunan hingga bilangan real, penulisan naik $x_0<\cdots<x_n$ tunggal (minimum berulang, Teorema 11.1.14). Jadi partisi dapat dipandang sebagai himpunan maupun sebagai daftar naik. Untuk dua partisi $P$ dan $Q$, gabungan $P\cup Q$ adalah partisi yang menghaluskan keduanya, yaitu penghalusan bersama.

$\sum_i\Delta x_i=x_n-x_0=b-a$, karena jumlahnya teleskopik.

#### Contoh 43.1.2

Partisi seragam $P_n=\{a+\tfrac in(b-a):i=0,\ldots,n\}$ mempunyai $\Delta x_i=\tfrac{b-a}n$ dan $\|P_n\|=\tfrac{b-a}n$. $P_{2n}$ menghaluskan $P_n$, karena $a+\tfrac in(b-a)=a+\tfrac{2i}{2n}(b-a)$. Akan tetapi $P_3$ tidak menghaluskan $P_2$, karena titik tengah $\tfrac{a+b}2$ tidak termuat di $P_3$.

### Jumlah Darboux

#### Definisi 43.1.3

Misalkan $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ terbatas, dan $P$ partisi. Untuk setiap $i$, tetapkan
$$M_i=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x),\qquad m_i=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x).$$
Keduanya ada karena $f$ terbatas (aksioma supremum, Teorema 11.3.3). Jumlah Darboux atas dan bawah adalah
$$U(f,P)=\sum_{i=1}^nM_i\,\Delta x_i,\qquad L(f,P)=\sum_{i=1}^nm_i\,\Delta x_i.$$

Secara geometris, untuk $f\geq0$, $U(f,P)$ adalah jumlah luas persegi panjang yang menutupi grafik, dan $L(f,P)$ adalah jumlah luas persegi panjang yang termuat di bawah grafik. "Luas persegi panjang" berarti alas dikali tinggi; itu definisi elementer yang tidak memerlukan teori baru.

Keterbatasan diperlukan. Untuk $f(x)=\tfrac1x$ pada $(0,1]$ dengan $f(0)=0$, subinterval pertama setiap partisi memuat titik dengan nilai $f$ sebesar apa pun, sehingga $M_1$ tidak ada.

#### Lemma 43.1.4 (Batas Kasar)

Bila $m\leq f(x)\leq M$ untuk semua $x\in[a,b]$, maka untuk setiap partisi $P$:
$$m(b-a)\leq L(f,P)\leq U(f,P)\leq M(b-a).$$

Bukti. $m\leq m_i\leq M_i\leq M$ untuk setiap $i$, karena infimum himpunan tak kosong tidak melebihi supremumnya. Kalikan dengan $\Delta x_i>0$ dan jumlahkan, lalu gunakan $\sum\Delta x_i=b-a$. $\square$

### Penghalusan

#### Lemma 43.1.5 (Penghalusan Memperbaiki Hampiran)

Bila $Q$ menghaluskan $P$, maka
$$L(f,P)\leq L(f,Q)\leq U(f,Q)\leq U(f,P).$$

Bukti. Pertama, misalkan $Q=P\cup\{y\}$, dengan satu titik baru $y\in(x_{k-1},x_k)$. Semua subinterval selain yang ke-$k$ tidak berubah. Subinterval $[x_{k-1},x_k]$ terbelah menjadi $[x_{k-1},y]$ dan $[y,x_k]$. Misalkan $M'$ dan $M''$ adalah supremum $f$ pada kedua bagian. Karena keduanya subhimpunan $[x_{k-1},x_k]$, $M'\leq M_k$ dan $M''\leq M_k$ (Proposisi 11.2.15). Maka
$$M'(y-x_{k-1})+M''(x_k-y)\leq M_k(y-x_{k-1})+M_k(x_k-y)=M_k\,\Delta x_k.$$
Jadi $U(f,Q)\leq U(f,P)$. Secara serupa, infimum pada subhimpunan tidak lebih kecil, sehingga $L(f,Q)\geq L(f,P)$.

Secara umum, $Q\setminus P$ hingga, katakan berisi $r$ titik. Tambahkan titik-titik itu satu per satu; induksi pada $r$ memberi hasilnya. Ketaksamaan tengah adalah Lemma 43.1.4 untuk setiap subinterval, yaitu $m_i\leq M_i$. $\square$

#### Lemma 43.1.6 (Jumlah Bawah Tidak Melebihi Jumlah Atas Mana Pun)

Untuk sebarang partisi $P$ dan $Q$: $L(f,P)\leq U(f,Q)$.

Bukti. $P\cup Q$ menghaluskan keduanya. Lemma 43.1.5 memberi $L(f,P)\leq L(f,P\cup Q)\leq U(f,P\cup Q)\leq U(f,Q)$. $\square$

Lemma ini tidak jelas tanpa penghalusan bersama. $P$ dan $Q$ dapat mempunyai titik-titik yang sama sekali berbeda, sehingga persegi panjangnya tidak dapat dibandingkan secara langsung.

### Integral Atas dan Bawah

#### Definisi 43.1.7

Misalkan $\mathcal{P}$ himpunan semua partisi $[a,b]$. Himpunan ini sah sebagai subhimpunan $\mathcal{P}([a,b])$, yang dipilih dengan separasi. Integral bawah dan integral atas $f$ adalah
$$\underline{\int_a^b}f=\sup_{P\in\mathcal{P}}L(f,P),\qquad\overline{\int_a^b}f=\inf_{P\in\mathcal{P}}U(f,P).$$

Keduanya ada sebagai bilangan real. Himpunan $\{L(f,P)\}$ tak kosong, karena $\{a,b\}$ adalah partisi, dan terbatas di atas oleh $M(b-a)$ (Lemma 43.1.4). Himpunan $\{U(f,P)\}$ terbatas di bawah oleh $m(b-a)$.

#### Teorema 43.1.8

$\underline{\int_a^b}f\leq\overline{\int_a^b}f$.

Bukti. Tetapkan $Q$. Lemma 43.1.6 menyatakan bahwa $U(f,Q)$ adalah batas atas semua $L(f,P)$, sehingga $\underline\int f\leq U(f,Q)$. Jadi $\underline\int f$ adalah batas bawah semua $U(f,Q)$, sehingga $\underline\int f\leq\overline\int f$. $\square$

#### Definisi 43.1.9 (Integral Riemann)

$f$ terintegralkan Riemann pada $[a,b]$ bila $\underline{\int_a^b}f=\overline{\int_a^b}f$. Nilai bersama itu disebut integral $f$, ditulis $\int_a^bf$ atau $\int_a^bf(x)\,dx$. Untuk $f\geq0$, bilangan ini didefinisikan sebagai luas daerah di bawah grafik.

Huruf $x$ dalam $\int_a^bf(x)\,dx$ adalah variabel boneka, dan $dx$ hanyalah bagian dari notasi. Lambang itu tidak menyatakan perkalian dengan suatu "bilangan $dx$".

Pendekatan ini disebut pendekatan Darboux. Pendekatan Riemann yang asli memakai jumlah dengan titik sampel. Unit 43.2 membuktikan bahwa kedua pendekatan memberi kelas fungsi dan nilai integral yang sama.

### Contoh

#### Contoh 43.1.10 (Konstanta)

$f(x)=c$ pada $[a,b]$: $M_i=m_i=c$, sehingga $L(f,P)=U(f,P)=c(b-a)$ untuk setiap $P$. Jadi $\int_a^bc\,dx=c(b-a)$.

#### Contoh 43.1.11 ($f(x)=x$ pada $[0,1]$)

$f$ naik, sehingga pada $[x_{i-1},x_i]$, $M_i=x_i$ dan $m_i=x_{i-1}$. Untuk partisi seragam $P_n$:
$$U(f,P_n)=\sum_{i=1}^n\frac in\cdot\frac1n=\frac{n(n+1)}{2n^2}=\frac{n+1}{2n},\qquad L(f,P_n)=\sum_{i=1}^n\frac{i-1}n\cdot\frac1n=\frac{n-1}{2n},$$
dengan $\sum_{i=1}^ni=\tfrac{n(n+1)}2$ (induksi). Maka $\tfrac{n-1}{2n}\leq\underline\int f\leq\overline\int f\leq\tfrac{n+1}{2n}$ untuk setiap $n$. Selisih kedua batas adalah $\tfrac1n\to0$, dan keduanya menuju $\tfrac12$. Menurut Teorema 26.3.1, diperoleh $\underline\int f=\overline\int f=\tfrac12$. Jadi $\int_0^1x\,dx=\tfrac12$, sesuai dengan luas segitiga.

#### Contoh 43.1.12 ($f(x)=x^2$ pada $[0,1]$)

$f$ naik pada $[0,1]$. Dengan $\sum_{i=1}^ni^2=\tfrac{n(n+1)(2n+1)}6$ (Latihan 43.1-3):
$$U(f,P_n)=\sum_{i=1}^n\frac{i^2}{n^2}\cdot\frac1n=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2},\qquad L(f,P_n)=\sum_{i=1}^n\frac{(i-1)^2}{n^3}=\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}.$$
Keduanya menuju $\tfrac26=\tfrac13$ (Contoh 26.2.7(b)). Argumen penjepit yang sama memberi $\int_0^1x^2\,dx=\tfrac13$. Untuk $n=10$: $U=\tfrac{11\cdot21}{600}=0{,}385$ dan $L=\tfrac{9\cdot19}{600}=0{,}285$, sehingga $0{,}285\leq\int_0^1x^2\,dx\leq0{,}385$.

#### Contoh 43.1.13 (Fungsi Dirichlet: Tidak Terintegralkan)

$\chi_{\mathbb{Q}}$ pada $[0,1]$. Setiap subinterval tak degenerat memuat bilangan rasional dan irasional (Teorema 11.3.11, 11.4.6), sehingga $M_i=1$ dan $m_i=0$. Jadi $U(\chi_{\mathbb{Q}},P)=1$ dan $L(\chi_{\mathbb{Q}},P)=0$ untuk setiap $P$, sehingga $\underline\int\chi_{\mathbb{Q}}=0<1=\overline\int\chi_{\mathbb{Q}}$. Fungsi ini terbatas, tetapi tidak terintegralkan Riemann. Integral Lebesgue, yang di luar cakupan buku ini, memberi nilai $0$ untuk fungsi ini. Bab 50 menyinggung hal itu.

### Latihan

Latihan 43.1-1. Untuk $f(x)=2x+1$ pada $[0,2]$ dan partisi $P=\{0;\,0{,}5;\,1;\,2\}$, hitung $U(f,P)$ dan $L(f,P)$.

Latihan 43.1-2. Untuk $f(x)=x$ pada $[0,1]$, $P=\{0,\tfrac12,1\}$, dan $Q=\{0,\tfrac13,\tfrac12,1\}$, periksa Lemma 43.1.5 secara numerik.

Latihan 43.1-3. Buktikan $\sum_{i=1}^ni^2=\tfrac{n(n+1)(2n+1)}6$ dengan induksi, lalu periksa perhitungan $L(f,P_n)$ pada Contoh 43.1.12.

Latihan 43.1-4. Tunjukkan bahwa untuk $f(x)=-x$ pada $[0,1]$, $M_i=-x_{i-1}$ dan $m_i=-x_i$. Hitung integralnya dengan partisi seragam.

Latihan 43.1-5. Misalkan $f(x)=1$ untuk $x\in[0,1]$ kecuali $f(\tfrac12)=5$. Hitung $L(f,P)$ dan $U(f,P)$ untuk partisi $P$ dengan $\tfrac12$ sebagai titik partisi dan subinterval yang memuat $\tfrac12$ berpanjang $\delta$. Simpulkan integralnya.

Latihan 43.1-6. Buktikan bahwa bila $f\leq g$ pada $[a,b]$, maka $\overline\int f\leq\overline\int g$ dan $\underline\int f\leq\underline\int g$.

Latihan 43.1-7. Hitung $\int_a^bx\,dx$ untuk $0\leq a<b$ dengan partisi seragam, dan periksa bahwa hasilnya $\tfrac{b^2-a^2}2$.

Latihan 43.1-8. Misalkan $f(x)=x$ untuk $x\in\mathbb{Q}\cap[0,1]$ dan $f(x)=0$ untuk $x$ irasional. Hitung integral atas dan integral bawah $f$ pada $[0,1]$.

### Solusi

Solusi 43.1-1. $f$ naik, sehingga $M_i=f(x_i)$ dan $m_i=f(x_{i-1})$. Subinterval $[0;0{,}5]$, $[0{,}5;1]$, dan $[1;2]$ berpanjang $0{,}5$, $0{,}5$, dan $1$. $U=2(0{,}5)+3(0{,}5)+5(1)=1+1{,}5+5=7{,}5$. $L=1(0{,}5)+2(0{,}5)+3(1)=0{,}5+1+3=4{,}5$. Integral sebenarnya, yaitu luas trapesium, adalah $\tfrac{(1+5)\cdot2}2=6$, yang terletak di antara keduanya. $\square$

Solusi 43.1-2. $U(f,P)=\tfrac12\cdot\tfrac12+1\cdot\tfrac12=\tfrac34$ dan $L(f,P)=0\cdot\tfrac12+\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac14$. $U(f,Q)=\tfrac13\cdot\tfrac13+\tfrac12\cdot\tfrac16+1\cdot\tfrac12=\tfrac19+\tfrac1{12}+\tfrac12=\tfrac{25}{36}$ dan $L(f,Q)=0+\tfrac13\cdot\tfrac16+\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac1{18}+\tfrac14=\tfrac{11}{36}$. Jadi $\tfrac14=\tfrac9{36}\leq\tfrac{11}{36}\leq\tfrac{25}{36}\leq\tfrac{27}{36}=\tfrac34$. $\square$

Solusi 43.1-3. Untuk $n=1$: $1=\tfrac{1\cdot2\cdot3}6$. Langkah: $\tfrac{n(n+1)(2n+1)}6+(n+1)^2=\tfrac{(n+1)\bigl(n(2n+1)+6(n+1)\bigr)}6=\tfrac{(n+1)(2n^2+7n+6)}6=\tfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}6$. Untuk $L$: $\sum_{i=1}^n(i-1)^2=\sum_{j=0}^{n-1}j^2=\tfrac{(n-1)n(2n-1)}6$. Bagi dengan $n^3$ memberi $\tfrac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}$. $\square$

Solusi 43.1-4. $f$ turun, sehingga supremum pada $[x_{i-1},x_i]$ dicapai di ujung kiri dan infimum di ujung kanan. Dengan $P_n$: $U=-\tfrac{n-1}{2n}$ dan $L=-\tfrac{n+1}{2n}$, keduanya menuju $-\tfrac12$. Jadi $\int_0^1(-x)\,dx=-\tfrac12$. $\square$

Solusi 43.1-5. Misalkan subinterval yang memuat $\tfrac12$ sebagai ujung adalah $[\tfrac12-\delta_1,\tfrac12]$ dan $[\tfrac12,\tfrac12+\delta_2]$. Pada keduanya $M_i=5$ dan $m_i=1$; pada subinterval lain $M_i=m_i=1$. Jadi $L(f,P)=1$ dan $U(f,P)=1+4(\delta_1+\delta_2)$. Karena $\delta_1+\delta_2$ dapat dibuat sekecil apa pun, $\overline\int f=1=\underline\int f$, sehingga $\int_0^1f=1$. Nilai di satu titik tidak mempengaruhi integral. $\square$

Solusi 43.1-6. Pada setiap subinterval, $\sup f\leq\sup g$ dan $\inf f\leq\inf g$, sehingga $U(f,P)\leq U(g,P)$ dan $L(f,P)\leq L(g,P)$ untuk setiap $P$. Ambil infimum dan supremum atas $P$. $\square$

Solusi 43.1-7. $x_i=a+ih$ dengan $h=\tfrac{b-a}n$. $U=\sum_{i=1}^n(a+ih)h=nah+h^2\tfrac{n(n+1)}2=a(b-a)+\tfrac{(b-a)^2}2\cdot\tfrac{n+1}n$, yang menuju $a(b-a)+\tfrac{(b-a)^2}2=\tfrac{b^2-a^2}2$. $L=U-\sum h\cdot h=U-\tfrac{(b-a)^2}n$ menuju limit yang sama. $\square$

Solusi 43.1-8. Pada $[x_{i-1},x_i]$: $m_i=0$, karena ada irasional. $M_i=x_i$, karena rasional di dekat $x_i$ memberi nilai sedekat apa pun ke $x_i$, dan semua nilai $\leq x_i$ (nilai rasional $x\leq x_i$, nilai irasional $0$). Jadi $L=0$ untuk setiap $P$, dan $U(f,P)=\sum x_i\Delta x_i=U(\mathrm{id},P)$. Maka $\underline\int f=0$ dan $\overline\int f=\overline\int x\,dx=\tfrac12$. Fungsi ini tidak terintegralkan. $\square$

### Ringkasan

Partisi membagi $[a,b]$ menjadi subinterval. Jumlah atas $U(f,P)$ memakai supremum $f$ pada setiap subinterval, dan jumlah bawah $L(f,P)$ memakai infimumnya. Keduanya terdefinisi untuk fungsi terbatas. Penghalusan menaikkan jumlah bawah dan menurunkan jumlah atas. Melalui penghalusan bersama, setiap jumlah bawah tidak melebihi setiap jumlah atas. Integral bawah adalah supremum semua jumlah bawah, integral atas adalah infimum semua jumlah atas, dan $f$ terintegralkan Riemann bila keduanya sama. Dengan partisi seragam, $\int_0^1x\,dx=\tfrac12$ dan $\int_0^1x^2\,dx=\tfrac13$. Fungsi Dirichlet terbatas tetapi tidak terintegralkan, karena integral bawahnya $0$ dan integral atasnya $1$.

## 43.2 Kriteria Cauchy untuk Keterintegralan Riemann

Definisi 43.1.9 meminta kesamaan antara supremum semua jumlah bawah dan infimum semua jumlah atas. Untuk memeriksanya langsung, kita perlu menguasai semua partisi sekaligus. Unit ini memberi dua kriteria yang jauh lebih praktis, dan keduanya mempunyai semangat Cauchy: keterintegralan dibuktikan tanpa mengetahui nilai integralnya lebih dahulu.

1. Kriteria Riemann: cukup satu partisi yang membuat $U-L$ kecil.
2. Kriteria Cauchy untuk jumlah Riemann: jumlah dengan titik sampel sebarang pada partisi yang cukup halus saling berdekatan.

Di tengah jalan, unit ini membuktikan bahwa pendekatan Darboux (Unit 43.1) dan pendekatan asli Riemann, yaitu limit jumlah dengan titik sampel, memberi kelas fungsi yang sama dan nilai integral yang sama.

Prasyarat: Unit 43.1; Bab 29 (gagasan Cauchy).

Dalam unit ini $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ terbatas, dengan $|f(x)|\leq K$, $K>0$, dan $a<b$.

### Kriteria Riemann

#### Teorema 43.2.1 (Kriteria Riemann)

$f$ terintegralkan pada $[a,b]$ jika dan hanya jika untuk setiap $\varepsilon>0$ ada partisi $P$ dengan
$$U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon.$$

Bukti. ($\Leftarrow$) Untuk partisi seperti itu, $L(f,P)\leq\underline\int f\leq\overline\int f\leq U(f,P)$ (definisi dan Teorema 43.1.8), sehingga $0\leq\overline\int f-\underline\int f<\varepsilon$. Karena $\varepsilon$ sebarang, keduanya sama.

($\Rightarrow$) Misalkan $I=\int_a^bf$ dan $\varepsilon>0$. Menurut karakterisasi supremum dan infimum (Teorema 11.3.2 dan versi infimumnya), ada $P_1$ dengan $L(f,P_1)>I-\tfrac\varepsilon2$ dan $P_2$ dengan $U(f,P_2)<I+\tfrac\varepsilon2$. Untuk $P=P_1\cup P_2$, Lemma 43.1.5 memberi $U(f,P)-L(f,P)\leq U(f,P_2)-L(f,P_1)<\varepsilon$. $\square$

#### Akibat 43.2.2 (Barisan Partisi)

Bila $(P_n)$ barisan partisi dengan $U(f,P_n)-L(f,P_n)\to0$, maka $f$ terintegralkan dan
$$\int_a^bf=\lim_{n\to\infty}U(f,P_n)=\lim_{n\to\infty}L(f,P_n).$$

Bukti. Keterintegralan menurut Teorema 43.2.1. Selanjutnya $0\leq U(f,P_n)-\int f\leq U(f,P_n)-L(f,P_n)\to0$, dan hal yang sama berlaku untuk $L$. $\square$

Perhitungan pada Contoh 43.1.11 dan 43.1.12 adalah kasus akibat ini dengan partisi seragam.

#### Contoh 43.2.3 (Fungsi Tangga)

$f(x)=0$ untuk $0\leq x<1$ dan $f(x)=1$ untuk $1\leq x\leq2$. Untuk $0<\delta<1$, tetapkan $P_\delta=\{0,\,1-\delta,\,1,\,2\}$. Pada $[0,1-\delta]$: $M=m=0$. Pada $[1-\delta,1]$: $M=1$, karena $f(1)=1$, dan $m=0$. Pada $[1,2]$: $M=m=1$. Jadi $U(f,P_\delta)=\delta+1$ dan $L(f,P_\delta)=1$. Selisihnya $\delta$, yang dapat dibuat sekecil apa pun. Jadi $f$ terintegralkan, dan $\int_0^2f=1$. Satu loncatan tidak menghalangi keterintegralan. Integral tidak peduli pada nilai di titik loncatan.

### Kehalusan dan Jumlah Riemann

#### Lemma 43.2.4 (Pengaruh Kehalusan)

Misalkan $P_0$ partisi dengan $r$ anggota, dan $Q$ sebarang partisi. Maka
$$U(f,Q)-U(f,Q\cup P_0)\leq2Kr\,\|Q\|,\qquad L(f,Q\cup P_0)-L(f,Q)\leq2Kr\,\|Q\|.$$

Bukti. Tambahkan titik-titik $P_0\setminus Q$ satu per satu. Banyaknya paling $r$. Setiap titik baru $y$ terletak di bagian dalam tepat satu subinterval $J$ dari partisi saat itu, dan panjang $|J|\leq\|Q\|$, karena penghalusan tidak memperpanjang subinterval. Menambahkan $y$ mengganti suku $M_J|J|$ dengan dua suku yang jumlahnya $\geq-K|J|$. Jadi jumlah atas turun paling banyak $(M_J+K)|J|\leq2K\|Q\|$. Jumlahkan atas paling banyak $r$ langkah. Bagian $L$ serupa. $\square$

#### Definisi 43.2.5 (Jumlah Riemann)

Partisi bertitik sampel adalah pasangan $(P,t)$ dengan $P=\{x_0<\cdots<x_n\}$ dan $t=(t_1,\ldots,t_n)$, $t_i\in[x_{i-1},x_i]$. Jumlah Riemannnya adalah
$$S(f,P,t)=\sum_{i=1}^nf(t_i)\,\Delta x_i.$$
Selalu berlaku $L(f,P)\leq S(f,P,t)\leq U(f,P)$, karena $m_i\leq f(t_i)\leq M_i$.

#### Teorema 43.2.6 (Darboux = Riemann)

$f$ terintegralkan dengan integral $I$ jika dan hanya jika: untuk setiap $\varepsilon>0$ ada $\delta>0$ sehingga setiap partisi bertitik sampel $(P,t)$ dengan $\|P\|<\delta$ memenuhi $|S(f,P,t)-I|<\varepsilon$.

Bukti. ($\Rightarrow$) Misalkan $\varepsilon>0$. Teorema 43.2.1 memberi $P_0$ dengan $U(f,P_0)-L(f,P_0)<\tfrac\varepsilon2$. Misalkan $r=|P_0|$, dan tetapkan $\delta=\tfrac\varepsilon{8Kr}$. Untuk $\|Q\|<\delta$, Lemma 43.2.4 dan Lemma 43.1.5 memberi
$$U(f,Q)\leq U(f,Q\cup P_0)+\tfrac\varepsilon4\leq U(f,P_0)+\tfrac\varepsilon4,\qquad L(f,Q)\geq L(f,P_0)-\tfrac\varepsilon4.$$
Jadi $U(f,Q)-L(f,Q)<\varepsilon$. Karena $S(f,Q,t)$ dan $I$ keduanya terletak di $[L(f,Q),U(f,Q)]$, $|S(f,Q,t)-I|<\varepsilon$.

($\Leftarrow$) Misalkan $\varepsilon>0$, dan ambil $\delta$ dari hipotesis. Ambil partisi seragam $P$ dengan $\|P\|<\delta$. Untuk setiap $i$, ada $t_i$ dengan $f(t_i)>M_i-\tfrac\varepsilon{b-a}$ (Teorema 11.3.2), dan $t_i'$ dengan $f(t_i')<m_i+\tfrac\varepsilon{b-a}$. Ini berhingga banyak pemilihan tunggal, sehingga tidak memerlukan aksioma pilihan. Maka $S(f,P,t)>U(f,P)-\varepsilon$ dan $S(f,P,t')<L(f,P)+\varepsilon$, sehingga
$$U(f,P)<I+2\varepsilon,\qquad L(f,P)>I-2\varepsilon.$$
Jadi $U(f,P)-L(f,P)<4\varepsilon$, sehingga $f$ terintegralkan (Teorema 43.2.1). Integralnya terletak di antara $L(f,P)$ dan $U(f,P)$, sehingga berjarak kurang dari $2\varepsilon$ dari $I$. Karena $\varepsilon$ sebarang, integralnya $I$. $\square$

Bukti arah ($\Rightarrow$) memperlihatkan peran Lemma 43.2.4. Partisi yang halus belum tentu menghaluskan $P_0$, tetapi kehalusannya membuat titik-titik $P_0$ hanya berpengaruh kecil.

### Kriteria Cauchy

#### Teorema 43.2.7 (Kriteria Cauchy untuk Jumlah Riemann)

$f$ terintegralkan pada $[a,b]$ jika dan hanya jika untuk setiap $\varepsilon>0$ ada $\delta>0$ sehingga
$$|S(f,P,t)-S(f,P',t')|<\varepsilon$$
untuk semua partisi bertitik sampel $(P,t)$ dan $(P',t')$ dengan $\|P\|,\|P'\|<\delta$.

Bukti. ($\Rightarrow$) Teorema 43.2.6 dengan $\tfrac\varepsilon2$ dan ketaksamaan segitiga.

($\Leftarrow$) Misalkan $\varepsilon>0$, dan ambil $\delta$ dari hipotesis. Untuk partisi seragam $P$ dengan $\|P\|<\delta$, pilih titik sampel $t$ dan $t'$ seperti pada bukti Teorema 43.2.6, sehingga $S(f,P,t)>U(f,P)-\varepsilon$ dan $S(f,P,t')<L(f,P)+\varepsilon$. Hipotesis dengan $P'=P$ memberi $S(f,P,t)-S(f,P,t')<\varepsilon$. Jadi $U(f,P)-L(f,P)<3\varepsilon$, dan Teorema 43.2.1 memberi keterintegralan. $\square$

Seperti kriteria Cauchy untuk barisan (Teorema 29.2.1), kriteria ini tidak menyebut nilai integral. Kelengkapan $\mathbb{R}$ bekerja di balik layar, melalui supremum dan infimum dalam definisi integral atas dan bawah.

### Contoh Sulit

#### Contoh 43.2.8 (Fungsi Dirichlet Gagal)

Untuk $\chi_{\mathbb{Q}}$ pada $[0,1]$ dan sebarang $P$, titik sampel rasional memberi $S=1$, sedangkan titik sampel irasional memberi $S=0$. Jadi kriteria Teorema 43.2.7 gagal untuk $\varepsilon=1$, sesuai dengan Contoh 43.1.13.

#### Contoh 43.2.9 (Fungsi Thomae Terintegralkan)

Fungsi Thomae $t$ (Contoh 36.1.4) pada $[0,1]$ terintegralkan, dengan $\int_0^1t=0$. Padahal fungsi ini tidak kontinu di setiap bilangan rasional, yaitu di himpunan yang rapat.

Bukti. Setiap subinterval tak degenerat memuat bilangan irasional, sehingga $m_i=0$ dan $L(t,P)=0$ untuk setiap $P$. Misalkan $\varepsilon>0$. Pilih bilangan bulat $Q$ dengan $\tfrac1Q<\tfrac\varepsilon2$. Himpunan $F=\{x\in[0,1]:t(x)\geq\tfrac1Q\}$ terdiri atas pecahan $\tfrac pq$ dengan $1\leq q\leq Q$ dan $0\leq p\leq q$. Himpunan itu hingga, dengan paling banyak $N=\sum_{q=1}^Q(q+1)$ anggota.

Pada partisi seragam $P_n$, setiap titik $F$ termuat di paling banyak dua subinterval. Jadi paling banyak $2N$ subinterval memuat titik $F$. Pada subinterval itu $M_i\leq1$. Pada subinterval lain, semua nilai $<\tfrac1Q$, sehingga $M_i\leq\tfrac1Q$. Maka
$$U(t,P_n)\leq2N\cdot\frac1n+\frac1Q\cdot1<\frac{2N}n+\frac\varepsilon2.$$
Untuk $n>\tfrac{4N}\varepsilon$, $U(t,P_n)<\varepsilon$. Jadi $U-L<\varepsilon$, dan $\int_0^1t=0$. Seluruh konstruksi tertentu, tanpa pilihan. $\square$

Contoh ini menunjukkan bahwa keterintegralan Riemann tidak memerlukan kontinuitas. Ketidakkontinuan diperbolehkan asalkan, secara kasar, ketidakkontinuan itu dapat ditutup oleh interval-interval dengan total panjang kecil, di luar bagian yang nilainya kecil. Kriteria persisnya (Lebesgue) disinggung pada Bab 50.

### Latihan

Latihan 43.2-1. Buktikan bahwa $f(x)=x^3$ terintegralkan pada $[0,1]$ dengan $\int_0^1x^3\,dx=\tfrac14$, memakai $\sum_{i=1}^ni^3=\bigl(\tfrac{n(n+1)}2\bigr)^2$.

Latihan 43.2-2. Untuk $f$ pada Contoh 43.2.3, hitung $S(f,P_n,t)$ dengan partisi seragam $P_n$ pada $[0,2]$ dan titik sampel ujung kanan, lalu tunjukkan bahwa limitnya $1$.

Latihan 43.2-3. Misalkan $f$ terbatas pada $[a,b]$ dan kontinu kecuali di satu titik $c\in(a,b)$. Dengan menganggap bahwa fungsi kontinu pada interval tertutup terintegralkan (Unit 44.1), buktikan bahwa $f$ terintegralkan.

Latihan 43.2-4. Hitung jumlah Riemann titik tengah untuk $x^2$ pada $[0,1]$ dengan $n=4$, lalu bandingkan dengan $\tfrac13$.

Latihan 43.2-5. Buktikan Akibat 43.2.2, termasuk kesamaan kedua limit.

Latihan 43.2-6. Misalkan $g(x)=1$ bila $x=\tfrac1k$ untuk suatu $k\in\mathbb{N}_{+}$, dan $g(x)=0$ untuk titik lain di $[0,1]$. Buktikan bahwa $g$ terintegralkan dan $\int_0^1g=0$.

Latihan 43.2-7. Buktikan bagian $L$ dari Lemma 43.2.4.

Latihan 43.2-8. Pada bukti Teorema 43.2.6($\Leftarrow$), jelaskan mengapa pemilihan $t_i$ dan $t_i'$ tidak memerlukan aksioma pilihan, sedangkan "untuk setiap partisi, pilih titik sampel yang mendekati supremum" untuk tak hingga banyak partisi sekaligus akan memerlukannya.

### Solusi

Solusi 43.2-1. $f$ naik, sehingga dengan $P_n$: $U=\sum_{i=1}^n\tfrac{i^3}{n^4}=\tfrac{(n+1)^2}{4n^2}$ dan $L=\sum_{i=1}^n\tfrac{(i-1)^3}{n^4}=\tfrac{(n-1)^2}{4n^2}$. $U-L=\tfrac{4n}{4n^2}=\tfrac1n\to0$, dan keduanya menuju $\tfrac14$. Akibat 43.2.2 memberi hasilnya. Rumus jumlah pangkat tiga dibuktikan dengan induksi: $\bigl(\tfrac{n(n+1)}2\bigr)^2+(n+1)^3=\tfrac{(n+1)^2(n^2+4n+4)}4=\bigl(\tfrac{(n+1)(n+2)}2\bigr)^2$. $\square$

Solusi 43.2-2. $x_i=\tfrac{2i}n$. Ujung kanan $x_i\geq1$ tepat ketika $i\geq\tfrac n2$. Untuk $n$ genap, $S=\tfrac2n\cdot\#\{i:\tfrac n2\leq i\leq n\}=\tfrac2n\bigl(\tfrac n2+1\bigr)=1+\tfrac2n$. Untuk $n$ ganjil, $S=\tfrac2n\cdot\tfrac{n+1}2=1+\tfrac1n$. Keduanya menuju $1$. $\square$

Solusi 43.2-3. Misalkan $\varepsilon>0$ dan $|f|\leq K$. Ambil $\eta>0$ dengan $[c-\eta,c+\eta]\subseteq[a,b]$ dan $4K\eta<\tfrac\varepsilon3$. Pada $[a,c-\eta]$ dan $[c+\eta,b]$, $f$ kontinu, sehingga terintegralkan menurut anggapan, dan ada partisi $P_1,P_2$ dengan $U-L<\tfrac\varepsilon3$ masing-masing. Gabungan $P_1\cup P_2$, yang memuat $c-\eta$ dan $c+\eta$, adalah partisi $[a,b]$. Pada $[c-\eta,c+\eta]$, sumbangan $U-L$ paling banyak $2K\cdot2\eta<\tfrac\varepsilon3$. Totalnya $<\varepsilon$. $\square$

Solusi 43.2-4. Titik tengah $\tfrac18,\tfrac38,\tfrac58,\tfrac78$. $S=\tfrac14\cdot\tfrac{1+9+25+49}{64}=\tfrac{84}{256}=0{,}328125$. Galatnya $\tfrac13-0{,}328125\approx0{,}0052$, lebih kecil daripada galat ujung kanan, yaitu $U(f,P_4)-\tfrac13=\tfrac{5\cdot9}{96}-\tfrac13=\tfrac{15}{32}-\tfrac13\approx0{,}135$. $\square$

Solusi 43.2-5. Bukti akibat itu. Untuk $L$: $0\leq\int f-L(f,P_n)\leq U(f,P_n)-L(f,P_n)\to0$. $\square$

Solusi 43.2-6. $L(g,P)=0$ untuk setiap $P$, karena setiap subinterval memuat titik yang bukan berbentuk $\tfrac1k$. Misalkan $\varepsilon>0$. Himpunan $A=\{\tfrac1k:\tfrac1k>\tfrac\varepsilon2\}$ hingga, dengan $N<\tfrac2\varepsilon$ anggota. Untuk partisi seragam $P_n$, pisahkan subinterval menjadi dua jenis.

- Subinterval yang memotong $[0,\tfrac\varepsilon2]$ seluruhnya termuat di $[0,\tfrac\varepsilon2+\tfrac1n]$. Total panjangnya paling banyak $\tfrac\varepsilon2+\tfrac1n$, dan $M_i\leq1$, sehingga sumbangannya paling banyak $\tfrac\varepsilon2+\tfrac1n$.
- Subinterval lain termuat di $(\tfrac\varepsilon2,1]$, dan di sana $g$ hanya bernilai $1$ pada titik-titik $A$. Setiap titik $A$ termuat di paling banyak dua subinterval, sehingga paling banyak $2N$ subinterval jenis ini mempunyai $M_i=1$. Sisanya mempunyai $M_i=0$. Sumbangannya paling banyak $\tfrac{2N}n$.

Jadi $U(g,P_n)\leq\tfrac\varepsilon2+\tfrac{1+2N}n<\varepsilon$ untuk $n>\tfrac{2(1+2N)}\varepsilon$. Teorema 43.2.1 memberi keterintegralan, dan $\int_0^1g=0$. $\square$

Solusi 43.2-7. Menambahkan titik $y$ di bagian dalam $J$ mengganti $m_J|J|$ dengan dua suku yang jumlahnya $\leq K|J|$. Jadi jumlah bawah naik paling banyak $(K-m_J)|J|\leq2K\|Q\|$. Jumlahkan atas paling banyak $r$ titik. $\square$

Solusi 43.2-8. Untuk satu partisi tetap dengan $n$ subinterval, ada $2n$ pernyataan keberadaan ("ada $t_i$ dengan …"), dan masing-masing dieliminasi satu kali. Berhingga banyak eliminasi eksistensial tidak memerlukan aksioma. Bila kita harus menetapkan titik sampel seperti itu untuk setiap anggota suatu barisan partisi sekaligus, kita membutuhkan satu fungsi pemilih untuk tak hingga banyak himpunan tak kosong, yaitu pilihan terhitung (Unit 23.3). Bukti di atas sengaja hanya memakai satu partisi. $\square$

### Ringkasan

Kriteria Riemann: $f$ terintegralkan tepat ketika untuk setiap $\varepsilon$ ada partisi dengan $U-L<\varepsilon$. Kriteria ini memberi integral sebagai limit $U(f,P_n)$ untuk barisan partisi yang cocok. Lemma kehalusan menunjukkan bahwa partisi yang cukup halus berperilaku hampir sebaik partisi terbaik, sehingga definisi Darboux setara dengan definisi Riemann melalui jumlah bertitik sampel. Kriteria Cauchy untuk jumlah Riemann menyatakan keterintegralan tanpa menyebut nilai integral. Fungsi tangga dan fungsi Thomae terintegralkan, sedangkan fungsi Dirichlet tidak: ketidakkontinuan diperbolehkan asalkan dapat ditutup oleh interval-interval yang total panjangnya kecil.