# Bab 40: Aturan Rantai dan Turunan Fungsi Khusus

## 40.1 Aturan Rantai (Chain Rule)

Penjelasan master untuk Bab 40: teknik operasional turunan untuk fungsi komposisi dan fungsi transenden. Rumus master:
$$\frac d{dx}\bigl[f(g(x))\bigr]=f'(g(x))\cdot g'(x).$$
Contoh: untuk $h(x)=(3x^2+1)^4$, turunannya adalah $4(3x^2+1)^3\cdot(6x)$.

Sebelum aturan rantai, unit ini membuktikan aturan-aturan dasar, yaitu turunan jumlah, hasil kali, dan hasil bagi. Aturan-aturan itu belum dibuktikan di buku ini, dan diperlukan untuk semua perhitungan sesudahnya. Unit ini juga membuktikan aturan turunan fungsi invers, yang dipakai untuk logaritma di Unit 40.2. Semua bukti memakai rumusan Carathéodory (Teorema 39.1.6), yang membuat aturan rantai bersih dan menghindari jebakan pembagian dengan nol.

Prasyarat: Bab 39; Teorema 37.2.7; Bab 34–36.

### Aturan Aljabar

Dalam bagian ini, $f,g:D\to\mathbb{R}$ terdiferensialkan di $c\in D\cap D'$.

#### Teorema 40.1.1

(a) $(af+bg)'(c)=af'(c)+bg'(c)$.

(b) Aturan hasil kali: $(fg)'(c)=f'(c)g(c)+f(c)g'(c)$.

(c) Aturan hasil bagi: bila $g(c)\ne0$, maka $\bigl(\tfrac fg\bigr)'(c)=\dfrac{f'(c)g(c)-f(c)g'(c)}{g(c)^2}$.

Bukti. Tulis $f(x)-f(c)=\varphi(x)(x-c)$ dan $g(x)-g(c)=\psi(x)(x-c)$, dengan $\varphi$ dan $\psi$ kontinu di $c$, $\varphi(c)=f'(c)$, dan $\psi(c)=g'(c)$.

(a) $(af+bg)(x)-(af+bg)(c)=(a\varphi+b\psi)(x)\,(x-c)$, dan $a\varphi+b\psi$ kontinu di $c$.

(b) $f(x)g(x)-f(c)g(c)=\bigl(f(x)-f(c)\bigr)g(x)+f(c)\bigl(g(x)-g(c)\bigr)=\bigl[\varphi(x)g(x)+f(c)\psi(x)\bigr](x-c)$. Fungsi dalam kurung siku kontinu di $c$, karena $g$ kontinu di $c$ (Teorema 39.2.1), dan nilainya di $c$ adalah $f'(c)g(c)+f(c)g'(c)$.

(c) Karena $g$ kontinu di $c$ dan $g(c)\ne0$, $g\ne0$ di dekat $c$ (Solusi 36.1-5), sehingga $\tfrac fg$ terdefinisi di sana. Selanjutnya
$$\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(c)}{g(c)}=\frac{\bigl(f(x)-f(c)\bigr)g(c)-f(c)\bigl(g(x)-g(c)\bigr)}{g(x)g(c)}=\frac{\varphi(x)g(c)-f(c)\psi(x)}{g(x)g(c)}\,(x-c).$$
Faktor di depan $(x-c)$ kontinu di $c$, dan nilainya di $c$ adalah rumus yang diklaim. $\square$

Akibatnya, polinomial dan fungsi rasional terdiferensialkan pada domainnya, dan turunannya dihitung dengan aturan-aturan ini bersama $(x^n)'=nx^{n-1}$.

### Aturan Rantai

#### Teorema 40.1.2 (Aturan Rantai)

Misalkan $g:D\to E$ terdiferensialkan di $c\in D\cap D'$, dan $f:E\to\mathbb{R}$ terdiferensialkan di $g(c)\in E\cap E'$. Maka $f\circ g$ terdiferensialkan di $c$, dan
$$(f\circ g)'(c)=f'(g(c))\cdot g'(c).$$

Bukti. Tulis $g(x)-g(c)=\psi(x)(x-c)$, dengan $\psi$ kontinu di $c$ dan $\psi(c)=g'(c)$. Tulis juga $f(y)-f(g(c))=\varphi(y)(y-g(c))$, dengan $\varphi$ kontinu di $g(c)$ dan $\varphi(g(c))=f'(g(c))$. Substitusikan $y=g(x)$:
$$f(g(x))-f(g(c))=\varphi(g(x))\bigl(g(x)-g(c)\bigr)=\varphi(g(x))\,\psi(x)\,(x-c).$$
Fungsi $x\mapsto\varphi(g(x))\psi(x)$ kontinu di $c$, karena komposisi fungsi kontinu (Teorema 36.1.6, dengan $g$ kontinu di $c$) dikalikan fungsi kontinu. Nilainya di $c$ adalah $f'(g(c))g'(c)$. Teorema 39.1.6 menyelesaikan bukti. $\square$

Bukti naif "kalikan dan bagi dengan $g(x)-g(c)$":
$$\frac{f(g(x))-f(g(c))}{x-c}=\frac{f(g(x))-f(g(c))}{g(x)-g(c)}\cdot\frac{g(x)-g(c)}{x-c}$$
gagal bila $g(x)=g(c)$ untuk $x$ yang dekat dengan $c$. Contohnya $g$ konstan, atau $g$ yang berosilasi melalui $g(c)$ tak hingga kali. Ini jebakan yang sama dengan Contoh 34.3.11. Fungsi $\varphi$ Carathéodory terdefinisi di $y=g(c)$ juga, sehingga masalah itu tidak muncul.

#### Contoh 40.1.3 (Contoh Master)

$h(x)=(3x^2+1)^4=f(g(x))$, dengan $g(x)=3x^2+1$ dan $f(y)=y^4$. Maka $g'(x)=6x$ dan $f'(y)=4y^3$, sehingga
$$h'(x)=4(3x^2+1)^3\cdot6x=24x(3x^2+1)^3.$$
Pemeriksaan di $x=1$: $h'(1)=24\cdot64=1536$. Menurut Teorema Binomial, $h(x)=81x^8+108x^6+54x^4+12x^2+1$, sehingga $h'(x)=648x^7+648x^5+216x^3+24x$, dan $h'(1)=648+648+216+24=1536$. Hasilnya sama.

#### Contoh 40.1.4

(a) $\sqrt{1+x^2}$: $\tfrac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}=\tfrac x{\sqrt{1+x^2}}$.

(b) $\dfrac1{(x^2+1)^3}=(x^2+1)^{-3}$: dengan aturan rantai dan hasil bagi, turunannya $-3(x^2+1)^{-4}\cdot2x$.

(c) Dengan P26-SIN dan Unit 40.2: turunan $\sin(x^2)$ adalah $2x\cos(x^2)$. Contoh ini hanya ilustrasi, dan bergantung pada turunan sinus.

### Turunan Fungsi Invers

#### Lemma 40.1.5 (Kontinuitas Invers)

Misalkan $I$ interval dan $f:I\to\mathbb{R}$ kontinu dan monoton tegas. Maka $J=f[I]$ interval, dan $f^{-1}:J\to I$ kontinu dan monoton tegas.

Bukti. $J$ interval menurut Teorema 37.2.4. $f^{-1}$ monoton tegas dengan arah yang sama. Bila $f^{-1}$ tidak kontinu di $d\in J$, maka menurut Teorema 36.2.7, yang berlaku juga di ujung interval dengan limit sepihak, ada loncatan. Nilai-nilai di dalam loncatan itu termasuk interval $I$, karena berada di antara dua nilai $f^{-1}$, tetapi tidak dicapai $f^{-1}$. Padahal $f^{-1}[J]=I$. Kontradiksi. Argumennya sama dengan Solusi 37.2-8. $\square$

#### Teorema 40.1.6 (Turunan Invers)

Misalkan $I$ interval, $f:I\to\mathbb{R}$ kontinu dan monoton tegas, $c\in I$, $f$ terdiferensialkan di $c$, dan $f'(c)\ne0$. Maka $g=f^{-1}$ terdiferensialkan di $d=f(c)$, dan
$$g'(d)=\frac1{f'(c)}=\frac1{f'(g(d))}.$$

Bukti. Tulis $f(x)-f(c)=\varphi(x)(x-c)$. Untuk $x\ne c$, $\varphi(x)=\tfrac{f(x)-f(c)}{x-c}\ne0$ karena kemonotonan tegas, dan $\varphi(c)=f'(c)\ne0$. Untuk $y\in J$, terapkan identitas itu pada $x=g(y)$:
$$y-d=\varphi(g(y))\bigl(g(y)-c\bigr),\qquad\text{sehingga}\qquad g(y)-g(d)=\frac1{\varphi(g(y))}(y-d).$$
Fungsi $y\mapsto\tfrac1{\varphi(g(y))}$ kontinu di $d$: $g$ kontinu di $d$ (Lemma 40.1.5), $\varphi$ kontinu di $c=g(d)$, dan $\varphi\ne0$. Nilainya di $d$ adalah $\tfrac1{f'(c)}$. $\square$

Syarat $f'(c)\ne0$ diperlukan. $f(x)=x^3$ naik tegas, dengan $f'(0)=0$, dan inversnya $\sqrt[3]y$ tidak terdiferensialkan di $0$ (Contoh 39.1.4(c)).

#### Contoh 40.1.7 (Pangkat Rasional)

(a) $y^{1/n}$ untuk $y>0$: invers dari $x^n$ pada $(0,\infty)$, dengan turunan $nx^{n-1}\ne0$. Jadi $(y^{1/n})'=\dfrac1{n(y^{1/n})^{n-1}}=\tfrac1ny^{\frac1n-1}$, memakai hukum pangkat (Bab 9).

(b) $y^{p/q}=(y^{1/q})^p$ untuk $y>0$: aturan rantai memberi $p\,(y^{1/q})^{p-1}\cdot\tfrac1qy^{\frac1q-1}=\tfrac pqy^{\frac pq-1}$. Jadi $(x^r)'=rx^{r-1}$ untuk $r$ rasional dan $x>0$. Untuk $r$ real, lihat Unit 40.2.

### Latihan

Latihan 40.1-1. Turunkan: (a) $(2x+1)^{10}$; (b) $\tfrac{x^2-1}{x^2+1}$; (c) $\sqrt{x^3+x}$ untuk $x>0$; (d) $x^2\sqrt{1-x}$ untuk $x<1$.

Latihan 40.1-2. Buktikan aturan hasil kali dengan definisi hasil bagi langsung, tanpa Carathéodory, dengan menambah dan mengurangkan $f(c)g(x)$.

Latihan 40.1-3. Buktikan $(f^n)'=nf^{n-1}f'$ dengan induksi dari aturan hasil kali, lalu bandingkan dengan aturan rantai.

Latihan 40.1-4. Misalkan $g$ konstan. Tunjukkan bahwa bukti naif aturan rantai tidak dapat diterapkan, tetapi Teorema 40.1.2 tetap memberi jawaban yang benar.

Latihan 40.1-5. Untuk $f(x)=x^3+x$, tunjukkan bahwa $f$ naik tegas pada $\mathbb{R}$, lalu hitung $(f^{-1})'(2)$.

Latihan 40.1-6. Hitung turunan $\sqrt[3]x$ di $x=8$ dengan Teorema 40.1.6.

Latihan 40.1-7. Buktikan bahwa jika $f$ terdiferensialkan dan genap ($f(-x)=f(x)$), maka $f'$ ganjil. Simpulkan bahwa $f'(0)=0$.

Latihan 40.1-8. Misalkan $f$ terdiferensialkan di $c$ dan $f(c)\ne0$. Buktikan bahwa $|f|$ terdiferensialkan di $c$, dengan $|f|'(c)=\operatorname{sgn}(f(c))f'(c)$. Apa yang dapat terjadi bila $f(c)=0$?

### Solusi

Solusi 40.1-1. (a) $10(2x+1)^9\cdot2=20(2x+1)^9$. (b) $\tfrac{2x(x^2+1)-(x^2-1)2x}{(x^2+1)^2}=\tfrac{4x}{(x^2+1)^2}$. (c) $\tfrac{3x^2+1}{2\sqrt{x^3+x}}$. (d) $2x\sqrt{1-x}+x^2\cdot\tfrac{-1}{2\sqrt{1-x}}=\tfrac{4x(1-x)-x^2}{2\sqrt{1-x}}=\tfrac{4x-5x^2}{2\sqrt{1-x}}$. $\square$

Solusi 40.1-2. $\tfrac{f(x)g(x)-f(c)g(c)}{x-c}=\tfrac{f(x)-f(c)}{x-c}g(x)+f(c)\tfrac{g(x)-g(c)}{x-c}\to f'(c)g(c)+f(c)g'(c)$, karena $g(x)\to g(c)$ (Teorema 39.2.1). $\square$

Solusi 40.1-3. $n=1$: jelas. Langkah: $(f^{n+1})'=(f^nf)'=nf^{n-1}f'f+f^nf'=(n+1)f^nf'$. Ini sama dengan aturan rantai untuk $y^{n+1}$ dan $y=f(x)$. $\square$

Solusi 40.1-4. $g(x)=g(c)$ untuk semua $x$, sehingga $\tfrac{f(g(x))-f(g(c))}{g(x)-g(c)}$ tidak terdefinisi. Teorema 40.1.2 memberi $f'(g(c))\cdot0=0$, dan memang $f\circ g$ konstan, dengan turunan $0$. $\square$

Solusi 40.1-5. Untuk $x<y$: $f(y)-f(x)=(y-x)(x^2+xy+y^2+1)>0$, karena $x^2+xy+y^2=(x+\tfrac y2)^2+\tfrac34y^2\geq0$. $f(1)=2$ dan $f'(1)=3+1=4$, sehingga $(f^{-1})'(2)=\tfrac14$. $\square$

Solusi 40.1-6. $f(x)=x^3$, $c=2$, $f'(2)=12$. Jadi $(\sqrt[3]{\cdot})'(8)=\tfrac1{12}$. $\square$

Solusi 40.1-7. Turunkan $f(-x)=f(x)$ dengan aturan rantai: $-f'(-x)=f'(x)$. Di $x=0$: $-f'(0)=f'(0)$, sehingga $f'(0)=0$. $\square$

Solusi 40.1-8. Bila $f(c)>0$, maka $f>0$ di dekat $c$, sehingga $|f|=f$ di sana, dan turunannya $f'(c)$ (Proposisi 35.2.2). Bila $f(c)<0$, turunannya $-f'(c)$. Bila $f(c)=0$: $|x|$ di $0$, dengan $f(x)=x$, tidak terdiferensialkan, sedangkan $|x^2|=x^2$, dengan $f(x)=x^2$, terdiferensialkan. Keduanya mungkin. Bila $f(c)=0$ dan $f'(c)\ne0$, $|f|$ tidak terdiferensialkan di $c$, karena turunan sepihaknya $\pm|f'(c)|$. $\square$

### Ringkasan

Dengan Carathéodory, $f(x)-f(c)=\varphi(x)(x-c)$, aturan jumlah, hasil kali, dan hasil bagi dibuktikan dengan memperlihatkan bahwa faktor di depan $(x-c)$ kontinu. Aturan rantai $(f\circ g)'(c)=f'(g(c))g'(c)$ menjadi komposisi dua faktor seperti itu, tanpa jebakan pembagian dengan $g(x)-g(c)=0$. Contoh master: $(3x^2+1)^4$ mempunyai turunan $4(3x^2+1)^3\cdot6x$, yang dicek dengan ekspansi binomial di $x=1$ (nilai $1536$). Fungsi invers dari fungsi kontinu yang monoton tegas kontinu, dan terdiferensialkan dengan turunan $\tfrac1{f'(c)}$ bila $f'(c)\ne0$. Akibatnya, $(x^r)'=rx^{r-1}$ untuk $r$ rasional dan $x>0$.

## 40.2 Turunan Fungsi Trigonometri dan Eksponensial

Fungsi eksponensial, logaritma, sinus, dan kosinus sudah muncul beberapa kali di buku ini sebagai pinjaman berlabel. P26-SIN memuat sifat $|\sin x|\leq1$. P32-LN memuat logaritma. Eksponen real untuk deret-$p$ juga masih terbuka. Alasannya, fungsi-fungsi ini belum didefinisikan secara rigor. Definisi geometris sinus, sebagai panjang busur lingkaran, memerlukan panjang kurva, yang memerlukan integral. Definisi "$e^x$" sebagai pangkat memerlukan pangkat real, yang belum ada.

Unit ini mendefinisikan keempat fungsi itu dengan deret yang konvergen mutlak (Bab 31–32), lalu membuktikan sifat-sifat utamanya dan turunannya. Hasilnya menutup sebagian besar pinjaman tadi. Yang belum ditutup adalah bilangan $\pi$, periodisitas, dan makna geometris sinus (Bab 49), serta identitas $\ln t=\int_1^t\tfrac{dx}x$, yang memerlukan Teorema Dasar Kalkulus (Bab 45).

Prasyarat: Bab 31–32 (deret, uji rasio, kekonvergenan mutlak); Teorema Binomial (Teorema 27.3.6); Unit 40.1.

### Produk Cauchy

#### Lemma 40.2.1 (Produk Cauchy Deret Konvergen Mutlak)

Misalkan $\sum_{k\geq0}a_k$ dan $\sum_{l\geq0}b_l$ konvergen mutlak, dengan jumlah $A$ dan $B$. Tetapkan $c_n=\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}$. Maka $\sum_{n\geq0}c_n$ konvergen mutlak, dan $\sum c_n=AB$.

Bukti. Tulis $\alpha=\sum|a_k|$ dan $\beta=\sum|b_l|$. Jumlah $\sum_{n=0}^N|c_n|\leq\sum_{k+l\leq N}|a_k||b_l|\leq\alpha\beta$, sehingga $\sum|c_n|$ terbatas, dan deret $\sum c_n$ konvergen mutlak (Teorema 31.1.7 dan 31.1.9).

Untuk jumlahnya, misalkan $C_N=\sum_{n\leq N}c_n=\sum_{k+l\leq N}a_kb_l$ dan $A_N$, $B_N$ jumlah parsial. Maka
$$A_NB_N-C_N=\sum_{\substack{k,l\leq N\\k+l>N}}a_kb_l.$$
Setiap suku di ruas kanan memenuhi $k>\tfrac N2$ atau $l>\tfrac N2$, sehingga
$$|A_NB_N-C_N|\leq\beta\sum_{k>N/2}|a_k|+\alpha\sum_{l>N/2}|b_l|\to0$$
(Teorema 31.1.5(b)). Karena $A_NB_N\to AB$, $C_N\to AB$. $\square$

### Fungsi Eksponensial

#### Definisi 40.2.2

Untuk $x\in\mathbb{R}$:
$$\exp(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}.$$
Deret ini konvergen mutlak untuk setiap $x$. Untuk $x\ne0$, rasionya $\tfrac{|x|}{k+1}\to0$ (Teorema 32.3.1), dan untuk $x=0$ jelas. Menurut Teorema 27.3.8, $\exp(1)=e$.

#### Teorema 40.2.3 (Persamaan Fungsional)

$\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$ untuk semua $x,y\in\mathbb{R}$.

Bukti. Lemma 40.2.1 dengan $a_k=\tfrac{x^k}{k!}$ dan $b_l=\tfrac{y^l}{l!}$:
$$c_n=\sum_{k=0}^n\frac{x^ky^{n-k}}{k!\,(n-k)!}=\frac1{n!}\sum_{k=0}^n\binom nkx^ky^{n-k}=\frac{(x+y)^n}{n!},$$
menurut Teorema 27.3.6. Jadi $\exp(x)\exp(y)=\sum c_n=\exp(x+y)$. $\square$

#### Akibat 40.2.4

(a) $\exp(0)=1$ dan $\exp(-x)=\tfrac1{\exp(x)}$.

(b) $\exp(x)>0$ untuk semua $x$.

(c) $\exp(x)\geq1+x$ untuk $x\geq0$, dan $\exp$ naik tegas pada $\mathbb{R}$.

(d) $\exp(r)=e^r$ untuk setiap $r\in\mathbb{Q}$, dengan pangkat rasional Bab 9.

Bukti. (a) $\exp(x)\exp(-x)=\exp(0)=1$. (b) $\exp(x)=\exp(\tfrac x2)^2\geq0$, dan tidak nol menurut (a). (c) Untuk $x\geq0$, semua suku taknegatif, sehingga $\exp(x)\geq1+x$. Untuk $x<y$, $\exp(y)=\exp(x)\exp(y-x)\geq\exp(x)(1+y-x)>\exp(x)$. (d) Induksi memberi $\exp(n)=\exp(1)^n=e^n$ untuk $n\in\mathbb{N}$, dan (a) memberi bilangan bulat negatif. Untuk $r=\tfrac pq$: $\exp(r)^q=\exp(p)=e^p$, dan $\exp(r)>0$, sehingga $\exp(r)=(e^p)^{1/q}=e^{p/q}$ menurut ketunggalan akar positif. $\square$

Bagian (d) membenarkan notasi $e^x=\exp(x)$ untuk $x$ real: untuk $x$ rasional, kedua makna sama.

#### Teorema 40.2.5 (Turunan Eksponensial)

$\exp$ terdiferensialkan di setiap $x$, dan $\exp'(x)=\exp(x)$.

Bukti. Untuk $0<|h|\leq1$:
$$|\exp(h)-1-h|=\Bigl|\sum_{k\geq2}\frac{h^k}{k!}\Bigr|\leq h^2\sum_{k\geq2}\frac{|h|^{k-2}}{(k-2)!}=h^2\exp(|h|)\leq h^2e.$$
Ketaksamaan tengah memakai $k!\geq(k-2)!$. Jadi $\bigl|\tfrac{\exp(h)-1}h-1\bigr|\leq e|h|\to0$. Selanjutnya
$$\frac{\exp(x+h)-\exp(x)}h=\exp(x)\,\frac{\exp(h)-1}h\to\exp(x).\qquad\square$$

Akibatnya $\exp$ kontinu (Teorema 39.2.1).

### Logaritma dan Pangkat Real

#### Teorema 40.2.6 (Logaritma Natural)

$\exp$ adalah bijeksi $\mathbb{R}\to(0,\infty)$. Inversnya, $\ln:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, kontinu, naik tegas, terdiferensialkan, dan memenuhi:

(a) $\ln'(y)=\tfrac1y$;

(b) $\ln(yz)=\ln y+\ln z$, $\ln1=0$, dan $\ln e=1$;

(c) $\ln y\to+\infty$ untuk $y\to+\infty$, dan $\ln y\to-\infty$ untuk $y\to0^+$.

Bukti. Peta $\exp[\mathbb{R}]$ adalah interval (Teorema 37.2.4), termuat di $(0,\infty)$. Peta itu tidak terbatas di atas, karena $\exp(n)\geq1+n$, dan memuat bilangan positif yang sekecil apa pun, karena $\exp(-n)=\tfrac1{\exp(n)}\leq\tfrac1{1+n}$. Jadi petanya $(0,\infty)$. Injektivitas mengikuti dari kemonotonan tegas.

Lemma 40.1.5 memberi kontinuitas dan kemonotonan $\ln$. Teorema 40.1.6, dengan $\exp'=\exp\ne0$, memberi $\ln'(y)=\tfrac1{\exp(\ln y)}=\tfrac1y$.

(b) $\exp(\ln y+\ln z)=yz$, lalu terapkan $\ln$. $\exp(0)=1$ dan $\exp(1)=e$.

(c) $\ln$ naik, dan $\ln(e^n)=n$ tak terbatas. Untuk $y\to0^+$, $\ln y=-\ln\tfrac1y$. $\square$

Bagian (c) menutup bagian P32-LN yang menyatakan $\ln t\to\infty$. Identitas $\ln t=\int_1^t\tfrac{dx}x$ menyusul dari Teorema Dasar Kalkulus (Bab 45), karena $\ln'=\tfrac1x$ dan $\ln1=0$. Jadi sisa pinjaman P32-LN hanyalah identitas integral itu.

#### Definisi 40.2.7 (Pangkat Real)

Untuk $a>0$ dan $x\in\mathbb{R}$: $a^x=\exp(x\ln a)$.

#### Teorema 40.2.8

Untuk $a,b>0$ dan $x,y\in\mathbb{R}$:

(a) bila $x=\tfrac pq$ rasional, $a^x$ sama dengan pangkat rasional Bab 9;

(b) $a^{x+y}=a^xa^y$, $(a^x)^y=a^{xy}$, dan $(ab)^x=a^xb^x$;

(c) untuk $a>1$, $x\mapsto a^x$ naik tegas; untuk $0<a<1$, turun tegas;

(d) $\tfrac d{dx}a^x=a^x\ln a$, dan untuk $r\in\mathbb{R}$ dan $x>0$, $\tfrac d{dx}x^r=rx^{r-1}$.

Bukti. (a) $\exp(\tfrac pq\ln a)^q=\exp(p\ln a)=\exp(\ln a)^p=a^p$, dan nilainya positif. Ketunggalan akar memberi $(a^p)^{1/q}$.

(b) Dari Teorema 40.2.3 dan $\ln(a^x)=x\ln a$.

(c) $\ln a>0$ bila $a>1$, karena $\ln$ naik dan $\ln1=0$. Gunakan kemonotonan $\exp$.

(d) Aturan rantai: $\exp'(x\ln a)\ln a$. Untuk $x^r=\exp(r\ln x)$: $\exp(r\ln x)\cdot\tfrac rx=rx^{r-1}$. $\square$

Teorema ini menutup label eksponen real pada Unit 32.1. Lemma 32.1.2 dan hukum pangkat kini berlaku untuk eksponen real, menurut (b) dan (c). Bukti Teorema 32.1.4 berlaku kata demi kata, sehingga $\sum k^{-p}$ konvergen tepat ketika $p>1$, untuk setiap $p\in\mathbb{R}$.

### Sinus dan Kosinus

#### Definisi 40.2.9

Untuk $x\in\mathbb{R}$:
$$\sin x=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!},\qquad\cos x=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}.$$
Kedua deret konvergen mutlak, karena suku-sukunya, dalam nilai mutlak, adalah sebagian suku deret $\exp(|x|)$ (Teorema 32.1.1). Langsung dari deretnya: $\sin0=0$, $\cos0=1$, $\sin(-x)=-\sin x$, dan $\cos(-x)=\cos x$.

Tulis koefisien kesatuan: $\sin x=\sum_{m\geq0}\sigma_m\tfrac{x^m}{m!}$ dan $\cos x=\sum_{m\geq0}\gamma_m\tfrac{x^m}{m!}$, dengan
$$\sigma_m=\begin{cases}(-1)^{(m-1)/2},&m\text{ ganjil},\\0,&m\text{ genap},\end{cases}\qquad\gamma_m=\begin{cases}(-1)^{m/2},&m\text{ genap},\\0,&m\text{ ganjil}.\end{cases}$$

#### Lemma 40.2.10 (Identitas Tanda)

Untuk semua $m,l\in\mathbb{N}$: $\sigma_m\gamma_l+\gamma_m\sigma_l=\sigma_{m+l}$ dan $\gamma_m\gamma_l-\sigma_m\sigma_l=\gamma_{m+l}$.

Bukti. Periksa empat kasus paritas.

- $m,l$ genap: ruas kiri pertama $0=\sigma_{m+l}$; ruas kiri kedua $(-1)^{m/2+l/2}=\gamma_{m+l}$.
- $m$ ganjil dan $l$ genap: ruas kiri pertama $(-1)^{(m-1)/2+l/2}=(-1)^{(m+l-1)/2}=\sigma_{m+l}$; ruas kiri kedua $0=\gamma_{m+l}$.
- $m$ genap dan $l$ ganjil: simetris dengan kasus sebelumnya.
- $m,l$ ganjil: ruas kiri pertama $0=\sigma_{m+l}$; ruas kiri kedua $-(-1)^{(m-1)/2+(l-1)/2}=-(-1)^{(m+l)/2-1}=(-1)^{(m+l)/2}=\gamma_{m+l}$. $\square$

#### Teorema 40.2.11 (Rumus Penjumlahan)

Untuk semua $x,y$:
$$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y,\qquad\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y.$$

Bukti. Lemma 40.2.1, yang diterapkan pada dua hasil kali dan dijumlahkan (Teorema 31.1.4), memberi
$$\sin x\cos y+\cos x\sin y=\sum_{n\geq0}\sum_{m+l=n}\bigl(\sigma_m\gamma_l+\gamma_m\sigma_l\bigr)\frac{x^my^l}{m!\,l!}=\sum_{n\geq0}\sigma_n\frac{(x+y)^n}{n!}=\sin(x+y),$$
dengan Lemma 40.2.10 dan Teorema 27.3.6. Rumus kosinus serupa. $\square$

#### Akibat 40.2.12

(a) $\sin^2x+\cos^2x=1$; khususnya $|\sin x|\leq1$ dan $|\cos x|\leq1$.

(b) $\sin2x=2\sin x\cos x$ dan $\cos2x=\cos^2x-\sin^2x$.

Bukti. (a) $1=\cos0=\cos(x+(-x))=\cos x\cos(-x)-\sin x\sin(-x)=\cos^2x+\sin^2x$. (b) Ambil $y=x$. $\square$

Bagian (a) menutup pinjaman P26-SIN, karena sinus kini terdefinisi dan $|\sin x|\leq1$ terbukti. Semua pemakaian P26-SIN sebelumnya (Unit 26.3, 34.3, 35.2, 39.1) menjadi bukti lengkap, dengan sinus menurut Definisi 40.2.9.

#### Teorema 40.2.13 (Turunan Sinus dan Kosinus)

(a) $\bigl|\sin h-h\bigr|\leq|h|^3\exp(|h|)$ dan $|\cos h-1|\leq h^2\exp(|h|)$. Jadi $\lim_{h\to0}\tfrac{\sin h}h=1$ dan $\lim_{h\to0}\tfrac{\cos h-1}h=0$.

(b) $\sin'=\cos$ dan $\cos'=-\sin$.

Bukti. (a) $|\sin h-h|\leq\sum_{k\geq1}\tfrac{|h|^{2k+1}}{(2k+1)!}\leq|h|^3\sum_{j\geq0}\tfrac{|h|^j}{j!}$, karena setiap $\tfrac{|h|^{2k+1}}{(2k+1)!}$ dengan $k\geq1$ tidak melebihi $|h|^3\tfrac{|h|^{2k-2}}{(2k-2)!}$. Bagian kosinus serupa. Bagi dengan $|h|$ dan gunakan teorema apit.

(b) $\tfrac{\sin(x+h)-\sin x}h=\sin x\,\tfrac{\cos h-1}h+\cos x\,\tfrac{\sin h}h\to\cos x$, menurut Teorema 40.2.11. Kosinus serupa. $\square$

Limit $\lim_{x\to0}\tfrac{\sin x}x=1$ di sini dibuktikan langsung dari deret. Unit 42.2 membahas contoh master yang sama dengan aturan L'Hôpital, dan menunjukkan bahwa jalan itu berputar balik: L'Hôpital memakai $\sin'(0)=1$, padahal $\sin'(0)=1$ adalah limit ini.

#### Pinjaman Berlabel P40-PI

Bilangan $\pi$, periodisitas $\sin(x+2\pi)=\sin x$, dan tafsiran geometris sinus dan kosinus sebagai koordinat titik pada lingkaran satuan belum dibuktikan. Rencana penutupan: Bab 49 mendefinisikan $\tfrac\pi2$ sebagai pembuat nol positif terkecil kosinus, yang keberadaannya disiapkan di Latihan 40.2-7, lalu menurunkan periodisitas dari rumus penjumlahan. Tafsiran geometris memerlukan panjang busur, yaitu integral (Bagian IX). Unit ini tidak memakai $\pi$.

### Latihan

Latihan 40.2-1. Turunkan: (a) $\exp(x^2)$; (b) $x^x$ untuk $x>0$; (c) $\ln(1+x^2)$; (d) $2^x$; (e) $\tfrac{\sin x}{\cos x}$ di titik dengan $\cos x\ne0$.

Latihan 40.2-2. Buktikan $\exp(x)\geq1+x$ untuk semua $x\in\mathbb{R}$.

Latihan 40.2-3. Periksa Lemma 40.2.10 untuk $(m,l)=(1,1)$, $(1,2)$, dan $(3,1)$ dengan menghitung nilai-nilainya.

Latihan 40.2-4. Buktikan $\cos2x=1-2\sin^2x$ dan $\sin3x=3\sin x-4\sin^3x$.

Latihan 40.2-5. Buktikan $\lim_{x\to0}\tfrac{\exp(x)-1}x=1$ dan $\lim_{x\to0}\tfrac{\ln(1+x)}x=1$.

Latihan 40.2-6. Dengan Latihan 40.2-5, buktikan bahwa $\bigl(1+\tfrac1n\bigr)^n\to e$ melalui $n\ln(1+\tfrac1n)\to1$, dan bandingkan dengan Teorema 27.3.3.

Latihan 40.2-7. Buktikan bahwa $\cos2<0$, lalu simpulkan bahwa kosinus mempunyai pembuat nol di $(0,2)$.

Latihan 40.2-8. Buktikan bahwa $\sin x<x$ untuk semua $x>0$.

### Solusi

Solusi 40.2-1. (a) $2x\exp(x^2)$. (b) $x^x=\exp(x\ln x)$, sehingga turunannya $x^x(\ln x+1)$. (c) $\tfrac{2x}{1+x^2}$. (d) $2^x\ln2$. (e) Aturan hasil bagi: $\tfrac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\tfrac1{\cos^2x}$, memakai Akibat 40.2.12(a). $\square$

Solusi 40.2-2. Untuk $x\geq0$: Akibat 40.2.4(c). Untuk $x\leq-1$: $1+x\leq0<\exp(x)$. Untuk $-1<x<0$: $\exp(x)-1-x=\sum_{k\geq2}\tfrac{x^k}{k!}$. Deret ini bolak-balik, karena $x<0$, dimulai dengan suku positif $\tfrac{x^2}2$, dan mutlak sukunya turun, karena $\tfrac{|x|}{k+1}<1$. Lemma pengelompokan (Solusi 29.2-3), yang diterapkan pada jumlah parsial, lalu limitnya, memberi jumlah $\geq0$. $\square$

Solusi 40.2-3. $(1,1)$: $\sigma_1\gamma_1+\gamma_1\sigma_1=0=\sigma_2$, dan $\gamma_1\gamma_1-\sigma_1\sigma_1=0-1=-1=\gamma_2$. $(1,2)$: $\sigma_1\gamma_2+\gamma_1\sigma_2=1\cdot(-1)+0=-1=\sigma_3$. $(3,1)$: $\gamma_3\gamma_1-\sigma_3\sigma_1=0-(-1)(1)=1=\gamma_4$. $\square$

Solusi 40.2-4. $\cos2x=\cos^2x-\sin^2x=(1-\sin^2x)-\sin^2x$. $\sin3x=\sin2x\cos x+\cos2x\sin x=2\sin x\cos^2x+(1-2\sin^2x)\sin x=2\sin x(1-\sin^2x)+\sin x-2\sin^3x=3\sin x-4\sin^3x$. $\square$

Solusi 40.2-5. Yang pertama adalah $\exp'(0)=1$, dari bukti Teorema 40.2.5. Yang kedua: $\tfrac{\ln(1+x)-\ln1}x\to\ln'(1)=1$. $\square$

Solusi 40.2-6. $\bigl(1+\tfrac1n\bigr)^n=\exp\bigl(n\ln(1+\tfrac1n)\bigr)$. Dengan $x_n=\tfrac1n\to0$, Teorema 34.2.1(a) dan Latihan 40.2-5 memberi $\tfrac{\ln(1+x_n)}{x_n}\to1$. Kontinuitas $\exp$ memberi limit $\exp(1)=e$. Ini sejalan dengan Teorema 27.3.3, dan menunjukkan bahwa $e$ di Bab 27 sama dengan $\exp(1)$, seperti juga dinyatakan oleh Teorema 27.3.8. $\square$

Solusi 40.2-7. $\cos2=1-2+\tfrac{2^4}{4!}-\tfrac{2^6}{6!}+\cdots=1-2+\tfrac23-\tfrac4{45}+\cdots$. Sejak suku $\tfrac{2^2}{2!}=2$, nilai mutlak suku-sukunya turun: rasionya $\tfrac{4}{(2k+1)(2k+2)}<1$ untuk $k\geq1$. Lemma pengelompokan memberi $-2+\tfrac23-\tfrac4{45}+\cdots\leq-2+\tfrac23$. Jadi $\cos2\leq1-2+\tfrac23=-\tfrac13<0$. Karena $\cos0=1>0$ dan kosinus kontinu, Teorema 37.2.1 memberi pembuat nol di $(0,2)$. $\square$

Solusi 40.2-8. Untuk $x>1$: $\sin x\leq1<x$. Untuk $0<x\leq1$: $\sin x-x=-\tfrac{x^3}{3!}+\tfrac{x^5}{5!}-\cdots$. Deret ini bolak-balik dengan nilai mutlak suku yang turun, karena $\tfrac{x^2}{(2k+2)(2k+3)}<1$, dimulai dengan suku negatif. Lemma pengelompokan memberi $\sin x-x\leq-\tfrac{x^3}6+\tfrac{x^5}{120}<0$, karena $\tfrac{x^5}{120}<\tfrac{x^3}6$ untuk $0<x\leq1$. $\square$

### Ringkasan

$\exp$, $\sin$, dan $\cos$ didefinisikan sebagai deret yang konvergen mutlak di seluruh $\mathbb{R}$. Lemma produk Cauchy, bersama Teorema Binomial, memberi $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$ dan rumus penjumlahan sinus dan kosinus. Taksiran sisa memberi turunan: $\exp'=\exp$, $\sin'=\cos$, $\cos'=-\sin$, dan juga $\tfrac{\sin h}h\to1$. $\exp$ adalah bijeksi naik dari $\mathbb{R}$ ke $(0,\infty)$, dengan $\exp(r)=e^r$ untuk $r$ rasional. Inversnya $\ln$ memenuhi $\ln'=\tfrac1x$. Pangkat real $a^x=\exp(x\ln a)$ memenuhi semua hukum pangkat, dan $(x^r)'=rx^{r-1}$. Pinjaman yang ditutup: P26-SIN, eksponen real untuk deret-$p$, dan bagian "$\ln t\to\infty$" dari P32-LN. Yang tersisa: $\pi$ dan periodisitas (P40-PI, Bab 49), dan $\ln t=\int_1^t\tfrac{dx}x$ (Bab 45).