# Bab 30: Limit Superior dan Limit Inferior ($\limsup$ & $\liminf$)

## 30.1 Definisi Formal $\limsup s_n$ dan $\liminf s_n$

Penjelasan master untuk Bab 30: menangkap perilaku batas maksimum dan minimum dari ekor suatu barisan yang berosilasi. Barisan divergen yang terbatas, seperti $(-1)^n(1+\tfrac1n)$, tidak mempunyai limit, tetapi perilakunya tetap teratur: suku-sukunya akhirnya berayun di antara sekitar $-1$ dan sekitar $1$. Limit superior dan limit inferior mengukur kedua batas ayunan itu. Berbeda dengan limit, keduanya selalu ada untuk barisan terbatas. Konsep ini menjadi alat penting di Bagian VI, misalnya untuk uji akar dan uji rasio pada deret.

Prasyarat: Bab 24–29, terutama Teorema Kekonvergenan Monoton (Teorema 27.2.1) dan limit subbarisan (Teorema 28.1.11).

### Definisi

Misalkan $(s_n)_{n\geq1}$ terbatas. Untuk setiap $N\geq1$, ekor $(s_n)_{n\geq N}$ terbatas, sehingga
$$u_N=\sup_{n\geq N}s_n\qquad\text{dan}\qquad\ell_N=\inf_{n\geq N}s_n$$
ada menurut aksioma supremum dan Teorema 11.3.3. Ekor yang lebih pendek adalah subhimpunan ekor yang lebih panjang, sehingga Proposisi 11.2.15 memberi:

- $(u_N)$ turun: $u_{N+1}\leq u_N$;
- $(\ell_N)$ naik: $\ell_{N+1}\geq\ell_N$;
- $\ell_N\leq s_N\leq u_N$, sehingga $\ell_1\leq\ell_N\leq u_N\leq u_1$.

Jadi $(u_N)$ turun dan terbatas di bawah oleh $\ell_1$, dan $(\ell_N)$ naik dan terbatas di atas oleh $u_1$. Teorema 27.2.1 menyatakan bahwa keduanya konvergen.

#### Definisi 30.1.1 (Limit Superior dan Limit Inferior)

Untuk barisan terbatas $(s_n)$:
$$\limsup_{n\to\infty}s_n=\lim_{N\to\infty}u_N=\inf_{N\geq1}\sup_{n\geq N}s_n,$$
$$\liminf_{n\to\infty}s_n=\lim_{N\to\infty}\ell_N=\sup_{N\geq1}\inf_{n\geq N}s_n.$$
Kesamaan kedua pada setiap baris adalah Teorema 27.2.1(a)(b).

#### Definisi 30.1.1' (Perluasan untuk Barisan Sebarang)

Untuk barisan real sebarang $(s_n)_{n\geq1}$, $\limsup$ ditetapkan menurut percabangan berikut. $+\infty$ dan $-\infty$ adalah label perilaku, bukan bilangan real (Definisi 26.3.10).

(i) Bila $(s_n)$ tidak terbatas di atas, maka setiap ekor $(s_n)_{n\geq N}$ juga tidak terbatas di atas. Kalau ekor sejak $N$ terbatas di atas oleh $U$, maka $\max(U,s_1,\ldots,s_{N-1})$ adalah batas atas seluruh barisan (Teorema 24.2.5), karena membuang berhingga banyak bilangan real tidak dapat menghilangkan ketakterbatasan. Jadi $u_N$ tidak ada sebagai bilangan real untuk setiap $N$, dan kita menetapkan $\limsup s_n=+\infty$.

(ii) Bila $(s_n)$ terbatas di atas, maka setiap ekor terbatas di atas, sehingga $u_N=\sup_{n\geq N}s_n$ adalah bilangan real (aksioma supremum), dan $(u_N)$ turun (Proposisi 11.2.15). Bila $(u_N)$ terbatas di bawah, Teorema 27.2.1(b) memberi bilangan real $\limsup s_n=\lim_Nu_N=\inf_Nu_N$. Bila $(u_N)$ tidak terbatas di bawah, maka $u_N\to-\infty$, karena barisan itu turun (Teorema 27.2.1(c)), dan kita menetapkan $\limsup s_n=-\infty$.

Dalam kasus (ii), $u_N\to-\infty$ jika dan hanya jika $s_n\to-\infty$. ($\Rightarrow$) Untuk $M\in\mathbb{R}$, ada $N_0$ dengan $u_N<M$ untuk $N\geq N_0$. Karena $s_n\leq u_n$, untuk $n\geq N_0$ berlaku $s_n<M$. ($\Leftarrow$) Untuk $M\in\mathbb{R}$, ada $N_0$ dengan $s_n<M-1$ untuk $n\geq N_0$. Maka $M-1$ adalah batas atas ekor sejak $N_0$, sehingga $u_{N_0}\leq M-1<M$, dan untuk $N\geq N_0$, $u_N\leq u_{N_0}<M$.

Secara dual: (i') bila $(s_n)$ tidak terbatas di bawah, setiap ekor juga demikian, dan $\liminf s_n=-\infty$. (ii') Bila $(s_n)$ terbatas di bawah, $\ell_N=\inf_{n\geq N}s_n$ adalah bilangan real (Teorema 11.3.3), dan $(\ell_N)$ naik. Bila $(\ell_N)$ terbatas di atas, $\liminf s_n=\lim_N\ell_N=\sup_N\ell_N$ adalah bilangan real. Bila tidak, $\ell_N\to+\infty$, dan $\liminf s_n=+\infty$, yang terjadi tepat ketika $s_n\to+\infty$.

Untuk barisan terbatas, kedua kasus (ii) dan (ii') berlaku dengan nilai real, sehingga perluasan ini cocok dengan Definisi 30.1.1. Barisan yang hanya terbatas pada satu sisi dapat mempunyai $\limsup$ atau $\liminf$ real pada sisi itu, seperti pada Contoh 30.1.3(d). Kecuali disebut lain, teorema-teorema unit ini dinyatakan untuk barisan terbatas.

Bila $(s_n)$ terbatas, $\liminf s_n\leq\limsup s_n$, karena $\ell_N\leq u_N$ untuk setiap $N$ (Teorema 26.3.1).

#### Contoh 30.1.2 (Contoh Master)

$s_n=(-1)^n\bigl(1+\tfrac1n\bigr)$. Suku genap $1+\tfrac1n$ positif dan turun. Suku ganjil $-(1+\tfrac1n)$ negatif dan naik.

- $u_N$: suku terbesar dalam ekor sejak $N$ adalah suku genap pertama. Jadi $u_N=1+\tfrac1N$ bila $N$ genap, dan $u_N=1+\tfrac1{N+1}$ bila $N$ ganjil. Dalam kedua kasus $1<u_N\leq1+\tfrac1N$, sehingga $u_N\to1$.
- $\ell_N$: suku terkecil adalah suku ganjil pertama. Jadi $\ell_N=-\bigl(1+\tfrac1N\bigr)$ bila $N$ ganjil, dan $\ell_N=-\bigl(1+\tfrac1{N+1}\bigr)$ bila $N$ genap, sehingga $\ell_N\to-1$.

Jadi $\limsup s_n=1$ dan $\liminf s_n=-1$, sesuai master. Perhatikan bahwa $\sup_ns_n=u_1=\tfrac32$ dan $\inf_ns_n=\ell_1=-2$. Supremum dan infimum seluruh barisan dipengaruhi oleh suku-suku awal, sedangkan $\limsup$ dan $\liminf$ tidak.

#### Contoh 30.1.3

(a) $s_n=(-1)^n$: $u_N=1$ dan $\ell_N=-1$ untuk semua $N$. Jadi $\limsup=1$ dan $\liminf=-1$.

(b) Barisan konvergen $s_n=\tfrac1n$: $u_N=\tfrac1N$ dan $\ell_N=0$, karena infimum ekor adalah $0$ dan tidak tercapai. Jadi $\limsup=\liminf=0$.

(c) $s_n=$ sisa pembagian $n$ oleh $3$: $u_N=2$ dan $\ell_N=0$. Jadi $\limsup=2$ dan $\liminf=0$.

(d) $s_n=n$ untuk $n$ genap dan $s_n=0$ untuk $n$ ganjil, yaitu $s_{2k}=2k$ dan $s_{2k-1}=0$. Barisan ini tidak terbatas di atas, sehingga $\limsup s_n=+\infty$ menurut Definisi 30.1.1'(i). Barisan ini terbatas di bawah oleh $0$, dan setiap ekor memuat suku ganjil bernilai $0$. Jadi $\ell_N=0$ untuk setiap $N$. Barisan $(\ell_N)$ konstan, sehingga terbatas di atas, dan Definisi 30.1.1'(ii') memberi $\liminf s_n=0$.

### Karakterisasi

#### Teorema 30.1.4 (Karakterisasi $\varepsilon$)

Misalkan $(s_n)$ terbatas dan $L\in\mathbb{R}$. Maka $L=\limsup s_n$ jika dan hanya jika untuk setiap $\varepsilon>0$:

(i) $s_n<L+\varepsilon$ untuk semua $n$ kecuali berhingga banyak; dan

(ii) $s_n>L-\varepsilon$ untuk tak hingga banyak $n$.

Pernyataan serupa berlaku untuk $\liminf$, dengan peran $<$ dan $>$ ditukar.

Bukti. ($\Rightarrow$) Misalkan $L=\limsup s_n=\inf_Nu_N$, dan $\varepsilon>0$.

(i) Ada $N$ dengan $u_N<L+\varepsilon$, sehingga $s_n\leq u_N<L+\varepsilon$ untuk semua $n\geq N$.

(ii) Untuk setiap $N$, $u_N\geq L>L-\varepsilon$. Karena $u_N$ supremum ekor sejak $N$, ada $n\geq N$ dengan $s_n>L-\varepsilon$ (Teorema 11.3.2). Jadi untuk setiap $N$ ada indeks $n\geq N$ yang memenuhi, sehingga ada tak hingga banyak indeks seperti itu.

($\Leftarrow$) Misalkan (i) dan (ii) berlaku. Dari (i), untuk $\varepsilon>0$ ada $N$ dengan $u_N\leq L+\varepsilon$, sehingga $\limsup s_n\leq L+\varepsilon$. Dari (ii), setiap ekor memuat suku $>L-\varepsilon$, sehingga $u_N\geq L-\varepsilon$ untuk semua $N$, dan $\limsup s_n\geq L-\varepsilon$. Karena $\varepsilon$ sebarang, $\limsup s_n=L$. $\square$

Bacaannya: $\limsup$ adalah bilangan $L$ yang hanya dilampaui sedikit oleh berhingga banyak suku, tetapi didekati dari bawah oleh tak hingga banyak suku.

#### Teorema 30.1.5 (Limit Subbarisan Terbesar dan Terkecil)

Misalkan $(s_n)$ terbatas. Maka $\limsup s_n$ dan $\liminf s_n$ adalah limit subbarisan dari $(s_n)$. Setiap limit subbarisan $L'$ memenuhi
$$\liminf s_n\leq L'\leq\limsup s_n.$$
Jadi $\limsup$ adalah limit subbarisan terbesar, dan $\liminf$ adalah limit subbarisan terkecil.

Bukti. Misalkan $L=\limsup s_n$ dan $\varepsilon>0$. Menurut Teorema 30.1.4, tak hingga banyak $n$ memenuhi $s_n>L-\varepsilon$, dan hanya berhingga banyak yang memenuhi $s_n\geq L+\varepsilon$. Jadi tak hingga banyak $n$ memenuhi $|s_n-L|<\varepsilon$. Teorema 28.1.11 menyatakan bahwa $L$ limit subbarisan.

Misalkan $s_{n_k}\to L'$. Untuk $\varepsilon>0$, sejak suatu indeks $s_n<L+\varepsilon$ (Teorema 30.1.4(i)), sehingga sejak suatu $k$, $s_{n_k}<L+\varepsilon$. Akibat 25.2.6 memberi $L'\leq L+\varepsilon$ untuk setiap $\varepsilon$, sehingga $L'\leq L$. Kasus $\liminf$ simetris. $\square$

Teorema ini memberi bukti ketiga untuk Bolzano–Weierstrass. Bukti ini memakai Teorema Kekonvergenan Monoton pada $(u_N)$ dan konstruksi Teorema 28.1.11, yang tidak memakai pilihan.

#### Teorema 30.1.6 (Kekonvergenan)

Barisan terbatas $(s_n)$ konvergen jika dan hanya jika $\limsup s_n=\liminf s_n$. Dalam kasus itu, ketiganya sama: $\lim s_n=\limsup s_n=\liminf s_n$.

Bukti. ($\Rightarrow$) Bila $s_n\to L$, satu-satunya limit subbarisan adalah $L$ (Teorema 28.1.5). Teorema 30.1.5 memberi $\limsup=\liminf=L$.

($\Leftarrow$) Bila keduanya sama dengan $L$, maka $\ell_N\leq s_N\leq u_N$, dan $\ell_N\to L$, $u_N\to L$. Teorema apit memberi $s_N\to L$. $\square$

### Sifat Aljabar

#### Proposisi 30.1.7

Untuk barisan terbatas $(s_n)$ dan $(t_n)$:

(a) $\liminf(-s_n)=-\limsup s_n$;

(b) $\limsup(cs_n)=c\limsup s_n$ untuk $c\geq0$;

(c) $\limsup(s_n+t_n)\leq\limsup s_n+\limsup t_n$;

(d) jika $s_n\leq t_n$ untuk $n\geq K$, maka $\limsup s_n\leq\limsup t_n$ dan $\liminf s_n\leq\liminf t_n$;

(e) jika $t_n\to T$, maka $\limsup(s_n+t_n)=\limsup s_n+T$.

Bukti. (a) $\inf_{n\geq N}(-s_n)=-\sup_{n\geq N}s_n$ (Proposisi 11.2.14). Ambil limit $N\to\infty$.

(b) $\sup_{n\geq N}cs_n=c\sup_{n\geq N}s_n$ untuk $c\geq0$. Untuk $c>0$, perkalian dengan $c$ mempertahankan urutan. Untuk $c=0$, kedua ruas $0$.

(c) Untuk $n\geq N$, $s_n+t_n\leq u_N(s)+u_N(t)$, sehingga $u_N(s+t)\leq u_N(s)+u_N(t)$. Ambil limit (Teorema 26.3.1).

(d) Untuk $N\geq K$, $u_N(s)\leq u_N(t)$ dan $\ell_N(s)\leq\ell_N(t)$.

(e) Dari (c), $\limsup(s+t)\leq\limsup s+T$. Sebaliknya, $s_n=(s_n+t_n)+(-t_n)$, sehingga $\limsup s\leq\limsup(s+t)+\limsup(-t_n)=\limsup(s+t)-T$. $\square$

Ketaksamaan (c) dapat tegas. Untuk $s_n=(-1)^n$ dan $t_n=(-1)^{n+1}$, $\limsup(s+t)=0<2=\limsup s+\limsup t$.

### Latihan

Latihan 30.1-1. Tentukan $\limsup$ dan $\liminf$: (a) $(-1)^n+\tfrac1n$; (b) $\tfrac{(-1)^nn+1}{n+1}$; (c) $1+\tfrac{2(-1)^n}n$; (d) $s_n=r_n/4$, dengan $r_n$ sisa pembagian $n^2$ oleh $4$.

Latihan 30.1-2. Untuk $s_n=\tfrac{(-1)^n}n$, hitung $u_N$ dan $\ell_N$ secara eksplisit, lalu buktikan bahwa keduanya menuju $0$.

Latihan 30.1-3. Buktikan Teorema 30.1.4 untuk $\liminf$ dari Teorema 30.1.4 untuk $\limsup$ dengan Proposisi 30.1.7(a).

Latihan 30.1-4. Beri contoh barisan terbatas dengan $\liminf(s_n+t_n)>\liminf s_n+\liminf t_n$.

Latihan 30.1-5. Buktikan bahwa $\limsup(cs_n)=c\liminf s_n$ untuk $c<0$.

Latihan 30.1-6. Misalkan $q:\mathbb{N}_{+}\to\mathbb{Q}\cap[0,1]$ bijeksi. Tentukan $\limsup q_n$, $\liminf q_n$, dan himpunan semua limit subbarisan.

Latihan 30.1-7. Misalkan $s_n>0$ untuk semua $n$, dan $\limsup\tfrac{s_{n+1}}{s_n}<1$. Buktikan bahwa $s_n\to0$.

Latihan 30.1-8. Misalkan $(s_n)$ terbatas. Buktikan bahwa $\limsup s_n=\sup\{L':L'\text{ limit subbarisan dari }(s_n)\}$, dan bahwa supremum ini tercapai.

### Solusi

Solusi 30.1-1. (a) Suku genap $1+\tfrac1n\to1$ dan suku ganjil $-1+\tfrac1n\to-1$. Sejak suatu indeks, setiap suku dekat ke $1$ atau ke $-1$. Jadi $\limsup=1$ dan $\liminf=-1$. (b) $s_n=\tfrac{(-1)^nn}{n+1}+\tfrac1{n+1}$: suku genap $\to1$ dan suku ganjil $\to-1$. Jadi $\limsup=1$ dan $\liminf=-1$. (c) Barisan ini konvergen ke $1$, sehingga keduanya $1$ (Teorema 30.1.6). (d) $n^2$ bersisa $0$ bila $n$ genap dan $1$ bila $n$ ganjil, karena $(2j+1)^2=4j^2+4j+1$. Jadi $s_n\in\{0,\tfrac14\}$ bergantian, sehingga $\limsup=\tfrac14$ dan $\liminf=0$. $\square$

Solusi 30.1-2. Suku positif $\tfrac1n$ muncul pada $n$ genap, dan suku negatif $-\tfrac1n$ pada $n$ ganjil. $u_N$ adalah suku genap pertama dalam ekor: $u_N=\tfrac1N$ bila $N$ genap, dan $\tfrac1{N+1}$ bila $N$ ganjil. $\ell_N$ adalah suku ganjil pertama: $\ell_N=-\tfrac1N$ bila $N$ ganjil, dan $-\tfrac1{N+1}$ bila $N$ genap. Jadi $|u_N|,|\ell_N|\leq\tfrac1N\to0$. $\square$

Solusi 30.1-3. $\liminf s_n=-\limsup(-s_n)$, menurut (a) yang diterapkan pada $-s$. Terapkan Teorema 30.1.4 pada $(-s_n)$ dengan $-L$. Kondisi (i), "$-s_n<-L+\varepsilon$ kecuali berhingga banyak", menjadi "$s_n>L-\varepsilon$ kecuali berhingga banyak". Kondisi (ii), "$-s_n>-L-\varepsilon$ tak hingga kali", menjadi "$s_n<L+\varepsilon$ tak hingga kali". $\square$

Solusi 30.1-4. $s_n=(-1)^n$ dan $t_n=(-1)^{n+1}$: $\liminf(s+t)=0>-2=\liminf s+\liminf t$. $\square$

Solusi 30.1-5. $\limsup(cs_n)=\limsup(|c|(-s_n))=|c|\limsup(-s_n)=-|c|\liminf s_n=c\liminf s_n$, menurut (b) dan (a). $\square$

Solusi 30.1-6. Setiap $x\in[0,1]$ adalah limit subbarisan. Setiap interval $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\cap[0,1]$ tak degenerat dan memuat tak hingga banyak rasional (Teorema 11.3.11), sehingga memuat tak hingga banyak indeks. Gunakan Teorema 28.1.11. Titik di luar $[0,1]$ bukan limit subbarisan (Akibat 25.2.6). Jadi himpunan limit subbarisannya $[0,1]$, dan menurut Teorema 30.1.5, $\limsup=1$ dan $\liminf=0$. $\square$

Solusi 30.1-7. Misalkan $r=\limsup\tfrac{s_{n+1}}{s_n}<1$, dan $q=\tfrac{1+r}2\in(r,1)$. Barisan rasio terbatas di atas, karena $\limsup$-nya hingga dan $(u_N)$ menuju $r$, dan terbatas di bawah oleh $0$. Teorema 30.1.4(i) dengan $\varepsilon=q-r$ memberi $\tfrac{s_{n+1}}{s_n}<q$ untuk $n\geq K$. Latihan 27.2-6 memberi $s_n\to0$. $\square$

Solusi 30.1-8. Teorema 30.1.5: $\limsup s_n$ adalah limit subbarisan, sehingga termasuk himpunan itu, dan setiap anggota himpunan $\leq\limsup s_n$. Jadi $\limsup s_n$ adalah maksimum, dan karenanya supremum, dari himpunan limit subbarisan. $\square$

### Ringkasan

Untuk barisan terbatas, $u_N=\sup_{n\geq N}s_n$ turun dan $\ell_N=\inf_{n\geq N}s_n$ naik, sehingga keduanya konvergen menurut Teorema Kekonvergenan Monoton. Limitnya adalah $\limsup s_n=\inf_N\sup_{n\geq N}s_n$ dan $\liminf s_n=\sup_N\inf_{n\geq N}s_n$, yang selalu ada. Untuk contoh master $(-1)^n(1+\tfrac1n)$, $\limsup=1$ dan $\liminf=-1$. $\limsup$ dicirikan oleh "hanya berhingga banyak suku di atas $L+\varepsilon$, tetapi tak hingga banyak di atas $L-\varepsilon$", dan merupakan limit subbarisan terbesar. Barisan terbatas konvergen tepat ketika $\limsup=\liminf$. $\limsup$ bersifat subaditif, dan menjadi aditif bila salah satu barisan konvergen.